\chapter{Die lineare Struktur}
\label{cha:die-lineare-struktur}
\index{Struktur!lineare}
Alle in diesem Kapitel vorgestellten Resultate gelten für beliebige Körper.
Wir werden uns aber im weiteren Verlauf quasi ausschließlich mit den aus der Analysis bekannten Körper der reellen Zahlen $ℝ$ und der komplexen Zahlen $ℂ$ beschäftigen.
\section{Der lineare Raum}
\label{sec:der-lineare-raum}
\begin{definition}[Vektorraum, linearer Raum]
    \label{defi:vektorraum-1.1.1}
    \index{Raum!linearer}
    \index{Vektorraum}
    Sei $\K$ ein Körper. Eine Abelsche Gruppe $(X,+)$ zusammen mit einer Abbildung
    \[
        \cdot : \K × X → X
    \]
    heißt $\K$-\emph{Vektorraum} oder \emph{linearer Raum}, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt:
    \begin{wenumerate}[label=(V\arabic*)]
    \item $\alpha  x+y) = \alpha x + βy$
    \item $(\alpha +β)x = \alpha x + βx$
    \item $(\alpha β)x = \alpha (βx)$
    \item $1 \cdot x = x$
    \end{wenumerate}
\end{definition}
\begin{definition-nn}
    \begin{enumerate}
    \item
        Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum.
    \item
        \index{Raum!linearer Teil-}
        Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $\alpha , β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $\alpha x + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist.
        $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}.
    \item
        \index{Aufspann}
        Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$.
        Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$
        \[
            \lspan M = \Big\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, \alpha _1,…,\alpha _l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l \alpha _i m_i = x \Big\}.
        \]
    \item
        \index{Basis!Hamel-}
        $M = \{x_\lambda \}_{\lambda  ∈ \Lambda } ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt,
        $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_\lambda $ schreiben, und $\lspan M = X$ ist.
    \item
        \index{Dimension}
        Besitzt $X$ eine Basis von $n < \infty $ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$.
        Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = \infty $).
    \item
        \index{Summe}
        Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist
        \[
            X_1 + X_2 \coloneq \left\{ \alpha x_1 + βx_2: \alpha , β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\}
        \]
        ebenfalls ein linearer Teilraum.
        Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}.
    \item
        \index{Raum!Quotienten-}
        Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch
        $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$.
        Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum.
        Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$.
    \end{enumerate}
\end{definition-nn}
\begin{satz}
    \label{satz:vr-besitzt-basis-1.1.2}
    Jeder lineare Raum besitzt eine (Hamel-)Basis.
\end{satz}
\begin{proof}
    Folgt unmittelbar aus \cref{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3}.
\end{proof}

\begin{satz}[Basisergänzungssatz]
    \index{Satz!Basisergänzungs-}
    \label{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3}
    Sei $M ⊂ X$ eine linear unabhängige Teilmenge.
    Dann gibt es eine Basis $B$ von $X$ mit $M ⊂ B$.
\end{satz}
\begin{proof}
    Sei $P$ die durch Inklusion geordnete Menge aller linear unabhängigen Teilmengen von $X$, die $M$ umfassen.
    Wegen $M ∈ P$ ist $P$ nichtleer.
    Für jede totalgeordnete Teilmenge $T ⊂ P$ ist $\bigcup T ∈ P$, also $T$ durch $\bigcup T$ beschränkt.
    Nach Zorn's Lemma besitzt $P$ ein maximales Element $B$.
    Wäre $B$ keine Basis, gäbe es ein $x ∈ X \setminus \lspan B$.
    Aber dann wäre $B ∪ \{x\}$ ebenfalls linear unabhängig im Widerspruch zur Maximalität von $B$.
\end{proof}

\section{Beispiele}
\label{sec:beispiele}
In diesem Abschnitt geben geben wir nun einige Beispiele zu linearen Räumen über den Körpern $ℝ$ und $ℂ$ an.
Wir werden uns mit diesen Räumen noch weiter beschäftigen, zunächst betrachten wir aber nur die lineare Struktur auf ihnen.
Zunächst die (bis auf isomorphie eindeutig bestimmten) endlich"=dimensionalen Räume:
\index{$ℝ^n$}
\index{$ℂ^n$}
\begin{beispiel}[$ℝ^n$, $ℂ^n$]
    Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum.
    Dabei ist $\dim_ℝ ℝ^n = n$ und  $\dim_ℂ ℂ^n = n$, aber $\dim_ℝ ℂ^n = 2n$.
    Insbesondere ist $ℂ$ auch ein zwei"=dimensionaler reeller Vektorraum.
\end{beispiel}

In der klassischen Analysis haben wir uns bereits ausgiebigst mit diesen Räumen befasst.
Die Funktionalanlaysis versucht nun, einige der Konzepte, die wir von diesen Räumen kennen, auf die nachfolgenden unendlich"=dimensionalen Räume zu übertragen:

\begin{beispiel}[{$C[a,b]$}]
    \index{$C[a,b]$}
    Sei $[a,b] ⊂ ℝ$, $a < b$. Dann ist
    \[
      C[a,b] = \{x: [a,b] → \K, x \text { ist stetig}\}
    \]
    ein $\K$-Vektorraum mit $\dim C[a,b] = \infty $.
    Zum Beispiel sind die Monome $(t^k)_{k ∈ ℕ}$ ein unendliches linear unabhängiges System, jedoch keine Basis.
    Tatsächlich ist jede Basis dieses Raumes überabzählbar.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}[Folgenräume]
    \index{$\ell^p$}
    \index{Folge!$p$-summierbar}
    \index{Raum!Folgen-}
    Sei $0 < p < ∞$. Wir betrachten die Menge $\ell^p$ aller $p$-Summierbaren Folgen in $\K$
    \[
        \ell^p = \Big\{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \Big\}.
    \]
    Sie wird mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation ein linearer Raum.
    Dabei ist die Menge der Einheitsvektoren $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ mit $e_i = (0,…,0,1,0,…)$ ist eine unendliche linear unabhängige Teilmenge, aber ebenfalls keine Basis.

    Genauso ist
    \[
        \ell^∞ = \Big\{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sup_{n=1} |ξ_n| < ∞ \Big\}
    \]
    ein überabzählbar"=dimensionaler linearer Raum mit den unendlich"=dimensionalen linearen Unterräumen
    \[
        c = \Big\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n \text{ existiert}\Big\}
    \]
    und
    \[
        c_0 = \Big\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n = 0 \Big\}.
    \]
\end{beispiel}
\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen]
    \index{$L^p(Ω)$}
    \index{$\L^p(Ω)$}
    \index{Funktion!Lebesgue-integrierbar}
    Sei $M ⊂ ℝ$ messbar und $0 < p < ∞$.
    Dann ist
    \[
        \L^p(M) = \Big\{f : M → ℝ, f \text { messbar}, ∫_M |f|^p \dd μ < ∞ \Big\}
    \]
    ein unendlich"=dimensionaler linearer Raum.
    Offenkundig ist $\mathcal N \coloneq \{ f: M → ℝ,\; f = 0$ fast überall $\}$ ein Unterraum von $\L^p(M)$, also auch
    \[
        L^p(M) = \L^p(M)/\mathcal N
    \]
    ein linearer Raum.
\end{beispiel}

\section{Lineare Abbildungen}
\label{sec:lineare-abbildungen}
\begin{definition}[Lineare Abbildung]
    \index{Funktion!linear}
    \index{Abbildung!linear}
    \index{Kern}
    \index{Bild}
    \index{Funktional}
    \label{defi-lineare-abbildung-1.3.1}
    Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $\alpha , β ∈ \K$ gilt:
    \[
    A(\alpha x_1 + βx_2)  = \alpha A(x_1) + βA(x_2).
    \]
    $A: X → \K$ heißt \emph{lineares Funktional}.
    Für $A$ linear heißt $R(A) = \im A = \{A(x): x ∈ X\}$ der \emph{Bildraum} von $A$ und $N(A) = \ker A = \{ x ∈ X: A(x) = 0\}$ der \emph{Kern} von $A$.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
    \label{bem:lineare-abb-eigenschaften-1.3.2}
    Sei $A: X → Y$ linear.
    \begin{enumerate}
    \item Sei $M ⊂ X $ ein linearer Unterraum. Dann ist $A(M) ⊂ Y$ wieder ein linearer Unterraum und es gilt $\dim A(M) \le \dim M$ mit Gleichheit bei Injektivität.
    \item Es gilt
        \[
            A \text{ injektiv} \Longleftrightarrow N(A) = \{ 0\}.
        \]
        Allgemeiner ist
        \[
            X/(N(A)) \cong \im A.
        \]
    \item
        Falls $\dim X = \dim Y = n < \infty $, dann ist $A$ genau dann injektiv, wenn $A$ surjektiv ist.
    \item
        $A: X → Y$ ist linear und bijektiv genau dann, wenn es eine lineare Umkehrabbildung $A^{-1}: Y → X$ gibt.
    \item
        \index{isomorph!linear}
        Falls so ein $A: X → Y$ linear und bijektiv existiert, nennen wir $X$ und $Y$ \emph{linear isomorph.}
        $A$ heißt dann ein \emph{linearer Isomorphismus}.

        Nur falls $\dim X = \dim Y < \infty $ sind $X$ und $Y$ auch „topologisch“ isomorph.
        In diesem Fall erhält man die Prototypen $ℝ^n$ und $ℂ^n$ für endlich-dimensionale Vektorräume und andere gibt es nicht (die sie auch als Topologische Räume isomorph sind).
    \end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
    $X = \{ x: [a,b] → ℝ, x, \dot x, \ddot x \text{ stetig},\; x(a) = \dot x(a) = 0\}$ ist ein linearer Raum.
    Sei $Y = C[a,b]$ und $A: X → Y$ gegeben durch
    \[
        (Ax)(t) \coloneq \ddot x(t) + c_1 (t) \dot x (t) + c_2 (t) x(t), \quad t ∈ [a,b], c_1,c_2 ∈ C[a,b].
    \]
    Dann ist $A$ linear, weil differenzieren linear ist und $A$ ist injektiv:
    Zunächst ist $x = 0$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung $Ax = 0$.
    Die Theorie der Differentialgleichungen sagt uns, dass diese Differentialgleichung eine eindeutige Lösung des Anfangswertsproblems ist.

    $A$ ist aber auch surjektiv: Sei $y ∈ Y$ gegeben, dann suchen wir $x ∈ X$ mit $Ax = y$.
    Also wollen wir eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung lösen.
    Auch diese ist nach der Theorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen eindeutig lösbar.

    Also ist $A$ bijektiv, das heißt, es gibt eine lineare Abbildung $A^{-1}: Y → X$.
    Diese Inverse ist in der Regel schlecht anzugeben.
    Einen einfacheren Spezialfall dazu wird in der Übung behandelt.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
    Sei $X = Y = C[a,b]$, $A: X → X$ gegeben durch
    \[
        (Ax)(t) \coloneq ∫_a^b k(s,t) x(s) ds, \quad t ∈ [a,b],
    \]
    wobei $k : [a,b] × [a,b] → ℝ$ stetig und gegeben ist.
    Dann ist $A$ linear, da das Integral linear ist.
    Auch ist, wenn $\lambda  ∈ ℝ$ ein Parameter ist, die Abbildung
    \[
        (A_\lambda x)(t) \coloneq \lambda x(t) - (Ax)t), \quad t ∈ [a,b]
    \]
    linear.
    Die Probleme $Ax = y$ (bei gegebenem $y ∈ Y$ und gesuchtem $x ∈ X$) oder $A_\lambda  x = 0$ (gesucht ist $\lambda  ∈ ℝ$ und eine nichttriviale Lösung $x ∈ X \setminus \{ 0\}$)
    heißen Integralgleichungen erster und zweiter Ordnung.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
    Sei $X = C[a,b]$, $A : X → ℝ$ mit
    \[
        Ax = x(t_0),
    \]
    wobei $t_0 ∈ [a,b]$ fest gewählt sei.
    Eine andere lineare Abbildung $A: X → ℝ$ ist gegeben durch
    \[
        Ax = ∫_a^b x(t) dt
    \]
    Dann sind beide Abbildungen $A$ linear und nicht injektiv, aber surjektiv.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
    Sei $X = \ell^2$, $A: X → X$. Für $x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ sei
    \[
        Ax = (0,ξ_1, ξ_2, \dots) ∈ \ell^2.
    \]
    $A$ heißt (Rechts-)Shiftoperator und ist linear und injektiv, jedoch nicht surjektiv.
    Solche Abbildungen gibt es für $\dim X = \dim Y < \infty $ nicht.
\end{beispiel}

\section{Duale Räume}
\label{sec:duale-raume}
Wir bezeichnen lineare Funktionale $X → \K$ (also stetige lineare Abbildungen $X → \K$) üblicherweise mit $x'$.
Wir schreiben nun
\[
    x'(x) \eqcolon \langle  x, x' \rangle = \langle  x, x' \rangle_{X × X^f} ∈ \K
\]
und setzen
\[
    X^f \coloneq \left\{ x': x' \text{ ist lineares Funktional auf } X \right\}.
\]
Hierbei sollte man nicht $x'$ nicht mit der Ableitung von $x$ verwechseln.
Auch ist $\langle  -, - \rangle_{X × X^f}$ kein Skalarprodukt.

Der Raum $X^f$ wird auf natürlicher Weise zum linearen Raum mit
\[
    (\alpha x_1' + βx_2')(x) \coloneq \alpha x_1'(x) + βx_2'(x), \quad x ∈ X, x_1', x_2' ∈ X^f, \alpha , β ∈ \K.
\]
Dann ist
\[
    \langle -,- \rangle_{X×X^f}: X × X^f → \K
\]
eine Bilinearform.
\begin{definition}[Algebraischer Dualraum, Algebraischer Bidualraum]
    \index{Raum!algebraischer Dual-}
    \index{Raum!algebraischer Bidual-}
    \label{defi:alg-dualraum-bidualraum-1.4.1}
    $X^f$ heißt der \emph{algebraische Dualraum} zu $X$.
    $X^{ff} \coloneq (X^f)^f$ heißt der \emph{biduale Raum} zu $X$.
\end{definition}
\begin{beispiel-nn}
    \index{$J$}
    \index{Abbildung!kanonische}
    $X^{ff}$ liefert die kanonische Abbildung
    \[
        J: X → X^{ff}, \; x ↦ J(x) = x''
    \]
    mit
    \[
        \langle x', x'' \rangle \coloneq \langle x, x' \rangle \quad ∀x' ∈ X^f.
    \]
    Damit ist $x'': X^f → \K$ linear wohldefiniert.
\end{beispiel-nn}
\begin{definition}[algebraisch reflexiv]
    \index{algebraisch reflexiv}
    \label{defi:alg-reflexiv-1.4.2}
    Der lineare Raum $X$ heißt \emph{algebraisch reflexiv}, falls $J$ bijektiv ist (und damit $X$ linear isomorph zu $X^{ff}$) ist.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
    \label{bem:X-alg-reflexiv-gdw-dim-endlich-1.4.3}
    $X$ ist genau dann algebraisch reflexiv, wenn $\dim X < \infty $ ist.

    Im Fall $\dim X < \infty $ lässt sich leicht eine duale Basis angeben:
    Sei dazu $M \coloneq \{x_1,…,x_n\}$ eine Basis von $X$. Dann wird durch
    \[
        \langle  x_i, x_k' \rangle \coloneq \delta _{i,k}
    \]
    und linearer Fortsetzung die Menge $ M' \coloneq \{x_1',…,x_n'\} ⊂ X^f$ erklärt.
    Dann ist $M'$ eine Basis von $X'$, die die \emph{duale Basis} von $M$ genannt wird.
    Tatsächlich ist $X^f$ im Falle $\dim X = \infty $ wesentlich größer.
    Man wählt deshalb eine (neue) Defintion des Dualraums:
\end{bemerkung}

\begin{definition}[Dualraum]
    \index{Raum!Dual-}
    \label{defi:dualraum-1.4.4}
    Zu einem linearen Raum $X$ ist
    \[
        X' \coloneq \left\{ x' : X → \K, x' \text{ linear und stetig} \right\} ⊂ X^f
    \]
    der Dualraum von $X$.
\end{definition}
Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topologien} einführen.

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "funkana"
%%% End:
