\section*{Motivation} \markboth{}{Motivation}
In der klassischen Analyis haben wir Funktionen im $\K^n$, wobei $\K$ entweder $ℝ$ oder $ℂ$ ist, untersucht.
Dabei war das Betrachten von Eigenschaften wie Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit sehr nützlich.
Die Funktionalanalysis beschäftigt sich nun mit vergleichbaren Problemen in üblicherweise unendlich"=dimensionalen Funktionenräumen.
Hierfür werden wir versuchen, die aus der klassischen Analysis bekannten Untersuchungsmethoden zu verallgemeinern.
Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis benötigt.

\begin{problem-nn}
    Ein klassisches Beispiel aus der Variationsrechnung:
    Wir wollen die Funktion
    \[
        f(u) = \int_0^\pi |u'(x)|^2 dx
    \]
    unter den Nebenbedingungungen $u(0) = u(\pi ) = 0$ und $\int_0^\pi |u(x)|^2 dx = 1$ minimieren.
    In der klassischen Analysis haben wir für Minimierungsprobleme mit Nebenbedingungungen Lagrange-Multiplikatoren genutzt.
    Im unendlich"=dimensionalen Fall ist das jedoch nicht so einfach.
    Wir betrachten $f : Y → ℝ$ wie oben, wobei $Y$ eine Teilmenge des unendlich"=dimensionalen Funktionenraums
    \[
        X = \left\{ u ∈ C^1[0,\pi ]: u(0) = u(\pi ) = 0 \right\}
    \]
    ist, die durch
    \[
        Y = \left\{ u ∈ X: \int_0^\pi |u(x)|^2 dx = 1 \right\}
    \]
    gegeben ist.
    Zwar ist $Y$ (in der $\L^2([0,\pi ])$-Metrik) beschränkt und abgeschlossen, jedoch nicht kompakt.
\end{problem-nn}
\begin{problem-nn}
    Sei $\mathcal T = \{ 1, \cos t, \sin t, \cos (2t), \sin (2t), … \} =
    \{\phi_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist bekanntlich
    \[
        \langle \phi_i, \phi_j \rangle = ∫_0^{2\pi } φ_i(t) φ_j(t) dt = 2\pi  \delta _{i,j},
    \]
    wobei $\delta _{i,j}$ das Kronecker-Delta bezeichne.
    Also lässt sich durch Normierung ein Orthonormalsystem aus $\mathcal T$ gewinnen.
    Jetzt fragen wir uns, ob sich jede $2\pi $-periodische Funktion $u$ bezüglich eines geeigneten Konvergenzbegriffs in eine Reihe $u = \sum_{i ∈ ℕ} \alpha _i φ_i$ mit $\alpha _i ∈ ℝ$ entwickeln können.
    Bereits bekannt ist, dass das für das entsprechende endlich-dimensionale Problem geht: Sei $T = \{ e_1,…,e_n\}$ die kanonische Standardbasis des $ℝ^n$
    Dann gilt bekanntlich
    \[
        \langle e_i, e_j \rangle_{ℝ^n} = \delta _{i,j}
    \]
    und für jedes $x ∈ ℝ^n$ ist
    \[
        x = \sum_{i=1}^n \alpha _i e_i, \quad \alpha _i = \langle x, e_i \rangle_{ℝ^n}.
    \]
    Wir fragen uns nach den Zusammenhängen zwischen den Problemen im endlich- und unendlich"=dimensionalen.
\end{problem-nn}
\begin{problem-nn}
    Das Biegemoment eines Trägers kann man als Randwertaufgabe (gesucht ist $u: [0,1] → ℝ$, gegeben sind $p,r: [0,1] → ℝ$)
    \[
        u''(t) + p(t) u(t) = r(t), \quad u(0) = u(1) = 0
    \]
    bestimmen. Mit Hilfte der sogenannten Green'schen Funktion lässt sich diese Randwertaufgabe in eine Integralgleichung
    \[
        (T_u)(t) \coloneq ∫_0^1 G(t,s) \big(r(s)-p(s)u(s)\big) ds = u
    \]
    umwandeln. Das heißt, man sucht einen Fixpunkt eines Integraloperators $T$ in einer geeigneten Menge von Funktionen.
\end{problem-nn}

Diese Probleme lassen sich mit der klassischen Analysis nicht mehr behandeln.
In der Funktionalanalysis behandeln wir nun im Wesentlichen „Analysis in $\infty$-dimensionalen Räumen“ (meist Funktionenräume).
Das heißt, wir wollen jetzt anstelle des $\K^n$ allgemeinere Räume betrachten, die jodoch immer noch folgende beide Charakteristika aufweisen:
\begin{enumerate}
\item Die lineare Struktur (das heißt, Elemente lassen sich addieren und mit einem Skalar multiplizieren)
\item Die topologische Struktur (also insbesondere ein Konvergenzbegriff)
\end{enumerate}

Unser Ziel ist es zunächst, die beiden Strukturen zu erarbeiten.