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diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex
index 018207f..88b7edb 100644
--- a/ch05-hahn-banach.tex
+++ b/ch05-hahn-banach.tex
@@ -454,7 +454,7 @@ Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∝(Ω)$.
 \end{proof}
 
 \begin{korollar-nn}
-    $\ell^p$ und $\ell^p)''$ sind isometrisch isomorph.
+    $\ell^p$ und $(\ell^p)''$ sind isometrisch isomorph.
     Diese Isometrie ist kanonisch (vermöge $J_0$) (vgl, Def 5.4.1, Übung).
     Also sind $\ell^p$, $ < p < ∞$ reflexiv, es gilt
     \[
@@ -553,6 +553,7 @@ Wähle dafür $x = ±1$ an den Zwischenpunkten des Riemann"=Stieltjes"=Integrals
 
 
 
+
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
 %%% TeX-master: "funkana-ebook"
diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex
index 73109c7..77492d0 100644
--- a/ch06-schwache-topologien.tex
+++ b/ch06-schwache-topologien.tex
@@ -44,9 +44,293 @@ Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei
     Übung.
 \end{proof}
 \begin{bemerkung-nn}
+    Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$
+    \begin{itemize}
+    \item
+        mehr offene Mengen,
+    \item
+        mehr abgeschlossene Mengen, aber
+    \item
+        weniger kompakte Mengen,
+    \item
+        mehr stetige Abbildungen nach $\K$ (oder in einen anderen topologischen Raum), aber
+    \item
+        weniger konvergente Folgen.
+    \end{itemize}
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{bemerkung-nn}
     $(X,\T_w)$ ist ein topologischer linearer Raum, also folgt aus dem Invarianzprinzip, dass die Topologie bereits vollständig durch die offenen Umgebungen der Null bestimmt ist.
 \end{bemerkung-nn}
 
+
+\begin{bemerkung}
+    Sei $P := \{ p_{x'}: X → ℝ: x' ∈ X', p_{x'}(x) := | \lAngle x', x \rAngle |\}$.
+    Dann ist $P$ eine Familie von Halbnormen auf $X$, die die Bedingung (I) aus dem Satz 3.3.15 erfüllt, % TODO,
+    das heißt, wenn $p_{x'}(x) m = 0 $ für alle $x' ∈ X'$, dann ist bereits $x = 0$ dank Hahn-Banach.
+    Damit ist $(X, \T_w)$ sogar ein \emph{lokalkonvexer} Hausdorff"=Raum (insbesondere sind die $U(x',ε)$ und endliche Schnitte davon eine konvexe Umgebungsbasis der Null).
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}
+    Es gilt $\T_w = \T_s \iff \dim X < ∞$, das heißt in der Regel ist $\T_w \subsetneq \T_s$, also es gibt echt weniger schwach offene Mengen als stark offene (Beispiel in der Übung).
+    Deswegen gibt es auch \emph{mehr} schwach konvergente Folgen.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+    Sei $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge in $X$.
+    Dann konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in der schwachen Topologie gegen $x_0 ∈ X$ genau dann, wenn $\lim\limits_{n → ∞} \lAngle x', x \rAngle = \lAngle x', x_0 \rAngle$ für alle $x' ∈ X'$ gilt.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Übung.
+\end{proof}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Wir schreiben für die schwache Konvergenz $x_n \xrightharpoonup[n → ∞]{} x_0$.
+    Im Beispiel zur Definition 5.4.5 haben wir gesehen, dass $e_i \xrightharpoonup[n→∞]{} 0$ in $\ell^2$.
+\end{bemerkung-nn}
+Nach Satz 1.6 sind alle $x' ∈ X'$ als Abbildungen
+\[
+    x': (X, \T_w) → \K
+\]
+folgenstetig. Nach Definition ist aber auch $x': (X, \T_s) → \K$ stetig.
+Tatsächlich ist $\T_w$ die gröbste Topologie auf $X$, das heißt die mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle $x' ∈ X'$ stetig sind.
+Beachte
+\[
+    U(x', ε) = (x')^{-1}(B_ε(0)),
+\]
+und $B_ε(0)$ ist eine offene Menge in $\K$, also wird die Topologie gerade durch die Urbilder einer Umgebungsbasis unter den $x'$ erzeugt, das heißt nach Konstruktion ist sie gerade so gemacht, dass alle $x'$ stetig werden, aber es werden nicht mehr offene Mengen hinzugenommen.
+$\T_w$ ist also die Initialtopologie bezüglich aller $x'$.
+
+\subsection*{Schwach$*$-Topologie auf $X'$}
+Zu $X'$ (also einem Banachraum) existiert auch $X'' = (X')'$ und ist wieder ein Banachraum.
+Damit existiert auf $X'$ eine schwache Topologie $(X',\T_{w,X'})$ mit Umgebungsbasis 
+\[
+    U(x'',ε) ⊂ X'
+\]
+zu $x'' ∈ X''$ fest und $ε > 0$ und endlichen Schnitten davon.
+$X'$ lässt sich aber auch noch anders topologisieren.
+Sei $x ∈ X$ fest und $ε > 0$ gegeben.
+Dann definiere
+\[
+    U'(x, ε) \coloneq \{ x' ∈ X': |\lAngle x', x \rAngle| < ε\} ⊂ X'.
+\]
+\begin{definition}
+    Eine Menge $V' ⊂ X'$ heißt offen bezüglich der \emph{scwhach$*$-Topologie}, falls zu jedem $x_0' ∈ V'$ endlich viele $x_1,…,x_k ∈ X$, $ε_1,…,ε_n > 0$ existieren, so dass
+    \[
+        x_0' + \bigcap_{i=1}^n U'(x_i, ε_i) ⊂ V'.
+    \]
+    Wir schreiben für diese Topologie $(X',\T_{w*,X'})$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    $X'$ ist bezüglich der schwach$*$"=Topologie ein topologischer linearer Raum, der Hausdorffsch ist.
+    Die $U'(x, ε)$ und endliche Schnitte davon sind Umgebungsbasis der Null in $X'$ für $\T_{w*,X'}$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    ähnlich wie bei der schwachen Topologie.
+\end{proof}
+
+\begin{warnung-nn}
+    Eine „schwach$*$-Topologie“ auf $X$ geht offenbar \emph{nicht}.
+\end{warnung-nn}
+
+\begin{bemerkung}
+    Die schwach$*$ ist eine weitere Abschwächung der schwachen Topologie.
+    Betrachte dazu den kanonischen Isomorphismus
+    \[
+        J_0: X → X'', \quad ∀x ∈ X': \lAngle J_0 x, x' \rAngle = \lAngle x', x \rAngle.
+    \]
+    Definitionsgemäß ist $J_0$ genau dann surjektiv, wenn $X$ reflexiv ist.
+    Dann ist
+    \[
+        U'(x,ε) = \{ x' ∈ X' : |\lAngle J_0 x, x' \rAngle| < ε\} =
+        U(J_0 x, ε).
+    \]
+    Damit $U'(x,ε) ∈ \T_{w,X'}$, also
+    \[
+        \T_{w^*,X'} ⊂ \T_{w, X'} ⊂ \T_{s, X'}
+    \]
+\end{bemerkung}
+\begin{korollar-nn}
+    Falls $X$ reflexiv ist, so stimmen $\T_{w*,x'}$ und $\T_{w,X'}$ überein.
+\end{korollar-nn}
+\begin{proof}
+    klar.
+\end{proof}
+
+Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6
+\begin{satz}
+    Sei $(x'_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge in $X'$.
+    Dann konvergiert $(x_n')_{n ∈ ℕ}$ in $(X',\T_{w^*,X'})$ gegen $x_0' ∈ X'$ genau dann, wenn
+    $\lim_{n → ∞} \lAngle x_n', x \rAngle = \lAngle x_0', x \rAngle$  für alle $x ∈ X$.
+    Wir schreiben dafür $x_n' \xrightharpoonup[n→∞]{*} x_0$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Übung.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        Grenzwerte von schwach (schwach$*$) konvergenten Folgen sind eindeutig bestimmt.
+    \item
+        Normkonvergenz implizierte schwache Konvergenz impliziert schwach$*$-Konvergenz.
+    \end{enumerate}
+\end{bemerkung}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        Für die schwache Topologie:
+        Falls $x'[x_0] = x'[\tilde x_0]$ für alle $x' ∈ X$, so impliziert Hahn-Banach bereits $x_0 = \tilde x_0$.
+    \item
+        Folgt direkt aus den entsprechenden  Inklusionen der Topologien.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Aus $x_k' \xrightharpoonup[n → ∞]{*} x'$ in $X'$ folgt
+        \[
+            \norm{x'}_{X'} \le \liminf_{k → ∞} \norm{x'_k}_{X'}.
+        \]
+    \item
+        Aus $x_k \xrightharpoonup[n → ∞]{} x$ in $X$ folgt
+        \[
+            \norm{x}_{X} ≤ \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_{X}.
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        Für alle $ ∈ X $ gilt:
+        \[
+            |\lAngle x', x \rAngle| \xleftarrow[n → ∞]{} | \lAngle x_k' x \rAngle |
+             \le \norm{x}_{X} \norm{x'_k}_{X'}, 
+        \]
+        also
+        \[
+            | \lAngle x', x \rAngle | \le \underbrace{\left( \liminf_{k → ∞} \norm{x'_k}_{X'} \right)}_{\eqcolon M} \norm{x}_X,
+        \]
+        das heißt $\norm{x'}_{X'} ≤ M$, was die Behauptung impliziert.
+    \item
+        Gelte $x_k \xrightharpoonup[k→∞]{} x$
+        Wie gerade folgt für alle $x' ∈ X'$
+        \[
+            | \lAngle x', x \rAngle | ≤
+            \norm{x'} \left( \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_X \right).
+        \]
+        nach Kapitel, Kor 2.1 (Existenz von nichttrivialen Funktionalen) existiert zu $x ∈ X$ fest ein $x' ∈X'$ mit 
+        \[
+            \lAngle x', x \rAngle = \norm{x}, \quad \norm{x'}_{X'} = 1,
+        \]
+        woraus
+        \[
+            \norm{x}_{X} \le \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_{X}
+        \]
+        folgt, was die Behauptung war.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\section{Schwach- und schwach$*$-kompakte Einheitskugeln}
+\begin{satz}
+    Sei $(X,\norm-)$ separabel.
+    Dann ist die (stark) abgeschlossene Einheitskugel $\cl{B_1}(0) = \{ x' ∈ X': \norm{x'} ≤ 1\} ⊂ X'$ schwach$*$-folgenkompakt.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Sei $\{x_n\}_{n ∈ ℕ}$ eine dichte Teilmenge von $X$.
+    Sei $(x'_{k ∈ ℕ})$ eine Folge in $X'$ mit $\norm{x'_k}_{X'} ≤ 1$  für alle $k ∈ ℕ$.
+    Wir konstruieren ein $x' ∈ \cl{B_1(0)}$ mit $x'_k \xrightharpoonup[k→∞]{*}$ (für eine Teilfolge).
+    Für $n ∈ ℕ$ ist $(\lAngle x_k', x_n \rAngle)_{k ∈ ℕ}$ eine beschräkte Folge in $\K$, denn $|\lAngle x'_k, x_n \rAngle | \le \norm{x_n} \cdot 1 \; (*)$.
+
+    Durch das Diagonalverfahren finden wir eine Teilfolge $(x_{k_m})_{m ∈ ℕ}$, so dass für alle $n ∈ ℕ$ gilt
+    \[
+        \lim_{m → ∞} \lAngle x'_{k_m},x_n \rAngle \;\;\text{existiert}:
+    \]
+    Dazu gibt es wegen (*) zu $x_1$ eine Teilfolge $(x_{k,1}')_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_k)_{k ∈ ℕ}$ mit
+    \[
+        (\lAngle x'_{k,1}, x_1 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K.
+    \]
+    Analog können wir zu $x_2$
+    eine Teilfolge $(x_{k,2}')_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_{k,1})_{k ∈ ℕ}$ finden mit
+    \[
+        (\lAngle x'_{k,2}, x_2 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K
+    \]
+    und weiterhin
+    \[
+        (\lAngle x'_{k,2}, x_1 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K.
+    \]
+    Induktiv: Zu $x_m$, $m ∈ ℕ$ existiert eine Teilfolge $(x'_{k,m})_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_{k,m-1})_{k ∈ ℕ}$, so dass
+    \[
+        ∀j ≤ m : (\lAngle x'_{k,m}, x_j \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K.
+    \]
+    Für die Diagonalfolge $(x'_{m,m})_{m ∈ ℕ} ⊂ (x'_k)_{k ∈ ℕ}$ gilt also 
+    \[
+        ∀n ∈ ℕ : (\lAngle x'_{m,m}, x_n \rAngle)_{m ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K.
+    \]
+    Setze nun $x'_{k_m} \coloneq x"_{m,m}$.
+    Sei nun O.B.d.A $x'_{k_m} = x'_k$.
+
+
+    Nun konstruieren wir ein $x'$ mit der gewünschten Eigenschaft.
+    Setze $Y := \lspan \{ x_n: n ∈ ℕ\} ⊂ X$.
+    Dann liegt $Y$ immer noch dicht in $X$.
+    Dann gilt für $y ∈ Y$ beliebig auch
+    \[
+        \lim_{k → ∞} \lAngle x'_k, y \rAngle \;\;\text{existiert in } \K.
+    \]
+    Wir definieren $x' : Y → \K$ linear mit
+    \begin{equation}
+        \label{eq:23}
+        \lAngle x', y \rAngle \coloneq \lim_{k -^∞} \lAngle x'_k, y \rAngle.
+    \end{equation}
+    Wir behaupten $x' ∈ Y'$. Dazu ist
+    \[
+        | \lAngle x', y \rAngle | = \lim_{k → ∞} |\lAngle x'_k, y \rAngle | ≤ \norm{y} \limsup_{k → ∞} \norm{x_k'}_{X'} ≤ \norm{y}.
+    \]
+    Damit ist $x'$ auf $Y$ beschränkt, also stetig.
+    Außerdem gilt $\norm{x'}_{Y'} ≤ 1$.
+    $x'$ lässt sich als dicht definierte stetige lineare Abbildung eindeutig fortsetzen (Kapitel 5, Satz 1.2) auf $\cl Y = X$.
+    Also $x' ∈ X'$ und $\norm{x'}_{X'} = \norm{x'}_{Y'} ≤ 1$.
+    Also $x' ∈ \cl{B_1(0)} ⊂ X'$.
+
+    Bleibt noch zu zeigen: $x'_k \xrightharpoonup[k→∞]{*} x'$.
+    Sei dazu $x ∈ X$ beliebig und $y ∈ Y$ mit $\norm{x-y}_{X} < ε$ (geht weil $\cl Y = X$).
+    Dann 
+    \[
+        | \lAngle x' - x'_k, x \rAngle |
+        ≤ | \lAngle x' - x'_k, x-y \lAngle| + |\lAngle x'-x'_k, y \rAngle|
+        ≤ 2 \norm{x-y} + ε < 3 ε.
+    \]
+    Also ist schwache Konvergenz gezeigt und die Behauptung folgt.
+\end{proof}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
 %%% TeX-master: "funkana-ebook"