diff options
author | Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de> | 2017-12-21 15:49:10 +0100 |
---|---|---|
committer | Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de> | 2017-12-21 15:49:10 +0100 |
commit | 3de78a26a64b0ee5fc33587a85e9e0aa9c48ec7b (patch) | |
tree | ffb339ddad61f489be2d5c2407c35757e73fa389 | |
parent | a0661502d4ea66ed48889762a8410a8c8e57cbd8 (diff) | |
download | funkana-3de78a26a64b0ee5fc33587a85e9e0aa9c48ec7b.tar.gz funkana-3de78a26a64b0ee5fc33587a85e9e0aa9c48ec7b.tar.xz |
VL donnerstag hinzugefügt
-rw-r--r-- | ch03-topologisch-lineare-raeume.tex | 36 | ||||
-rw-r--r-- | ch04-unitaere-raeume.tex | 10 | ||||
-rw-r--r-- | ch05-hahn-banach.tex | 189 | ||||
-rw-r--r-- | ch06-schwache-topologien.tex | 53 | ||||
-rw-r--r-- | funkana-ebook.tex | 2 | ||||
-rw-r--r-- | funkana.tex | 2 | ||||
-rw-r--r-- | ref.bib | 10 |
7 files changed, 297 insertions, 5 deletions
diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex index c6134f3..c496234 100644 --- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex +++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex @@ -273,7 +273,7 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × \item $|\alpha _nx| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|\alpha _n| → 0$ \item - $|\alpha _nx_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _nx_n| → 0$ + $|\alpha _nx_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _n| → 0$ \end{enumerate} $(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum. \end{definition} @@ -1231,9 +1231,41 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische \section{Stetige lineare Operatoren} +Seien $X, Y$ topologische lineare Räume und $T: X → Y$ linear. +Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein: + +\begin{beispiel} + Sei $X = \mathcal S = ℝ^∞$ und für $i ∈ ℕ$ $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor. + Dann ist $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ linear unabhängig, also gibt es nach \cref{01-basisergaenzungssatz} eine Basis $\{w_i\}_{i ∈ I}$ von $S$, die $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ umfasst. + Definiere $T: X → ℝ$ linear durch die Bilder der Basisvektoren $T(e_i) \coloneq 1$ und $T(w) \coloneq 0$ für $w ∈ B \setminus \{ e_i\}_{i ∈ ℕ}$. + Dann ist $T$ nicht stetig in $0$, denn $f (\lim_{i → ∞} e_i) = f(0) = 0 \ne 1 = \lim_{i → ∞} f(e_i)$. +\end{beispiel} + +\begin{satz} + Seien $X \ne \{ 0\} \ne Y$ normierte oder metrische lineare Räume. + Dann gibt es genau dann eine unstetige lineare Abbildung $X → Y$, wenn $\dim X = ∞$ ist +\end{satz} + +\subsection*{Stetigkeit in normierten Räumen} +\begin{definition} + Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. + Eine Abbildung $F: X → Y$ heißt \emph{beschränkt}, falls das Bild jeder in $X$ beschränkten Menge in $Y$ beschränkt ist. +\end{definition} \begin{satz} - 3.6.4. + Seien $X,Y$ normierte $\K$-Vektorräume, $T: X → Y$ linear und $x^* ∈ X$. Es sind äquivalent: + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item + $T$ ist stetig. + \item + $T$ ist stetig in $x^*$. + \item + $T$ ist beschränkt. + \item + $\sup\limits_{\norm{x} ≤ 1} \norm{Tx} \eqcolon M < ∞$ . + \item + Es gibt eine Konstante $C ≥ 0$ mit $\norm{Tx} ≤ C \norm{x}$ für alle $x ∈ X$. + \end{enumerate} \end{satz} Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$. \begin{proof} diff --git a/ch04-unitaere-raeume.tex b/ch04-unitaere-raeume.tex index 1cd310f..85d17a9 100644 --- a/ch04-unitaere-raeume.tex +++ b/ch04-unitaere-raeume.tex @@ -369,7 +369,7 @@ Diese Abbildung ist sesquiliniear, das heißt denn \[ \lAngle J_x(\alpha y),x \rAngle = \langle \alpha y, x \rangle = \cl \alpha \langle y, x \rangle = \cl \alpha J_x(y) [x] = \cl \alpha \lAngle J_x(y), x \rAngle - \lAngle \cl \alpha J_x(y), x \rAngle, + = \lAngle \cl \alpha J_x(y), x \rAngle, \] also $X \cong X'$ sesquilinear isomorph. @@ -444,4 +444,10 @@ Die Topologie von $X'$ sei hierbei die von $\L(X, \K)$, also die von der Norm $\ Für einen topologischen linearen Raum $X$ ist der Dualraum $X' = \{x': X → \K, x' $ linear und stetig $\}$ definiert. Im Allgemeinen kann auch $X' = \{0\}$ gelten. Ist $X$ jedoch ein Hilbertraum, so ist stets $X' \ne \{0\}$, denn zu $y ∈ X$ ist durch $y'[x] \coloneq \langle y,x \rangle, x ∈ X$ jeweils ein $y' ∈ X'$ erklärt. -Tatsächlich bekommt man dadurch sogar schon alle Elemente des Dualraums:
\ No newline at end of file +Tatsächlich bekommt man dadurch sogar schon alle Elemente des Dualraums: + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "funkana-ebook" +%%% End: diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex index ce92a84..018207f 100644 --- a/ch05-hahn-banach.tex +++ b/ch05-hahn-banach.tex @@ -360,8 +360,197 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. \item Ist $X$ ist reflexiv, so auch $X'$. \end{enumerate} +\end{satz} + +\section{Darstellungssätze für einige Dualräume} +\subsection*{Dualraum des $L^p(Ω)$, $1≤p < ∞$, $Ω ⊂ ℝ^n$ offen} + +\begin{satz}\label{ch05-darstellungssatz-Lp} + Zu jedem $f ∈ (L^p(Ω))'$ , $1 ≤ p < ∞$ gibt es genau ein $u ∈ L^q(Ω)$, wobei + $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, so dass sich $f$ als + \[ + f[x] = \int_Ω x(t) \cdot u(t) \dd t, \quad (x ∈ L^p(Ω)), + \] + darstellen lässt und es gilt + \[ + \norm{f}_{(L^p(Ω))'} = \norm{u}_{L^q(Ω)}. + \] +\end{satz} +\begin{proof} + Für $p = 2$ kennen wir die Aussage bereits, denn $L^2(Ω)$ ist ein Hilbertraum. + Für $p \ne 2$ benötigt man den Satz von Radon-Nykodyn \cite[Satz 4.30]{dobrowolski2010angewandte} +\end{proof} +Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∝(Ω)$. +\begin{warnung-nn} + Aber $(L^∝(Ω))'$ ist \emph{nicht} isometrisch isomorph zum $L^1(Ω)$! +\end{warnung-nn} +\begin{bemerkung-nn} + Mit Hilfe von \cref{ch05-darstellungssatz-Lp} lässt sich zeigen, dass $L^p(Ω)$, $1 < p < ∞$ reflexiv sind. +\end{bemerkung-nn} +\subsection*{Dualraum des $\ell^p$, $1 <p < ∞$ } +\begin{satz} + Sei $1 < p < ∞$. + Jedes $x' ∈ (\ell^p)'$ kann mit Hilfe von genau einer Folge $α = (α_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^q$ (wobei $\frac 1 q + \frac 1 p = 1$) in der Form + \[ + x'[x] = \sum_{i=1}^∞ α_i ξ_i, \quad x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^p + \] + dargestellt werden. Umgekehtr definiert jedes $α ∈ \ell^q$ vermöge dieser Darstellung genau ein $x' ∈ (\ell^p)'$ Diese Zuordnung + \[ + Z: (\ell^p)' → \ell^q, \; x' ↦ α + \] + ist ein Normisomorphismus. Also sind $(\ell^p)'$ und $\ell^q$ isometrisch isomorph. \end{satz} +\begin{proof} + Sei $(e_i)_{i ∈ ℕ}$ die Schauderbasis von $\ell^p$. Dann lässt sich jedes $x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ als + \[ + x = \sum_{i=1}^∝ ξ_i e_i + \] + mit Konvergenz in $\ell^p$ schreiben. Für $x' ∈ (\ell^p)'$ fest gilt daher + \[ + x'[x] = \sum_{i=1}^∞ ξ_i x'[e_i] + \] + wegen Stetigkeit und Linearität, das heißt mit $α = (α_i)_{i ∈ ℕ} := (x'[e_i])_{i ∈ ℕ}$ gilt daher, dass sich $x'$ in dieser Form darstellen lässt. + Eindeutigkeit von $α$ ist klar: Ist auch + \[ + x'[x] = \sum_{i=1}^∞ β_i ξ_i, + \] + dann ist schon $α_i = x'[e_i] = ε_i$. + + Bleibt noch zu zeigen, dass $α ∈ \ell^q$ ist. + Setze dazu $(ξ_i^n) := + \begin{cases} + |α_i|^{q-1} \cdot \frac{\cl{α_i}}{|α_i|}, & 1 ≤ i ≤ n, α_i \ne 0\\ + 0, & \text{sonst} + \end{cases} + $. Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ + \[ + \norm{x_n}_{\ell^p} = \left( \sum_{i=1}^∞ | ξ_i^{(n)}|^p \right)^{1/p} = \left( \sum_{i=1}^n |α_i|^q \right)^{1/p}. + \] + Außerdem gilt für $x' ∈ (\ell^p)'$ + \[ + \norm{x'}_{(\ell^p)'} \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big| = \norm{x'}_{(\ell^p)'} \norm{x_n}_{\ell^p }\le |x'[x_n]| = | \sum_{i=1}^n ξ_i^{(n)} \underbrace{x'[e_i]}_{= α_i}| = \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big|, + \] + also wegen $1 - \frac 1 p = \frac 1 q$ + \[ + \left( \sum_{i=1}^n |α_i|^q \right)^{1/q} \le \norm{x'}_{(\ell^p)'} + \] + für alle $n ∈ ℕ$. Damit ist $α ∈ \ell^q$ und $\norm{α}_{\ell^q}$ und $\norm{α}_{\ell^q} \le \norm{x'}_{(\ell^p)'}$. + + Umgekehtrt definiert jedes $α ∈ \ell^q$ durch + \[ + x'[x] := \sum_{i=1}^∞ α_i ξ_i, \quad x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ} + \] + ein lineares Funktional $x' : \ell^! → \K$ (wohldefiniert nach Hölder), welches stetig ist: + \[ + |x'[x]| ≤ \sum_{i=1}^∞ |α_i ξ_i| ≤ \norm{α}_{\ell^q} \norm{x}_{\ell^p}, + \] + also ist $x'$ ist beschränkt und somit stetig. + Weiter gilt also für $Z(x') \coloneq α $ + \[ + \norm{Z(x')}_{\ell^q} = \norm{α}_{\ell^q} = \norm{x'}_{(\ell^p)'}, + \] + das heißt, $Z$ ist eine Isometrie. +\end{proof} + +\begin{korollar-nn} + $\ell^p$ und $\ell^p)''$ sind isometrisch isomorph. + Diese Isometrie ist kanonisch (vermöge $J_0$) (vgl, Def 5.4.1, Übung). + Also sind $\ell^p$, $ < p < ∞$ reflexiv, es gilt + \[ + \lAngle J_0 x, x' \rAngle = \lAngle x', x \rAngle \quad ∀ x' ∈ X'. + \] +\end{korollar-nn} +\begin{warnung-nn} + $\ell^1$ ist nicht reflexiv, ebenso $\ell^∞$ nicht. +\end{warnung-nn} + +\begin{definition} + Eine Funktion $v: [a,b] → ℝ$ heißt \emph{von beschränkter Variation}, falls ein $C > 0$ existiert, so dass für alle endlichen Zerlegungen + \[ + Z: a = t_0 < t_1 < … < t_n = b + \] + von $[a,b]$ gilt: + \[ + V_Z(v) := \sum_{j=1}^n |v(t_j) - v(t_j-1)| ≤ C < ∞ + \] + Wir nennen + \[ + \Var_{a,b}(v) := \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v) + \] + die \emph{totale Variation von $v$} auf $[a,b]$. +\end{definition} +\begin{beispiel-nn} + Betrachte $v(x) = \cos(x), x ∈ [0, 2π]$. Dann ist mit der Zerlegung $Z: 0 < π < 2π$ + \[ + V_Z(v) = 2 \cdot 2 = 4 = \Var_{0,2π}(v). + \] +\end{beispiel-nn} + +\begin{bemerkung-nn} + Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist v. b. V. $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch + \[ + \norm{v} := |v(a)| + \Var_{a,b}(v) + \] + zum Banachraum. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{bemerkung-nn} + Jedes $v ∈ C^1[a,b]$ ist von beschränkter Variation dank des Mittelwertsatzes. +\end{bemerkung-nn} +\begin{warnung-nn} + Für Elemente in $C[a,b]$ ist das nicht notwendigerweise so (Übung). +\end{warnung-nn} + +\begin{bemerkung-nn} + Jedes $f ∈ \operatorname{BV}[a,b]$ lästs sich schreiben als $f = h-g$, wobei $h$ und $g$ jeweils monoton wachsende Funktionen sind. + Daraus folgt, dass $f$ höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen besitzt (Übung). +\end{bemerkung-nn} + +Ähnlich wie bei der Existenz des Riemann"=Integrals kann man zeigen: + +\begin{lemma} + 5.5.5, riemann-steltjes integral ex für bv funkitonen +\end{lemma} + +Mit Hilfte des Riemann"=Stieltjes"=Integral können lässt sich der Dualraum des $C[a,b]$ darstellen. + +\begin{satz} + Zu jedem $f ∈ (C[a,b])'$ existiert eine Funktion $v$ von beschränkter Variation mit + \[ + f[x] = ∫_a^b x(t) \;\mathrm{dv}(t), \quad x ∈ C[a,b], + \] + wobei + \[ + \norm{f}_{(C[a,b])'} = \Var_{a,b}(v). + \] +\end{satz} + +Genauer ist +\[ + \norm{f}_{(C[a,b])'} = \sup_{\norm{x}_∞ ≤ 1} | f[x] | = + \sup_{\norm{x}_{∞} ≤ 1} \Big| ∫_a^b x(t) \;\mathrm{dv}(t) \Big| = … = + \Var_{a,b}(v). +\] +Wähle dafür $x = ±1$ an den Zwischenpunkten des Riemann"=Stieltjes"=Integrals. + +\begin{satz} + Sei $\operatorname{NBV}[a,b]$ der Raum der Funktionen von Beschränkter Variation auf [a,b], für die gilt: + \[ + v(a) = 0, \quad \lim_{h → 0+} v(t + h) = v(t), a ≤ t < b, + \] + Also zusätzlich rechtsseitige Stetigkeit gilt. + Führt man auf $\operatorname{NBV}([a,b])$ eine Norm durch $\norm{v} = \Var_{a,b}(v)$ ein, so ist + $(C[a,b])'$ vermittels 5.7/5.8 isometrisch isomorh zu $\operatorname{NBV}[a,b]$, das heißt $(C[a,b])' \cong \operatorname{NBV}[a,b]$. +\end{satz} +\begin{proof} + Zum Beispiel in \cite[Chapter III, Theorem 5.5]{MR564653} +\end{proof} + +\begin{bemerkung-nn} + $C[a,b]$ ist nicht reflexiv. +\end{bemerkung-nn} + %%% Local Variables: diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex new file mode 100644 index 0000000..73109c7 --- /dev/null +++ b/ch06-schwache-topologien.tex @@ -0,0 +1,53 @@ +\chapter{Schwache Topologien} +In diesem Kapitel sei $X$ grundsätzlich ein normierter linearer Raum. + +Wir wissen bereits, dass $\cl{B_1(0)}$ genau dann kompakt ist, wenn $\dim X < ∞$ ist. + +Wir suchen nun eine sinnvolle Topologie für $X$, die von der Normtopologie noch +möglichst viele Eigenschaften mitnimmt, aber die Einheitskugel kompakt macht. + +\section{Schwache und schwach$*$-Topologie} + +Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei +\begin{equation}\label{eq:11} + U(x',ε) \coloneq \{ x ∈ X: |x'[x]| < ε\} ⊂ X +\end{equation} + +\begin{definition} + Eine Menge $V ⊂ X$ heißt offen bezüglich der \emph{schwachen Topologie}, falls für jedes $x_0 ∈ V$ endlich viele $x_1',…,x_k' ∈ X'$ existieren und $ε_1, …, ε_k > 0$, so dass + \[ + x_0 + \bigcap_{i=1}^k U(x_i',ε_i) ⊂ V + \] + gilt. +\end{definition} + +\begin{bemerkung} + Das heißt, die Menge der endlichen Schnitte der $U(x', ε)$ aus \eqref{eq:11} + bilden eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$ für die sogenannte \emph{schwache Topologie} $\T_w ⊂ \Pot{X}$ auf $X$. + Insbesondere ist $U(x', ε)$ selber offen in $\T_w$ (Übung). + Damit sind auf $X$ zwei verschiedene Topologien erklärt, nämlich $(X,\T_w)$ und $(X,\T_S)$, wobei $\T_s$ nun die (starke) Normtopologie bezeichne. +\end{bemerkung} + +\begin{satz} + \begin{enumerate} + \item + $(X,\T_w)$ ist ein topologischen linearer Raum, der Hausdorffsch ist. + \item + Jede schwach offene Menge ist auch stark offen, das heißt die Normtopologie ist feiner als die Schwache Topologie bzw $\T_w ⊂ \T_s$. + \begin{warnung-nn} + Die Umkehrung gilt in der Regel nicht. + Falls $V ⊂ X$ stark offen und konvex ist, so ist $V$ auch schwach offen (Übung). + \end{warnung-nn} + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Übung. +\end{proof} +\begin{bemerkung-nn} + $(X,\T_w)$ ist ein topologischer linearer Raum, also folgt aus dem Invarianzprinzip, dass die Topologie bereits vollständig durch die offenen Umgebungen der Null bestimmt ist. +\end{bemerkung-nn} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "funkana-ebook" +%%% End: diff --git a/funkana-ebook.tex b/funkana-ebook.tex index 4bf0282..4137b1e 100644 --- a/funkana-ebook.tex +++ b/funkana-ebook.tex @@ -25,6 +25,7 @@ \DeclareMathOperator{\grad}{grad} \DeclareMathOperator{\lspan}{span} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} +\DeclareMathOperator{\Var}{Var} \DeclareMathOperator*{\supess}{sup\,ess} \DeclareMathOperator{\conv}{conv} \DeclareMathOperator{\Proj}{proj} @@ -61,6 +62,7 @@ Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf \include{ch03-topologisch-lineare-raeume} \include{ch04-unitaere-raeume} \include{ch05-hahn-banach} +\include{ch06-schwache-topologien} \nocite{*} \printbibliography diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index 7d586d5..84c8cb9 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -26,6 +26,7 @@ \DeclareMathOperator{\grad}{grad} \DeclareMathOperator{\lspan}{span} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} +\DeclareMathOperator{\Var}{Var} \DeclareMathOperator*{\supess}{sup\,ess} \DeclareMathOperator{\conv}{conv} \DeclareMathOperator{\Proj}{proj} @@ -61,6 +62,7 @@ Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf \include{ch03-topologisch-lineare-raeume} \include{ch04-unitaere-raeume} \include{ch05-hahn-banach} +\include{ch06-schwache-topologien} \nocite{*} \printbibliography @@ -150,4 +150,12 @@ MRREVIEWER = {Jean Mawhin}, MRNUMBER = {969367}, URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-61566-5}, } -
\ No newline at end of file + +@book{dobrowolski2010angewandte, + title={Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, Sobolev-R{\"a}ume und elliptische Differentialgleichungen}, + author={Dobrowolski, M.}, + isbn={9783642152696}, + series={Springer-Lehrbuch Masterclass}, + year={2010}, + publisher={Springer Berlin Heidelberg} +}
\ No newline at end of file |