Ein Versuch Stefans Notizen in latex zu schreiben

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@@ -378,6 +378,122 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
     \end{enumerate}
 \end{bemerkung}
 
+\begin{definition}[Hausdorff-Raum]
+	Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum.
+	Für alle $x,y \in \X$ mit $x \neq y$ 
+	existieren $U \in \U_x, V \in \V_x$ mit $U \cap V = \emptyset$.
+	Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem Trennungsaxiom.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Konvergenz]
+	Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$,
+	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ ein $n_{0} \in \N$ existiert, 
+	sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+	Man überlegt sich leicht, dass der Grenzwert $x_{0}$ in der Regel nicht eindeutig ist.
+	Bsp: In $\T=\{X,\emptyset\}$ konvergiert jede Folge gegen jeden Punkt.
+	Ist $(X,\T)$ jedoch ein Hausdorff-Raum, so ist jeder Grenzwert eindeutig.
+\end{bemerkung}
+\begin{beweis}
+	Seien $x_{0} \neq \={x_{0}}$ Grenzwerte von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$.
+	Dann existieren disjunkte Umgebung $U \in x_{0}, \={U} \in \={x_{0}}$.
+	Weiterhin gibt es ein $n_{0} \in \N$, sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$
+	und $\={n_{0}} \in \N$, sodass $x_{n} \in \={U}$ für alle $n \geq \={n_{0}}$.
+	Also gilt $x_{max\{n_{0},\={n_{0}}\}} \in U cap \={U}$
+	Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen.
+\end{beweis}
+
+\begin{definition}[Häufungspunkt]
+	$x_{0} \in X$ heißt Häufungspunkt von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$,
+	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ und für alle $k \in \N$ 
+	ein $n \geq k \in \N$ existiert, sodass $x_{n} \in U$.
+\end{definition}
+\begin{beispiel}
+	$\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset \R$ mit natürlicher Topologie.
+	$x_{n}=(-1)^n$ hat zwei HP $\pm 1$
+	Achtung: $M={x_{n}:n \in \N}={-1,1}$ hat als Menge keine HP.
+\end{beispiel}
+\begin{bemerkung}
+	Für die indiskrete Topologie ist jeder Punkt in X HP jeder Folge.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition}[Stetigkeit]
+	$f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ heißt stetig, falls
+	für alle $V \in \T_{Y}$ gilt, dass $f^{-1}(V) \in \T_{X}$.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+	$f$ ist stetig $\Longleftrightarrow$ $f$ ist stetig in jedem Punkt
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition}[Homöomorphismus]
+	Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv und stetig,
+	und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig,
+	dann heißt $f$ Homöomorphismus.
+	$X$ und $Y$ heißen homöomorph, falls so ein Homöomorphismus existiert.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen]
+	\begin{enumerate}
+	\item
+	Eine Familie $B \subset \T$ heißt Basis der Topologie in $(X,\T)$, falls
+	$T={\cup M: M \subset B}$.
+	\item
+	Eine Familie $B \subset \U_{x}$ von $x \in X$ heißt Umgebungsbasis des Punktes $x$,
+	falls für alle $U \in \T, x \in U$ existiert ein $V \in B$ mit $x \in V \in U$. 
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{beispiel}
+	Für die natürliche Topologie auf $\R^n$ ist eine Basis der Topologie gegeben durch
+	${B_{\eps}(x): x \in X, \eps > 0}$ 
+	mit den offenen Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \nrom{x-y}<\eps}$.
+	Sei $x \in \R^n$ fest. 
+	Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie]
+	$M \subset \T$ eines topologischen Raums $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise
+	zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\'{\T} := {M \cap V : V \in \T}$.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+	$M = M \cap X \in \'{\T}$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie.
+	Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition}
+	Seien zwei Topologien $\T_{1},\T_{2}$ auf X gegeben. 
+	Wir sagen $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \supset \T_{2}$.
+	Wir sagen $\T_{1}$ ist gröber als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \subset \T_{2}$.
+	Wir sagen die Topologien sind gleich, falls $\T_{1}=\T_{2}$.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+	Sei $\T_{1}$ feiner als $\T_{2}$.
+	Die feinere Topologie $\T_{1}$ enthält mehr offene Mengen, 
+	und damit zu jedem Grenzwert $x_{0}$ weniger konvergte Folgen.
+	
+	Man zeigt leicht: 
+	$\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$ $\Longleftrightarrow$ 
+	Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \ subset T_{1},B_{2} \ subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, 
+	dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beispiel}
+	Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich.
+	$\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln 
+	$B_{\eps}(x)={y \in R^n : \nrom{x-y}<\eps}$ erzeugt wird.
+	$\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Quader 
+	$B_{\eps}(x)={y \in R^n : \max_{1 \geq i \geq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps}$ erzeugt wird.
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}[Produkttopologie]
+	Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume.
+	Dann sit die Familie von Mengen
+	$\{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset 2^{X \times Y}$
+	eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$.
+	Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X}),\T_{Y}$ genommen werden.
+\end{definition}
+
+\section{Metrische Räume}
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 %%% TeX-master: "funkana"