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diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index babd6de..b79e539 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -1,7 +1,7 @@ -\documentclass[twoside=false,chapterprefix=true,headings=big]{skript} +\documentclass[12pt,twoside=false,chapterprefix=true,headings=big]{skript} \title{Funktionalanalysis} \subtitle{Mitschrift zur Vorlesung} -\author{Prof. Dr. Maier-Paape} +% \author{Prof. Dr. Maier-Paape} \date{WS 17/18} \newcommand\norm[1]{\left\|#1\right\|} @@ -38,6 +38,12 @@ \begin{document} \maketitle +Dies ist eine Vorlesungsmitschrift, die nichts mit den Dozenten oder dem Lehrstuhl, der die Veranstaltung hält, zu tun hat. + +Alle Fehler sind vermutlich meine Schuld. +Über Verbesserungen und Vervollständigungen freue ich mich sehr. +Diese Mitschrift ist unter \url{https://git.server-speed.net/users/hrnz/funkana.git} verfügbar. + \tableofcontents \cleardoublepage @@ -2046,6 +2046,176 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht. \end{proof} +\begin{lemma} + 3.7.6 +\end{lemma} +\begin{bemerkung-nn} + Mit $Θ = 1$ geht es nicht immer. Gegenbeispiel: Sei $X = C[0,1] ∩ \{ x(0) = + 0 \}$ und $M = \{ x ∈ X : g∫_0^1 x(t) dt = 0 \}$. + Dann ist $M$ ein abgeschlossener linearer Unterraum, weil $T: X → ℝ, ∫_0^1 \cdot$ stetig ist und somit $M = T^{-1}(\{0\})$ als Urbild einer abgeschlossenen Menge in $ℝ$ abgeschlossen ist. + Angenommen, ($Θ=1$), es existierte ein $x_Θ = x_ ∈ X$ mit $\norm x_1 = $ und $\norm {x-x_1} \ge 1 $ für alle $x ∈ M$. + Dann setze + \[ + c(y) := \frac{∫_0^1 x_1(t) dt}{∫_0^1 y(t) dt} ∈ ℝ + \] + für alle $y \not\in M$. Man beachte, dass dies wohldefiniert ist. + Dann ist $x_1 - c(y)y ∈ M$, also $1 \le \norm{ x_1 - c(y)y - x_1} = |c(y)|\norm y$. + Dann $∫_0^1 x_1 c(y)y\; dt = 0 $ oder $\frac {1}{|c(y)} \le \norm y $ oder $\left| ∫_0^1 y(t)\;dt \right| \le \left| ∫_0^1x_1(t)\;dt \right| \norm y$ für alle $y ∈ X \setminus M)$. + Wähle $y_n(t) = t^{1/n} ∈ X$, also $\norm {y_n} = 1$. + Es gilt $\left| ∫_0^1 y_n(t) dt \right| \le \left| ∫_0^1 x_1(t) dt \right| \le 1$ für alle $n ∈ ℕ$, also + $∫_0^1 x_1(t) dt = 1$ und $x_1(t) \le 1$, was aber bereits impliziert, dass $x_1$ identisch 1 ist. Damit ist $x_1 \not\in X$. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{satz} + 7.7 +\end{satz} +\begin{proof} + „⇐“ war Korollar 7.4. + + „⇒“. Angenommen, $\dim X = \infty.$ Sei $S^1 := \{ x ∈ X: \norm x = 1\}$. + Da $S^1$ abgeschlossen und beschränkt ist, ist $S^1$ nach Annahme kompakt. + Wähle $x_1 ∈ S^1$ und $M_1 := \lspan \{ x_1 \} \subsetneq X$. + $M_1$ ist ein abgeschlossener Unterraum nach Korollar 7.5. + Nach Ries existiert ein $x_2 ∈ S_1$ mit $\norm {x_2-x_1} \ge Θ := \frac 1 2 $. + Setze nun $M_2 := \lspan \{x_1,x_2\}$. + Da $M_2$ ein abgeschlossener Unterraum ist, existiert ein $x_3 ∈ S_1$ mit $\norm {x_3 - x} \ge Θ$ für alle $x ∈ M_2$, also insbesondere $\norm {x_3-x_1} \ge Θ = \frac 1 2$ und $\norm {x_3-x_2} \ge Θ = \frac 1 2$. + Iterativ (da $\dim X = ∞ $) existiert $x_n ∈ S_1$ mit $\norm {x_m - x_n} \ge \frac 1 2$ für $m \ge n$. + Somit haben wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ ohne Häufungspunkt in $S^1$ gefunden im Widerspruch zu $S^1$ kompakt. +\end{proof} + +Damit sind in unendlich-dimensionalen normierten Räumen weder die Sphären noch die abgeschlossenen Kugeln kompakt. + + +\begin{definition} + Ein topologischer linearer Raum $X$ heißt \emph{lokalkompakt}, wenn $0 ∈ X$ eine Umgebung $U$ besitzt, deren Abschluss kompakt ist. +\end{definition} + +\begin{korollar} + Sei $X$ normiert, $\dim X = ∞$. Dann ist $X$ nicht lokalkompakt. +\end{korollar} +\begin{proof} + Angenommen, dass doch. Dann gibt es $r > 0$, so dass $S_r = \{ x ∈ X : \norm x = r\} ⊂ \cl U$. + Da $\cl U$ nach Annahme kompakt ist und $S_r$ abgeschlossen, ist $S_r$ ebenfalls kompakt. Das ist ein Widerspruch. +\end{proof} + + +\chapter{Unitäre Räume und Hilberträume} +\section{Grundbegriffe} +Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$. + +\begin{definition} + Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. + Eine Abbildung $\langle \cdot, \cdot \rangle: X × X → \K$ heißt \emph{Skalarprodukt} auf $X$, falls gilt + \begin{enumerate}[label=(U\arabic*)] + \item + $\langle x, x \rangle > 0$ für alle $0 \ne x ∈ X$. + \item + $\langle x, y \rangle = \cl {\langle y, x \rangle}$ für alle $x, y ∈ X$. + \item + $\langle x, αy + β z \rangle = α \langle x, y \rangle + β \langle x,z \rangle$ für alle $α, β ∈ \K$, $x,y,z ∈ X$. + \end{enumerate} + $(X,\langle -,- \rangle)$ heißt \emph{Skalarproduktraum}, \emph{unitärer Raum} oder \emph{Prähilbertraum}. +\end{definition} + +\begin{bemerkung-nn} + Offenbar ist $\langle -,- \rangle$ in der ersten Komponente konjugiert linear. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{satz} + Sei $(X, \langle -,- \rangle)$ ein unitärer Raum. Dann gelten die folgenden Aussagen: + \begin{enumerate} + \item + Durch $\norm x := \sqrt{\langle x, x \rangle}$ wird eine Norm definiert. + Dadurch wird jeder unitäre Raum auf natürliche Art und Weise normiert und trägt dadurch die induzierte natürliche Topologie. + \item + $|\langle x,y \rangle| \le \norm x \norm y$ mit Gleichheit genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig (Cauchy-Schwarz-Ungleichung). + \item + $\norm {x+y}^2 + \norm{x-y}^2 = 2(\norm x^2 + \norm y^2)$ (Parallelogrammgleichung), + \item + Für $\K = ℝ$ gilt + \[ + \langle x,y \rangle = \frac 1 4 \left( \norm { x+y}^2 - \norm{x-y}^2 \right), + \] + für $\K = ℂ$ + \[ + \langle x, y \rangle = \frac 1 4 \left( \norm {x+y}^2 - \norm{x-y}^2 - i \norm{x+iy}^2 + i\norm{x-iy}^2 \right). + \] + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item + Einfaches Nachrechnen unter Verwendung von (b) + \item + Für $y = 0$ ist die Behauptung klar. Sei also $y \ne 0, α ∈ ℂ$. + Dann + \[ + \langle x + αy, x+αy \rangle = \langle x, x \rangle + \cl \alpha \langle y, x \rangle + α \langle x,y \rangle + |α|^2 \langle y,y \rangle. + \] + Speziell für $\cl \alpha := - \frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle}$ ergibt sich + \[ + 0 \le \langle x + αy, x+α+ \rangle = \langle x,x \rangle - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} + \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} = \langle x,x \rangle - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle}. + \] + Durch Umstellen ergibt sich + \[ + \langle x, x \rangle \ge \frac{|\langle x,y \rangle|^2}{\langle y,y \rangle} \gdw |\langle x,y \rangle|^2 \le \norm x ^2 \norm y^2. + \] + Die CSU erhält man durch Wurzel ziehen. + Gleichheit gilt genau dann, wenn + \[ + \langle x+ α y, x+αy \rangle = 0 \gdw x + αy = 0, + \] + also wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind. + \item + Es gilt + \[ + \norm {x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\Re(\langle x,y \rangle) + \norm y ^2. + \] + Addieren dieser Gleichungen für $+$ und $-$ ergibt die Behauptung. + \item + Es gilt + \[ + \norm {x+y}^2 - \norm{x-y}^2 = (\norm x^2 + 2 \Re \langle x,y\rangle + \norm y^2) - (\norm x^2 - 2 \Re \langle x,y \rangle + \norm y^2) = 4 \Re \langle x,y \rangle. + \] + Analog haben wir + \[ + -i \norm{x+iy}^2 + i \norm{x-iy}^2 = … = 4i \Im \langle x,y \rangle, + \] + was die Behauptung impliziert. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{satz} + Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum, der die Parallelogrammgleichung erfüllt. + Dann definieren + \[ + \langle x,y \rangle = \frac 1 4 \left( \norm { x+y}^2 - \norm{x-y}^2 \right), + \] + und + \[ + \langle x, y \rangle = \frac 1 4 \left( \norm {x+y}^2 - \norm{x-y}^2 - i \norm{x+iy}^2 + i\norm{x-iy}^2 \right). + \] + Skalarprodukte auf $X$ (für $\K = ℝ$ bzw $ℂ$). +\end{satz} +\begin{proof} + Stupides nachrechnen (oder so ähnlich). +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + \begin{enumerate} + \item Die Paralellogramgleichung ist also charakteristisch für unitäre Räume. + \item + $(C(S),\norm\cdot_∞)$ mit $S ⊂ ℝ^n$ kompakt erfüllt dies nicht. + \item + Die Abbildung $\langle -,- \rangle$ in unitären Räumen ist stetig in beiden Komponenten als unmittelbare Konsequenz aus der Stetigkeit der Norm. + \end{enumerate} +\end{bemerkung} + +\begin{definition} + Ein bezüglich der Norm $\norm - := \sqrt{ \langle -,- \rangle}$ vollständiger unitärer Raum $(X,\langle -,- \rangle)$ heißt \emph{Hilbertraum}. +\end{definition} + + \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf Binary files differindex d0d8c95..1bbe3a9 100644 --- a/pdf/funkana.pdf +++ b/pdf/funkana.pdf @@ -23,33 +23,21 @@ \ifluatex \RequirePackage{polyglossia} \setdefaultlanguage{german} + \RequirePackage{libertine} \RequirePackage[warnings-off={mathtools-colon,mathtools-overbracket}]{unicode-math} - \setromanfont[Ligatures=TeX]{TeX Gyre Pagella} - \setsansfont{Latin Modern Sans} - % \setsansfont{Roboto} - % \setmathfont{XITS Math} \setmathfont{TeX Gyre Pagella Math} \setmathfont[range=\setminus]{XITS Math} \setmathfont[range={\sum}]{TeX Gyre Termes Math} \setmathfont[range={\int}]{XITS Math} \setmathfont{Latin Modern Math}[range={cal,bfcal},StylisticSet=1] - % \setmathfont[range={\mathcal}]{Latin Modern Math} \else \RequirePackage[ngerman]{babel} \RequirePackage[utf8]{inputenc} \RequirePackage{uniinput} - % \RequirePackage{mathpazo} - % \RequirePackage[garamond]{mathdesign} - % \DeclareSymbolFont{CMlargesymbols}{OMX}{cmex}{m}{n} - % \let\sum\relax - % \DeclareMathSymbol{\sum}{\mathop}{CMlargesymbols}{"50} - % \RequirePackage{mathptmx} \RequirePackage[sb,tt=false]{libertine} \RequirePackage[libertine]{newtxmath} \RequirePackage[cal=zapfc,bb=boondox]{mathalfa} - % \RequirePackage{libertinust1math} \RequirePackage[T1]{fontenc} - % \renewcommand*{\sfdefault}{lmss} \fi % fonts \setkomafont{disposition}{\rmfamily} |