diff options
| -rw-r--r-- | funkana.tex | 4 | ||||
| -rw-r--r-- | inhalt.tex | 161 | ||||
| -rw-r--r-- | pdf/funkana.pdf | bin | 598867 -> 623018 bytes | |||
| -rw-r--r-- | skript.cls | 2 |
4 files changed, 166 insertions, 1 deletions
diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index 7c06c08..54c5cca 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -12,6 +12,7 @@ \def\L{\mathcal{L}} \def\T{\mathcal{T}} \def\U{\mathcal{U}} +\def\D{\mathcal{D}} \def\eps{\varepsilon} \def\iff{\Leftrightarrow} \def\gdw{\;\Longleftrightarrow\;} @@ -20,6 +21,9 @@ \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\grad}{grad} \DeclareMathOperator{\lspan}{span} +\DeclareMathOperator{\supp}{supp} +\DeclareMathOperator*{\supess}{sup\,ess} +\DeclareMathOperator{\conv}{conv} \DeclareMathOperator{\im}{im} \let\Re\relax \DeclareMathOperator{\Re}{Re} @@ -1468,6 +1468,167 @@ Damit ist Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(\Omega)$ implizi Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)}$ nicht normierbar ist. +\begin{beispiel-nn}[Räume differenzierbarer Funktionen] + \begin{enumerate} + \item + Betrachte die Menge $C^\ell(K) = \{ f: K → ℝ, D^α f$ existiert und ist stetig für$|α| < \ell \}$ der $\ell$-mal stetig differenzierbaren Funtktionen auf einer kompakten Menge $K ⊂ ℝ^n$ mit $\ell ∈ ℕ_0$ + Dabei ist $α = (α_1,…,α_n) ∈ ℕ_0^n$ ein Multiindex, $|α| = \sum_{i=1}^n α_i$ und + \[ + D^α f = \frac{∂^{|α|} f}{∂x_1^{α_1}\cdots∂x_n^{α_n}}. + \] + Dann wird $C^\ell(K)$ mit der Norm + \[ + \norm{f}_{C^\ell(K)} = \max_{|α| \le l} \max_{x ∈ K} | D^α f(x)| + \] + zu einem Banachraum. Die meisten Eigenschaften sind klar, die Vollständigkeit folgt unmittelbar aus der Vollständigkeit von $C(K)$ + Konvergenz in $C^\ell(K)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $\ell$ auf ganz $K$. + \item + Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und + $\C^\ell(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^α f$ existiert und ist stetig für$|α| < \ell \}$ + der Raum der $\ell$-mal stetig differenzierbaren Funtktionen auf $\Omega$ mit $\ell ∈ ℕ_0$. + $C^\ell(\Omega)$ wird mit der Metrik + \[ + d(f,g) := \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{p_{m,l}(f-g)}{1+p_{m,l}(f-g)}, \quad p_{m,l}(f) = \max_{|α| \le \ell} \norm{D^α f}_{C(K_m)}, + \] + wobei die $K_m$ Ausschöpfungen von $\Omega$ mit kompakten Mengen sind, zu einem Fréchetraum. + Konvergenz in $C^\ell(\Omega)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $\ell$ auf jedem Kompaktum, das in $\Omega$ enthalten ist. + Auch dieser Raum ist nicht normierbar mit einem analogem Argument wie bei den stetigen Funktionen auf $\Omega$. + \item + Wir betrachten nun einige Unterräume von $\C^\ell(\Omega)$: + \begin{enumerate}[label=(\roman*)] + \item + $\C^\ell_B(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^α f$ existiert, ist beschränkt und ist stetig für$|α| < \ell \}$ + wird zum normierten Raum mit + \[ + \norm{f}_{C^\ell_B(\Omega)} = \max_{|α| \le l} \sup_{x ∈ \Omega} | D^α f(x)| + \] + Zwar gilt $C^\ell_B(\Omega) ⊂ C^\ell(\Omega)$ (als Mengen), jedoch besitzt $C^\ell_B(\Omega)$ nicht die Relativtopologie von $\C^\ell(\Omega)$, wie wir in einer Übung sehen werden. + \begin{definition} + \begin{enumerate} + \item + Für $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und $f: \Omega → ℝ$ heißt + \[ + \supp f := \cl{ \{ x ∈ \Omega, f(x) \ne 0 \}} + \] + der \emph{Träger} oder \emph{Support} von $f$. + \item + Wir sagen für eine Menge $M ⊂ \Omega$ \emph{$M$ liegt kompakt in $\Omega$}, wenn $\cl M $ kompakt ist und $\cl M ⊂ \Omega$. Wir schreiben dafür $M ⊂⊂ \Omega$. + \end{enumerate} + \end{definition} + \item + $C_0^\ell(\Omega) = \{ f ∈ C^\ell(\Omega) : \supp f ⊂⊂ M \}$ + Funktionen mit $\supp f ⊂⊂ M $ haben Luft zum Rand von $\Omega$: + \[ + \operatorname{dist}(\supp(f), ∂\Omega) > 0, + \] + denn sowohl $\supp f$ als auch $∂\Omega$ sind abgeschlossen. + Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Topologien für $C_0^\ell(\Omega)$ zu wählen: + \begin{enumerate} + \item + $C_0^\ell(\Omega) ⊂ C^\ell(M)$ mit Spurtopologie von der Metrik. + \item + $C_0^\ell(\Omega) ⊂ C_B^\ell(M)$ mit Spurtopologie von der Norm. + \end{enumerate} + Diese Topologien sind jedoch nicht identisch. + \end{enumerate} + \item + Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und + $C^∞(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^αf $ existiert und ist stetig für alle $α ∈ ℕ_0^n \} = \bigcap_{\ell ∈ ℕ}C^\ell(\Omega)$. + Wir definieren die Topologie wieder über eine Metrik durch Seminormen + \[ + d(f,g) := \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{p_{m}(f-g)}{1+p_{m}(f-g)}, \quad p_{m}(f) = \max_{|α| \le m} \norm{D^α f}_{C(K_m)}. + \] + Mit dieser Metrik wird $C^\ell(\Omega)$ zum Fréchetraum. + Konvergenz in $C^∞(\Omega)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen auf jedem Kompaktum, das in $\Omega$ enthalten ist. + Auch dieser Raum ist nicht normierbar mit einem analogem Argument wie bei den stetigen Funktionen auf $\Omega$. + \item + Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und $C_0^∞(\Omega) = \{ f ∈ C^∞(\Omega) : \supp f ⊂⊂ M \}$ der \emph{Raum der Testfunktionen}. + Ein Beispiel für so eine Funktion ist + \[ + f(x) = + \begin{cases} + c \exp \left( - \frac{1}{{1-|x|^2}} \right), & |x| < 1 \\ + 0, & |x| \ge 1 + \end{cases}, + \] + wobei $\Omega = B^{\norm\cdot_\infty}_2(0)$, $|\cdot| = \norm\cdot_2$ und $c ∈ ℝ$ konstant. + Offensichtlich ist $C_0^∞(\Omega) ⊂ C^∞(\Omega)$. + Wenn man auf $C_0^∞(\Omega)$ jedoch die Spurtopologie wählt, bekommt man später Probleme (bestimmte Funktionale auf $C_0^∞(\Omega)$ sind nicht mehr stetig, wie wir in einer Übungsaufgabe sehen werden. + Man nennt Funktionale auf $C_0^∞(\Omega)$ auch Distributionen). + Außerdem wäre der $C_0^∞(\Omega)$ mit dieser Metrik nicht vollständig -- der Träger der Grenzfunktion muss nicht mehr beschränkt sein. + \begin{definition-nn} + Sei $M ⊂ X$ und $X$ ein linearer Raum. Dann heißt + \[ + \conv (M) := \{ x: ∃α_i > 0, x_i ∈ M, i ∈ \{1,…,k\}: \sum_{i=1}^k α_i = 1, \sum_{i=1}^k α_i x_i = x \} + \] + die \emph{konvexe Hülle} von $M$. + \end{definition-nn} + Aus Gründen, die erst später zu verstehen sind, wählt man auf $C^∞_0(\Omega)$ folgende lokalkonvxe Topologie: + Setze + \[ + p(\xi) := \sum_{k ∈ ℕ} 2^{-k} \frac{\norm \xi _{C^k(\Omega)}}{1 + \norm \xi _{C^k(\Omega)}}, \quad \xi ∈ C_0^∞(\Omega) + \] + Sei $(D_j)_{j ∈ ℕ}$ eine Ausschöpfung von $\Omega$ mit offenen Mengen, also $D_j ⊂ D_{j+1}, D_j ⊂⊂ \Omega, \bigcup_{j ∈ ℕ} D_j = \Omega$. + Eine mögliche Wahl wäre beispielsweise $D_j = K_j^\circ$, wobei die $K_j$ wie oben sind. + Für $ε = (ε_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, ε_j > 0$ für alle $ℕ$ definieren wir eine Umgebungsbasis der $0 ∈ C_0^∞(\Omega)$ durch alle Mengen + \[ + U_ε := \conv \left[ \bigcup_{j ∈ ℕ} \{ \xi ∈ C^∞_0 : p(\xi) < ε_j \} \right] ⊂ C_0^∞(\Omega). + \] + mit $ε = (ε_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, ε_j > 0$ und endliche Schnitte davon. Andere Umgebungen umgeben sich durch Translation. + Die so definierte Topologie nennen wir $\T_\D$ und den Raum $C_1^∞(\Omega)$ auch $\D(\Omega)$. + Es stellt sich heraus, dass diese Topologie tatsächlich unabhängig von der gewählten Ausschöpfung ist. + Außerdem ist $(\D(\Omega),\T_\D)$ ein topologischer linearer Raum, das heißt, die Vektorraumoperationen sind stetig. + \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in $\D(\Omega)$] + joa, hab keine lust, das abzuschreiben. + \end{lemma} + \begin{proof} + Übung. + \end{proof} + \begin{korollar} + Die Mengen $U_∈$ sind bereits eine Umgebungsbasis der Null. + Nach Definition sind sie aber auch Konvex, das heißt $(\D(\Omega),\T_\D)$ ist ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum. + \end{korollar} + \begin{satz} + mach ich später. + \end{satz} + \begin{proof} + Zeige nur „$\Longleftarrow$“. Sei dazu $(ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge mit (i) und (ii). + Wähle nun $D_j$ von oben mit $D ⊂ D_j$ ($j$ ist fest). + Sei nun $ε=(ε_i)_{i ∈ ℕ}, ε_i > 0$ gegeben. Dann müssen wir zeigen, dass für alle $m > m_0$ schon $ξ_m ∈ U_ε$ gilt. + Zunächst sind nach (i) $ξ_m ∈ C^∞_0(D_j)$ . + Außerdem gilt + \[ + p(\xi_m) \le \underbrace{\sum_{k=1}^N 2^{-k} \frac{ \norm{\xi_m}_{C^k(\cl \Omega)} } {1+ \norm{\xi_m}_{C^k(\cl \Omega)} }}_{\text{wegen (i)} < ε_j/2 \text{ für $m \ge m_0(ε_j,N)$}} + \underbrace{\sum_{k=N+1} 2^{-k}}_{<ε_j/2 \text{ für $n$ groß genug}} < ε_j. + \] + \end{proof} + \item + Betrachten wir nun Lebesgue-integrierbare Funktionen. + Bereits eingeführt wurden die Räume $\L^p(\Omega)$ und $L^p(\Omega)$, $0 < p < ∞$, wobei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen. + Diese sind für $1 \le p < ∞$ normiert, und für $0 < p < 1$ quasi-normiert. + Für $p = ∞$ setzen wir + \[ + \L^∞(\Omega) := \{ f: \Omega → ℝ ∪ \{ -∞, ∞ \}, f \text{ messbar und fast überall beschränkt} \}. + \] + Damit haben wir offenbar + \[ + C(\Omega) ∩ B(\Omega) ⊂ \L^∞(\omega). + \] + Sei + \[ + \norm f _{\L^∞(\Omega)} := \supess_{t ∈ \Omega} |f(t)| := \inf_{M ⊂ \Omega \text{ NM}} \sup_{t ∈ \Omega \setminus M} |f(t)|. + \] + Dann gilt für $f ∈ \L^∞(\Omega)$ + \[ + \norm f = 0 \gdw f = 0 \text{ fast überall} + \] + Mit $N := \{ f ∈ \L^∞(\Omega) : \norm f = 0 \}$ wird + \[ + L^∞(\Omega) := \left( \L^∞(\Omega)/N, \norm\cdot_{L^∞(\Omega)} \right) + \] + zu einem normiertem raum. + \end{enumerate} +\end{beispiel-nn} + \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf Binary files differindex 72f5e25..f8d7209 100644 --- a/pdf/funkana.pdf +++ b/pdf/funkana.pdf @@ -61,7 +61,7 @@ % fonts \RequirePackage{textcomp} % für erweiterten Text-Symbolvorrat \RequirePackage{setspace} -\setstretch{1.10} +\setstretch{1.05} \setlength\parskip{4pt} \setlength\parindent{0pt} |