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-rw-r--r--ch03-topologisch-lineare-raeume.tex36
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-rw-r--r--ch05-hahn-banach.tex189
-rw-r--r--ch06-schwache-topologien.tex53
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index c6134f3..c496234 100644
--- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex
+++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex
@@ -273,7 +273,7 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K ×
\item
$|\alpha _nx| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|\alpha _n| → 0$
\item
- $|\alpha _nx_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _nx_n| → 0$
+ $|\alpha _nx_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _n| → 0$
\end{enumerate}
$(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum.
\end{definition}
@@ -1231,9 +1231,41 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
\section{Stetige lineare Operatoren}
+Seien $X, Y$ topologische lineare Räume und $T: X → Y$ linear.
+Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein:
+
+\begin{beispiel}
+ Sei $X = \mathcal S = ℝ^∞$ und für $i ∈ ℕ$ $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor.
+ Dann ist $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ linear unabhängig, also gibt es nach \cref{01-basisergaenzungssatz} eine Basis $\{w_i\}_{i ∈ I}$ von $S$, die $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ umfasst.
+ Definiere $T: X → ℝ$ linear durch die Bilder der Basisvektoren $T(e_i) \coloneq 1$ und $T(w) \coloneq 0$ für $w ∈ B \setminus \{ e_i\}_{i ∈ ℕ}$.
+ Dann ist $T$ nicht stetig in $0$, denn $f (\lim_{i → ∞} e_i) = f(0) = 0 \ne 1 = \lim_{i → ∞} f(e_i)$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{satz}
+ Seien $X \ne \{ 0\} \ne Y$ normierte oder metrische lineare Räume.
+ Dann gibt es genau dann eine unstetige lineare Abbildung $X → Y$, wenn $\dim X = ∞$ ist
+\end{satz}
+
+\subsection*{Stetigkeit in normierten Räumen}
+\begin{definition}
+ Seien $X, Y$ topologische lineare Räume.
+ Eine Abbildung $F: X → Y$ heißt \emph{beschränkt}, falls das Bild jeder in $X$ beschränkten Menge in $Y$ beschränkt ist.
+\end{definition}
\begin{satz}
- 3.6.4.
+ Seien $X,Y$ normierte $\K$-Vektorräume, $T: X → Y$ linear und $x^* ∈ X$. Es sind äquivalent:
+ \begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
+ \item
+ $T$ ist stetig.
+ \item
+ $T$ ist stetig in $x^*$.
+ \item
+ $T$ ist beschränkt.
+ \item
+ $\sup\limits_{\norm{x} ≤ 1} \norm{Tx} \eqcolon M < ∞$ .
+ \item
+ Es gibt eine Konstante $C ≥ 0$ mit $\norm{Tx} ≤ C \norm{x}$ für alle $x ∈ X$.
+ \end{enumerate}
\end{satz}
Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
\begin{proof}
diff --git a/ch04-unitaere-raeume.tex b/ch04-unitaere-raeume.tex
index 1cd310f..85d17a9 100644
--- a/ch04-unitaere-raeume.tex
+++ b/ch04-unitaere-raeume.tex
@@ -369,7 +369,7 @@ Diese Abbildung ist sesquiliniear, das heißt
denn
\[
\lAngle J_x(\alpha y),x \rAngle = \langle \alpha y, x \rangle = \cl \alpha \langle y, x \rangle = \cl \alpha J_x(y) [x] = \cl \alpha \lAngle J_x(y), x \rAngle
- \lAngle \cl \alpha J_x(y), x \rAngle,
+ = \lAngle \cl \alpha J_x(y), x \rAngle,
\]
also $X \cong X'$ sesquilinear isomorph.
@@ -444,4 +444,10 @@ Die Topologie von $X'$ sei hierbei die von $\L(X, \K)$, also die von der Norm $\
Für einen topologischen linearen Raum $X$ ist der Dualraum $X' = \{x': X → \K, x' $ linear und stetig $\}$ definiert.
Im Allgemeinen kann auch $X' = \{0\}$ gelten.
Ist $X$ jedoch ein Hilbertraum, so ist stets $X' \ne \{0\}$, denn zu $y ∈ X$ ist durch $y'[x] \coloneq \langle y,x \rangle, x ∈ X$ jeweils ein $y' ∈ X'$ erklärt.
-Tatsächlich bekommt man dadurch sogar schon alle Elemente des Dualraums: \ No newline at end of file
+Tatsächlich bekommt man dadurch sogar schon alle Elemente des Dualraums:
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "funkana-ebook"
+%%% End:
diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex
index ce92a84..018207f 100644
--- a/ch05-hahn-banach.tex
+++ b/ch05-hahn-banach.tex
@@ -360,8 +360,197 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
\item
Ist $X$ ist reflexiv, so auch $X'$.
\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\section{Darstellungssätze für einige Dualräume}
+\subsection*{Dualraum des $L^p(Ω)$, $1≤p < ∞$, $Ω ⊂ ℝ^n$ offen}
+
+\begin{satz}\label{ch05-darstellungssatz-Lp}
+ Zu jedem $f ∈ (L^p(Ω))'$ , $1 ≤ p < ∞$ gibt es genau ein $u ∈ L^q(Ω)$, wobei
+ $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, so dass sich $f$ als
+ \[
+ f[x] = \int_Ω x(t) \cdot u(t) \dd t, \quad (x ∈ L^p(Ω)),
+ \]
+ darstellen lässt und es gilt
+ \[
+ \norm{f}_{(L^p(Ω))'} = \norm{u}_{L^q(Ω)}.
+ \]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+ Für $p = 2$ kennen wir die Aussage bereits, denn $L^2(Ω)$ ist ein Hilbertraum.
+ Für $p \ne 2$ benötigt man den Satz von Radon-Nykodyn \cite[Satz 4.30]{dobrowolski2010angewandte}
+\end{proof}
+Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∝(Ω)$.
+\begin{warnung-nn}
+ Aber $(L^∝(Ω))'$ ist \emph{nicht} isometrisch isomorph zum $L^1(Ω)$!
+\end{warnung-nn}
+\begin{bemerkung-nn}
+ Mit Hilfe von \cref{ch05-darstellungssatz-Lp} lässt sich zeigen, dass $L^p(Ω)$, $1 < p < ∞$ reflexiv sind.
+\end{bemerkung-nn}
+\subsection*{Dualraum des $\ell^p$, $1 <p < ∞$ }
+\begin{satz}
+ Sei $1 < p < ∞$.
+ Jedes $x' ∈ (\ell^p)'$ kann mit Hilfe von genau einer Folge $α = (α_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^q$ (wobei $\frac 1 q + \frac 1 p = 1$) in der Form
+ \[
+ x'[x] = \sum_{i=1}^∞ α_i ξ_i, \quad x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^p
+ \]
+ dargestellt werden. Umgekehtr definiert jedes $α ∈ \ell^q$ vermöge dieser Darstellung genau ein $x' ∈ (\ell^p)'$ Diese Zuordnung
+ \[
+ Z: (\ell^p)' → \ell^q, \; x' ↦ α
+ \]
+ ist ein Normisomorphismus. Also sind $(\ell^p)'$ und $\ell^q$ isometrisch isomorph.
\end{satz}
+\begin{proof}
+ Sei $(e_i)_{i ∈ ℕ}$ die Schauderbasis von $\ell^p$. Dann lässt sich jedes $x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ als
+ \[
+ x = \sum_{i=1}^∝ ξ_i e_i
+ \]
+ mit Konvergenz in $\ell^p$ schreiben. Für $x' ∈ (\ell^p)'$ fest gilt daher
+ \[
+ x'[x] = \sum_{i=1}^∞ ξ_i x'[e_i]
+ \]
+ wegen Stetigkeit und Linearität, das heißt mit $α = (α_i)_{i ∈ ℕ} := (x'[e_i])_{i ∈ ℕ}$ gilt daher, dass sich $x'$ in dieser Form darstellen lässt.
+ Eindeutigkeit von $α$ ist klar: Ist auch
+ \[
+ x'[x] = \sum_{i=1}^∞ β_i ξ_i,
+ \]
+ dann ist schon $α_i = x'[e_i] = ε_i$.
+
+ Bleibt noch zu zeigen, dass $α ∈ \ell^q$ ist.
+ Setze dazu $(ξ_i^n) :=
+ \begin{cases}
+ |α_i|^{q-1} \cdot \frac{\cl{α_i}}{|α_i|}, & 1 ≤ i ≤ n, α_i \ne 0\\
+ 0, & \text{sonst}
+ \end{cases}
+ $. Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$
+ \[
+ \norm{x_n}_{\ell^p} = \left( \sum_{i=1}^∞ | ξ_i^{(n)}|^p \right)^{1/p} = \left( \sum_{i=1}^n |α_i|^q \right)^{1/p}.
+ \]
+ Außerdem gilt für $x' ∈ (\ell^p)'$
+ \[
+ \norm{x'}_{(\ell^p)'} \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big| = \norm{x'}_{(\ell^p)'} \norm{x_n}_{\ell^p }\le |x'[x_n]| = | \sum_{i=1}^n ξ_i^{(n)} \underbrace{x'[e_i]}_{= α_i}| = \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big|,
+ \]
+ also wegen $1 - \frac 1 p = \frac 1 q$
+ \[
+ \left( \sum_{i=1}^n |α_i|^q \right)^{1/q} \le \norm{x'}_{(\ell^p)'}
+ \]
+ für alle $n ∈ ℕ$. Damit ist $α ∈ \ell^q$ und $\norm{α}_{\ell^q}$ und $\norm{α}_{\ell^q} \le \norm{x'}_{(\ell^p)'}$.
+
+ Umgekehtrt definiert jedes $α ∈ \ell^q$ durch
+ \[
+ x'[x] := \sum_{i=1}^∞ α_i ξ_i, \quad x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ}
+ \]
+ ein lineares Funktional $x' : \ell^! → \K$ (wohldefiniert nach Hölder), welches stetig ist:
+ \[
+ |x'[x]| ≤ \sum_{i=1}^∞ |α_i ξ_i| ≤ \norm{α}_{\ell^q} \norm{x}_{\ell^p},
+ \]
+ also ist $x'$ ist beschränkt und somit stetig.
+ Weiter gilt also für $Z(x') \coloneq α $
+ \[
+ \norm{Z(x')}_{\ell^q} = \norm{α}_{\ell^q} = \norm{x'}_{(\ell^p)'},
+ \]
+ das heißt, $Z$ ist eine Isometrie.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar-nn}
+ $\ell^p$ und $\ell^p)''$ sind isometrisch isomorph.
+ Diese Isometrie ist kanonisch (vermöge $J_0$) (vgl, Def 5.4.1, Übung).
+ Also sind $\ell^p$, $ < p < ∞$ reflexiv, es gilt
+ \[
+ \lAngle J_0 x, x' \rAngle = \lAngle x', x \rAngle \quad ∀ x' ∈ X'.
+ \]
+\end{korollar-nn}
+\begin{warnung-nn}
+ $\ell^1$ ist nicht reflexiv, ebenso $\ell^∞$ nicht.
+\end{warnung-nn}
+
+\begin{definition}
+ Eine Funktion $v: [a,b] → ℝ$ heißt \emph{von beschränkter Variation}, falls ein $C > 0$ existiert, so dass für alle endlichen Zerlegungen
+ \[
+ Z: a = t_0 < t_1 < … < t_n = b
+ \]
+ von $[a,b]$ gilt:
+ \[
+ V_Z(v) := \sum_{j=1}^n |v(t_j) - v(t_j-1)| ≤ C < ∞
+ \]
+ Wir nennen
+ \[
+ \Var_{a,b}(v) := \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v)
+ \]
+ die \emph{totale Variation von $v$} auf $[a,b]$.
+\end{definition}
+\begin{beispiel-nn}
+ Betrachte $v(x) = \cos(x), x ∈ [0, 2π]$. Dann ist mit der Zerlegung $Z: 0 < π < 2π$
+ \[
+ V_Z(v) = 2 \cdot 2 = 4 = \Var_{0,2π}(v).
+ \]
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+ Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist v. b. V. $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch
+ \[
+ \norm{v} := |v(a)| + \Var_{a,b}(v)
+ \]
+ zum Banachraum.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+ Jedes $v ∈ C^1[a,b]$ ist von beschränkter Variation dank des Mittelwertsatzes.
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{warnung-nn}
+ Für Elemente in $C[a,b]$ ist das nicht notwendigerweise so (Übung).
+\end{warnung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+ Jedes $f ∈ \operatorname{BV}[a,b]$ lästs sich schreiben als $f = h-g$, wobei $h$ und $g$ jeweils monoton wachsende Funktionen sind.
+ Daraus folgt, dass $f$ höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen besitzt (Übung).
+\end{bemerkung-nn}
+
+Ähnlich wie bei der Existenz des Riemann"=Integrals kann man zeigen:
+
+\begin{lemma}
+ 5.5.5, riemann-steltjes integral ex für bv funkitonen
+\end{lemma}
+
+Mit Hilfte des Riemann"=Stieltjes"=Integral können lässt sich der Dualraum des $C[a,b]$ darstellen.
+
+\begin{satz}
+ Zu jedem $f ∈ (C[a,b])'$ existiert eine Funktion $v$ von beschränkter Variation mit
+ \[
+ f[x] = ∫_a^b x(t) \;\mathrm{dv}(t), \quad x ∈ C[a,b],
+ \]
+ wobei
+ \[
+ \norm{f}_{(C[a,b])'} = \Var_{a,b}(v).
+ \]
+\end{satz}
+
+Genauer ist
+\[
+ \norm{f}_{(C[a,b])'} = \sup_{\norm{x}_∞ ≤ 1} | f[x] | =
+ \sup_{\norm{x}_{∞} ≤ 1} \Big| ∫_a^b x(t) \;\mathrm{dv}(t) \Big| = … =
+ \Var_{a,b}(v).
+\]
+Wähle dafür $x = ±1$ an den Zwischenpunkten des Riemann"=Stieltjes"=Integrals.
+
+\begin{satz}
+ Sei $\operatorname{NBV}[a,b]$ der Raum der Funktionen von Beschränkter Variation auf [a,b], für die gilt:
+ \[
+ v(a) = 0, \quad \lim_{h → 0+} v(t + h) = v(t), a ≤ t < b,
+ \]
+ Also zusätzlich rechtsseitige Stetigkeit gilt.
+ Führt man auf $\operatorname{NBV}([a,b])$ eine Norm durch $\norm{v} = \Var_{a,b}(v)$ ein, so ist
+ $(C[a,b])'$ vermittels 5.7/5.8 isometrisch isomorh zu $\operatorname{NBV}[a,b]$, das heißt $(C[a,b])' \cong \operatorname{NBV}[a,b]$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+ Zum Beispiel in \cite[Chapter III, Theorem 5.5]{MR564653}
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+ $C[a,b]$ ist nicht reflexiv.
+\end{bemerkung-nn}
+
%%% Local Variables:
diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex
new file mode 100644
index 0000000..73109c7
--- /dev/null
+++ b/ch06-schwache-topologien.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+\chapter{Schwache Topologien}
+In diesem Kapitel sei $X$ grundsätzlich ein normierter linearer Raum.
+
+Wir wissen bereits, dass $\cl{B_1(0)}$ genau dann kompakt ist, wenn $\dim X < ∞$ ist.
+
+Wir suchen nun eine sinnvolle Topologie für $X$, die von der Normtopologie noch
+möglichst viele Eigenschaften mitnimmt, aber die Einheitskugel kompakt macht.
+
+\section{Schwache und schwach$*$-Topologie}
+
+Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei
+\begin{equation}\label{eq:11}
+ U(x',ε) \coloneq \{ x ∈ X: |x'[x]| < ε\} ⊂ X
+\end{equation}
+
+\begin{definition}
+ Eine Menge $V ⊂ X$ heißt offen bezüglich der \emph{schwachen Topologie}, falls für jedes $x_0 ∈ V$ endlich viele $x_1',…,x_k' ∈ X'$ existieren und $ε_1, …, ε_k > 0$, so dass
+ \[
+ x_0 + \bigcap_{i=1}^k U(x_i',ε_i) ⊂ V
+ \]
+ gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+ Das heißt, die Menge der endlichen Schnitte der $U(x', ε)$ aus \eqref{eq:11}
+ bilden eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$ für die sogenannte \emph{schwache Topologie} $\T_w ⊂ \Pot{X}$ auf $X$.
+ Insbesondere ist $U(x', ε)$ selber offen in $\T_w$ (Übung).
+ Damit sind auf $X$ zwei verschiedene Topologien erklärt, nämlich $(X,\T_w)$ und $(X,\T_S)$, wobei $\T_s$ nun die (starke) Normtopologie bezeichne.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ $(X,\T_w)$ ist ein topologischen linearer Raum, der Hausdorffsch ist.
+ \item
+ Jede schwach offene Menge ist auch stark offen, das heißt die Normtopologie ist feiner als die Schwache Topologie bzw $\T_w ⊂ \T_s$.
+ \begin{warnung-nn}
+ Die Umkehrung gilt in der Regel nicht.
+ Falls $V ⊂ X$ stark offen und konvex ist, so ist $V$ auch schwach offen (Übung).
+ \end{warnung-nn}
+ \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+ Übung.
+\end{proof}
+\begin{bemerkung-nn}
+ $(X,\T_w)$ ist ein topologischer linearer Raum, also folgt aus dem Invarianzprinzip, dass die Topologie bereits vollständig durch die offenen Umgebungen der Null bestimmt ist.
+\end{bemerkung-nn}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "funkana-ebook"
+%%% End:
diff --git a/funkana-ebook.tex b/funkana-ebook.tex
index 4bf0282..4137b1e 100644
--- a/funkana-ebook.tex
+++ b/funkana-ebook.tex
@@ -25,6 +25,7 @@
\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator{\lspan}{span}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
+\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator*{\supess}{sup\,ess}
\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
\DeclareMathOperator{\Proj}{proj}
@@ -61,6 +62,7 @@ Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf
\include{ch03-topologisch-lineare-raeume}
\include{ch04-unitaere-raeume}
\include{ch05-hahn-banach}
+\include{ch06-schwache-topologien}
\nocite{*}
\printbibliography
diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex
index 7d586d5..84c8cb9 100644
--- a/funkana.tex
+++ b/funkana.tex
@@ -26,6 +26,7 @@
\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator{\lspan}{span}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
+\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator*{\supess}{sup\,ess}
\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
\DeclareMathOperator{\Proj}{proj}
@@ -61,6 +62,7 @@ Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf
\include{ch03-topologisch-lineare-raeume}
\include{ch04-unitaere-raeume}
\include{ch05-hahn-banach}
+\include{ch06-schwache-topologien}
\nocite{*}
\printbibliography
diff --git a/ref.bib b/ref.bib
index 7507e59..1fac4fb 100644
--- a/ref.bib
+++ b/ref.bib
@@ -150,4 +150,12 @@ MRREVIEWER = {Jean Mawhin},
MRNUMBER = {969367},
URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-642-61566-5},
}
- \ No newline at end of file
+
+@book{dobrowolski2010angewandte,
+ title={Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, Sobolev-R{\"a}ume und elliptische Differentialgleichungen},
+ author={Dobrowolski, M.},
+ isbn={9783642152696},
+ series={Springer-Lehrbuch Masterclass},
+ year={2010},
+ publisher={Springer Berlin Heidelberg}
+} \ No newline at end of file