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@@ -3,10 +3,10 @@ n: all publish all: pdf/funkana.pdf \ pdf/funkana-ebook.pdf -pdf/funkana.pdf: funkana.tex inhalt.tex skript.cls +pdf/funkana.pdf: funkana.tex *.tex skript.cls latexmk funkana.tex -pdf/funkana-ebook.pdf: funkana-ebook.tex inhalt.tex skript.cls +pdf/funkana-ebook.pdf: funkana-ebook.tex *.tex skript.cls latexmk funkana-ebook.tex publish: all diff --git a/ch01-lineare-struktur.tex b/ch01-lineare-struktur.tex index 9f151c6..c7bfea4 100644 --- a/ch01-lineare-struktur.tex +++ b/ch01-lineare-struktur.tex @@ -96,7 +96,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \begin{beispiel}[Folgenräume] Es ist \[ - \ell^p = \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} , ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \} + \ell^p = \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \} \] für $0 < p < ∞$ ein linearer Raum. Die Menge der Einheitsvektoren $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ mit $e_i = (0,…,0,1,0,…)$ ist eine unendliche linear unabhängige Teilmenge, aber ebenfalls keine Basis. @@ -115,7 +115,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \] \end{beispiel} -\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen]. +\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] Sei $M ⊂ ℝ$ messbar und $0 < p < ∞$. Dann ist \[ @@ -275,7 +275,7 @@ bilinear. \[ \langle x_i, x_k' \rangle \coloneq \delta _{i,k} \] - und linearer Fortsetzung die Menge $ M \coloneq \{x_1',…,x_n'\} ⊂ X^f$ erklärt. + und linearer Fortsetzung die Menge $ M' \coloneq \{x_1',…,x_n'\} ⊂ X^f$ erklärt. Dann ist $M'$ eine Basis von $X'$, die die \emph{duale Basis} von $M$ genannt wird. Tatsächlich ist $X^f$ im Falle $\dim X = \infty $ wesentlich größer. Man wählt deshalb eine (neue) Defintion des Dualraums: diff --git a/ch02-topologie.tex b/ch02-topologie.tex index b1e79f6..97c6b88 100644 --- a/ch02-topologie.tex +++ b/ch02-topologie.tex @@ -40,17 +40,17 @@ $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$. Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x \coloneq \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$. \item - $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$.k + $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$. \item Das \emph{Innere von M} ist \[ - M^\circ \coloneq \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\} + \operatorname{int} M \coloneq M^\circ \coloneq \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\} \] die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist. \item Der \emph{Abschluss von} M ist \[ - \cl M \coloneq \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\} + \operatorname{cl} M \coloneq \cl M \coloneq \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\} \] die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält. \item @@ -325,9 +325,9 @@ B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt. Diese kann keine Vektorraumstruktur haben, da $|X| = 6$ keine Primzahlpotenz ist. \end{enumerate} \end{lemma-nn} -\begin{proof} +\begin{noproof} Der Beweis wird aufgrund seiner Trivialität den Lesern zur Übung überlassen, da er wirklich nur Einsetzen der Definitionen ist. -\end{proof} +\end{noproof} Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. \begin{satz} diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex index c496234..661d7ee 100644 --- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex +++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex @@ -79,7 +79,7 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri \] und \[ - |\norm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x} + |\snorm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x} \] nach der umgekehrten Dreiecksungleichung. Folglich sind die zu betrachtenden Abbildungen alle folgenstetig, und, da metrische Räume stets dem ersten Abzähhlbarkeitsaxiom genügen, auch stetig. @@ -160,16 +160,16 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar: \begin{lemma} Die Translationsoperatoren und Multiplikationsoperatoren sind Homöomorphismen. \end{lemma} -\begin{proof} - Das ist klar. -\end{proof} +\begin{noproof} + ~ +\end{noproof} \begin{korollar}[Invarianzprinzip] Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ ist die Topologie bereits durch die offenen Umgebungen von $0 ∈ X$ bestimmt. Alle anderen offenen Mengen entstehen durch Translation. \end{korollar} -\begin{proof} - Das ist klar. -\end{proof} +\begin{noproof} + ~ +\end{noproof} \section{Metrische lineare Räume und Quasi-normierte Räume} \begin{definition} @@ -180,7 +180,7 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar: oder äquivalent dazu: \[ ∀x,y ∈ X: d(x,y) = d(x-y, 0). -k \] + \] \end{definition} \begin{bemerkung-nn} Ohne lineare Struktur macht das gar keinen Sinn! @@ -246,13 +246,13 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × Sei dazu $z_n \coloneq x_n - x ∈ X$, $γ_n \coloneq \alpha _n - \alpha ∈ \K$. Dann ist \[ γ_n z_n + γ_n x + \alpha z_n = (\alpha _n - \alpha )(x_n-x) + (\alpha _n-\alpha ) x + \alpha (x_n-x) - = \alpha _n x_n - \alpha ×. + = \alpha _n x_n - \alpha x. \] Somit ist \begin{align*} d(\alpha _nx_n,\alpha x) &= d(\alpha nx_n - \alpha x,0) = d(γ_nz_n + γnx + \alpha z_n, 0) \\ &\le \underbrace{d(γ_nz_n,0)}_{→ 0} + \underbrace{d(γ_nx, 0)}_{→ 0} + -\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow{n → \infty } 0. +\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow[n → \infty]{} 0. \end{align*} Da die Addition ohnehin immer stetig ist, sind wir fertig. \end{proof} @@ -828,9 +828,9 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) \] sind gleich. \end{lemma} - \begin{proof} + \begin{noproof} Übung. - \end{proof} + \end{noproof} \begin{korollar} Die Mengen $U_\epsilon$ sind bereits eine Umgebungsbasis der Null. Nach Definition sind sie aber auch Konvex, das heißt $(\D(\Omega),\T_\D)$ ist ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum. @@ -1301,9 +1301,9 @@ Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$. \] für alle $x ∈ X$ \end{korollar} -\begin{beweis} +\begin{noproof} klar. -\end{beweis} +\end{noproof} \begin{warnung-nn} $T$ linear, bijektiv und stetig impliziert selbst in normierten Räumen noch nicht, dass auch die Inverse Abbildung $T^{-1}$ auch stetig ist, wie wir in der Übung sehen werden. diff --git a/ch04-unitaere-raeume.tex b/ch04-unitaere-raeume.tex index 85d17a9..9087b28 100644 --- a/ch04-unitaere-raeume.tex +++ b/ch04-unitaere-raeume.tex @@ -167,7 +167,7 @@ Wir schreiben für $P$ auch $\Proj_Y : X → X$ mit Wertebereich $\im P = Y$ und \begin{proof} „⊂“ wurde bereits in Definition 2.1 gezeigt. - „$\supset$“: Falls $(M^\perp)\perp \ne \cl M$, dann existiert $x_0 ∈ (M^\perp)^\perp \setminus \cl M$. + „$\supset$“: Falls $(M^\perp)^\perp \ne \cl M$, dann existiert $x_0 ∈ (M^\perp)^\perp \setminus \cl M$. Da $X$ ein Hilbertraum ist, ist $\cl M$ vollständig. Nach dem Satz vom orthogonalen Komplement gibt es eine eindeutige orthogonale Zerlegung von $x_0 = \hat x_0 + h_0^\perp$ mit $\hat x_0 = \Proj_M(x_0) ∈ \cl M$ und $x_0^\perp ∈ (\cl M)^\perp$. Da $x_0^\perp ∈ (\cl M)^\perp$, ist auch $x_0^\perp ∈ (M)^\perp$ und $x_0 ∈ (M^\perp)^\perp$, also insbesondere $\langle x_0, x_0^\perp \rangle = 0$. @@ -186,7 +186,7 @@ Wir schreiben für $P$ auch $\Proj_Y : X → X$ mit Wertebereich $\im P = Y$ und Die Abbildung $P$ ist beschränkt mit Operatornorm $\norm P = \sup\limits_{x \ne 0} \frac{\norm{P(x)}}{\norm x} \le 1$, denn für jedes $x = y + v$ mit $y ∈ Y, v ∈ Y^\perp$ gilt \[ - \norm{P(x)}^2 = \norm{y^2} \le \norm y^2 + 2 \Re \langle y, v \rangle + \norm{v}^2 = \norm{y +v}^2 = \norm{x}^2. + \snorm{P(x)}^2 = \snorm{y^2} \le \snorm y^2 + 2 \Re \langle y, v \rangle + \norm{v}^2 = \snorm{y +v}^2 = \norm{x}^2. \] Desweiteren ist $P$ symmetrisch, das heißt für alle $x_1, x_2 ∈ X $ ist \[ diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex index 88b7edb..2a7e625 100644 --- a/ch05-hahn-banach.tex +++ b/ch05-hahn-banach.tex @@ -139,7 +139,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. Finde eine maximale Fortsetzung mit dem Lemma von Zorn. Betrachte dazu \[ - \{: X \supset D_g \supset X_0 → ℝ\}: g|_{X_0} = f_0 ∧ ∀x ∈ D_g: g(x) \le p(x) \}. + \{g : X \supset D_g \supset X_0 → ℝ\}: g|_{X_0} = f_0 ∧ ∀x ∈ D_g: g(x) \le p(x) \}. \] Diese Menge ordnen wir mit $\succeq$ definiert durch \[ @@ -418,18 +418,20 @@ Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∝(Ω)$. dann ist schon $α_i = x'[e_i] = ε_i$. Bleibt noch zu zeigen, dass $α ∈ \ell^q$ ist. - Setze dazu $(ξ_i^n) := + Setze dazu + \[(ξ_i^n) := \begin{cases} |α_i|^{q-1} \cdot \frac{\cl{α_i}}{|α_i|}, & 1 ≤ i ≤ n, α_i \ne 0\\ 0, & \text{sonst} - \end{cases} - $. Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ + \end{cases}. + \] +Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ \[ \norm{x_n}_{\ell^p} = \left( \sum_{i=1}^∞ | ξ_i^{(n)}|^p \right)^{1/p} = \left( \sum_{i=1}^n |α_i|^q \right)^{1/p}. \] Außerdem gilt für $x' ∈ (\ell^p)'$ \[ - \norm{x'}_{(\ell^p)'} \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big| = \norm{x'}_{(\ell^p)'} \norm{x_n}_{\ell^p }\le |x'[x_n]| = | \sum_{i=1}^n ξ_i^{(n)} \underbrace{x'[e_i]}_{= α_i}| = \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big|, + \norm{x'}_{(\ell^p)'} \Big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \Big| = \norm{x'}_{(\ell^p)'} \norm{x_n}_{\ell^p }\le |x'[x_n]| = \Big| \sum_{i=1}^n ξ_i^{(n)} \underbrace{x'[e_i]}_{= α_i}\Big| = \Big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \Big|, \] also wegen $1 - \frac 1 p = \frac 1 q$ \[ diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex index 3dda5e9..4f04bb6 100644 --- a/ch06-schwache-topologien.tex +++ b/ch06-schwache-topologien.tex @@ -1,8 +1,6 @@ \chapter{Schwache Topologien} In diesem Kapitel sei $X$ grundsätzlich ein normierter linearer Raum. - Wir wissen bereits, dass $\cl{B_1(0)}$ genau dann kompakt ist, wenn $\dim X < ∞$ ist. - Wir suchen nun eine sinnvolle Topologie für $X$, die von der Normtopologie noch möglichst viele Eigenschaften mitnimmt, aber die Einheitskugel kompakt macht. @@ -243,10 +241,7 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 Wir konstruieren ein $x' ∈ \cl{B_1(0)}$ mit $x'_k \xrightharpoonup[k→∞]{*}$ (für eine Teilfolge). Für $n ∈ ℕ$ ist $(\lAngle x_k', x_n \rAngle)_{k ∈ ℕ}$ eine beschräkte Folge in $\K$, denn $|\lAngle x'_k, x_n \rAngle | \le \norm{x_n} \cdot 1 \; (*)$. - Durch das Diagonalverfahren finden wir eine Teilfolge $(x_{k_m})_{m ∈ ℕ}$, so dass für alle $n ∈ ℕ$ gilt - \[ - \lim_{m → ∞} \lAngle x'_{k_m},x_n \rAngle \;\;\text{existiert}: - \] + Durch das Diagonalverfahren finden wir eine Teilfolge $(x_{k_m})_{m ∈ ℕ}$, so dass für alle $n ∈ ℕ$ $\lim_{m → ∞} \lAngle x'_{k_m},x_n \rAngle$ existiert: Dazu gibt es wegen (*) zu $x_1$ eine Teilfolge $(x_{k,1}')_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_k)_{k ∈ ℕ}$ mit \[ (\lAngle x'_{k,1}, x_1 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K. @@ -298,7 +293,7 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 Dann \[ | \lAngle x' - x'_k, x \rAngle | - ≤ | \lAngle x' - x'_k, x-y \lAngle| + |\lAngle x'-x'_k, y \rAngle| + ≤ | \lAngle x' - x'_k, x-y \rAngle| + |\lAngle x'-x'_k, y \rAngle| ≤ 2 \norm{x-y} + ε < 3 ε. \] Also ist schwache Konvergenz gezeigt und die Behauptung folgt. diff --git a/common.tex b/common.tex new file mode 100644 index 0000000..1cd4d3f --- /dev/null +++ b/common.tex @@ -0,0 +1,77 @@ +\title{Funktionalanalysis} +\subtitle{Mitschrift zur Vorlesung} +\author{\gitAuthorIsoDate \\ {\small\gitReferences} \\ {\small \gitAbbrevHash}} +% \author{Prof. Dr. Maier-Paape} +\date{WS 17/18} + +\AtBeginDocument{ +\newcommand\norm[1]{\left\|#1\right\|} +\newcommand\snorm[1]{\|#1\|} +\def\R{\mathbb{R}} +\def\C{\mathbb{C}} +\def\K{\mathbb{K}} +\def\N{\mathbb{N}} +\def\L{\mathcal{L}} +% \def\T{\mathcal{T}} +\def\T{\ensuremath{\tau}} +\def\U{\mathcal{U}} +\def\D{\mathcal{D}} +\def\dd{\;\mathrm{d}} +\def\eps{\varepsilon} +\def\iff{\Leftrightarrow} +\def\gdw{\;\Longleftrightarrow\;} +\newcommand\cl[1]{\overline{#1}} +\newcommand\ind[1]{\mathbb{1}_{#1}} +\newcommand\Pot[1]{2^{#1}} +\DeclareMathOperator{\End}{End} +\DeclareMathOperator{\grad}{grad} +\DeclareMathOperator{\lspan}{span} +\DeclareMathOperator{\supp}{supp} +\DeclareMathOperator{\Var}{Var} +\DeclareMathOperator*{\supess}{sup\,ess} +\DeclareMathOperator{\conv}{conv} +\DeclareMathOperator{\Proj}{proj} +\DeclareMathOperator{\im}{im} +\DeclareMathOperator{\id}{id} +\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} +\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} +\def\phi{\varphi} +\def\epsilon{\varepsilon} +\def\Tnat{\ensuremath{\T_{\mathrm{nat}}}} +\def\Tcof{\ensuremath{\T_{\mathrm{cof}}}} +} + +\addbibresource{ref.bib} + +\begin{document} +\sloppy +\maketitle +\section*{Vorwort} +Dies ist eine Vorlesungsmitschrift, die nichts mit den Dozenten oder dem Lehrstuhl, der die Veranstaltung hält, zu tun hat. + +Alle Fehler sind vermutlich einzig und allein meine Schuld. +Über Verbesserungen und Vervollständigungen freue ich mich sehr (bevorzugt Patches an \href{mailto:ulli.kehrle@rwth-aachen.de}{ulli.kehrle@rwth-aachen.de}). + +Der Quelltext dieser Mitschrift ist unter \url{https://git.server-speed.net/users/hrnz/funkana.git} online verfügbar. +Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf} (DIN A4, für große Bildschirme und zum Ausdrucken) und \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana-ebook.pdf} (DIN A5, keine Ränder, bietet sich wohl für Ebook-Reader, Smartphones und Tablets an) erscheinen. + + +\begin{bemerkung-nn} + Das $\nikeswoosh$-Symbol, das sich hinter einigen (beweislosen) Resultaten befindet, wird „Just Do It“ ausgesprochen. +\end{bemerkung-nn} + +\tableofcontents +\cleardoublepage + +\include{motivation} +\include{ch01-lineare-struktur} +\include{ch02-topologie} +\include{ch03-topologisch-lineare-raeume} +\include{ch04-unitaere-raeume} +\include{ch05-hahn-banach} +\include{ch06-schwache-topologien} + +\nocite{*} +\printbibliography + +\end{document} diff --git a/funkana-ebook.tex b/funkana-ebook.tex index 4137b1e..7cb9be2 100644 --- a/funkana-ebook.tex +++ b/funkana-ebook.tex @@ -1,70 +1,11 @@ -\documentclass[12pt,footinclude=yes,headinclude=no,a5paper,DIV=50,twoside=false,chapterprefix=true,headings=big]{skript} -\title{Funktionalanalysis} -\subtitle{Mitschrift zur Vorlesung} -\author{\gitAuthorIsoDate \\ {\small\gitReferences} \\ {\small \gitAbbrevHash}} -% \author{Prof. Dr. Maier-Paape} -\date{WS 17/18} - -\AtBeginDocument{ -\newcommand\norm[1]{\left\|#1\right\|} -\def\R{\mathbb{R}} -\def\C{\mathbb{C}} -\def\K{\mathbb{K}} -\def\N{\mathbb{N}} -\def\L{\mathcal{L}} -\def\T{\mathcal{T}} -\def\U{\mathcal{U}} -\def\D{\mathcal{D}} -\def\dd{\;\mathrm{d}} -\def\eps{\varepsilon} -\def\iff{\Leftrightarrow} \def\gdw{\;\Longleftrightarrow\;} -\newcommand\cl[1]{\overline{#1}} -\newcommand\ind[1]{\mathbb{1}_{#1}} -\newcommand\Pot[1]{\mathcal{P}(#1)} -\DeclareMathOperator{\End}{End} -\DeclareMathOperator{\grad}{grad} -\DeclareMathOperator{\lspan}{span} -\DeclareMathOperator{\supp}{supp} -\DeclareMathOperator{\Var}{Var} -\DeclareMathOperator*{\supess}{sup\,ess} -\DeclareMathOperator{\conv}{conv} -\DeclareMathOperator{\Proj}{proj} -\DeclareMathOperator{\im}{im} -\DeclareMathOperator{\id}{id} -\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} -\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} -\def\phi{\varphi} -\def\epsilon{\varepsilon} -\def\Tnat{\ensuremath{\T_{\mathrm{nat}}}} -\def\Tcof{\ensuremath{\T_{\mathrm{cof}}}} -} - -\addbibresource{ref.bib} - -\begin{document} -\sloppy % ohne Ränder sind overfull hboxes eher schlecht, erlaube Unmengen an Kleber. -\maketitle -Dies ist eine Vorlesungsmitschrift, die nichts mit den Dozenten oder dem Lehrstuhl, der die Veranstaltung hält, zu tun hat. - -Alle Fehler sind vermutlich einzig und allein meine Schuld. -Über Verbesserungen und Vervollständigungen freue ich mich sehr (bevorzugt Patches an \verb|ulli.kehrle@rwth-aachen.de|). - -Der Quelltext dieser Mitschrift ist unter \url{https://git.server-speed.net/users/hrnz/funkana.git} online verfügbar. - -Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf} (DIN A4, für große Bildschirme und zum Ausdrucken) und \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana-ebook.pdf} (DIN A5, keine Ränder, bietet sich wohl für Ebook-Reader, Smartphones und Tablets an) erscheinen. - -\tableofcontents -\cleardoublepage - -\include{motivation} -\include{ch01-lineare-struktur} -\include{ch02-topologie} -\include{ch03-topologisch-lineare-raeume} -\include{ch04-unitaere-raeume} -\include{ch05-hahn-banach} -\include{ch06-schwache-topologien} - -\nocite{*} -\printbibliography - -\end{document} +\documentclass[ + 12pt, + footinclude=yes, + headinclude=no, + a5paper, + DIV=50, + twoside=false, + chapterprefix=true, + headings=big]{skript} + +\input{common.tex} diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index 84c8cb9..744b415 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -1,70 +1,8 @@ -\documentclass[12pt,DIV=12,twoside=false,chapterprefix=true,headings=big]{skript} -\title{Funktionalanalysis} -\subtitle{Mitschrift zur Vorlesung} -\author{\gitAuthorIsoDate \\ {\small\gitReferences} \\ {\small \gitAbbrevHash}} -% \author{Prof. Dr. Maier-Paape} -\date{WS 17/18} - -\AtBeginDocument{ -\newcommand\norm[1]{\left\|#1\right\|} -\def\R{\mathbb{R}} -\def\C{\mathbb{C}} -\def\K{\mathbb{K}} -\def\N{\mathbb{N}} -\def\L{\mathcal{L}} -\def\T{\mathcal{T}} -\def\U{\mathcal{U}} -\def\D{\mathcal{D}} -\def\dd{\;\mathrm{d}} -\def\eps{\varepsilon} -\def\iff{\Leftrightarrow} -\def\gdw{\;\Longleftrightarrow\;} -\newcommand\cl[1]{\overline{#1}} -\newcommand\ind[1]{\mathbb{1}_{#1}} -\newcommand\Pot[1]{\mathcal{P}(#1)} -\DeclareMathOperator{\End}{End} -\DeclareMathOperator{\grad}{grad} -\DeclareMathOperator{\lspan}{span} -\DeclareMathOperator{\supp}{supp} -\DeclareMathOperator{\Var}{Var} -\DeclareMathOperator*{\supess}{sup\,ess} -\DeclareMathOperator{\conv}{conv} -\DeclareMathOperator{\Proj}{proj} -\DeclareMathOperator{\im}{im} -\DeclareMathOperator{\id}{id} -\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} -\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} -\def\phi{\varphi} -\def\epsilon{\varepsilon} -\def\Tnat{\ensuremath{\T_{\mathrm{nat}}}} -\def\Tcof{\ensuremath{\T_{\mathrm{cof}}}} -} - -\addbibresource{ref.bib} - -\begin{document} -\maketitle -Dies ist eine Vorlesungsmitschrift, die nichts mit den Dozenten oder dem Lehrstuhl, der die Veranstaltung hält, zu tun hat. - -Alle Fehler sind vermutlich einzig und allein meine Schuld. -Über Verbesserungen und Vervollständigungen freue ich mich sehr (bevorzugt Patches an \verb|ulli.kehrle@rwth-aachen.de|). - -Der Quelltext dieser Mitschrift ist unter \url{https://git.server-speed.net/users/hrnz/funkana.git} online verfügbar. - -Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf} (DIN A4, für große Bildschirme und zum Ausdrucken) und \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana-ebook.pdf} (DIN A5, keine Ränder, bietet sich wohl für Ebook-Reader, Smartphones und Tablets an) erscheinen. - -\tableofcontents -\cleardoublepage - -\include{motivation} -\include{ch01-lineare-struktur} -\include{ch02-topologie} -\include{ch03-topologisch-lineare-raeume} -\include{ch04-unitaere-raeume} -\include{ch05-hahn-banach} -\include{ch06-schwache-topologien} - 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