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diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index 54c5cca..d100444 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -17,6 +17,7 @@ \def\iff{\Leftrightarrow} \def\gdw{\;\Longleftrightarrow\;} \newcommand\cl[1]{\overline{#1}} +\newcommand\ind[1]{\mathbb{1}_{#1}} \newcommand\Pot[1]{\mathcal{P}(#1)} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\grad}{grad} @@ -580,7 +580,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$. \end{satz} \begin{proof} - Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow{n → ∞} 0$. + Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow[n → ∞]{} 0$. Hierdurch ist eine Äquivalenzrelation definiiert. Sei $[(x_n)_{n ∈ ℕ}]$ die vom Repräsententaten $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ erzeugte Klasse. Man setzt \[ \tilde X := \{ [ (x_n)_{n ∈ ℕ}] : (x_n)_{n ∈ ℕ} \text{ ist Cauchy-Folge in }(X,d)\} @@ -625,7 +625,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. \] Also \[ - d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow{n → ∞} 0. + d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0. \] Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$. Außerdem gilt @@ -640,7 +640,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. Für die Eindeutigkeit sei $\tilde x_0$ ebenfalls in $\bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$. Dann folgt \[ - d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow{n → ∞} 0. + d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0. \] Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$. \end{proof} @@ -672,7 +672,7 @@ Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B B_{r_2}(x_2) ⊂ B_{r_1/2} (x_1) \] und $B_{r_2}(x_2) ∩ M_2 = \emptyset$. - Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞)$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow{n → ∞} 0$. + Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞)$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow[n → ∞]{} 0$. Damit sind alle Voraussetzungen von \cref{schachtelsatz} erfüllt. Folglich existiert genau ein \[ \tilde x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} B_{r_n} (x_n) ⊂ B_r(x_0) ⊂ M. @@ -903,7 +903,7 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar: \begin{korollar} Im topologischen Raum $(X,\T)$ gilt für $x ∈ X$ beliebig und $(β_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$ \[ - β_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \implies β_nx \xrightarrow{n → ∞} 0. + β_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0 \implies β_nx \xrightarrow[n → ∞]{} 0. \] \end{korollar} @@ -964,7 +964,7 @@ k \] Es genügt, da in metrischen Räumen Folgenstetigkeit und Stetigkeit äquivalent sind, zu zeigen, dass $\lim d(x_n + y_n, x + y ) = 0$, sofern $\lim d(x_n,x) = 0$ und $\lim d(y_n,y) = 0$. Dazu ist \[ - d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow{n → ∞} 0. + d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow[n → ∞]{} 0. \] \end{proof} @@ -991,9 +991,9 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit linearer Struktur und mit einer translationinvarianten Metrik. Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $α ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ) ⊂ \K}$ gilt \begin{gather*} - αx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \\ - αx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \\ - α_nx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 + αx_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0 \\ + αx_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0 \\ + α_nx_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0 \end{gather*} \end{lemma} \begin{proof} @@ -1002,10 +1002,10 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha „$⇐$“: Wegen der Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit ist zu zeigen \[ \begin{rcases} - α_n \xrightarrow{n → ∞} α ∈ \K \\ - x_n \xrightarrow{n → ∞} x ∈ X + α_n \xrightarrow[n → ∞]{} α ∈ \K \\ + x_n \xrightarrow[n → ∞]{} x ∈ X \end{rcases} - \implies α_n x_n \xrightarrow{n → ∞} αx. + \implies α_n x_n \xrightarrow[n → ∞]{} αx. \] Sei dazu $z_n := x_n - x ∈ X$, $γ_n := α_n - α ∈ \K$. Dann ist @@ -1033,11 +1033,11 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha \item $|x+y| \le |x| + |y|$ für alle $x,y ∈ X$ \item - $|αx_n| \xrightarrow{n → ∞} 0$ für $α ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$ + $|αx_n| \xrightarrow[n → ∞]{} 0$ für $α ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$ \item - $|α_nx| \xrightarrow{n → ∞} 0$ für $x ∈ X$, falls $|α_n| → 0$ + $|α_nx| \xrightarrow[n → ∞]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|α_n| → 0$ \item - $|α_nx_n| \xrightarrow{n → ∞} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|α_nx_n| → 0$ + $|α_nx_n| \xrightarrow[n → ∞]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|α_nx_n| → 0$ \end{enumerate} $(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum. \end{definition} @@ -1579,7 +1579,15 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) Es stellt sich heraus, dass diese Topologie tatsächlich unabhängig von der gewählten Ausschöpfung ist. Außerdem ist $(\D(\Omega),\T_\D)$ ein topologischer linearer Raum, das heißt, die Vektorraumoperationen sind stetig. \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in $\D(\Omega)$] - joa, hab keine lust, das abzuschreiben. + Es gilt + \[ + O ∈ \T_\D \iff ∀ ξ ∈ O ∃ ε=(e_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, e_j > 0: e+U_ε ⊂ O. + \] + Das heißt, die Topologie $\T_\D$ und die Topologie + \[ + \tilde T_\D = \{ O ⊂ C_0^∞(\Omega): ∀ ξ ∈ O ∃ ε = (ε_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, ε_j > 0: ε+ U_ε ⊂ O \} + \] + sind gleich. \end{lemma} \begin{proof} Übung. @@ -1589,10 +1597,18 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) Nach Definition sind sie aber auch Konvex, das heißt $(\D(\Omega),\T_\D)$ ist ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum. \end{korollar} \begin{satz} - mach ich später. + $ξ_m \xrightarrow[m → ∞]{} \iff$ + \[ + \begin{cases} + (i), & \text{Es existiert $D$ offen mit $D ⊂⊂ \Omega$ und + $ξ_= ∈ C_0^∞(D)$ für alle $m ∈ ℕ$} \\ + (ii), & \text{Für jedes $k ∈ ℕ$ gilt: + $\norm{ξ_m}_{C^k(\cl{\Omega})} \xrightarrow[m → ∞]{}$} + \end{cases} + \] \end{satz} \begin{proof} - Zeige nur „$\Longleftarrow$“. Sei dazu $(ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge mit (i) und (ii). + Zeige nur „$\Longleftarrow$“. Sei dazu $(ξ_m)_{m ∈ ℕ}$ eine Folge mit (i) und (ii). Wähle nun $D_j$ von oben mit $D ⊂ D_j$ ($j$ ist fest). Sei nun $ε=(ε_i)_{i ∈ ℕ}, ε_i > 0$ gegeben. Dann müssen wir zeigen, dass für alle $m > m_0$ schon $ξ_m ∈ U_ε$ gilt. Zunächst sind nach (i) $ξ_m ∈ C^∞_0(D_j)$ . @@ -1625,10 +1641,217 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) \[ L^∞(\Omega) := \left( \L^∞(\Omega)/N, \norm\cdot_{L^∞(\Omega)} \right) \] - zu einem normiertem raum. + zu einem normiertem Raum. \end{enumerate} \end{beispiel-nn} + +{ \LARGE Vorlesung vom Donnerstag, 9. November fehlt (genauso wie vermutlich alle weiteren Donnerstagsvorlesungen ab jetzt)} + +Seien $f_n → f ∈ L^p(\Omega), h ∈ C_0^∞(\Omega)$. +Dann +\[ + \lim_{n → ∞} ∫_Ω f_n(t) h(t) dt = ∫_Ω f(t) h(t) dt, +\] +denn +\begin{align*} + ∫_Ω (f_n(t) - f(t)) h(t) dt &\le ∫_{\supp h} M |f_n(t) - f(t)| dt \\ + & \stackrel{\mathclap{\text{Hölder}}}{\le} \; M [ \supp(h)]^{1/q} \norm{f_n-f}_{L^p(\Omega)} → 0. +\end{align*} + +\section{Beschränkte und kompakte Mengen in metrischen linearen Räumen} + +Wir wissen bereits nach dem Satz von Heine-Borel, dass eine Teilmenge $K ⊂ ℝ^n$ genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. +Beschränktheit bedeutet hier in einer (beliebigen, da alle äquivalent) Norm. + +Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrischen (topologischen) linearen Räumen finden. + +\begin{problem-nn} + Die natürliche Übertragung $d(x,0) \le M$, $x ∈ B$ definiert \emph{keine} Beschränktheit. + Gründe dafür sind: + \begin{enumerate} + \item + In einigen metrischen Räumen gilt ohnehin $d(x,0) \le 1$ für alle $x ∈ X$. + \item + Ist $d$ eine Metrik auf $X$. Dann ist $\tilde d := \frac d {1+d} \le 1$ eine zu $d$ äquivalente Metrik auf $X$, wie wir in Topologie gesehen haben. + \end{enumerate} +\end{problem-nn} + +\begin{definition} + Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum, $B ⊂ X$ heißt \emph{beschränkt}, falls zu jeder offenen Umgebung $U$ von $0 ∈ X$ ein $α > 0$ existiert, so dass $B ⊂ αU = \{αu: u ∈ U\}$, das heißt jede Nullumgebung lässt sich so weit „aufblasen“, dass sie $B$ überdeckt. +\end{definition} + +\begin{bemerkung-nn} + Der Begriff „Beschränktheit“ hängt also von der Topologie ab. +\end{bemerkung-nn} + + +\begin{satz} + Sei $(X,d)$ ein metrischer linearer Raum, dessen Metrik gemäß \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} von abzählbar vielen Seminormen $(p_n)_{n ∈ ℕ}$ induziert ist. + Dann ist eine Teilmenge $B ⊂ X$ genau dann beschränkt, wenn für jedes $k ∈ ℕ$ ein $M_k > 0$ existiert mit $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$. +\end{satz} +\begin{proof} + „⇒“: Sei $k ∈ ℕ$ gegeben. + Setze $r_k := \frac 1 {2^{k+1}}$ und $U := B_{r_k}(0)$. + Da $B$ beschränkt ist, gibt es $α = α_k > 0$, dass + \begin{align*} + & B ⊂ αU = α B_{r_k}(0) \\ + \iff & α^{-1} B ⊂ B_{r_k} (0) \\ + \iff d(α^{-1} x, 0) < r_k ∀ x ∈ B + \end{align*} + Dann gilt schon $p_k(x) \le M_k := α_k$ für alle $x ∈ B$, denn + \[ + \frac 1 {2^{k+1}} = r_k > d(α_k^{-1} x, 0 + \ge 2^k \frac {p_k(α_k^{-1}x)}{1+p_k(α_k^{-1} x)} + = 2^{-k} \frac{α_k^{-1} p_k(x)}{1+α_k^{-1} p_k(x)}. + \] + Also mit $\eta := α_k^{-1} p_k(x)$ gilt $\frac 1 2 > \frac \eta {1+\eta}$, also $\eta < 1$ oder $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$. + + „⇐“: + Sei also $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$ und $k ∈ ℕ$. + Wir müssen nun zeigen, dass es für jedes $r > 0$ ein $α > 0$ gibt mit $B ⊂ αB_r(0)$, also $α^{-1} B ⊂ B_r(0)$. + Sei also $r > 0$ gegeben. + Wähle nun $m_0 ∈ ℕ$ mit $\sum_{n=m_0+1}^∞ 2^{-n} < r/2$. + Wähle $α > 0$ mit $\sum_{n=1}^{m_0} 2^{-n} \frac{α^{-1} M_k}{1+α^{-1} M_k} < r/2$. + Dann gilt für alle $x ∈ B$ + \[ + d(α^{-1} x, 0) = + \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{α^{-1} p_n(x)}{1+α^{-1} p_n(x)} + \le \sum_{n=1}^{m_0} 2^{-n} \frac{α^{-1} p_n(x)}{1+α^{-1} p_n(x)} + \sum_{n=m_0+1}^∞ 2^{-n} < r/2 + r/2 = r. + \] +\end{proof} + +\begin{korollar} + Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter linearer Raum, + Dann ist eine Teilmenge $B ⊂ X$ genau dann beschränkt, wenn $M > 0$ existiert mit $\norm{x} \le M$ für alle $x ∈ B$. +\end{korollar} +\begin{proof} + Wähle $p_1(x) = \norm x$ und $p_k \equiv 0$ für $k \ge 2$ und verwende den vorherigen Satz. +\end{proof} + + +\begin{bemerkung} + Kugeln $B_r(0)$ in $(X,d)$, wobei $d$ wie in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume}, sinid also immer unbeschränkt, + weil nichttriviale Unterräume $M_{n_0} ⊂ B_r(x)$ existieren. + Insbesondere ist dies gültig in den Räumen $\K^∞, C(Ω), C^\ell(Ω)$ und $C^∞(Ω)$. +\end{bemerkung} + +\begin{definition} + Ein topologischer linearer Raum $(X,\T)$ heißt \emph{lokalbeschränkt}, falls $0 ∈ X$ eine beschränkte Umgebung besitzt. +\end{definition} + +\begin{bemerkung} + Normierte Räume sind lokalbeschränkt und lokalkonvex. Es gilt aber auch die Umkehrung: +\end{bemerkung} + +\begin{satz}[Kolmogorov] + Ein topologischer linearer Raum $(X, \T)$ ist genau dann normierbar, das heißt, die Topologie wird von einer Norm induziert, + wenn $(X,\T)$ lokalkonvex und lokalbeschränkt ist. +\end{satz} + +\begin{beispiel-nn} + Die Räume $\K^∞, C(Ω), C^\ell(Ω)$ und $C^∞(Ω)$ sind nicht lokalbeschränkt, aber lokalkonvex. Somit sind sie auch nicht normierbar. + Auch $L^p(0,1)$ mit $0 < p < 1$ ist nicht lokalkonvex, aber lokalbeschränkt, also nicht normierbar. +\end{beispiel-nn} + +\begin{definition} + Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum. + Eine Umgebung $U$ der Null heißt \emph{kreisförmig} oder \emph{balanced}, falls + \[ + t U ⊂ U, \quad |t| < 1 + \] +\end{definition} + +\begin{lemma} + Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum. + Dann besitzt die Null eine Umgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. +\end{lemma} +\begin{proof} + Übung. +\end{proof} + +\begin{warnung-nn} + Metrikkugeln müssen im Allgemeinen nicht kreisförmig sein (obwohl die uns bekannten Kugeln dies sind). + Gegenbeispiel: $X = ℝ$, $d(x,y) := \left| ∫_x^y 1+\ind{ℝ_-}(s)\; ds \right|$. +\end{warnung-nn} + +\begin{lemma} + Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum und $V ∈ \T$ eine Umgebung der 0. + Dann gilt + \[ + X = \bigcup_{n ∈ ℕ} n V. + \] +\end{lemma} +\begin{proof} + „$\supset$“: klar. + + „⊂“: Sei $x ∈ X$. Setze $β_n = 1/n, n ∈ ℕ$. Dann gilt + \[ + β_n x \xrightarrow[n → ∞]{} 0, + \] + also $β_n ∈ V$ für $n \ge n_0$. Damit haben wir aber $x ∈ n_0 V$. +\end{proof} + +\begin{satz} + Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer $T_2$-Raum und $K ⊂ X$ kompakt. + Dann ist $K$ abgeschlossen und beschränkt. +\end{satz} +\begin{definition-nn} + Falls auch die Umkehrung gilt, dann besitzt $X$ die \emph{Heine"=Borel"=Eigenschaft}. +\end{definition-nn} +\begin{warnung-nn} + Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch. +\end{warnung-nn} +\begin{proof} + Nach einer Übungsaufgabe ist $K$ bereits abgeschlossen. + Also müssen wir nur zeigen, dass $K$ auch beschränkt ist. + Sei $V ∈ \T$ eine Nullumgebung. + Sei $W ⊂ \T$ eine kreisförmige Umgebung der $0$, die ganz in $V$ enthalten ist. + Da + \[ + K ⊂ X = \bigcup_{n ∈ ℕ} n W + \] + eine offene Überdeckung von $K$ ist, besitzt diese wegen $K$ kompakt eine endliche Teilüberdeckung + \[ + K ⊂ \bigcup_{i=1}^s n_i W \stackrel{(*)}= n_s W, \quad n_1 < n_2 < … < n_s, + \] + also folgt die Behauptung mit $α = n_s$. $(*)$ gilt wegen der Kreisförmigkeit und $\left|\frac {n_i}{n_s}\right| \le 1$. +\end{proof} +\begin{bemerkung-nn} + Ohne die Hausdorff-Eigenschaft gilt dies nicht. Gegenbeispiel: $X = ℝ$ mit der Klumpentopologie. + Dann ist jede Teilmenge von $ℝ$ kompakt, aber nur $\emptyset$ und $ℝ$ sind abgeschlossen. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{definition} + \begin{enumerate} + \item + In einem topologischen Raum $(X,\T)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{relativ kompakt}, falls $\cl A$ kompakt ist. + \item + In einem metrischen Raum $(X,d)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{präkompakt}, falls für jedes $ε > 0$ die Menge $A$ von endlich vielen Bällen mit Radius $ε$ überdeckt werden kann. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{satz} + Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $\emptyset \ne A ⊂ X$. Dann sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item + $A$ ist kompakt. + \item + $A$ ist folgenkompakt. + \item + $(A,d|_{A×A})$ ist vollständig und $A$ präkompakt. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + $(a) \iff (b)$ wurde bereits gezeigt. Wir zeigen nur $(b) ⇒ (c)$: + Sei $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ A$ eine Cauchy-Folge. Nach (b) besitzt $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ einen Häufungspunkt $x^*$. + Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ Cauchy-Folge ist, konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ schon gegen $x^*$. Damit ist $A$ vollständig, + Da $A$ nach + Angenommen, $A$ wäre nicht präkompakt. Dann gibt es $ε > 0$, so dass $A$ keine endliche Überdeckung mit $ε$-Kugeln besitzt. + Dadurch kann man eine Folge $(x_k)_{k ∈ K}$ definieren, mit $d(x_k,x_j) > ε$ für $k \ne j$. + Dann besitzt $(x_k)_{k ∈ K}$ offensichtlich keine Cauchy-Teilfolge, also auch keinen Häufungspunkt. +\end{proof} + \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf Binary files differindex f8d7209..b73faa1 100644 --- a/pdf/funkana.pdf +++ b/pdf/funkana.pdf @@ -141,13 +141,14 @@ \newthm{proposition}{Proposition} % aufrechte schrift \theorembodyfont{\normalfont} -\newthm{definition}{Definition} \newthm{bezeichnung}{Bezeichnung} \newthm{bezeichnungen}{Bezeichnungen} \newthm{voraussetzung}{Voraussetzung} \newthm{voraussetzungen}{Voraussetzungen} \newdef{bemerkung}{Bemerkung} \newdef{bemerkungen}{Bemerkungen} +\newdef{definition}{Definition} +\newdef{warnung}{Warnung} \newdef{erinnerung}{Erinnerung} \newdef{beispiel}{Beispiel} \newdef{beispiele}{Beispiele} |