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diff --git a/ch01-lineare-struktur.tex b/ch01-lineare-struktur.tex index 2f43694..bd2f259 100644 --- a/ch01-lineare-struktur.tex +++ b/ch01-lineare-struktur.tex @@ -146,6 +146,9 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \begin{definition}[Lineare Abbildung] \index{Funktion!linear} \index{Abbildung!linear} + \index{Kern} + \index{Bild} + \index{Funktional} \label{defi-lineare-abbildung-1.3.1} Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $\alpha , β ∈ \K$ gilt: \[ @@ -242,11 +245,11 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \label{sec:duale-raume} $A: X → \K$ sei ein lineares Funktional, $X$ ein linearer Raum. Wir verwenden ein neues Symbol (statt $A$) \[ - x': X → \K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases} \text{ linear}. + x': X → \K \text{ linear}. \] Wir schreiben nun \[ - x'(x) =: \langle x, x' \rangle = \langle x, x' \rangle_{X × X^f} ∈ \K. + x'(x) \eqcolon \langle x, x' \rangle = \langle x, x' \rangle_{X × X^f} ∈ \K. \] Wir setzen \[ diff --git a/ch02-topologie.tex b/ch02-topologie.tex index 35f1f1e..bf094ab 100644 --- a/ch02-topologie.tex +++ b/ch02-topologie.tex @@ -173,11 +173,12 @@ \end{bemerkung-nn} \begin{definition}[Homöomorphismus] \index{Homöomorphismus} + \index{isomorph!topologisch} \label{defi:homoeomorphismus-2.1.8} Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv, stetig, und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig, dann heißt $f$ (und $f^{-1}$) \emph{Homöomorphismus}. - $X$ und $Y$ heißen \emph{homöomorph}, falls so ein Homöomorphismus + $X$ und $Y$ heißen \emph{homöomorph} oder \emph{topologisch isomorph}, falls so ein Homöomorphismus existiert. \end{definition} \begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen] @@ -237,13 +238,13 @@ existiert. \end{beispiel-nn} \begin{definition}[Produkttopologie] \index{Topologie!Produkt-} - Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume. - Dann ist die Familie von Mengen + Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume. + Dann ist die Familie von Mengen \[ - \{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset \Pot{X \times Y} + \{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset \Pot{X \times Y} \] - eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$. - Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden. + eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$. + Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden. \end{definition} \section{Metrische Räume} \index{Raum!metrischer} @@ -325,7 +326,7 @@ existiert. Dann sind $B_{δ/2}(x)$ und $B_{δ/2}(y)$ disjunkte Umgebungen von $x$ bzw $y$: Sei $z ∈ B_{δ/2}(x)$. Dann ist \[ - d(z,y) \ge d(y,x) - d(x,z) > δ - \frac δ 2 = \frac δ 2. + d(z,y) \ge d(y,x) - d(x,z) > δ - \frac {δ} 2 = \frac {δ} 2. \] \end{proof} \begin{lemma-nn}[Eigenschaften metrischer Räume] @@ -343,9 +344,7 @@ existiert. \item Es ist $x_0 ∈ M$ genau dann ein innerer Punkt von $M ⊂ X$, wenn ein $\epsilon > 0$ existiert mit $B_\epsilon (x_0) ⊂ M$. \item - $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder Kugel -$B_\epsilon (x_0)$ mit $x_0 ∈ X, \epsilon > 0$ eine Kugel $B_\delta (x_1) ⊂ -B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt. + $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder Kugel $B_\epsilon (x_0)$ mit $x_0 ∈ X, \epsilon > 0$ eine Kugel $B_\delta (x_1) ⊂ B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt. \item Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume. Dann ist auch $(X×Y,d_{X×Y})$ ein metrischer Raum vermöge der Metrik @@ -396,7 +395,6 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. \index{Abzählbarkeitsaxiom!zweites} Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt. \end{bemerkung} - \section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire} \label{sec:vollst-metr-raum} \begin{definition}[Cauchy-Folge] @@ -412,7 +410,7 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. Sei etwa $\lim_{n→∞} x_n = x$. Sei $ε > 0$. Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen $x$ konvergiert, gibt es $N ∈ ℕ$ mit $d(x_n,x)< ε/2$ für alle $n ≥ N$, also mit der Dreiecksungleichung \[ - ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < \frac ε 2 + \frac ε 2 = ε. + ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < \frac {ε} 2 + \frac {ε} 2 = ε. \] \end{proof} \begin{definition}[vollständiger metrischer Raum] @@ -542,22 +540,21 @@ Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung: Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$. Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht. \item - Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist - $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$. + Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. + Dann ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$. \item - Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit - $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ - \ne \emptyset$. + Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. + Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ \ne \emptyset$. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} \begin{enumerate} \item - Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne - \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik - $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$ - und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv - Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden + Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. + Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne \emptyset$. + Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik $d$. + Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$ und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. + Wir wählen nun induktiv Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate}[label=(\roman*)] \item @@ -565,37 +562,31 @@ Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung: \item $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ \end{enumerate} - Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen - ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩ - B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon 2$ ist wie gewünscht. Für $m - \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt, - dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit - konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m > - N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass + Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon 2$ ist wie gewünscht. + Für $m \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt, dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. + Damit konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. + Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m > N$. + Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass \begin{align*} - x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\ - & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W, - \end{align*} + x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\ + & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W, + \end{align*} also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$. - Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es - $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt - mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen - $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften: + Sei Nun $X$ lokalkompakt. + Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. + Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. + Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate}[label=(\roman*)] \item $B_k ⊂ B_{k-1}$ \item $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$. \end{enumerate} - Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und - der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und - nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch - eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$. - Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge - $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft. - Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$ - abgeschlossen, somit folgt + Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und nichtleer. + Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$. + Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft. + Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$ abgeschlossen, somit folgt \[ \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k \] @@ -608,10 +599,10 @@ Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung: \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W. \] \item - Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und - dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und - somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n - ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$. + Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. + Dann ist $U_n$ offen und dicht. + Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und somit insbesondere nicht leer, ist. + Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$. \item Das ist eine direkte Konsequenz aus (b). \end{enumerate} diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex index 8c23587..f55914a 100644 --- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex +++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex @@ -925,7 +925,7 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) \begin{beispiel}[Sobolev-Räume] Wir kennen aus der Analysis bereits die partielle Integration: Für alle $f, h ∈ C^1(\cl \Omega)$, wobei $\Omega$ beschränkt und $∂M$ hinreichend glatt, gilt \[ - ∫_\Omega f(t) \cdot \left[ \frac ∂ {∂t_i} h(t) \right] \dd t = ∫_{∂\Omega} f(t) h(t) \nu_i \dd S(t) - ∫_\Omega \left[ \frac ∂ {∂t_i} f(t) \right] h(t) \dd t, + ∫_\Omega f(t) \cdot \left[ \frac {∂} {∂t_i} h(t) \right] \dd t = ∫_{∂\Omega} f(t) h(t) \nu_i \dd S(t) - ∫_\Omega \left[ \frac {∂} {∂t_i} f(t) \right] h(t) \dd t, \] wobei $\nu = (\nu_1, …, \nu_n)^T$ die äußere Einheitsnormale ist. diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex index 4f04bb6..52a7f4d 100644 --- a/ch06-schwache-topologien.tex +++ b/ch06-schwache-topologien.tex @@ -323,8 +323,6 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 - - %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana-ebook" @@ -1,4 +1,4 @@ -$pdflatex = 'xelatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; -#$pdflatex = 'pdflatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; +#$pdflatex = 'xelatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; +$pdflatex = 'pdflatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; $pdf_mode = 1; $out_dir = "build";
\ No newline at end of file @@ -206,10 +206,10 @@ \theorembodyfont{\normalfont} \theoremseparator{.} % \theoremsymbol{\scalebox{0.8}{\ensuremath{\blacksquare}}} -\theoremsymbol{\nolinebreak[1]\hspace*{.5em plus 1fill}\scalebox{0.8}{\ensuremath{\blacksquare}}} +\theoremsymbol{\scalebox{0.8}{\ensuremath{\blacksquare}}} \newtheorem{proof}{Beweis} \newtheorem{beweis}{Beweis} -\theoremsymbol{\nolinebreak[1]\hspace*{.5em plus 1fill}\scalebox{0.8}{\ensuremath{\nikeswoosh}}} +\theoremsymbol{\scalebox{0.8}{\ensuremath{\nikeswoosh}}} \newtheorem{noproof}{Beweis} \renewcommand{\thesection}{\arabic{section}} |