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diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index 1ebf524..172c42d 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -10,7 +10,7 @@ \def\K{\mathbb{K}} \def\N{\mathbb{N}} \def\L{\mathcal{L}} -\def\T{\mathcal{T}\!} +\def\T{\mathcal{T}} \def\U{\mathcal{U}} \def\eps{\varepsilon} \def\iff{\Leftrightarrow} @@ -774,6 +774,255 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri Tatsächlich ist es im Allgemeinen gar nicht erfüllt. Erst im normierten Raum bekommt man diese Stetigkeit geschenkt. \end{bemerkung-nn} +\section{Normierte Räume} +\begin{definition} + Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,∞)$ + heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, α ∈ K$ gilt: + \begin{enumerate} + \item $\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ + \item + $\norm{αx} = |α| \norm x$ + \item + $\norm{x+y} \le \norm x + \norm y$ + \end{enumerate} + $(X,\norm\cdot)$ heißt dann \emph{normierter Raum}. +\end{definition} + +\begin{bemerkung} + Durch $d(x,y) := \norm{x-y}$ wird ein normierter Raum auch ein metrischer, also insbesondere auch ein topologischer Raum. + Diese induzierte Topologie auf $(X, \norm\cdot)$ heißt \emph{Normtopologie}. + + Ohne die lineare Struktur macht der normierte Raum gar keinen Sinn, da für die Definition einiger der Normaxiome die Vektorraumoperationen verwendet werden. +\end{bemerkung} + +\begin{beispiele} + \begin{enumerate} + \item + Betrachte den $ℝ^n$ mit $\norm x _{p} := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$ mit $1 \le p < ∞$ ist ein normierter Raum, + genauso wie mit $\norm{x}_{∞} := \max_{1 \le i \le n} |x_i|$. + Insbesondere gibt es im $ℝ^n$ überabzählbar viele verschiedene Normen. + Wir werden jedoch später sehen, dass diese Normen alle die gleiche Topologie erzeugen. + \item + Der Raum aller stetigen Funktionen auf einem kompaktem Intervall $C[a,b]$ mit $\norm{x}_{∞} := \max_{t ∈ [a,b]} |x(t)|$ ist ein normierter Raum. + Außerdem wird durch + \[ + \norm x := ∫_a^b |x(t)| dt + \] + ebenfalls eine Norm definiert. + \item + Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und beschränkt. Dann wird $C(\cl{\Omega})$ mit + \[ + \norm{x}_{∞} := \max_{t ∈ \cl \Omega} |x(t)| + \] + auch zu einem normierten Raum. + \item + $L^p(\Omega) = \L^p(\Omega)/\mathcal N$, wobei $\mathcal N = \{ f: \Omega → \R, f(t) = 0 \text{ fast überall}\}$ ist mit + \[ + \norm x := \left(∫_{\Omega} |x(t)|^p dt \right)^{1/p} + \] + ein normierter Raum, wobei $1 \le p < ∞$. + \item + $\ell^p$ mit + \[ + \norm x _{p} := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \] + ist ebenfalls ein normierter Raum, wobei $1 \le p < ∞$. + \end{enumerate} +\end{beispiele} + +\begin{lemma} + Sei $(X, \norm\cdot)$ ein normierter Raum. Dann sind die Abbildungen $+$, $\cdot$ und $\norm\cdot$ stetig. +\end{lemma} +\begin{proof} + Für beliebige Folgen $(x_n)_{n ∈ ℕ},(y_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $\lim x_n = x$, $\lim y_n = y$, $\lim α_n = α$ gelten + \[ + \norm{(x_n + y_n) - (x+y)} \le \norm{x-x_n} + \norm{y -y_n} + \] + sowie + \[ + \norm{α_nx_n - αx} \le |α_n| \norm{x_n-x} + \norm{x} |α_n - α| + \] + und + \[ + |\norm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x} + \] + nach der umgekehrten Dreiecksungleichung. + Folglich sind die zu betrachtenden Abbildungen alle folgenstetig, und, da metrische Räume stets dem ersten Abzähhlbarkeitsaxiom genügen, auch stetig. +\end{proof} + +\begin{korollar} + Jeder normierte Raum versehen mit der Normtopologie ist ein topologischer linearer Raum. + Deshalb ist auch keine Unterscheidung zwischen normierten Räumen und normierten linearen Räumen nötig. +\end{korollar} + +\section{Topologische lineare Räume} +\begin{bemerkung-nn} + Hierbei sei stetis die Topologie von $X×X$ die Produktopologie, bei den Körpern $\K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases}$ die übliche Topologie. + Wir schreiben im Folgenden für Mengen $M, M_1, M_2 ⊂ X$ und $α ⊂ \K$ nun + \[ + M_1 + M_2 := s(M_1,M_2) := \{x+y : x ∈ M_1, y ∈ M_2\}, + \] + \[ + A \cdot M := m(A,M) := \{ αx: α ∈ A, x ∈ M\}. + \] +\end{bemerkung-nn} + +\begin{lemma} + Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item Die Addition $s$ ist stetig. + \item + Für beliebiges $x, y ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{x+y} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_y ∈ \T$ von $y$ mit $O_x + O_y ⊂ O_{x+y}$ + \end{enumerate} +\end{lemma} +\begin{proof} + $s$ ist stetig in $(x,y)$ genau dann, wenn zu jeder Umgebung $O_{x,y} ∈ \T_X$ + von $(x,y)$ existiert eine Umgebung $U ⊂ \T_{X×X}$ von $(x,y)$ mit $s(U) ⊂ O_{x+y}$. + Nach Definition der Produkttopologie existieren dann Umgebungen $O_x ∈ \U_x$ und $O_y ∈ \U_y$ mit $O_x × O_y ⊂ U$. + Damit ist + \[ + O_x + O_y = s(O_x, O_y) = s(O_x × O_y) ⊂ s(U) ⊂ O_{x+y}. + \] + Analog zeigt man die entsprechende Aussage für die skalare Multiplikation: +\end{proof} +\begin{lemma} + Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item Die Addition $m$ ist stetig. + \item + Für beliebiges $α ∈ \K, x ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{αx} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_α ∈ \T$ von $y$ mit $O_α × O_x ⊂ O_{αx}$. + \end{enumerate} +\end{lemma} + +Betrachtet man insbesondere die Stetigkeit am Punke $α=0$ und $x ∈ X$ beliebig, dann gilt also: +Für jede Umgebung $O_0 ∈ \U_0 ⊂ X$ existiert eine Umgebung $O_x ∈ \U_x$ und ein $r > 0$, so dass +\[ + ∀β: |β| <r: βO_x ⊂ O_0. +\] +Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar: +\begin{korollar} + Im topologischen Raum $(X,\T)$ gilt für $x ∈ X$ beliebig und $(β_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$ + \[ + β_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \implies β_nx \xrightarrow{n → ∞} 0. + \] +\end{korollar} + +\begin{definition-nn} + \begin{enumerate} + \item + Zu $x_0 ∈ X$ fest definieren wir den Translationsoperator + \[ + T_{x_0} := X → X, x ↦ x + x_0. + \] + \item + Zu $α_0 ∈ \K^*$ fest definieren wir den Multiplikationsoperator + \[ + M_{α_0} := X → X, x ↦ α_0\cdot x. + \] + \end{enumerate} +\end{definition-nn} + +\begin{lemma} + Die Translationsoperatoren und Multiplikationsoperatoren sind Homöomorphismen. +\end{lemma} +\begin{proof} + Das ist klar. +\end{proof} + +\begin{korollar}[Invarianzprinzip] + Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ ist die Topologie bereits durch die offenen Umgebungen von $0 ∈ X$ bestimmt. Alle anderen offenen Mengen entstehen durch Translation. +\end{korollar} +\begin{proof} + Das ist klar. +\end{proof} + +\section{Metrische lineare Räume und Quasi-normierte Räume} +\begin{definition} + Eine Metrik $d: X × X → ℝ$ auf einem linearen Raum $X$ heißt \emph{translationsinvariant}, falls gilt: + \[ + ∀x,y,z ∈ X: d(x,y) = d(x+z, y+z), + \] + oder äquivalent dazu: + \[ + ∀x,y ∈ X: d(x,y) = d(x-y, 0). +k \] +\end{definition} +\begin{bemerkung-nn} + Ohne lineare Struktur macht das gar keinen Sinn! +\end{bemerkung-nn} + +\begin{definition} + Ein metrischer Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter Mertik $d$ heißt \emph{metrischer linearer Raum}, falls + die Vektorraumoperationen stetig sind (in der von der Metrik induzierten Topologie). +\end{definition} + + +\begin{lemma} + Im metrischen Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter metrik, dann ist die Addition immer stetig. +\end{lemma} +\begin{proof} + Es genügt, da in metrischen Räumen Folgenstetigkeit und Stetigkeit äquivalent sind, zu zeigen, dass $\lim d(x_n + y_n, x + y ) = 0$, sofern $\lim d(x_n,x) = 0$ und $\lim d(y_n,y) = 0$. + Dazu ist + \[ + d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow{n → ∞} 0. + \] +\end{proof} + +\begin{beispiel-nn} + Sei $X = C(a,b)$ mit der Metrik + \[ + d(x,y) := \min\{ 1, \sum_{t ∈ (a,b)} |x(t)-y(t)|\}. + \] + Dann ist $d$ eine translationsinvariante Metrik, aber $X$ ist kein linearer Raum, da die Skalarmultiplikation nicht stetig ist. +\end{beispiel-nn} +Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ hat man (nach dem $ε-δ-Kriterium$) +\[ + ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∃ r> 0 ∀β ∈ \K ∀y ∈ X: + \begin{rcases} + |β - α| < r \\ + d(x,y) < δ + \end{rcases} + \implies d(βy,αx) < ε +\] + + +\begin{lemma} + Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit linearer Struktur und mit einer translationinvarianten Metrik. + Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $α ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ) ⊂ \K}$ gilt + \begin{gather*} + αx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \\ + αx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \\ + α_nx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 + \end{gather*} +\end{lemma} +\begin{proof} + „$⇒$”: Skalare Multiplikation ist im metrischen linearen Raum stetig, also folgen die Aussagen sofort. + + „$⇐$“: Wegen der Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit ist zu zeigen + \[ + \begin{rcases} + α_n \xrightarrow{n → ∞} α ∈ \K \\ + x_n \xrightarrow{n → ∞} x ∈ X + \end{rcases} + \implies α_n x_n \xrightarrow{n → ∞} αx. + \] + + Sei dazu $z_n := x_n - x ∈ X$, $γ_n := α_n - α ∈ \K$. Dann ist + \[ + γ_n z_n + γ_n x + α z_n = (α_n - α)(x_n-x) + (α_n-α) x + α(x_n-x) + = α_n x_n - α×. + \] + Somit ist + \begin{align*} + d(α_nx_n,αx) &= d(αnx_n - αx,0) = d(γ_nz_n + γnx + αz_n, 0) \\ + &\le \underbrace{d(γ_nz_n,0)}_{→ 0} + \underbrace{d(γ_nx, 0)}_{→ 0} + \underbrace{d(αz_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow{n → 0} 0. + \end{align*} + Da die Addition ohnehin immer stetig ist, sind wir fertig. +\end{proof} + + + + %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana" diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf Binary files differindex a504181..1be5208 100644 --- a/pdf/funkana.pdf +++ b/pdf/funkana.pdf @@ -18,19 +18,20 @@ \RequirePackage{gitinfo} \RequirePackage{mathtools} -\RequirePackage{amsmath, amsfonts, amssymb} +\RequirePackage{amsmath, amssymb} % fonts \RequirePackage[warnings-off={mathtools-colon,mathtools-overbracket}]{unicode-math} -\setromanfont[Ligatures=TeX]{TeX Gyre Termes} +\setromanfont[Ligatures=TeX]{TeX Gyre Pagella} \setsansfont{Latin Modern Sans} % \setsansfont{Roboto} % \setmathfont{XITS Math} -\setmathfont{TeX Gyre Termes Math} +\setmathfont{TeX Gyre Pagella Math} \setmathfont[range=\setminus]{XITS Math} \setmathfont[range={\sum}]{TeX Gyre Termes Math} \setmathfont[range={\int}]{XITS Math} -\setmathfont[range={\mathcal}]{Latin Modern Math} +\setmathfont{Latin Modern Math}[range={cal,bfcal},StylisticSet=1] +% \setmathfont[range={\mathcal}]{Latin Modern Math} \setkomafont{disposition}{\sffamily} \RequirePackage{mathtools} @@ -91,8 +92,8 @@ \newcounter{defsatzusw} \def\newthm#1#2{ \newmdtheoremenv[ntheorem, - linewidth=0.8pt, - backgroundcolor=black!10, + linewidth=0.5pt, + backgroundcolor=black!05, linecolor=black, everyline=true, leftline=true, rightline=true, bottomline=true, topline=true, |