diff options
Diffstat (limited to 'ch01-lineare-struktur.tex')
| -rw-r--r-- | ch01-lineare-struktur.tex | 155 |
1 files changed, 81 insertions, 74 deletions
diff --git a/ch01-lineare-struktur.tex b/ch01-lineare-struktur.tex index bd2f259..3944b47 100644 --- a/ch01-lineare-struktur.tex +++ b/ch01-lineare-struktur.tex @@ -1,9 +1,10 @@ \chapter{Die lineare Struktur} \label{cha:die-lineare-struktur} \index{Struktur!lineare} +Alle in diesem Kapitel vorgestellten Resultate gelten für beliebige Körper. +Wir werden uns aber im weiteren Verlauf quasi ausschließlich mit den aus der Analysis bekannten Körper der reellen Zahlen $ℝ$ und der komplexen Zahlen $ℂ$ beschäftigen. \section{Der lineare Raum} \label{sec:der-lineare-raum} -Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \begin{definition}[Vektorraum, linearer Raum] \label{defi:vektorraum-1.1.1} \index{Raum!linearer} @@ -13,55 +14,52 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \cdot : \K × X → X \] heißt $\K$-\emph{Vektorraum} oder \emph{linearer Raum}, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt: - \begin{enumerate}[label=(V\arabic*)] + \begin{wenumerate}[label=(V\arabic*)] \item $\alpha x+y) = \alpha x + βy$ \item $(\alpha +β)x = \alpha x + βx$ \item $(\alpha β)x = \alpha (βx)$ \item $1 \cdot x = x$ - \end{enumerate} + \end{wenumerate} \end{definition} -\begin{bemerkung-nn} - Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum. -\end{bemerkung-nn} -\begin{bemerkung-nn} - \index{Raum!linearer Teil-} - Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $\alpha , β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $\alpha x + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist. - $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}. -\end{bemerkung-nn} -\begin{bemerkung-nn} - \index{Aufspann} - Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$. - Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$ - \[ - \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, \alpha _1,…,\alpha _l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l \alpha _i m_i = x \right\}. - \] -\end{bemerkung-nn} -\begin{bemerkung-nn} - \index{Basis!Hamel-} - $M = \{x_\lambda \}_{\lambda ∈ \Lambda } ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt, - $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_\lambda $ schreiben, und $\lspan M = X$ ist. -\end{bemerkung-nn} -\begin{bemerkung-nn} - \index{Dimension} - Besitzt $X$ eine Basis von $n < \infty $ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$. - Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = \infty $). -\end{bemerkung-nn} -\begin{bemerkung-nn} - \index{Summe} - Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist - \[ - X_1 + X_2 \coloneq \left\{ \alpha x_1 + βx_2: \alpha , β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\} - \] - ebenfalls ein linearer Teilraum. - Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}. -\end{bemerkung-nn} -\begin{bemerkung-nn} - \index{Raum!Quotienten-} - Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch - $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$. - Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum. - Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$. -\end{bemerkung-nn} +\begin{definition-nn} + \begin{enumerate} + \item + Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum. + \item + \index{Raum!linearer Teil-} + Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $\alpha , β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $\alpha x + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist. + $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}. + \item + \index{Aufspann} + Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$. + Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$ + \[ + \lspan M = \Big\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, \alpha _1,…,\alpha _l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l \alpha _i m_i = x \Big\}. + \] + \item + \index{Basis!Hamel-} + $M = \{x_\lambda \}_{\lambda ∈ \Lambda } ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt, + $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_\lambda $ schreiben, und $\lspan M = X$ ist. + \item + \index{Dimension} + Besitzt $X$ eine Basis von $n < \infty $ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$. + Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = \infty $). + \item + \index{Summe} + Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist + \[ + X_1 + X_2 \coloneq \left\{ \alpha x_1 + βx_2: \alpha , β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\} + \] + ebenfalls ein linearer Teilraum. + Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}. + \item + \index{Raum!Quotienten-} + Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch + $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$. + Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum. + Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$. + \end{enumerate} +\end{definition-nn} \begin{satz} \label{satz:vr-besitzt-basis-1.1.2} Jeder lineare Raum besitzt eine (Hamel-)Basis. @@ -87,12 +85,22 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \section{Beispiele} \label{sec:beispiele} +In diesem Abschnitt geben geben wir nun einige Beispiele zu linearen Räumen über den Körpern $ℝ$ und $ℂ$ an. +Wir werden uns mit diesen Räumen noch weiter beschäftigen, zunächst betrachten wir aber nur die lineare Struktur auf ihnen. +Zunächst die (bis auf isomorphie eindeutig bestimmten) endlich"=dimensionalen Räume: \index{$ℝ^n$} -\begin{beispiel} +\index{$ℂ^n$} +\begin{beispiel}[$ℝ^n$, $ℂ^n$] Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum. + Dabei ist $\dim_ℝ ℝ^n = n$ und $\dim_ℂ ℂ^n = n$, aber $\dim_ℝ ℂ^n = 2n$. + Insbesondere ist $C$ auch ein zwei"=dimensionaler reeller Vektorraum. \end{beispiel} -\begin{beispiel} +In der klassischen Analysis haben wir uns bereits ausgiebigst mit diesen Räumen befasst. +Die Funktionalanlaysis versucht nun, einige der Konzepte, die wir von diesen Räumen kennen, auf die nachfolgenden unendlich"=dimensionalen Räume zu übertragen: + +\begin{beispiel}[{$C[a,b]$}] + \index{$C[a,b]$} Sei $[a,b] ⊂ ℝ$, $a < b$. Dann ist \[ C[a,b] = \{x: [a,b] → \K, x \text { ist stetig}\} @@ -106,32 +114,34 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \index{$\ell^p$} \index{Folge!$p$-summierbar} \index{Raum!Folgen-} - Es ist + Sei $0 < p < ∞$. Wir betrachten die Menge $\ell^p$ aller $p$-Summierbaren Folgen in $\K$ \[ - \ell^p = \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \} + \ell^p = \Big\{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \Big\}. \] - für $0 < p < ∞$ ein linearer Raum. - Die Menge der Einheitsvektoren $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ mit $e_i = (0,…,0,1,0,…)$ ist eine unendliche linear unabhängige Teilmenge, aber ebenfalls keine Basis. + Sie wird mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation ein linearer Raum. + Dabei ist die Menge der Einheitsvektoren $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ mit $e_i = (0,…,0,1,0,…)$ ist eine unendliche linear unabhängige Teilmenge, aber ebenfalls keine Basis. Genauso ist \[ - \ell^∞ = \left\{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sup_{n=1} |ξ_n| < ∞ \right\} + \ell^∞ = \Big\{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sup_{n=1} |ξ_n| < ∞ \Big\} \] - ein überabzählbar"=dimensionaler linearer Raum mit den Unterräumen + ein überabzählbar"=dimensionaler linearer Raum mit den unendlich"=dimensionalen linearen Unterräumen \[ - c = \left\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n \text{ existiert}\right\} + c = \Big\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n \text{ existiert}\Big\} \] und \[ - c_0 = \left\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n = 0 \right\}. + c_0 = \Big\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n = 0 \Big\}. \] \end{beispiel} -\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] \index{$L^p$} +\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] + \index{$L^p$} + \index{$\L^p$} \index{Funktion!Lebesgue-integrierbar} Sei $M ⊂ ℝ$ messbar und $0 < p < ∞$. Dann ist \[ - \L^p(M) = \left\{f : M → ℝ, f \text { messbar}, ∫_M |f|^p \dd μ < ∞ \right\} + \L^p(M) = \Big\{f : M → ℝ, f \text { messbar}, ∫_M |f|^p \dd μ < ∞ \Big\} \] ein unendlich"=dimensionaler linearer Raum. Offenkundig ist $\mathcal N \coloneq \{ f: M → ℝ,\; f = 0$ fast überall $\}$ ein Unterraum von $\L^p(M)$, also auch @@ -184,7 +194,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \end{enumerate} \end{bemerkung} -\begin{beispiel-nn} +\begin{beispiel} $X = \{ x: [a,b] → ℝ, x, \dot x, \ddot x \text{ stetig},\; x(a) = \dot x(a) = 0\}$ ist ein linearer Raum. Sei $Y = C[a,b]$ und $A: X → Y$ gegeben durch \[ @@ -201,9 +211,9 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die Also ist $A$ bijektiv, das heißt, es gibt eine lineare Abbildung $A^{-1}: Y → X$. Diese Inverse ist in der Regel schlecht anzugeben. Einen einfacheren Spezialfall dazu wird in der Übung behandelt. -\end{beispiel-nn} +\end{beispiel} -\begin{beispiel-nn} +\begin{beispiel} Sei $X = Y = C[a,b]$, $A: X → X$ gegeben durch \[ (Ax)(t) \coloneq ∫_a^b k(s,t) x(s) ds, \quad t ∈ [a,b], @@ -217,9 +227,9 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die linear. Die Probleme $Ax = y$ (bei gegebenem $y ∈ Y$ und gesuchtem $x ∈ X$) oder $A_\lambda x = 0$ (gesucht ist $\lambda ∈ ℝ$ und eine nichttriviale Lösung $x ∈ X \setminus \{ 0\}$) heißen Integralgleichungen erster und zweiter Ordnung. -\end{beispiel-nn} +\end{beispiel} -\begin{beispiel-nn} +\begin{beispiel} Sei $X = C[a,b]$, $A : X → ℝ$ mit \[ Ax = x(t_0), @@ -230,28 +240,25 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die Ax = ∫_a^b x(t) dt \] Dann sind beide Abbildungen $A$ linear und nicht injektiv, aber surjektiv. -\end{beispiel-nn} +\end{beispiel} -\begin{beispiel-nn} +\begin{beispiel} Sei $X = \ell^2$, $A: X → X$. Für $x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ sei \[ Ax = (0,ξ_1, ξ_2, \dots) ∈ \ell^2. \] $A$ heißt (Rechts-)Shiftoperator und ist linear und injektiv, jedoch nicht surjektiv. Solche Abbildungen gibt es für $\dim X = \dim Y < \infty $ nicht. -\end{beispiel-nn} +\end{beispiel} \section{Duale Räume} \label{sec:duale-raume} -$A: X → \K$ sei ein lineares Funktional, $X$ ein linearer Raum. Wir verwenden ein neues Symbol (statt $A$) -\[ - x': X → \K \text{ linear}. -\] +Wir bezeichnen lineare Funktionale $X → \K$ (also stetige lineare Abbildungen $X → \K$) üblicherweise mit $x'$. Wir schreiben nun \[ - x'(x) \eqcolon \langle x, x' \rangle = \langle x, x' \rangle_{X × X^f} ∈ \K. + x'(x) \eqcolon \langle x, x' \rangle = \langle x, x' \rangle_{X × X^f} ∈ \K \] -Wir setzen +und setzen \[ X^f \coloneq \left\{ x': x' \text{ ist lineares Funktional auf } X \right\}. \] @@ -262,11 +269,11 @@ Der Raum $X^f$ wird auf natürlicher Weise zum linearen Raum mit \[ (\alpha x_1' + βx_2')(x) \coloneq \alpha x_1'(x) + βx_2'(x), \quad x ∈ X, x_1', x_2' ∈ X^f, \alpha , β ∈ \K. \] -So ist +Dann ist \[ \langle -,- \rangle_{X×X^f}: X × X^f → \K \] -bilinear. +eine Bilinearform. \begin{definition}[Algebraischer Dualraum, Algebraischer Bidualraum] \index{Raum!algebraischer Dual-} \index{Raum!algebraischer Bidual-} @@ -320,5 +327,5 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol %%% Local Variables: %%% mode: latex -%%% TeX-master: "funkana-ebook" +%%% TeX-master: "funkana" %%% End: |