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Die Menge aller Folgenglieder $M=\{x_{n}:n \in \N\}=\{-1,1\}$ hat als Menge jedoch keine Häufungspunkte. \end{beispiel-nn} \begin{bemerkung-nn} - Für die indiskrete Topologie ist jeder Punkt in $X$ Häufungspunkt jeder Folge. + Die Anzahl der Häufungsunkte, die eine Folge haben kann, ist unbeschränkt. + Ist $X$ eine beliebige Menge, die mit der Klumpentopologie ausgestattet ist, so ist jeder Punkt in $X$ Häufungspunkt (und Grenzwert) jeder Folge. \end{bemerkung-nn} \begin{definition}[Stetigkeit] \index{stetig} @@ -168,9 +176,12 @@ $f$ heißt \emph{stetig}, falls für alle $V \in \T_{Y}$ gilt, dass $f^{-1}(V) \in \T_{X}$. \end{enumerate} \end{definition} -\begin{bemerkung-nn} - $f$ ist genau dann stetig, wenn $f$ in jedem Punkt stetig ist. -\end{bemerkung-nn} +\begin{lemma-nn} + Eine Abbildung $f: X → Y$ zwischen topologischen Räumen $X$, $Y$ ist genau dann stetig, wenn $f$ in jedem Punkt stetig ist. +\end{lemma-nn} +\begin{noproof} + ~ +\end{noproof} \begin{definition}[Homöomorphismus] \index{Homöomorphismus} \index{isomorph!topologisch} @@ -195,7 +206,7 @@ existiert. \begin{beispiel-nn} Für die natürliche Topologie auf $\R^n$ ist eine Basis der Topologie gegeben durch ${B_{\eps}(x): x \in X, \eps > 0}$ - mit den offenen Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \norm{x-y}<\eps}$. + mit den offenen Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \snorm{x-y}<\eps}$. Sei $x \in \R^n$ fest. Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x \end{beispiel-nn} @@ -203,12 +214,12 @@ existiert. \index{Topologie!Relativ-} \index{Topologie!Spur-} \label{defi:relativtop-2.1.10} - $M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise + Eine Teilmenge $M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' \coloneq \{M \cap V : V \in \T\}$. \end{definition} \begin{bemerkung-nn} - $M = M \cap X \in \T'$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie. - Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein. + Es gilt $M = M \cap X \in \T'$, denn es ist $X \in \T$, das heißt $M$ ist offen in der Spurtopologie (denn $M$ muss ja in jeder Topologie auf $M$ offen sein) + Aber $M$ muss hingegen nicht notwendigerweise offen in $X$ sein. \end{bemerkung-nn} \begin{definition} \index{Topologie!feiner} @@ -224,17 +235,30 @@ existiert. Die feinere Topologie $\T_{1}$ enthält mehr offene Mengen, und damit zu jedem Grenzwert $x_{0}$ weniger konvergte Folgen. - Man zeigt leicht: - $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$ $\Longleftrightarrow$ - Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \subset T_{1},B_{2} \subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, - dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$. \end{bemerkung-nn} +\begin{lemma-nn} + Sei $X$ eine Menge, $\T_1$ und $\T_2$ Topologien auf $X$, für jedes $x ∈ X$ $B^x_i$ eine Umgebungsbasis von $x$ in $\T_i$, $i=1,2$. + Dann sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item + $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$ + \item + Für alle $x ∈ X$ und jedes $U ∈ \U_x^{\T_1}$ gibt es ein $V ∈ \U_x^{\T_2}$ mit $V ⊂ U$. + \item + Für alle $x \in X$ gibt es für jedes $U \in B_{1}$ ein $V \in B_{2}$ mit $V \subset U$. + \end{enumerate} +\end{lemma-nn} +\begin{noproof} + ~ +\end{noproof} \begin{beispiel-nn} - Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich. + Folgende Topolgien $\T_1$ und $\T_2$ auf $\R^n$ sind gleich: $\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln $B_{\eps}(x)=\{y \in R^n : \norm{x-y}<\eps\}$ erzeugt wird. $\T_{2}$ sei die Topologie, die durch die Quader $B_{\eps}(x)=\{y \in R^n : \max_{1 \leq i \leq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps\}$ erzeugt wird. + Tatsächlich sind alle Topologien auf $ℝ^n$, die durch eine Norm induziert + werden identisch, denn alle Normen auf dem $ℝ^n$ sind uniform äquivalent. \end{beispiel-nn} \begin{definition}[Produkttopologie] \index{Topologie!Produkt-} @@ -244,8 +268,29 @@ existiert. \{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset \Pot{X \times Y} \] eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$. - Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden. \end{definition} +\begin{bemerkung-nn} + In dieser Definition würde es auch genügen, wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden. +\end{bemerkung-nn} +\begin{bemerkung-nn} + Allgemeiner kann man auch das Produkt beliebig vieler topologischen Räume auf natürliche Art und Weise mit einer Topologie ausstatten: +\end{bemerkung-nn} +\begin{definition-nn}[Produkttopologie] + Sei $(X_i, \T_i)_{i ∈I}$ eine nichtleere Familie topologischer Räume. + Das kartesische Produkt $\prod_{i ∈ I} X_i$ ist die Menge + \[ + X = \prod_{i ∈ I} X_i = \{ f: I → \bigcup_{i ∈ I} X_i: ∀i ∈ I : f(i) ∈ X_i\}. + \] + Man schreibt die Elemente des kartesischen Produktes als Familien $(x_i)_{i ∈ I}$ mit $x_i ∈ X_i$ für alle $i ∈ I$. + Die \emph{kanonischen Projektionen} $\operatorname{pr}_i: X → X_i$ sind dann gerade die Abbildungen $\operatorname{pr}_i((x_j)_{j∈ I}) = x_i$. + Die zu $(\T_i)_{i ∈ I}$ gehörende \emph{Produkttopologie} ist dann die gröbste Topologie auf $X$, die die Abbildungen $\operatorname{pr}_i : X → X_i$ stetig macht. + Eine Basis der Produkttopologie ist gegeben durch die Zylindermengen + \[ + \mathcal B = \left\{ \prod_{i ∈ I} U_i: U_i ∈ \T_i \text{ und fast alle $U_i = X_i$ } \right\}. + \] + Das kartesische Produkt von endlich viele topologischen Räumen, etwa $X, Y, Z$ schreibt man als $X × Y × Z$. + Es gilt $X × (Y × Z) \simeq X × Y × Z \simeq (X × Y) × Z$. +\end{definition-nn} \section{Metrische Räume} \index{Raum!metrischer} \label{sec:metrische-raume} @@ -255,7 +300,7 @@ existiert. \label{defi:metrik-2.2.1} Sei $X$ eine Menge. $d: X × X → \R$ heißt \emph{Pseudometrik}, wenn $d$ den folgenden Axiomen genügt: - \begin{enumerate}[series=metrik,label=(M\arabic*)] + \begin{wenumerate}[series=metrik,label=(M\arabic*)] \item Für alle $x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) \ge 0$ und $d(x,x) = 0$. \item @@ -264,12 +309,12 @@ existiert. \index{Dreiecksungleichung} \emph{Dreiecksungleichung:} Für alle $x, y, z ∈ X$ gilt $d(x,y) \le d(x,y) + d(z,y)$. - \end{enumerate} + \end{wenumerate} $d$ heißt \emph{Metrik}, falls es zusätzlich - \begin{enumerate}[resume=metrik,label=(M\arabic*)] + \begin{wenumerate}[resume=metrik,label=(M\arabic*)] \item $d(x,y) = 0 \implies x = y$ - \end{enumerate} + \end{wenumerate} \index{Kugel!offene} erfüllt. $(X,d)$ heißt dann (pseudo-)metrischer Raum. Zu $x ∈ X$ und $r > 0$ definieren wir die \emph{offene Kugel um $x$ mit Radius $r$} als @@ -326,10 +371,11 @@ existiert. Dann sind $B_{δ/2}(x)$ und $B_{δ/2}(y)$ disjunkte Umgebungen von $x$ bzw $y$: Sei $z ∈ B_{δ/2}(x)$. Dann ist \[ - d(z,y) \ge d(y,x) - d(x,z) > δ - \frac {δ} 2 = \frac {δ} 2. + d(z,y) \ge d(y,x) - d(x,z) > δ - δ/2 = δ/2. \] \end{proof} \begin{lemma-nn}[Eigenschaften metrischer Räume] + \label{lemma:eigenschaften-metrischer-raeume} Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. \begin{enumerate} \item Jeder Punkt $x ∈ X$ besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis @@ -346,6 +392,20 @@ existiert. \item $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder Kugel $B_\epsilon (x_0)$ mit $x_0 ∈ X, \epsilon > 0$ eine Kugel $B_\delta (x_1) ⊂ B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt. \item + Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume, $f: X → Y$ eine Abbildung, $x ∈ X$. + Dann sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item + $f$ ist steitg in $x$. + \item + $f$ ist folgenstetig in $x$. + \item + Für jedes $ε > 0$ existiert ein $δ > 0$, so dass für alle $y ∈ X$ gilt: + \[ + d(x,y) < δ \implies d(f(x), f(y)) < ε. + \] + \end{enumerate} + \item Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume. Dann ist auch $(X×Y,d_{X×Y})$ ein metrischer Raum vermöge der Metrik \[ @@ -375,13 +435,15 @@ Der Beweis wird aufgrund seiner Trivialität den Lesern zur Übung überlassen, Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. \begin{satz} \index{kompakt} + \index{kompakt!in metrischen Räumen} \label{satz:metr-raum-kompaktheit-aequ-charakt-2.2.4} Im metrischen Raum $(X,d)$ sind äquivalent: \begin{enumerate} \item - \index{kompakt!überdeckungs!} + \index{kompakt!überdeckungs-} $K ⊂ X$ ist kompakt (überdeckungskompakt) \item + \index{kompakt!abzählbar} Jede Folge in $K$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt in $K$ (abzählbar kompakt) \item \index{kompakt!folgen-} @@ -395,6 +457,49 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. \index{Abzählbarkeitsaxiom!zweites} Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt. \end{bemerkung} +\begin{proof}[\cref{satz:metr-raum-kompaktheit-aequ-charakt-2.2.4}] + $(a) ⇒ (b)$: + Nehmen wir umgekehrt an, es gäbe eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$, die keinen Häufungspunkt besitzt. + Dann gibt es für jedes $y ∈ X$ ein $r_y > 0$, so dass $N_y := \{k ∈ ℕ: x_k ∈ B_{r_y}(y)\}$ endlich ist. + Dann sind die offenen Kugeln $(B_{r_y}(y))_{y ∈ X}$ eine offene Überdeckung von $X$, daher existiert, weil $X$ kompakt ist, $F ⊂ X$ endlich mit $X ⊂ \bigcup_{y ∈ F}B_{r_y}(y)$. + Aber das impliziert schon $ℕ = \bigcup_{y ∈ F} N_y$ im Widerspruch zur Unendlichkeit von $ℕ$. + Somit kann so eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ ohne Häufungspunkt nicht existieren und $X$ ist abzählbar kompakt. + + $(b) ⇒ (c)$: Sei $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge in $X$ und $x$ ein Häufungspunkt von $X$. + Wähle nun $n_1 ∈ ℕ$ beliebig und iterativ $n_{k+1} > n_k$ mit $d(x,x_{n_{k+1}}) < 1/k$. Dann ist $(x_{n_k})_{k ∈ }$ eine Teilfolge von $(x_n)_{n ∈ ℕ}$, die gegen $x$ konvergiert. + + $(c) ⇒ (a)$: %Siehe zum Beispiel \cite[Ch 3, Th 28.2]{munkres2000topology}. + Wir zeigen zunächst, dass, wenn $X$ folgenkompakt ist, und $\mathcal A$ eine offene Überdeckung von $X$ ist, ein $δ > 0$ existiert, so dass jede Teilmenge von $X$ mit Durchmesser höchstens $δ$ in einer Menge aus $\mathcal A$ enthalten ist. + Angenommen, es würde kein $δ > 0$ mit dieser Eigenschaft geben. + Dann gibt es insbesondere für jedes $n ∈ ℕ$ eine Menge mit Durchmesser kleiner $1/n$. die nicht in einer Menge aus $\mathcal A$ enthalten ist. + Sei für jede natürliche Zahl $n$ $C_n$ so eine Menge und $x_n ∈ C_n$. + Per Annahme besitzt $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine konvergente Teilfolge, sagen wir $(x_{n_k})_{k ∈ ℕ}$, die gegen $a ∈ X$ konvergiert. + Dann ist $a$ in einem $A ∈ \mathcal A$ enthalten. + Da $A$ offen ist, gibt es ein $ε > 0$, so dass $B_ε(a) ⊂ A$. + Ist nun $k$ so groß, dass $1/n_k < ε/2$, dann ist $C_{n_k} ⊂ B_{ε/2}(x_{n_k})$. + Aber das ist ein Widerspruch zur Annahme. + + Zweitens zeigen wir, dass, wenn $X$ folgenkompakt ist und $ε > 0$, wir eine endliche Überdeckung von $X$ durch $ε$-Bällen finden können. + Auch hier nehmen wir an, das würde nicht gehen. + Sei $ε > 0$ so, dass $X$ nicht von endlich vielen $ε$-Bällen überdeckt werden kann. + Wir konstruieren nun iterativ eine Folge, die keine konvergente Teilfolge besitzen kann: Sei $x_1 ∈ X$ beliebig. + Da per Wahl von $ε$ $X$ nicht komplett von $B_ε(x_1)$ überdeckt wird, gibt es ein $x_2 ∈ X \setminus B_ε(x_1)$. + Wähle nun iterativ, wenn $x_n$ schon konstruiert ist, $x_{n+1}$ so, dass es nicht in der Vereininung + \[ + B_ε(x_1) ∪ \cdots ∪ B_ε(x_n) + \] + liegt. + Das geht, da nach Annahme $X$ nicht von endlich vielen $ε$-Bällen überdeckt werden kann. + Nach Konstruktion ist nun $d(x_n, x_m) > ε$ für $n \ne m$. + Somit kann $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ keine Cauchy"=Teilfolge, also auch keine konvergente Teilfolge enthalten und $X$ ist somit nicht folgenkompakt. + + Nun folgern wir die Behauptung: Sei $\mathcal A$ eine offene Überdeckung von $X$. + Da $X$ folgenkompakt ist, gibt es nun ein $δ > 0$, so dass jede Menge mit Durchmesser kleiner $δ$ in einer Menge in $\mathcal A$ enthalten ist. + Sei nun $ε = δ/3$. + Da $X$ folgenkompakt ist, gibt es eine endliche Überdeckung von $X$ aus $ε$-Bällen. + Da jeder dieser Bälle einen Durchmesser von höchstens $2δ/3$ hat, ist er in einer Menge in $\mathcal A$ enthalten. + Das erlaubt uns, eine endliche Teilüberdeckung aus $\mathcal A$ auszuwählen, die $X$ überdeckt. +\end{proof} \section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire} \label{sec:vollst-metr-raum} \begin{definition}[Cauchy-Folge] @@ -410,7 +515,7 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. Sei etwa $\lim_{n→∞} x_n = x$. Sei $ε > 0$. Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen $x$ konvergiert, gibt es $N ∈ ℕ$ mit $d(x_n,x)< ε/2$ für alle $n ≥ N$, also mit der Dreiecksungleichung \[ - ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < \frac {ε} 2 + \frac {ε} 2 = ε. + ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < ε/2 + ε/2 = ε. \] \end{proof} \begin{definition}[vollständiger metrischer Raum] @@ -419,8 +524,12 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. \index{vollständig} Der metrische Raum $(X,d)$ heißt \emph{vollständig}, falls jede Cauchy-Folge in $(X,d)$ konvergiert. \end{definition} -Nicht jeder metrische Raum braucht vollständig zu sein (man betrachte hierfür z.B. $ℚ$ und die Folge der Partialsummen der Dezimalbruchentwicklung von $\sqrt 2$), -jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. +\begin{bemerkung-nn} + Nicht jeder metrische Raum braucht vollständig zu sein (man betrachte + hierfür z.B. $ℚ$ und die Folge der Partialsummen der Dezimalbruchentwicklung + von $\sqrt 2$), jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem + vollständigen Erweitern. +\end{bemerkung-nn} \begin{satz} \label{satz:metr-raum-vervollstd-2.3.4} \index{Vervollständigung} @@ -428,8 +537,11 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$. \end{satz} \begin{proof} - Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$. - Hierdurch ist eine Äquivalenzrelation definiiert. Sei $[(x_n)_{n ∈ ℕ}]$ die vom Repräsententaten $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ erzeugte Klasse. Man setzt + Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, genau dann, wenn + \[ d(x_n,y_n) \yrightarrow[n → \infty ]{} 0. \] + Hierdurch ist eine Äquivalenzrelation definiiert. + Sei $[(x_n)_{n ∈ ℕ}]$ die vom Repräsententaten $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ erzeugte Klasse. + Man setzt \[ \tilde X \coloneq \{ [ (x_n)_{n ∈ ℕ}] : (x_n)_{n ∈ ℕ} \text{ ist Cauchy-Folge in }(X,d)\} \] @@ -449,7 +561,6 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. \] Die umgekehrte Ungleichung ergibt sich aus Vertauschung der Rollen. Man rechnet leicht nach, dass $(\tilde X, \tilde d)$ ein vollständiger Raum ist. Wir können $(X,d)$ durch die entsprechenden konstanten Folgen isometrisch in $\tilde X$ einbetten. - \todo{Hier fehlt noch was.} \end{proof} \begin{bemerkung-nn} Wendet man diese Technik auf $ℚ$ mit der natürlichen Metrik an, dann erhält man $(ℝ,d)$ als vollständige Hülle. @@ -461,8 +572,10 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und seien $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty ) $ Folgen mit der Eigenschaft \begin{enumerate} - \item $\cl B_{r_{n+1}}(x_{n+1}) ⊂ B_{r_n} (x_n)$ - \item $\lim_{n \to \infty } r_n = 0$. + \item + $\cl B_{r_{n+1}}(x_{n+1}) ⊂ B_{r_n} (x_n)$ + \item + $\lim\limits_{n \to \infty } r_n = 0$. \end{enumerate} Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n} (x_n)$. \end{satz} @@ -473,7 +586,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. \] Also \[ - d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0. + d(x_{n+p},x_n) \le r_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0. \] Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$, da $X$ vollständig ist. Außerdem gilt @@ -488,7 +601,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. Für die Eindeutigkeit sei $\tilde x_0$ ebenfalls in $\bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$. Dann folgt \[ - d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0. + d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0. \] Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$. \end{proof} @@ -524,7 +637,7 @@ Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B B_{r_2}(x_2) ⊂ B_{r_1/2} (x_1) \] und $B_{r_2}(x_2) ∩ M_2 = \emptyset$. - Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty )$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$. + Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty )$ mit $r_n \le r/2^n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0$. Damit sind alle Voraussetzungen von~\cref{satz:schachtelsatz-2.3.5} erfüllt. Folglich existiert genau ein \[ \tilde x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} B_{r_n} (x_n) ⊂ B_r(x_0) ⊂ M. @@ -562,7 +675,7 @@ Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung: \item $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ \end{enumerate} - Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon 2$ ist wie gewünscht. + Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen ist, also existiert $x_n$ und $1/n > \epsilon > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \epsilon/2$ ist wie gewünscht. Für $m \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt, dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m > N$. @@ -611,5 +724,5 @@ Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung: %%% Local Variables: %%% mode: latex -%%% TeX-master: "funkana-ebook" +%%% TeX-master: "funkana" %%% End: |