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index 123583f..f06fbba 100644
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@@ -261,6 +261,7 @@ existiert.
     werden identisch, denn alle Normen auf dem $ℝ^n$ sind uniform äquivalent.
 \end{beispiel-nn}
 \begin{definition}[Produkttopologie]
+    \label{defi:produkttopologie-1.12}
     \index{Topologie!Produkt-}
     Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume.
     Dann ist die Familie von Mengen
@@ -294,6 +295,8 @@ existiert.
 \section{Metrische Räume}
 \index{Raum!metrischer}
 \label{sec:metrische-raume}
+Metrische Räume sind Räume, die über einen Abstandsbegriff verfügern, der die intuitiv naheliegenden Eigenschaften eines Abstands verfügen.
+Wir werden sehen, dass metrische Räume auch topologische Räume sind, die viele schöne topologische Eigenschaften besitzen.
 \begin{definition}[Pseudometrik, Metrik]
     \index{Metrik}
     \index{Pseudometrik}
@@ -502,11 +505,17 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
 \end{proof}
 \section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire}
 \label{sec:vollst-metr-raum}
+Bereits in der Analysis haben wir uns mit Cauchy-Folgen in den reellen Zahlen beschäftigt. 
+Dabei hieß eine reelle Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ Cauchy"=Folge, wenn für jedes $ε > 0$ ein $N ∈ ℕ$ exisiert, so dass $|x_n -x_m| < ε$ ist.
+Wir haben uns damals davon überzeugt, dass diese Eigenschaft tatsächlich äquivalent ist zur Konvergenz der Folge --  Der Körper der reellen Zahlen ist vollständig.
+Die Eigenschaft der Cauchy"=Folge lässt sich leicht auf allgemeinere Metrische Räume verallgemeinern. 
 \begin{definition}[Cauchy-Folge]
     \index{Folge!Cauchy-}
     \label{defi-cauchy-folge-2.3.1}
     Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $\epsilon  > 0$ ein $N = N(\epsilon )$ existiert mit $d(x_m,x_n) < \epsilon $ für alle $n,m \ge N$.
 \end{definition}
+Die Äquivalenz von Cauchy und Konvergenz bleibt dabei im Allgemeinen nicht erhalten.
+Es gilt jedoch immer die eine Implikation:
 \begin{lemma}
     \label{lemma:konv-folge-ist-cauchy-2.3.2}
     Jede konvergente Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge.
@@ -605,7 +614,7 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
     \]
     Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$.
 \end{proof}
-\begin{definition}[mager, Menge von erster Kategorie, Menge von zweiter Kategorie]
+\begin{definition}[mager, Menge von erster/zweiter Kategorie]
     \label{defi:mager-2.3.6}
     \index{mager}
     \index{Menge!mager}