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diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex index c496234..661d7ee 100644 --- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex +++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex @@ -79,7 +79,7 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri \] und \[ - |\norm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x} + |\snorm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x} \] nach der umgekehrten Dreiecksungleichung. Folglich sind die zu betrachtenden Abbildungen alle folgenstetig, und, da metrische Räume stets dem ersten Abzähhlbarkeitsaxiom genügen, auch stetig. @@ -160,16 +160,16 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar: \begin{lemma} Die Translationsoperatoren und Multiplikationsoperatoren sind Homöomorphismen. \end{lemma} -\begin{proof} - Das ist klar. -\end{proof} +\begin{noproof} + ~ +\end{noproof} \begin{korollar}[Invarianzprinzip] Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ ist die Topologie bereits durch die offenen Umgebungen von $0 ∈ X$ bestimmt. Alle anderen offenen Mengen entstehen durch Translation. \end{korollar} -\begin{proof} - Das ist klar. -\end{proof} +\begin{noproof} + ~ +\end{noproof} \section{Metrische lineare Räume und Quasi-normierte Räume} \begin{definition} @@ -180,7 +180,7 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar: oder äquivalent dazu: \[ ∀x,y ∈ X: d(x,y) = d(x-y, 0). -k \] + \] \end{definition} \begin{bemerkung-nn} Ohne lineare Struktur macht das gar keinen Sinn! @@ -246,13 +246,13 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × Sei dazu $z_n \coloneq x_n - x ∈ X$, $γ_n \coloneq \alpha _n - \alpha ∈ \K$. Dann ist \[ γ_n z_n + γ_n x + \alpha z_n = (\alpha _n - \alpha )(x_n-x) + (\alpha _n-\alpha ) x + \alpha (x_n-x) - = \alpha _n x_n - \alpha ×. + = \alpha _n x_n - \alpha x. \] Somit ist \begin{align*} d(\alpha _nx_n,\alpha x) &= d(\alpha nx_n - \alpha x,0) = d(γ_nz_n + γnx + \alpha z_n, 0) \\ &\le \underbrace{d(γ_nz_n,0)}_{→ 0} + \underbrace{d(γ_nx, 0)}_{→ 0} + -\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow{n → \infty } 0. +\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow[n → \infty]{} 0. \end{align*} Da die Addition ohnehin immer stetig ist, sind wir fertig. \end{proof} @@ -828,9 +828,9 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) \] sind gleich. \end{lemma} - \begin{proof} + \begin{noproof} Übung. - \end{proof} + \end{noproof} \begin{korollar} Die Mengen $U_\epsilon$ sind bereits eine Umgebungsbasis der Null. Nach Definition sind sie aber auch Konvex, das heißt $(\D(\Omega),\T_\D)$ ist ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum. @@ -1301,9 +1301,9 @@ Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$. \] für alle $x ∈ X$ \end{korollar} -\begin{beweis} +\begin{noproof} klar. -\end{beweis} +\end{noproof} \begin{warnung-nn} $T$ linear, bijektiv und stetig impliziert selbst in normierten Räumen noch nicht, dass auch die Inverse Abbildung $T^{-1}$ auch stetig ist, wie wir in der Übung sehen werden. |