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diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex index f55914a..bbf5265 100644 --- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex +++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex @@ -20,30 +20,49 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$ heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, \alpha ∈ K$ gilt: \begin{enumerate} - \item $\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ (Definitheit) \item + \index{Definitheit} + $\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ (Definitheit) + \item + \index{Homogenität} $\norm{\alpha x} = |\alpha | \norm x$ (Homogenität) \item + \index{Dreiecksungleichung} $\norm{x+y} \le \norm x + \norm y$ (Dreiecksungleichung) \end{enumerate} $(X,\norm\cdot)$ heißt dann \emph{normierter Raum}. \end{definition} -\begin{bemerkung} +\begin{definition}[Normtopologie] + \label{defi:normtopologie-3.1.2} + \index{Normtopologie} Durch $d(x,y) \coloneq \norm{x-y}$ wird ein normierter Raum auch ein metrischer, also insbesondere auch ein topologischer Raum. Diese induzierte Topologie auf $(X, \norm\cdot)$ heißt \emph{Normtopologie}. +\end{definition} - Ohne die lineare Struktur macht der normierte Raum gar keinen Sinn, da für die Definition einiger der Normaxiome die Vektorraumoperationen verwendet werden. -\end{bemerkung} +\begin{bemerkung-nn} + Man kann nur Normen auf linearen Räumen definieren, denn ohne die lineare Struktur macht der normierte Raum gar keinen Sinn, da für die Definition der Normaxiome die Vektorraumoperationen verwendet werden. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{lemma-nn} + \index{Dreiecksungleichung} + \label{bem:umgekehrte-dreicksungleichung} + In einem normierten Raum $(X,\norm -)$ gilt die \emph{umgekehrte Dreiecksungleichung} + \[ + ∀x,y ∈ X: \big| \snorm x - \snorm y \big| \le \norm{x+y}. + \] +\end{lemma-nn} \begin{beispiele} \begin{enumerate} \item + \index{$ℝ^n$} Betrachte den $ℝ^n$ mit $\norm x _{p} \coloneq \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$ mit $1 \le p < \infty $ ist ein normierter Raum, genauso wie mit $\norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{1 \le i \le n} |x_i|$. Insbesondere gibt es im $ℝ^n$ überabzählbar viele verschiedene Normen. Wir werden jedoch später sehen, dass diese Normen alle die gleiche Topologie erzeugen. \item + \index{$C[a,b]$} Der Raum aller stetigen Funktionen auf einem kompaktem Intervall $C[a,b]$ mit $\norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{t ∈ [a,b]} |x(t)|$ ist ein normierter Raum. Außerdem wird durch \[ @@ -51,18 +70,21 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri \] ebenfalls eine Norm definiert. \item + \index{$C(\cl{Ω})$} Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und beschränkt. Dann wird $C(\cl{\Omega})$ mit \[ \norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{t ∈ \cl \Omega} |x(t)| \] auch zu einem normierten Raum. \item + \index{$L^p$} $L^p(\Omega) = \L^p(\Omega)/\mathcal N$, wobei $\mathcal N = \{ f: \Omega → \R, f(t) = 0 \text{ fast überall}\}$ ist mit \[ \norm x \coloneq \left(∫_{\Omega} |x(t)|^p dt \right)^{1/p} \] ein normierter Raum, wobei $1 \le p < \infty $. \item + \index{$\ell^p$} $\ell^p$ mit \[ \norm x _{p} \coloneq \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} @@ -72,6 +94,7 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri \end{beispiele} \begin{lemma} + \label{lemma:normierter-raum-ist-top-vr-3.1.4} Sei $(X, \norm\cdot)$ ein normierter Raum. Dann sind die Abbildungen $+$, $\cdot$ und $\norm\cdot$ stetig. \end{lemma} \begin{proof} @@ -85,20 +108,24 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri \] und \[ - |\snorm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x} + |\snorm{x_n} - \norm{x}| \le \snorm{x_n - x} \] nach der umgekehrten Dreiecksungleichung. Folglich sind die zu betrachtenden Abbildungen alle folgenstetig, und, da metrische Räume stets dem ersten Abzähhlbarkeitsaxiom genügen, auch stetig. \end{proof} +Die Wichtigkeit dieser Eigenschaft wollen wir in diesem Korrolar betonen: + \begin{korollar} + \label{kor:normierter-raum-ist-top-vr-3.1.5} Jeder normierte Raum versehen mit der Normtopologie ist ein topologischer linearer Raum. Deshalb ist auch keine Unterscheidung zwischen normierten Räumen und normierten topologischen linearen Räumen nötig. \end{korollar} \section{Topologische lineare Räume} +\label{sec:topol-line-raume} \begin{bemerkung-nn} - Hierbei sei stets die Topologie von $X×X$ die Produktopologie, bei den Körpern $\K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases}$ die übliche Topologie. + Hierbei sei stets die Topologie von $X×X$ die Produktopologie, bei den Körpern $ℝ$ und $ℂ$ die übliche Topologie. Wir schreiben im Folgenden für Mengen $M, M_1, M_2 ⊂ X$ und $\alpha ⊂ \K$ nun \[ M_1 + M_2 \coloneq s(M_1,M_2) \coloneq \{x+y : x ∈ M_1, y ∈ M_2\}, @@ -109,76 +136,101 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri \end{bemerkung-nn} \begin{lemma} + \label{lemma:top-raum-mit-lin-struktur-aeq-charak-stetigkeit-addition-3.2.1} Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent: \begin{enumerate} - \item Die Addition $s$ ist stetig. \item - Für beliebiges $x, y ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{x+y} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_y ∈ \T$ von $y$ mit $O_x + O_y ⊂ O_{x+y}$ + Die Addition $s$ ist stetig. + \item + Für beliebiges $x, y ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{x+y} ∈ \T$ von $x+y$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_y ∈ \T$ von $y$ mit $O_x + O_y ⊂ O_{x+y}$ \end{enumerate} \end{lemma} \begin{proof} $s$ ist stetig in $(x,y)$ genau dann, wenn zu jeder Umgebung $O_{x,y} ∈ \T_X$ - von $(x,y)$ existiert eine Umgebung $U ⊂ \T_{X×X}$ von $(x,y)$ mit $s(U) ⊂ O_{x+y}$. + von $(x,y)$ eine Umgebung $U ⊂ \T_{X×X}$ von $(x,y)$ mit $s(U) ⊂ O_{x+y}$ existiert. Nach Definition der Produkttopologie existieren dann Umgebungen $O_x ∈ \U_x$ und $O_y ∈ \U_y$ mit $O_x × O_y ⊂ U$. Damit ist \[ O_x + O_y = s(O_x, O_y) = s(O_x × O_y) ⊂ s(U) ⊂ O_{x+y}. \] - Analog zeigt man die entsprechende Aussage für die skalare Multiplikation: \end{proof} + Analog zeigt man die entsprechende Aussage für die skalare Multiplikation: \begin{lemma} + \label{lemma:top-raum-mit-lin-struktur-aeq-charak-stetigkeit-multiplikation-3.2.2} Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent: \begin{enumerate} - \item Die Addition $m$ ist stetig. \item - Für beliebiges $\alpha ∈ \K, x ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{\alpha x} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_\alpha ∈ \T$ von $y$ mit $O_\alpha × O_x ⊂ O_{\alpha x}$. + Die Multiplikation $m$ ist stetig. + \item + Für beliebiges $\alpha ∈ \K, x ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{\alpha x} ∈ \T$ von $αx$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_\alpha ∈ \T$ von $y$ mit $O_\alpha × O_x ⊂ O_{\alpha x}$. \end{enumerate} \end{lemma} +\begin{noproof} + ~ +\end{noproof} +Sei nun $X$ ein topologischer linearer Raum, das heißt, insbesondere ist die Multiplikation stetig. Betrachtet man insbesondere die Stetigkeit am Punke $\alpha =0$ und $x ∈ X$ beliebig, dann gilt also: -Für jede Umgebung $O_0 ∈ \U_0 ⊂ X$ existiert eine Umgebung $O_x ∈ \U_x$ und ein $r > 0$, so dass +Für jede Umgebung $O_0 ∈ \U_0 ⊂ \Pot X$ existiert eine Umgebung $O_x ∈ \U_x$ und ein $r > 0$, so dass \[ ∀β: |β| <r: βO_x ⊂ O_0. \] Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar: \begin{korollar} - Im topologischen Raum $(X,\T)$ gilt für $x ∈ X$ beliebig und $(β_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$ + \label{kor:top-linear-raum-nullfolge-mit-skalarmult-uebertraegt-3.2.3} + Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ gilt für $x ∈ X$ beliebig und $(β_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$ \[ - β_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \implies β_nx \xrightarrow[n → \infty ]{} 0. + β_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0 \implies β_nx \yrightarrow[n → \infty ]{} 0. \] \end{korollar} - -\begin{definition-nn} +\begin{noproof*} + ~ +\end{noproof*} + +\begin{definition-nn}[Translationsoperator, Multiplikationsoperator] + \label{defi:translationsoperator-multiplikationsoperator} + \index{Translationsoperator} + \index{Multiplikationsoperator} + \index{$T_{x_0}$} + \index{$M_{α_0}$} \begin{enumerate} \item Zu $x_0 ∈ X$ fest definieren wir den Translationsoperator \[ - T_{x_0} \coloneq X → X, x ↦ x + x_0. + T_{x_0} \coloneq X → X,\; x ↦ x + x_0. \] \item Zu $\alpha _0 ∈ \K^*$ fest definieren wir den Multiplikationsoperator \[ - M_{\alpha _0} \coloneq X → X, x ↦ \alpha _0\cdot x. + M_{\alpha _0} \coloneq X → X,\; x ↦ \alpha _0\cdot x. \] \end{enumerate} \end{definition-nn} \begin{lemma} - Die Translationsoperatoren und Multiplikationsoperatoren sind Homöomorphismen. + \label{lemma:top-lin-raum-trans-multi-op-homeo-3.2.4} + In einem topologischen linearen Raum sind die Translationsoperatoren und Multiplikationsoperatoren Homöomorphismen. \end{lemma} -\begin{noproof} - ~ -\end{noproof} +\begin{proof} + Für $x_0 ∈ X$ ist $T_{x_0}$ stetig nach \cref{defi:top-linearer-raum-3.0.1}. + Offenkundig ist $T_{x_0}$ bijektiv mit Umkehrabbildung $T_{-x_0}$, welche ebenfalls stetig per Definition ist. + + Analog ist für $α_0 ∈ \K^*$ der Multiplikationsoperator $M_{α_0}$ bijektiv mit Umkehrabbildung $M_{α_0^{-1}}$ und beide diese Abbildungen sind stetig nach Voraussetzung. +\end{proof} \begin{korollar}[Invarianzprinzip] + \label{kor:invarianzprinip} + \index{Invarianzprinzip} Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ ist die Topologie bereits durch die offenen Umgebungen von $0 ∈ X$ bestimmt. Alle anderen offenen Mengen entstehen durch Translation. \end{korollar} -\begin{noproof} - ~ -\end{noproof} +\begin{proof} + Das ist eine unmittelbare Konsequenz aus~\cref{lemma:top-lin-raum-trans-multi-op-homeo-3.2.4}. +\end{proof} \section{Metrische lineare Räume und Quasi-normierte Räume} -\begin{definition} +\begin{definition}[translationsinvariante Metrik] + \label{defi:translationsinvariante-metrik-3.3.1} + \index{Metrik!translationsinvariant} Eine Metrik $d: X × X → ℝ$ auf einem linearen Raum $X$ heißt \emph{translationsinvariant}, falls gilt: \[ ∀x,y,z ∈ X: d(x,y) = d(x+z, y+z), @@ -192,49 +244,59 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar: Ohne lineare Struktur macht das gar keinen Sinn! \end{bemerkung-nn} -\begin{definition} +\begin{definition}[Metrischer linearer Raum] + \index{Raum!metrischer linearer} + \label{defi:metrischer-linearer-raum-3.3.2} Ein metrischer Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter Mertik $d$ heißt \emph{metrischer linearer Raum}, falls die Vektorraumoperationen stetig sind (in der von der Metrik induzierten Topologie). \end{definition} - \begin{lemma} - Im metrischen Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter metrik, dann ist die Addition immer stetig. + Im metrischen Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter Metrik ist die Addition immer stetig. \end{lemma} \begin{proof} - Es genügt, da in metrischen Räumen Folgenstetigkeit und Stetigkeit äquivalent sind, zu zeigen, dass $\lim d(x_n + y_n, x + y ) = 0$, sofern $\lim d(x_n,x) = 0$ und $\lim d(y_n,y) = 0$. + Es genügt, da in metrischen Räumen Folgenstetigkeit und Stetigkeit äquivalent sind (\cref{lemma:eigenschaften-metrischer-raeume}), zu zeigen, dass $\lim_{n→∞} d(x_n + y_n, x + y ) = 0$, sofern $\lim_{n → ∞} d(x_n,x) = 0$ und $\lim_{n → ∞} d(y_n,y) = 0$. Dazu ist \[ - d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow[n → \infty ]{} 0. + d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n,x+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \yrightarrow[n → \infty ]{} 0. \] \end{proof} \begin{beispiel-nn} + \index{$C(a,b)$} Sei $X = C(a,b)$ mit der Metrik \[ - d(x,y) \coloneq \min\{ 1, \sup_{t ∈ (a,b)} |x(t)-y(t)|\}. + d(x,y) \coloneq \min\{ 1, \sup_{t ∈ (a,b)} |x(t)-y(t)|\} + \] + ausgestattet. + Dann ist $d$ eine translationsinvariante Metrik, aber $(X,d)$ ist kein topologischer linearer Raum, da die Skalarmultiplikation nicht stetig ist. + Denn für $x := 1/(t-a)$, $t ∈ (a,b)$, $(α_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $α_n = 1/n$, $n ∈ ℕ$ ist für alle $n ∈ ℕ$ + \[ + d(0, α_n x) = 1. \] - Dann ist $d$ eine translationsinvariante Metrik, aber $X$ ist kein linearer Raum, da die Skalarmultiplikation nicht stetig ist. + Insbesondere gilt $a_n x \not\rightarrow 0\;(n → ∞)$ und mit \cref{kor:top-linear-raum-nullfolge-mit-skalarmult-uebertraegt-3.2.3} folgt, dass $C(a,b)$ kein metrischer linearer Raum ist. \end{beispiel-nn} + +\begin{bemerkung-nn} Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × X$ hat man (nach dem $\epsilon -\delta$ -Kriterium) \[ - ∀\epsilon > 0 ∃ \delta > 0 ∃ r> 0 ∀β ∈ \K ∀y ∈ X: + ∀\epsilon > 0\; ∃ \delta > 0\; ∃ r> 0\; ∀β ∈ \K\;∀y ∈ X: \begin{rcases} |β - \alpha | < r \\ d(x,y) < \delta \end{rcases} \implies d(βy,\alpha x) < \epsilon \] - +\end{bemerkung-nn} \begin{lemma} - \label{lemma-metrischer-linearer-raum-charak} + \label{lemma:metrischer-linearer-raum-charak-3.4} Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit linearer Struktur und mit einer translationinvarianten Metrik. Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $\alpha ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (\alpha _n)_{n ∈ ℕ)} ⊂ \K$ gilt \begin{gather*} - \alpha x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\ - \alpha x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\ - \alpha _nx_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 + \alpha x_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\ + \alpha x_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\ + \alpha _nx_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0 \end{gather*} \end{lemma} \begin{proof} @@ -243,10 +305,10 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × „$⇐$“: Wegen der Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit ist zu zeigen \[ \begin{rcases} - \alpha _n \xrightarrow[n → \infty ]{} \alpha ∈ \K \\ - x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} x ∈ X + \alpha _n \yrightarrow[n → \infty ]{} \alpha ∈ \K \\ + x_n \yrightarrow[n → \infty ]{} x ∈ X \end{rcases} - \implies \alpha _n x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} \alpha x. + \implies \alpha _n x_n \yrightarrow[n → \infty ]{} \alpha x. \] Sei dazu $z_n \coloneq x_n - x ∈ X$, $γ_n \coloneq \alpha _n - \alpha ∈ \K$. Dann ist @@ -258,37 +320,38 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × \begin{align*} d(\alpha _nx_n,\alpha x) &= d(\alpha nx_n - \alpha x,0) = d(γ_nz_n + γnx + \alpha z_n, 0) \\ &\le \underbrace{d(γ_nz_n,0)}_{→ 0} + \underbrace{d(γ_nx, 0)}_{→ 0} + -\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow[n → \infty]{} 0. +\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \yrightarrow[n → \infty]{} 0. \end{align*} Da die Addition ohnehin immer stetig ist, sind wir fertig. \end{proof} - - -\begin{definition} +\begin{definition}[Quasi-Norm] + \index{Quasi-Norm} + \index{Raum!quasi-normierter} + \label{defi:quasinorm-3.3.5} Eine Abbildung $|\cdot|: X → [0,\infty )$ heißt \emph{Quasi-Norm} auf dem Linearen Raum $X$, falls gilt: - \begin{enumerate}[label=(Q\arabic*)] + \begin{wenumerate}[label=(Q\arabic*)] \item - $|x| \ge 0$ für alle $x ∈ X$ und $|x| = 0$ genau dann, wenn $x = 0$. + $|x| \ge 0$ für alle $x ∈ X$ und $|x| = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ (positiv definit) \item $|-x| = |x|$ für alle $x ∈ X$ \item - $|x+y| \le |x| + |y|$ für alle $x,y ∈ X$ + $|x+y| \le |x| + |y|$ für alle $x,y ∈ X$ (Dreiecksungleichung)\index{Dreiecksungleichung} \item - $|\alpha x_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $\alpha ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$ + $|\alpha x_n| \yrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $\alpha ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$ \item - $|\alpha _nx| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|\alpha _n| → 0$ + $|\alpha _nx| \yrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|\alpha _n| → 0$ \item - $|\alpha _nx_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _n| → 0$ - \end{enumerate} + $|\alpha _nx_n| \yrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _n| → 0$ + \end{wenumerate} $(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum. \end{definition} - \begin{bemerkung} - Jeder normierte Raum ist auch ein quasi-normierter Raum. + \label{bem:norm-raum-ist-quasinorm-raum-3.3.6} + Jeder normierte Raum ist auch ein quasi-normierter Raum mit $|-| := \norm-$. \end{bemerkung} - \begin{satz} + \label{satz:quasi-norm-ind-transinvar-metrik-3.3.7} \begin{enumerate} \item Ist $|\cdot|$ eine Quasi-Norm auf $X$, so wird durch $d(x,y) \coloneq |x-y|$ eine translationsinvariante Metrik definiert, welche $X$ zu einem metrischen linearen Raum macht. @@ -298,13 +361,15 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} - Das folgt direkt aus den Axiomen und \cref{lemma-metrischer-linearer-raum-charak}. + Das folgt direkt aus den Axiomen und~\cref{lemma:metrischer-linearer-raum-charak-3.4} \end{proof} - - -Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt. - -\begin{definition} +\begin{bemerkung-nn} + Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt. +\end{bemerkung-nn} +\begin{definition}[Semi-Norm] + \index{Semi-Norm} + \index{Raum!semi-normierter} + \label{defi:seminorm-3.3.8} Sei $X$ ein linearer Raum. Eine Abbildung $p: X → ℝ$ heißt \emph{Semi-Norm} oder \emph{Halbnorm}, falls folgendes gilt: \begin{enumerate}[label=(S\arabic*)] @@ -313,21 +378,26 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se \item $∀ x ∈ X, \alpha ∈ \K: p(\alpha x) = |\alpha | p(x)$ (Homogenität) \item + \index{Dreiecksungleichung} $∀ x, y ∈ X: p(x+y) \le p(x) + p(y)$ (Dreiecksungleichung) \end{enumerate} $(X,p)$ heißt dann \emph{semi-normierter} Raum. \end{definition} - \begin{beispiel-nn} - $\L^p(\Omega)$ ist ein semi-normierter Raum. + \index{$\L^p(Ω)$} + Sei $Ω ⊂ ℝ^n$, $p > 1$. + Dann ist $\L^p(\Omega)$ ist ein semi-normierter Raum. \end{beispiel-nn} \begin{bemerkung} + \label{bem:seminorm-ind-norm-auf-faktorraum-3.9} Jeder semi-normierte Raum $(X,p)$ erzeugt einen normierten Raum $(X/N,p)$, wobei $N = \{ x ∈ X: p(x) = 0\}$ ein linearer Unterraum ist. \end{bemerkung} \begin{satz} \label{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} + \label{satz:abzaehbar-viele-seminormen-transinvar-metrik-3.3.10} + \index{Semi-Norm!abzählbar viele} Es seien $p_n: X → ℝ, n ∈ ℕ$ abzählbar viele Semi-Normen auf einem linearen Raum mit der Eigenschaft \begin{equation} p_n(x) = 0 \text{ für alle n ∈ ℕ } \implies x = 0. \label{eq:seminorm-folge-blub} @@ -338,13 +408,15 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se \] eine translationsinvariante Metrik auf $X$, welche $X$ zum metrischen linearen Raum macht. \end{satz} +\begin{noproof} + ~ +\end{noproof} \begin{bemerkung} $p_n: X → ℝ$ sind auf $(X,d)$ stetig. Das folgt aus (für $x_i → x_0$ in $X$) \[ - |p_n(x_i) - p_n(x_0)| \le p_n(x_i-x_0) \xrightarrow{} 0 + |p_n(x_i) - p_n(x_0)| \le p_n(x_i-x_0) \yrightarrow{} 0. \] - und einer Übungsaufgabe. \end{bemerkung} \begin{satz} @@ -388,7 +460,6 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se \[ \sum_{n=n_0}^\infty 2^{-n} < \frac r 2. \] - mit $\epsilon \coloneq \frac r 2 $ gilt dann \[ \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_(,\epsilon ) ⊂ B_r(0). @@ -402,6 +473,7 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se \end{proof} \begin{bemerkung} + \label{bem:abz-viele-seminormen-lokalkonvex-3.3.13} Die Mengen $U(p_n,\epsilon _n)$ und deren endlichen Schnitte sind konvexe Mengen, das heißt \[ x, y ∈ U(p_n,\epsilon _n),\alpha ∈ [0,1] \implies \alpha x+(1-\alpha )y ∈ U(p_n,\epsilon _n) @@ -413,14 +485,15 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se p_n(\alpha x + (1-\alpha )y) \le |\alpha | \underbrace{p_n(x)}_{< \epsilon _n} + |1-\alpha |\underbrace{p_n(y)}_{< \epsilon _n} = \epsilon _n. \] \end{proof} - -Also besitzt der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gewonne metrische lineare Raum $(X,d)$ eine Umgebungsbasis von $0$, die nur aus konvexen elementen besteht. - -\begin{definition} +Also besitzt der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gewonne metrische lineare Raum $(X,d)$ eine Umgebungsbasis der $0$, die nur aus konvexen Elementen besteht. +\begin{definition}[lokal-konvex] + \index{lokal-konvex} + \label{defi:lokalkonvex-3.3.14} Ein topologischer linearer Raum $(X,\T)$, in dem jedes $x ∈ X$ eine Umgebungsbasis besitzt, die nur aus konvexen Mengen besteht, heißt \emph{lokalkonvex}. \end{definition} \begin{satz} + \label{satz:seminormen-lokal-konvexer-t2-raum-3.3.15} Sei $X$ ein linearer Raum mit Semi-Normen $p_i, i ∈ I$, wobei $I$ eine beliebige Indexmenge ist, mit der Eigenschaft \[ p_i(x) = 0 \text { für alle } i ∈ I \implies x = 0. @@ -437,28 +510,33 @@ Also besitzt der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gewonne Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit untersuchen. \begin{definition} + \label{defi:frechet-raum-banach-raum:3.4.1} + \index{Raum!Banach-} + \index{Raum!Fréchet-} + \index{Fréchetraum} + \index{Banachraum} \begin{enumerate} \item - Ein metrischer linearer Raum $(X,d)$ der vollständig ist, heißt \emph{Fréchet"=Raum}. + Ein metrischer linearer Raum $(X,d)$ der vollständig ist, heißt \emph{Fréchetraum}. \item - Ein normierter Raum $(X,\norm\cdot)$, der vollständig ist, heißt \emph{Banach"=Raum}. - + Ein normierter Raum $(X,\norm\cdot)$, der vollständig ist, heißt \emph{Banachraum}. \end{enumerate} \end{definition} -\begin{beispiel-nn}[$\ell^p$-Räume] - \begin{enumerate} - \item - $(\ell^p,\norm\cdot_p)$, $1 \le p < \infty $ ist normierter Raum mit - \[ - \norm x _p = \left( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p}. - \] - \item - $(\ell^\infty ,\norm\cdot_\infty)$, ist normierter Raum mit $\norm x _\infty = \sup_{i ∈ ℕ} |x_i|$. - \item - $(\ell^p,|\cdot|_p = \norm\cdot_p^p)$, $0 \le p < 1$ ist quasi-normierter Raum. - \end{enumerate} -\end{beispiel-nn} +\subsection{Die Folgenräume \(\ell^p\)} +\label{sec:ellp-raume} +\index{$\ell^p$} +\begin{enumerate} +\item + $(\ell^p,\norm\cdot_p)$, $1 \le p < \infty $ ist normierter Raum mit + \[ + \norm x _p = \left( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p}. + \] +\item + $(\ell^\infty ,\norm\cdot_\infty)$, ist normierter Raum mit $\norm x _\infty = \sup_{i ∈ ℕ} |x_i|$. +\item + $(\ell^p,|\cdot|_p = \norm\cdot_p^p)$, $0 \le p < 1$ ist quasi-normierter Raum. +\end{enumerate} \begin{bemerkung} Für $0 < p < q \le \infty $ gilt $\ell^p ⊂ \ell^q ⊂ \ell^\infty $. @@ -476,7 +554,7 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte \end{satz} \begin{proof} Nur für $1 \le p < \infty $. - Sei dazu $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ \ell^p$ eine Cauchy-Folge, also + Sei dazu $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ \ell^p$ eine Cauchy"=Folge, also $x_n = (ξ_k^n)_{k ∈ ℕ}$ und für jedes $\epsilon > 0$ gibt es ein $n_0$ mit \[ ∀n,m > n_0: \norm{x_n-x_m}_p = \left( \sum_{k=1}^\infty |ξ_k^n-ξ_k^m|^p \right)^{1/p} < \epsilon . @@ -488,7 +566,7 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte Es gilt \[ - \norm{x_n}_! \le \underbrace{\norm{x_n-x_{n_0}}}_{< \epsilon } + \norm{x_{n_0}} \quad \forall n \ge n_0 + \norm{x_n}_p \le \underbrace{\norm{x_n-x_{n_0}}}_{< \epsilon } + \norm{x_{n_0}} \quad \forall n \ge n_0 \] Deshalb existiert ein $M > 0$ mit $\norm{x_n}_p < M$ für alle $n ∈ ℕ$, also \[ @@ -515,48 +593,51 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte \] also die Konvergenz. \end{proof} -\begin{beispiel-nn} - Betrachte den Folgenraum $S = \K^\infty = \{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$. - Dann ist - \[ - p_n(x) \coloneq |ξ_n|, \quad p_n: \K^\infty → ℝ - \] - eine abzählbare Familie von Halbnormen mit - \[ - p_n(x) = 0 ∀n ∈ ℕ \implies x = 0 ∈ \K^\infty - \] - Nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} folgt, dass $(\K^\infty , d)$ mit - \[ - d(x,y) \coloneq \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)} - \] - ein metrischer linearer Raum ist. - Der Konvergenzbegriff entspricht gerade der komponentenweisen Konvergenz, das heißt, für eine Folge $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ mit $x_k = (ξ^k_n)_{n ∈ ℕ}$ gilt - \begin{align*} - x_k \xrightarrow[k→\infty ]{} 0 - &\gdw d(x_n,0) \xrightarrow[k→\infty ]{} 0 \\ - &\gdw p_n(x_k) \xrightarrow[k→\infty ]{} ∀ n ∈ ℕ \\ - &\gdw |ξ_n^k| \xrightarrow[k→\infty ]{} 0 ∀ n ∈ ℕ. - \end{align*} - Wir fragen uns nun, ob auf dem $\K^\infty $ auch eine Topologie existiert, so dass der induzierte Konvergenzbegriff der der gleichmäßigen Konvergenz in allen Komponenten entspricht. - Also - \[ - x_k \xrightarrow[k → \infty ]{\text{glm}} 0 ∈ \K^\infty \gdw ∀\epsilon > 0 ∃ k_0 ∈ ℕ: |ξ_n^k| < \epsilon ∀ k \ge k_0 ∀n ∈ ℕ. - \] - Wenn $\K^\infty $ ein topologischer linearer Raum sein soll, ist das nicht möglich. Notwendig wäre, dass für eine Folge $x ∈ \K^\infty $ - \[ - \alpha _k \xrightarrow[k → \infty ]{} 0 \text{ in } \K \implies \alpha _k x \xrightarrow[k→\infty ]{} \text{ in } X = \K^\infty . - \] - Wähle dazu die Nullfolge $(\alpha _k)_{k ∈ ℕ} = (1/k)_{k ∈ ℕ} ⊂ ℝ$, $x= (n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$. Dann ist - \[ - \alpha _k x = (n/k)_{n ∈ ℕ} ∈ \K^\infty - \] - zwar eine Nullfolge in $\K^\infty$ ist, diese Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig in $n$. - Man kann zeigen, dass $\K^\infty $ mit $d$ vollständig, also ein Fréchet-Raum, ist. - Ist $\K^\infty $ auch normierbar? - Also gibt es auf $\K^\infty $ eine Norm, welche die gleiche Topologie erzeugt wie die $d$? - Auch das ist nicht möglich: -\end{beispiel-nn} +\subsection{Der Folgenraum $\mathcal S = \K^∞$} +\label{sec:der-folg-mathc} +Wir bezeichnen den Raum $\{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$ aller Folgen in $\K$ mit $\mathcal S$ oder $\K^\infty$. +\index{$\K^∞$} +\index{$\mathcal S$} +Dann ist \[ + p_n(x) \coloneq |ξ_n|, \quad p_n: \K^\infty → ℝ +\] +eine abzählbare Familie von Halbnormen mit +\[ + p_n(x) = 0 ∀n ∈ ℕ \implies x = 0 ∈ \K^\infty +\] +Nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} folgt, dass $(\K^\infty , d)$ mit +\[ + d(x,y) \coloneq \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)} +\] +ein metrischer linearer Raum ist. +Der Konvergenzbegriff entspricht gerade der komponentenweisen Konvergenz, das heißt, für eine Folge $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ mit $x_k = (ξ^k_n)_{n ∈ ℕ}$ gilt +\begin{align*} + x_k \yrightarrow[k→\infty ]{} 0 + &\gdw d(x_n,0) \yrightarrow[k→\infty]{} 0 \\ + &\gdw p_n(x_k) \yrightarrow[k→\infty]{}0\; ∀ n ∈ ℕ \\ + &\gdw |ξ_n^k| \yrightarrow[k→\infty]{}0\;∀ n ∈ ℕ. +\end{align*} + +Wir fragen uns nun, ob auf dem $\K^\infty $ auch eine Topologie existiert, so dass der induzierte Konvergenzbegriff der der gleichmäßigen Konvergenz in allen Komponenten entspricht. +Also +\[ + x_k \yrightarrow[k → \infty ]{\text{glm}} 0 ∈ \K^\infty \gdw ∀\epsilon > 0 ∃ k_0 ∈ ℕ: |ξ_n^k| < \epsilon ∀ k \ge k_0 ∀n ∈ ℕ. +\] +Wenn $\K^\infty $ ein topologischer linearer Raum sein soll, ist das nicht möglich. Notwendig wäre, dass für eine Folge $x ∈ \K^\infty $ +\[ + \alpha _k \yrightarrow[k → \infty ]{} 0 \text{ in } \K \implies \alpha _k x \yrightarrow[k→\infty ]{} \text{ in } X = \K^\infty . +\] +Wähle dazu die Nullfolge $(\alpha _k)_{k ∈ ℕ} = (1/k)_{k ∈ ℕ} ⊂ ℝ$, $x= (n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$. Dann ist +\[ + \alpha _k x = (n/k)_{n ∈ ℕ} ∈ \K^\infty +\] +zwar eine Nullfolge in $\K^\infty$ ist, diese Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig in $n$. +Man kann zeigen, dass $\K^\infty $ mit $d$ vollständig, also ein Fréchet-Raum, ist. +Ist $\K^\infty $ auch normierbar? +Also gibt es auf $\K^\infty $ eine Norm, welche die gleiche Topologie erzeugt wie die $d$? +Auch das ist nicht möglich: + \begin{lemma} \label{lemma-s-metrikkugeln-enthalten-unterraeme} In $(\K^\infty ,d)$ gilt: @@ -605,15 +686,17 @@ Das heißt, was bereits $\alpha = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch. -\begin{beispiel-nn}[Räume beschränkter Funktionen] - Sei $S$ eine beliebige Menge und $B(S) \coloneq \{ f: S → \K, f(s)$ ist beschränkt $\}$. - Dann wird $B(S)$ mit - \[ - \norm f _{B(S)} \coloneq \sup_{x ∈ S} |f(x)| < \infty , - \] - der $\sup$-Norm, zu einem Banachraum. - Dabei ist offensichtlich, dass $\norm\cdot_{B(S)}$ tatsächlich eine Norm ist, und wir werden in einer Übung zeigen, dass die induzierte Metrik tatsächlich vollständig ist. -\end{beispiel-nn} +\subsection{Räume beschränkter Funktionen} +\label{sec:raume-beschr-funkt} +\index{Raum!beschränkter Funktionen} +\index{$B(S)$} +Sei $S$ eine beliebige Menge und $B(S) \coloneq \{ f: S → \K, f(s)$ ist beschränkt $\}$. +Dann wird $B(S)$ mit +\[ + \norm f _{B(S)} \coloneq \sup_{x ∈ S} |f(x)| < \infty , +\] +der $\sup$-Norm, zu einem Banachraum. +Dabei ist offensichtlich, dass $\norm\cdot_{B(S)}$ tatsächlich eine Norm ist, und wir werden in einer Übung zeigen, dass die induzierte Metrik tatsächlich vollständig ist. \begin{lemma-nn} \label{lemma-vollst-ubertragt-abgeschl-teilmengen} @@ -630,11 +713,13 @@ was bereits $\alpha = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch. \end{proof} -\begin{beispiel-nn}[Räume stetiger Funktionen] - Sei $K ⊂ ℝ^n$ kompakt, also nach Heine-Borel abgeschlossen und beschränkt. +\subsection{Räume stetiger Funktionen} +\begin{beispiel-nn}[$C(K)$] + \index{$C(K)$} + Sei $K$ eine kompakte Teilmenge vom $ℝ^n$, also nach dem Satz von Heine-Borel abgeschlossen und beschränkt. Dann ist \[ - C(k) = \{ f: K → \K, f \text{ stetig} \} + C(K) = \{ f: K → \K, f \text{ stetig} \} \] ein normierter Raum mit \[ @@ -642,7 +727,7 @@ was bereits $\alpha = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch. \] der Maximumsnorm. Dieses Maximum wird tatsächlich immer angenommen, da $K$ kompakt ist (Satz von Minimum und Maximum). - Insbesondere sind alle stetigen Funktionen auf $K$ beschränkt. Damit gilt offensichtlich $C(K) ⊂ B(K)$ und $\norm{f}_{C(K)} = \norm{f}_{B(K)}$ für alle $f ∈ C(K)$. + Insbesondere sind alle stetigen Funktionen auf $K$ beschränkt. Damit gilt offensichtlich $C(K) ⊂ B(K)$ und $\snorm{f}_{C(K)} = \snorm{f}_{B(K)}$ für alle $f ∈ C(K)$. Da jede stetige Funktion auf kompakten Teilmengen von metrischen Räumen auch gleichmäßig stetig ist, das heißt \[ ∀ \epsilon > 0 ∃ \delta > 0: \left( |t_1-t_2| < \delta \implies |f(t_1)-f(t_2)| < \epsilon \right) ∀ t_1,t_2 ∈ K @@ -654,7 +739,7 @@ was bereits $\alpha = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch. \end{lemma} \begin{proof} Sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine konvergente (in $(B(K),\norm\cdot_{B(K)})$) Folge in $C(K)$. - Dann existiert ein $f ∈ B(K)$ mit $f_i \xrightarrow[i → \infty ]{\norm{\cdot}_{B(K)}} f$. + Dann existiert ein $f ∈ B(K)$ mit $f_i \yrightarrow[i → \infty ]{\norm{\cdot}_{B(K)}} f$. Wir müssen zeigen, dass $f$ bereits stetig ist. Für beliebige $t₁, t_2 ∈ K$ gilt \[ @@ -678,7 +763,6 @@ Allerdings ist die Konvergenz in dieser Topologie impliziert keine Stetigkeit f \] Hier können Funktionen aber auch unbeschränkt sein. Also braucht $\sup |f|$ nicht mehr zu existieren. \end{beispiel-nn} - \begin{definition} Es sei $(K_m)_{m ∈ ℕ}$ eine \emph{Ausschöpfung} von $\Omega$ mit kompakten Mengen $K_= ⊂ \Omega$, das heißt, es gelte \[ @@ -693,7 +777,6 @@ Man nehme z.B. K_m = \{ x ∈ \Omega ⊂ ℝ^n: \norm{x} \le m, \operatorname{dist}(x,∂\Omega) \ge 1/m\}, \] wobei $\operatorname{dist}(x,∂\Omega) \coloneq \inf\{ \norm{x-y}: y ∈ ∂\Omega\}$ und $∂M = \cl \Omega \setminus \Omega$. - Dann ist $C(\Omega)$ mit der Metrik \[ d(f,0) = \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{\norm{f}_{C(K_m)}}{1+\norm{f}_{C(K_m)}} @@ -702,11 +785,10 @@ ein Fréchetraum, also ein metrisierbarer linearer Raum nach \cref{satz-abzaehlb \[ \norm{f}_{C(K_m)} = 0 ∀ m ∈ ℕ \implies f = 0 ∈ C(\Omega). \] - Es gilt in diesem Raum \[ - d(f_i,f) \xrightarrow[i → \infty ]{} 0 \gdw - \norm{f_i-f}_{C(K_m)} \xrightarrow[i → \infty ]{} ∀m ∈ ℕ, + d(f_i,f) \yrightarrow[i → \infty ]{} 0 \gdw + \norm{f_i-f}_{C(K_m)} \yrightarrow[i → \infty ]{} ∀m ∈ ℕ, \] was ja gerade gleichmäßige Konvergenz auf jeder Kompakten Menge $K ⊂ \Omega$ bedeutet. Damit ist Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(\Omega)$ impliziert Stetigkeit der Grenzfunktion $f ∈ C(\Omega)$, da Stetigkeit nur eine lokale Eigenschaft ist. @@ -842,13 +924,13 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) Nach Definition sind sie aber auch Konvex, das heißt $(\D(\Omega),\T_\D)$ ist ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum. \end{korollar} \begin{satz} - $ξ_m \xrightarrow[m → \infty ]{} 0 \gdw$ + $ξ_m \yrightarrow[m → \infty ]{} 0 \gdw$ \[ \begin{cases} (i), & \text{Es existiert $D$ offen mit $D ⊂⊂ \Omega$ und $ξ_m ∈ C_0^\infty (D)$ für alle $m ∈ ℕ$} \\ (ii), & \text{Für jedes $k ∈ ℕ$ gilt: - $\norm{ξ_m}_{C^k(\cl{\Omega})} \xrightarrow[m → \infty ]{} 0$} + $\norm{ξ_m}_{C^k(\cl{\Omega})} \yrightarrow[m → \infty ]{} 0$} \end{cases} \] \end{satz} @@ -864,8 +946,8 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) \end{proof} \end{enumerate} \end{beispiel-nn} - \begin{beispiel-nn}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] - Betrachten wir nun Lebesgue-integrierbare Funktionen. + \begin{beispiel-nn}[Lebesgue"=integrierbare Funktionen] + Betrachten wir nun Lebesgue"=integrierbare Funktionen. Bereits eingeführt wurden die Räume $\L^p(\Omega)$ und $L^p(\Omega)$, $0 < p < \infty $, wobei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen. Diese sind für $1 \le p < \infty $ normiert, und für $0 < p < 1$ quasi-normiert. Für $p = \infty $ setzen wir @@ -928,6 +1010,7 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) ∫_\Omega f(t) \cdot \left[ \frac {∂} {∂t_i} h(t) \right] \dd t = ∫_{∂\Omega} f(t) h(t) \nu_i \dd S(t) - ∫_\Omega \left[ \frac {∂} {∂t_i} f(t) \right] h(t) \dd t, \] wobei $\nu = (\nu_1, …, \nu_n)^T$ die äußere Einheitsnormale ist. +\end{beispiel} \begin{bemerkung-nn} Ist $f$ oder $h ∈ \C_0^∞(\Omega)$, so verschwinden die Randterme. @@ -985,7 +1068,6 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) \] ein Banachraum. \end{satz} -\end{beispiel} Seien $f_n → f ∈ L^p(\Omega), h ∈ C_0^\infty (\Omega)$. Dann @@ -1127,7 +1209,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische „⊂“: Sei $x ∈ X$. Setze $β_n = 1/n, n ∈ ℕ$. Dann gilt \[ - β_n x \xrightarrow[n → \infty ]{} 0, + β_n x \yrightarrow[n → \infty ]{} 0, \] also $β_n ∈ V$ für $n \ge n_0$. Damit haben wir aber $x ∈ n_0 V$. \end{proof} @@ -1136,12 +1218,17 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer $T_2$-Raum und $K ⊂ X$ kompakt. Dann ist $K$ abgeschlossen und beschränkt. \end{satz} +\begin{bemerkung-nn} + Ohne die Hausdorff"=Eigenschaft gilt dies nicht. + Wenn wir beispiesweise $X = ℝ$ mit der Klumpentopologie betrachten, + ist jede Teilmenge von $ℝ$ kompakt, aber nur $\emptyset$ und $ℝ$ sind abgeschlossen. +\end{bemerkung-nn} + +Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch. \begin{definition-nn} + Sei $(X,)$ Falls auch die Umkehrung gilt, dann besitzt $X$ die \emph{Heine"=Borel"=Eigenschaft}. \end{definition-nn} -\begin{warnung-nn} - Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch. -\end{warnung-nn} \begin{proof} Nach einer Übungsaufgabe ist $K$ bereits abgeschlossen. Also müssen wir nur zeigen, dass $K$ auch beschränkt ist. @@ -1157,10 +1244,6 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische \] also folgt die Behauptung mit $\alpha = n_s$. $(*)$ gilt wegen der Kreisförmigkeit und $\left|\frac {n_i}{n_s}\right| \le 1$. \end{proof} -\begin{bemerkung-nn} - Ohne die Hausdorff-Eigenschaft gilt dies nicht. Gegenbeispiel: $X = ℝ$ mit der Klumpentopologie. - Dann ist jede Teilmenge von $ℝ$ kompakt, aber nur $\emptyset$ und $ℝ$ sind abgeschlossen. -\end{bemerkung-nn} \begin{definition} \begin{enumerate} @@ -1209,7 +1292,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische \item $A$ ist beschränkt und gleichgradig stetig, das heißt, \[ - \sup_{f ∈ A} |f(x)-f(y)|_{ℝ^m} \xrightarrow[|x-y|→ 0]{} 0. + \sup_{f ∈ A} |f(x)-f(y)|_{ℝ^m} \yrightarrow[|x-y|→ 0]{} 0. \] \end{enumerate} \end{satz} @@ -1222,11 +1305,11 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische \item $A$ ist im Mittel gleichgradig stetig, das heißt \[ - \sup_{f ∈ A} \norm{f(\cdot + h) - f}_{L^p(ℝ^n)} \xrightarrow[|h| → 0]{} 0. + \sup_{f ∈ A} \norm{f(\cdot + h) - f}_{L^p(ℝ^n)} \yrightarrow[|h| → 0]{} 0. \] \item \[ - \sup_{f ∈ A} \norm{f}_{L^p(ℝ^n \setminus B_R(0))} \xrightarrow[R → ∞]{} 0. + \sup_{f ∈ A} \norm{f}_{L^p(ℝ^n \setminus B_R(0))} \yrightarrow[R → ∞]{} 0. \] \end{enumerate} \end{satz} @@ -1242,7 +1325,7 @@ Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein: \begin{beispiel} Sei $X = \mathcal S = ℝ^∞$ und für $i ∈ ℕ$ $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor. - Dann ist $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ linear unabhängig, also gibt es nach \cref{01-basisergaenzungssatz} eine Basis $\{w_i\}_{i ∈ I}$ von $S$, die $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ umfasst. + Dann ist $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ linear unabhängig, also gibt es nach~\cref{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3} eine Basis $\{w_i\}_{i ∈ I}$ von $S$, die $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ umfasst. Definiere $T: X → ℝ$ linear durch die Bilder der Basisvektoren $T(e_i) \coloneq 1$ und $T(w) \coloneq 0$ für $w ∈ B \setminus \{ e_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist $T$ nicht stetig in $0$, denn $f (\lim_{i → ∞} e_i) = f(0) = 0 \ne 1 = \lim_{i → ∞} f(e_i)$. \end{beispiel} @@ -1295,7 +1378,7 @@ Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$. $(5) \Rightarrow (1)$. Für $x, x_1 ∈ X$ gilt \[ - \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm x-x_1 \xrightarrow[x → x_1]{} 0. + \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm x-x_1 \yrightarrow[x → x_1]{} 0. \] Damit ist $T$ stetig in $x_1$. \end{proof} @@ -1382,10 +1465,10 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht. \begin{proof} Es ist nur noch die Vollständigkeit zu zeigen. - Sei dazu $(T_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $\L(X,Y)$. + Sei dazu $(T_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy"=Folge in $\L(X,Y)$. Das heißt, für jedes $\epsilon > 0$ existiert ein $N_0$ mit $\norm {T_n - T_m} < \epsilon $ für $n, m > N_0$. Also mit \eqref{eq:61} $\norm {T_n x - T_mx} \le \norm {T_n - T_m} \norm x < \epsilon \norm x$ für alle $x ∈ X$ und $n,m > N_0$. - Insbesondere ist $(T_nx)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $Y$. Da $Y$ vollständig ist, besitzt diese Folge einen Grenzwert $y_x ∈ Y$. + Insbesondere ist $(T_nx)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy"=Folge in $Y$. Da $Y$ vollständig ist, besitzt diese Folge einen Grenzwert $y_x ∈ Y$. Wir definieren eine Abbildung \[ T: X → Y, x ↦ y_x. @@ -1400,7 +1483,7 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht. \[ \norm{Tx} \xleftarrow[n → \infty ]{} \norm{T_nx } \le M \norm x, ∀ x ∈ X, \] - also die stetigkeit von $T$. + also die Stetigkeit von $T$. Jetzt zur Konvergenz: Für $\norm x \le$ 1 gilt \[ @@ -1451,7 +1534,7 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht. \norm{ S_l - S_k} = \norm { \sum_{n=k+1}^l T^n} \le \sum_{n=k+1}^l \norm{ T^k} \le \sum_{n=k+1}^l \Theta ^n < \epsilon , \quad k, l \ge N_0. \] Damit ist $(S_k)_{k ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $\L(X)$ und somit konvergent. - Sei $S$ der Grenzwert. Dann gilt für jedes $x ∈ X$ auch $S_k x \xrightarrow[k → \infty ]{\norm\cdot_{X}} Sx$, also damit ist für alle $x∈ X$ + Sei $S$ der Grenzwert. Dann gilt für jedes $x ∈ X$ auch $S_k x \yrightarrow[k → \infty ]{\norm\cdot_{X}} Sx$, also damit ist für alle $x∈ X$ \[ (\id - T) Sx = \lim_{k → \infty } (\id -T) S_k x = \lim_{k → \infty } \sum_{n=0}^k (T^n -T^{n-1})x = \lim_{k→\infty } x - T^{k+1}x = x. \] @@ -1552,5 +1635,5 @@ Damit sind in unendlich-dimensionalen normierten Räumen weder die Sphären noch %%% Local Variables: %%% mode: latex -%%% TeX-master: "funkana-ebook" +%%% TeX-master: "funkana" %%% End: |