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@@ -360,8 +360,197 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
     \item
         Ist $X$ ist reflexiv, so auch $X'$.
     \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\section{Darstellungssätze für einige Dualräume}
+\subsection*{Dualraum des $L^p(Ω)$, $1≤p < ∞$, $Ω ⊂ ℝ^n$ offen}
+
+\begin{satz}\label{ch05-darstellungssatz-Lp}
+    Zu jedem $f ∈ (L^p(Ω))'$ , $1 ≤ p < ∞$ gibt es genau ein $u ∈ L^q(Ω)$, wobei
+    $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, so dass sich $f$ als
+    \[
+        f[x] = \int_Ω x(t) \cdot u(t) \dd t, \quad (x ∈ L^p(Ω)),
+    \]
+    darstellen lässt und es gilt
+    \[
+        \norm{f}_{(L^p(Ω))'} = \norm{u}_{L^q(Ω)}.
+    \]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Für $p = 2$ kennen wir die Aussage bereits, denn $L^2(Ω)$ ist ein Hilbertraum.
+    Für $p \ne 2$ benötigt man den Satz von Radon-Nykodyn \cite[Satz 4.30]{dobrowolski2010angewandte}
+\end{proof}
+Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∝(Ω)$.
+\begin{warnung-nn}
+    Aber $(L^∝(Ω))'$ ist \emph{nicht} isometrisch isomorph zum $L^1(Ω)$!
+\end{warnung-nn}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Mit Hilfe von \cref{ch05-darstellungssatz-Lp} lässt sich zeigen, dass $L^p(Ω)$, $1 < p < ∞$ reflexiv sind.
+\end{bemerkung-nn}
 
+\subsection*{Dualraum des $\ell^p$, $1 <p < ∞$ }
+\begin{satz}
+    Sei $1 < p < ∞$.
+    Jedes $x' ∈ (\ell^p)'$ kann mit Hilfe von genau einer Folge $α = (α_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^q$ (wobei $\frac 1 q + \frac 1 p = 1$) in der Form
+    \[
+        x'[x] = \sum_{i=1}^∞ α_i ξ_i, \quad x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^p
+    \]
+    dargestellt werden. Umgekehtr definiert jedes $α ∈ \ell^q$ vermöge dieser Darstellung genau ein $x' ∈ (\ell^p)'$ Diese Zuordnung
+    \[
+        Z: (\ell^p)' → \ell^q, \; x' ↦ α 
+    \]
+    ist ein Normisomorphismus. Also sind $(\ell^p)'$ und $\ell^q$ isometrisch isomorph.
 \end{satz}
+\begin{proof}
+    Sei $(e_i)_{i ∈ ℕ}$ die Schauderbasis von $\ell^p$. Dann lässt sich jedes $x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ als
+    \[
+        x = \sum_{i=1}^∝ ξ_i e_i
+    \]
+    mit Konvergenz in $\ell^p$ schreiben. Für $x' ∈ (\ell^p)'$ fest gilt daher
+    \[
+        x'[x] = \sum_{i=1}^∞ ξ_i x'[e_i]
+    \]
+    wegen Stetigkeit und Linearität, das heißt mit $α = (α_i)_{i ∈ ℕ} := (x'[e_i])_{i ∈ ℕ}$ gilt daher, dass sich $x'$ in dieser Form darstellen lässt.
+    Eindeutigkeit von $α$ ist klar: Ist auch
+    \[
+        x'[x] = \sum_{i=1}^∞ β_i ξ_i,
+    \]
+    dann ist schon $α_i = x'[e_i] = ε_i$.
+
+    Bleibt noch zu zeigen, dass $α ∈ \ell^q$ ist.
+    Setze dazu $(ξ_i^n) :=
+    \begin{cases}
+        |α_i|^{q-1} \cdot \frac{\cl{α_i}}{|α_i|}, & 1 ≤ i ≤ n, α_i \ne 0\\
+        0,  & \text{sonst}
+    \end{cases}
+    $. Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$
+    \[
+        \norm{x_n}_{\ell^p} = \left( \sum_{i=1}^∞ | ξ_i^{(n)}|^p \right)^{1/p} = \left( \sum_{i=1}^n |α_i|^q \right)^{1/p}.
+    \]
+    Außerdem gilt für $x' ∈ (\ell^p)'$
+    \[
+        \norm{x'}_{(\ell^p)'} \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big| = \norm{x'}_{(\ell^p)'} \norm{x_n}_{\ell^p }\le |x'[x_n]| = | \sum_{i=1}^n ξ_i^{(n)} \underbrace{x'[e_i]}_{= α_i}| = \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big|,
+    \]
+    also wegen $1 - \frac 1 p = \frac 1 q$
+    \[
+        \left( \sum_{i=1}^n |α_i|^q \right)^{1/q} \le \norm{x'}_{(\ell^p)'} 
+    \]
+    für alle $n ∈ ℕ$. Damit ist $α ∈ \ell^q$ und $\norm{α}_{\ell^q}$ und $\norm{α}_{\ell^q} \le \norm{x'}_{(\ell^p)'}$.
+
+    Umgekehtrt definiert jedes $α ∈ \ell^q$ durch
+    \[
+        x'[x] := \sum_{i=1}^∞ α_i ξ_i, \quad x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ}
+    \]
+    ein lineares Funktional $x' : \ell^! → \K$ (wohldefiniert nach Hölder), welches stetig ist:
+    \[
+        |x'[x]| ≤ \sum_{i=1}^∞ |α_i ξ_i| ≤ \norm{α}_{\ell^q} \norm{x}_{\ell^p},
+    \]
+    also ist $x'$ ist beschränkt und somit stetig.
+    Weiter gilt also für $Z(x') \coloneq α $
+    \[
+        \norm{Z(x')}_{\ell^q} = \norm{α}_{\ell^q} = \norm{x'}_{(\ell^p)'},
+    \]
+    das heißt, $Z$ ist eine Isometrie.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar-nn}
+    $\ell^p$ und $\ell^p)''$ sind isometrisch isomorph.
+    Diese Isometrie ist kanonisch (vermöge $J_0$) (vgl, Def 5.4.1, Übung).
+    Also sind $\ell^p$, $ < p < ∞$ reflexiv, es gilt
+    \[
+        \lAngle J_0 x, x' \rAngle = \lAngle x', x \rAngle \quad ∀ x' ∈ X'.
+    \]
+\end{korollar-nn}
+\begin{warnung-nn}
+    $\ell^1$ ist nicht reflexiv, ebenso $\ell^∞$ nicht.
+\end{warnung-nn}
+
+\begin{definition}
+    Eine Funktion $v: [a,b] → ℝ$ heißt \emph{von beschränkter Variation}, falls ein $C > 0$ existiert, so dass für alle endlichen Zerlegungen
+    \[
+        Z: a = t_0 < t_1 < … < t_n = b
+    \]
+    von $[a,b]$ gilt:
+    \[
+        V_Z(v) := \sum_{j=1}^n |v(t_j) - v(t_j-1)| ≤ C < ∞
+    \]
+    Wir nennen
+    \[
+        \Var_{a,b}(v) := \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v) 
+    \]
+    die \emph{totale Variation von $v$} auf $[a,b]$.
+\end{definition}
+\begin{beispiel-nn}
+    Betrachte $v(x) = \cos(x), x ∈ [0, 2π]$. Dann ist mit der Zerlegung $Z: 0 < π < 2π$
+    \[
+        V_Z(v) = 2 \cdot 2 = 4 = \Var_{0,2π}(v).
+    \]
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist v. b. V. $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch
+    \[
+        \norm{v} := |v(a)| + \Var_{a,b}(v)
+    \]
+    zum Banachraum.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Jedes $v ∈ C^1[a,b]$ ist von beschränkter Variation dank des Mittelwertsatzes.
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{warnung-nn}
+    Für Elemente in $C[a,b]$ ist das nicht notwendigerweise so (Übung).
+\end{warnung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Jedes $f ∈ \operatorname{BV}[a,b]$ lästs sich schreiben als $f = h-g$, wobei $h$ und $g$ jeweils monoton wachsende Funktionen sind.
+    Daraus folgt, dass $f$ höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen besitzt (Übung).
+\end{bemerkung-nn}
+
+Ähnlich wie bei der Existenz des Riemann"=Integrals kann man zeigen:
+
+\begin{lemma}
+    5.5.5, riemann-steltjes integral ex für bv funkitonen
+\end{lemma}
+
+Mit Hilfte des Riemann"=Stieltjes"=Integral können lässt sich der Dualraum des $C[a,b]$ darstellen.
+
+\begin{satz}
+    Zu jedem $f  ∈ (C[a,b])'$ existiert eine Funktion $v$ von beschränkter Variation mit
+    \[
+        f[x] = ∫_a^b x(t) \;\mathrm{dv}(t), \quad x ∈ C[a,b],
+    \]
+    wobei
+    \[
+        \norm{f}_{(C[a,b])'} = \Var_{a,b}(v).
+    \]
+\end{satz}
+
+Genauer ist
+\[
+    \norm{f}_{(C[a,b])'} = \sup_{\norm{x}_∞ ≤ 1} | f[x] | =
+    \sup_{\norm{x}_{∞} ≤ 1} \Big| ∫_a^b x(t) \;\mathrm{dv}(t) \Big| =  … =
+    \Var_{a,b}(v).
+\]
+Wähle dafür $x = ±1$ an den Zwischenpunkten des Riemann"=Stieltjes"=Integrals.
+
+\begin{satz}
+    Sei $\operatorname{NBV}[a,b]$ der Raum der Funktionen von Beschränkter Variation auf [a,b], für die gilt:
+    \[
+        v(a) = 0, \quad \lim_{h → 0+} v(t + h) = v(t), a ≤  t < b,
+    \]
+    Also zusätzlich rechtsseitige Stetigkeit gilt.
+    Führt man auf $\operatorname{NBV}([a,b])$ eine Norm durch $\norm{v} = \Var_{a,b}(v)$ ein, so ist
+    $(C[a,b])'$ vermittels 5.7/5.8 isometrisch isomorh zu $\operatorname{NBV}[a,b]$, das heißt $(C[a,b])' \cong \operatorname{NBV}[a,b]$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Zum Beispiel in \cite[Chapter III, Theorem 5.5]{MR564653}
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    $C[a,b]$ ist nicht reflexiv.
+\end{bemerkung-nn}
+
 
 
 %%% Local Variables: