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diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex index 88b7edb..2a7e625 100644 --- a/ch05-hahn-banach.tex +++ b/ch05-hahn-banach.tex @@ -139,7 +139,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. Finde eine maximale Fortsetzung mit dem Lemma von Zorn. Betrachte dazu \[ - \{: X \supset D_g \supset X_0 → ℝ\}: g|_{X_0} = f_0 ∧ ∀x ∈ D_g: g(x) \le p(x) \}. + \{g : X \supset D_g \supset X_0 → ℝ\}: g|_{X_0} = f_0 ∧ ∀x ∈ D_g: g(x) \le p(x) \}. \] Diese Menge ordnen wir mit $\succeq$ definiert durch \[ @@ -418,18 +418,20 @@ Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∝(Ω)$. dann ist schon $α_i = x'[e_i] = ε_i$. Bleibt noch zu zeigen, dass $α ∈ \ell^q$ ist. - Setze dazu $(ξ_i^n) := + Setze dazu + \[(ξ_i^n) := \begin{cases} |α_i|^{q-1} \cdot \frac{\cl{α_i}}{|α_i|}, & 1 ≤ i ≤ n, α_i \ne 0\\ 0, & \text{sonst} - \end{cases} - $. Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ + \end{cases}. + \] +Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ \[ \norm{x_n}_{\ell^p} = \left( \sum_{i=1}^∞ | ξ_i^{(n)}|^p \right)^{1/p} = \left( \sum_{i=1}^n |α_i|^q \right)^{1/p}. \] Außerdem gilt für $x' ∈ (\ell^p)'$ \[ - \norm{x'}_{(\ell^p)'} \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big| = \norm{x'}_{(\ell^p)'} \norm{x_n}_{\ell^p }\le |x'[x_n]| = | \sum_{i=1}^n ξ_i^{(n)} \underbrace{x'[e_i]}_{= α_i}| = \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big|, + \norm{x'}_{(\ell^p)'} \Big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \Big| = \norm{x'}_{(\ell^p)'} \norm{x_n}_{\ell^p }\le |x'[x_n]| = \Big| \sum_{i=1}^n ξ_i^{(n)} \underbrace{x'[e_i]}_{= α_i}\Big| = \Big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \Big|, \] also wegen $1 - \frac 1 p = \frac 1 q$ \[ |