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diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex index c058649..131ad0f 100644 --- a/ch05-hahn-banach.tex +++ b/ch05-hahn-banach.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\chapter{Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen} +\chapter{Der Satz von Hahn-Banach \\ und seine Konsequenzen} \section{Fortsetzbarkeit linearer Funktionale} Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wie z.B. Linearität oder Stetigkeit) erhalten bleiben. @@ -27,16 +27,16 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi Wir behaupten, dass $(A_0x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $Y$ ist. Dazu beachte, dass \[ - \norm{A_0 x_n - A_0 x_m}_{Y} \le \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n-x_m} \xrightarrow[n,m → \infty ]{} 0. + \norm{A_0 x_n - A_0 x_m}_{Y} \le \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n-x_m} \yrightarrow[n,m → \infty ]{} 0. \] Da $Y$ ein Banachraum ist, ist $(A_0x_n)_{n\ge1}$ konvergiert, etwa gegen $y$. Wir setzen $Ax \coloneq y$. Zunächst ist $A$ wohldefiniert, denn wenn $(z_n)_{n \ge 1}$ eine weitere Folge mit $\lim_{n → \infty } z_n = x$ ist, dann gilt - $z_n - x_n \xrightarrow[n→\infty ]{} 0$ und + $z_n - x_n \yrightarrow[n→\infty ]{} 0$ und \begin{align*} \norm{A_0 z_n - y} &\le \norm{A_0 z_n - A_0 x_n} + \norm{A_0 x_n - y} \\ & \le - \norm{A_0} \norm{z_n - x_n} + \norm{A_0 x_n - y} \xrightarrow[n→\infty ]{} 0. + \norm{A_0} \norm{z_n - x_n} + \norm{A_0 x_n - y} \yrightarrow[n→\infty ]{} 0. \end{align*} Offensichtlich ist $A$ eine Fortsetzung von $A_0$. Dass $A$ linear ist, ist ebenfalls klar. @@ -65,7 +65,7 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi \] und für $x ∈ X$ \[ - \norm{B_x - A_x} \le \norm{B_x - Bx_n} + \norm{Bx_n - Ax_n} + \norm{Ax_n - Ax} \xrightarrow[n→\infty ]{} 0, + \norm{B_x - A_x} \le \norm{B_x - Bx_n} + \norm{Bx_n - Ax_n} + \norm{Ax_n - Ax} \yrightarrow[n→\infty ]{} 0, \] da $A$ und $B$ stetig sind. Also $Bx = Ax$ für alle $x ∈ X$ und damit $B = A$. \end{proof} @@ -163,13 +163,12 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. \begin{satz}[5.3.1] Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum über $ℝ$, $M ⊂ X$ abgeschlossen und konvex und $0 ∈ M$. - Dann existiert zu jedem $x_0 \not\in M$ ein $f ∈ X'$ mit \[ f(x_0) > 1 ∧ ∀ x ∈ M: f(x) \le 1. \] -\end{satz} Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + \epsilon \}$ für $0 < \epsilon < f(x_0) < 1$ trennt also $x_0$ und $M$. +\end{satz} \begin{proof} Setze $2r \coloneq \inf_{y ∈ M} \norm{y - x_0}$ (positiv, da $M$ abgeschlossen). @@ -225,7 +224,7 @@ Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + \epsilon \}$ für $0 < \epsilon < f( \] \end{proof} -\section{Einbettung von $X$ in seinen Bidualraum} +\section{Einbettung von \(X\) in seinen Bidualraum} Zunächst zur Motivation: Sei $X$ ein normierter linearer Raum. Dann existiert $X'$ und ist ein Banachraum. Aber dann existiert auch $X'' \coloneq (X')'$ und ist ebenfalls ein Banachraum. @@ -560,5 +559,5 @@ Wähle dafür $x = ±1$ an den Zwischenpunkten des Riemann"=Stieltjes"=Integrals %%% Local Variables: %%% mode: latex -%%% TeX-master: "funkana-ebook" +%%% TeX-master: "funkana" %%% End:
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