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index e532ad9..c0ff875 100644
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+++ b/ch05-hahn-banach.tex
@@ -6,7 +6,9 @@
Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wie z.B. Linearität oder Stetigkeit) erhalten bleiben.
-\begin{definition}
+\begin{definition}[Fortsetzung]
+ \index{Fortsetzung}
+ \label{defi:fortsetzung-5.1.1}
Eine Abbildung $A: M → Y$ heißt eine Fortsetzung einer Abbildung $A_0: M_0 → X$, falls
\begin{enumerate}
\item $ M_0 ⊂ M$,
@@ -16,7 +18,8 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi
\end{definition}
\begin{satz}
- Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normietre Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$.
+ \label{satz:auf-dichtem-teilraum-def-stetig-linear-abb-ist-fortsetzbar-5.1.2}
+ Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normierte Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$.
Weiter sei $(Y, \norm-_{Y})$ ein Banachraum und $A_0 : X_0 → Y$ stetig und linear.
Dann gibt es genau eine stetige lineare Fortsetzung $A : X → Y$ von $A_0$ auf $X$.
Für diese gilt:
@@ -74,6 +77,7 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi
\end{proof}
\begin{korollar}
+ \label{kor:abb-auf-dichter-teilmenge-null-ueberall-null-5.1.3}
Ist $A ∈ \L(X,Y)$, $X, Y$ normiert sowie $Y$ vollständig und $M ⊂ X$ dicht, dann gilt:
Falls $Ax = 0$ für alle $x ∈ M$, dann ist $A$ schon die Nullabbildung auf $X$.
\end{korollar}
@@ -84,7 +88,12 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi
Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
-\begin{satz}
+\begin{satz}[Hahn-Banach]
+ \label{satz:hahn-banach-5.1.4}
+ \index{Satz!von Hahn-Banach}
+ \index{Hahn-Banach}
+ \index{positiv homogen}
+ \index{subadditiv}
Auf dem linearen Raum $X$ über $ℝ$ gebe es eine Abbildung $p: X → ℝ$ mit:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item
@@ -93,7 +102,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
$p(x+y) \le p(x) + p(y)$ für alle $x, y ∈ X$ (subadditiv)
\end{enumerate}
- Weiter seine $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit
+ Weiter seien $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit
\[
∀x ∈ X_0 : f_0(x) \le p(x).
\]
@@ -107,7 +116,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
\end{bemerkung-nn}
\begin{proof}
Schritt 1.
- Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$ für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneqq X$).
+ Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$ für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneq X$).
Offenbar hat jedes $x ∈X_1$ eine eindeutig Darstellung als
$ y = y + \alpha x_1 $, mit $y ∈ X_0$, $\alpha ∈ ℝ$.
Dann ist mit $c ∈ ℝ$ beliebig
@@ -154,17 +163,89 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
\end{proof}
\begin{bemerkung-nn}
- \begin{enumerate}
- \item
Ohne die Zusatzforderung $f(x) \le p(x)$ für alle $x ∈X$ ist die lineare Fortsetzbarkeit trivial.
- \item
- Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog möglich. % yos IV 4
- \end{enumerate}
+ Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog
+ möglich \cite[Ch. IV, 4]{MR617913}.
\end{bemerkung-nn}
-%% HIER FEHLT EINE VORLESUNG
+\begin{korollar}[Hahn-Banach für normierte Räume]
+ \index{Hahn-Banach!für normierte Räume}
+ \index{Satz!von Hahn-Banach für normierte Räume}
+ \label{kor:hahn-banach-fuer-normierte-raeume-5.1.5}
+ Sei $(X,\norm-)$ ein normierter Raum, $X_0$ ein linearer Teilraum und $f_0 ∈ X_0'$ sei ein stetiges lineares Funktional auf $X_0$. Dann existiert eine normerhaltende Fortsetzung $f ∈ X'$ vobn $f_0$, das heißt
+ \[
+ f|_{X_0} = f_0\quad \text{und} \quad \norm{f}_{X'} = \norm{f_0}_{X_0'}.
+ \]
+\end{korollar}
+
+\section{Existenz nichttrivaler stetiger Funktionale}
+
+\begin{korollar}
+ \label{kor:ex-nichttriv-stetig-funktional-5.2.1}
+ Zu jedem Element $x_0 \ne 0$ des normierten Raumes $(X,\norm-)$ existiert ein $f ∈X'$ mit $\norm{f}_{X'} = 1$ und $f(x_0) = \norm{x_0}$.
+ Insbesondere ist $X' \ ne \{0\}$.
+\end{korollar}
+
+\begin{korollar}[Normformel]
+ Für jedes Element $x$ eines normierten Raumes $(X, \norm-)$ gilt
+ \[
+ \norm{x} = \sup_{f ∈ X', \norm{f} = 1} |f(x)|.
+ \]
+
+\end{korollar}
+
+\begin{korollar}
+ \label{kor:5.2.3}
+ Sei $(X,\norm -)$ ein normierter Raum. Dann gilt
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ Falls $f(x) = 0$ für alle $f ∈ X'$ gilt, war bereits $x = 0$.
+ \item
+ Aus $f(x_1) = f(x_2)$ für alle $f ∈ X'$ folgt $x_1 = x_2$.
+ \item
+ Aus $|f(x_0)| ≤ C$ für alle $f ∈ X'$ mit $\norm{f} = 1$ folgt $\norm {x_0} ≤ C$.
+ \end{enumerate}
+\end{korollar}
+
+\begin{bemerkung}
+ In jedem lokalen-konvexen topologischen linearen Raum $X$ gibt es nichttriviale stetige lineare Funktionale, das heißt $\{0\} \subsetneq X'$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+ Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $(X,\norm-)$ und für $x_0 ∈ X \setminus Y$
+ \[
+ d = \operatorname{dist}(x_0,Y) \coloneq \inf_{y ∈ Y} \norm{x_0 - y}.
+ \]
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ Dann gilt für alle $f ∈ X'$ mit $\norm f = 1$ und $f|_Y = 0$:
+ \[
+ |f(x_’)| ≤ \operatorname{dist}(x_0, Y).
+ \]
+ \item
+ Im Falle $d > 0$ gibt es ein derartiges $f$ mit $f(x_0) = \operatorname{dist}(x_0, Y)$.
+ \end{enumerate}
+\end{satz}
-\begin{satz}[5.3.1]
+\begin{satz}[Dichtekriterium von Banach]
+ \index{Dichtekriterium von Banach}
+ \index{Banachsches Dichtekriterium}
+ \label{folgerung:dichtekriterium-banach-5.2.6}
+ Sei $(X,\norm-)$ ein normiterter Raum und $M ⊂ X$.
+ Dann sind äquivalent:
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ $\operatorname{cl}_X(\lspan(M)) = X$
+ \item
+ Für alle $f ∈ X'$ mit $f|_{M} = 0$ gilt schon $f = 0$.
+ \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\section{Trennung Konvexer Mengen}
+\begin{satz}[Mazur]
+ \index{Satz!von Mazur}
+ \index{Mazur}
+ \label{satz:mazur-5.3.1}
Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum über $ℝ$, $M ⊂ X$ abgeschlossen und konvex und $0 ∈ M$.
Dann existiert zu jedem $x_0 \not\in M$ ein $f ∈ X'$ mit
\[
@@ -189,7 +270,7 @@ Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + \epsilon \}$ für $0 < \epsilon < f(
\frac r 2 > \norm{z_{n_0} - x_0} = \norm{y_{n_0 - x_0} + u_{n_0}} \ge |\underbrace{\norm{y_{n_0-x_0}}}_{\ge 2r} - \underbrace{\norm{u_{n_0}}}_{\le r}| \ge r.
\]
- Verwende nun das Minkowski-Funktional
+ Verwende nun das Minkowski-Funktional\index{Minkowski-Funktional}
\[
p_N(x) \coloneq \inf \{ρ > 0: ρ^{-1} x ∈ N\}, \quad x ∈ X.
\]
@@ -233,7 +314,10 @@ Dann existiert $X'$ und ist ein Banachraum.
Aber dann existiert auch $X'' \coloneq (X')'$ und ist ebenfalls ein Banachraum.
Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
-\begin{definition}
+\begin{definition}[kanonische Abbildung]
+ \index{$J_0$}
+ \index{kanonische Abbildung}
+ \label{defi:kanonische-abb-5.4.1}
Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist definiert durch
\[
J_0(x) [x'] = \lAngle J_0(x), x' \rAngle_{X''×X'} \coloneq \lAngle x', x \rAngle_{X'×X} = x'[x] ∈ \K
@@ -267,14 +351,14 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
\[
\lAngle x', x_1-x_2 \rAngle = 0.
\]
- Mit Folgerung 2.3(1) folgt $x_1-x_2 = 0$.
+ Mit~\cref{kor:5.2.3} folgt $x_1-x_2 = 0$.
Zur Isometrieeigenschaft bleibt zu zeigen: $\norm{J_0x} = \norm{x}$ für alle $x ∈ X''$.
- „$\le$“: Aus (4.1) folgt bereits
+ „$\le$“: Aus~\cref{defi:kanonische-abb-5.4.1} folgt bereits
\[
\norm{J_0(x)}_{X''} = \sup_{\norm{x'} \le 1} |J_0(x)[x'] \le \norm{x}_X.
\]
- „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach Korollar 2.1 ein $x_0' ∈ X'$ mit
+ „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach ein $x_0' ∈ X'$ mit
$\norm{x_0'}_{X'} = 1$ und $x_0'[x_0]= \norm{x_0}$.
Also folgt
\[
@@ -283,7 +367,9 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
Da $x_0$ beliebig war, gilt $\norm{J_0x}_{X''} \ge \norm{x}$.
\end{proof}
-\begin{definition}
+\begin{definition}[reflexiv]
+ \index{reflexiv}
+ \label{defi:reflexiv-5.4.3}
Ein Banachraum $X$ heißt \emph{reflexiv}, wenn $J_0$ surjektiv ist, also $X$ und $X''$ isomorph sind vermöge $J_0$.
\end{definition}
@@ -296,6 +382,7 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
\end{warnung-nn}
\begin{satz}
+ \label{satz:hilbertraum-refl-5.4.4}
Jeder Hilbertraum $H$ ist reflexiv
\end{satz}
\begin{noproof}
@@ -316,8 +403,8 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
Dies ist zum Beispiel in der Variationsrechnung sehr wichtig.
\end{bemerkung-nn}
-\begin{definition}
- Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn
+\begin{definition}[schwach konvergent]
+ Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{\index{Konvergenz!schwache}\index{schwach konvergent}schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn
\[
\lim_{n → \infty } x'[x_n] = x'[x]
\]
@@ -329,17 +416,15 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
\end{bemerkung-nn}
\begin{beispiel-nn}
- Für $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ Hilbertraumbasis in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt
+ Für eine Hilbertraumbasis $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt
\[
- \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty )
+ \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty ).
\]
-\end{beispiel-nn}
-\begin{bemerkung-nn}
$(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge
ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0}
\not\rightarrow 0\; (i → \infty )$.
-\end{bemerkung-nn}
+\end{beispiel-nn}
\begin{proof}
Der kanonische Isomorphismus $J_X: X → X', y ↦ y'$ mit $y'[x] = \langle y,x \rangle$ für alle $x ∈ X$ liefert
@@ -483,7 +568,7 @@ Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$
\]
Wir nennen
\[
- \Var_{a,b}(v) := \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v)
+ \Var_{a,b}(v) \coloneq \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v)
\]
die \emph{totale Variation von $v$} auf $[a,b]$.
\end{definition}
@@ -495,7 +580,7 @@ Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$
\end{beispiel-nn}
\begin{bemerkung-nn}
- Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist v. b. V. $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch
+ Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist von beschränkter Variation $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch
\[
\norm{v} := |v(a)| + \Var_{a,b}(v)
\]