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--- /dev/null
+++ b/ch06-schwache-topologien.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+\chapter{Schwache Topologien}
+In diesem Kapitel sei $X$ grundsätzlich ein normierter linearer Raum.
+
+Wir wissen bereits, dass $\cl{B_1(0)}$ genau dann kompakt ist, wenn $\dim X < ∞$ ist.
+
+Wir suchen nun eine sinnvolle Topologie für $X$, die von der Normtopologie noch
+möglichst viele Eigenschaften mitnimmt, aber die Einheitskugel kompakt macht.
+
+\section{Schwache und schwach$*$-Topologie}
+
+Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei
+\begin{equation}\label{eq:11}
+ U(x',ε) \coloneq \{ x ∈ X: |x'[x]| < ε\} ⊂ X
+\end{equation}
+
+\begin{definition}
+ Eine Menge $V ⊂ X$ heißt offen bezüglich der \emph{schwachen Topologie}, falls für jedes $x_0 ∈ V$ endlich viele $x_1',…,x_k' ∈ X'$ existieren und $ε_1, …, ε_k > 0$, so dass
+ \[
+ x_0 + \bigcap_{i=1}^k U(x_i',ε_i) ⊂ V
+ \]
+ gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+ Das heißt, die Menge der endlichen Schnitte der $U(x', ε)$ aus \eqref{eq:11}
+ bilden eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$ für die sogenannte \emph{schwache Topologie} $\T_w ⊂ \Pot{X}$ auf $X$.
+ Insbesondere ist $U(x', ε)$ selber offen in $\T_w$ (Übung).
+ Damit sind auf $X$ zwei verschiedene Topologien erklärt, nämlich $(X,\T_w)$ und $(X,\T_S)$, wobei $\T_s$ nun die (starke) Normtopologie bezeichne.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ $(X,\T_w)$ ist ein topologischen linearer Raum, der Hausdorffsch ist.
+ \item
+ Jede schwach offene Menge ist auch stark offen, das heißt die Normtopologie ist feiner als die Schwache Topologie bzw $\T_w ⊂ \T_s$.
+ \begin{warnung-nn}
+ Die Umkehrung gilt in der Regel nicht.
+ Falls $V ⊂ X$ stark offen und konvex ist, so ist $V$ auch schwach offen (Übung).
+ \end{warnung-nn}
+ \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+ Übung.
+\end{proof}
+\begin{bemerkung-nn}
+ $(X,\T_w)$ ist ein topologischer linearer Raum, also folgt aus dem Invarianzprinzip, dass die Topologie bereits vollständig durch die offenen Umgebungen der Null bestimmt ist.
+\end{bemerkung-nn}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "funkana-ebook"
+%%% End: