From 233b5e4db83a5dcc47782b41acb67ad8277c4cfc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ulli Kehrle Date: Fri, 22 Dec 2017 13:50:08 +0100 Subject: VL vom freitag hinzugefügt. MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ch05-hahn-banach.tex | 3 +- ch06-schwache-topologien.tex | 284 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 286 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex index 018207f..88b7edb 100644 --- a/ch05-hahn-banach.tex +++ b/ch05-hahn-banach.tex @@ -454,7 +454,7 @@ Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∝(Ω)$. \end{proof} \begin{korollar-nn} - $\ell^p$ und $\ell^p)''$ sind isometrisch isomorph. + $\ell^p$ und $(\ell^p)''$ sind isometrisch isomorph. Diese Isometrie ist kanonisch (vermöge $J_0$) (vgl, Def 5.4.1, Übung). Also sind $\ell^p$, $ < p < ∞$ reflexiv, es gilt \[ @@ -553,6 +553,7 @@ Wähle dafür $x = ±1$ an den Zwischenpunkten des Riemann"=Stieltjes"=Integrals + %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana-ebook" diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex index 73109c7..77492d0 100644 --- a/ch06-schwache-topologien.tex +++ b/ch06-schwache-topologien.tex @@ -43,9 +43,293 @@ Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei \begin{proof} Übung. \end{proof} +\begin{bemerkung-nn} + Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$ + \begin{itemize} + \item + mehr offene Mengen, + \item + mehr abgeschlossene Mengen, aber + \item + weniger kompakte Mengen, + \item + mehr stetige Abbildungen nach $\K$ (oder in einen anderen topologischen Raum), aber + \item + weniger konvergente Folgen. + \end{itemize} +\end{bemerkung-nn} \begin{bemerkung-nn} $(X,\T_w)$ ist ein topologischer linearer Raum, also folgt aus dem Invarianzprinzip, dass die Topologie bereits vollständig durch die offenen Umgebungen der Null bestimmt ist. \end{bemerkung-nn} + + +\begin{bemerkung} + Sei $P := \{ p_{x'}: X → ℝ: x' ∈ X', p_{x'}(x) := | \lAngle x', x \rAngle |\}$. + Dann ist $P$ eine Familie von Halbnormen auf $X$, die die Bedingung (I) aus dem Satz 3.3.15 erfüllt, % TODO, + das heißt, wenn $p_{x'}(x) m = 0 $ für alle $x' ∈ X'$, dann ist bereits $x = 0$ dank Hahn-Banach. + Damit ist $(X, \T_w)$ sogar ein \emph{lokalkonvexer} Hausdorff"=Raum (insbesondere sind die $U(x',ε)$ und endliche Schnitte davon eine konvexe Umgebungsbasis der Null). +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} + Es gilt $\T_w = \T_s \iff \dim X < ∞$, das heißt in der Regel ist $\T_w \subsetneq \T_s$, also es gibt echt weniger schwach offene Mengen als stark offene (Beispiel in der Übung). + Deswegen gibt es auch \emph{mehr} schwach konvergente Folgen. +\end{bemerkung} + +\begin{satz} + Sei $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge in $X$. + Dann konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in der schwachen Topologie gegen $x_0 ∈ X$ genau dann, wenn $\lim\limits_{n → ∞} \lAngle x', x \rAngle = \lAngle x', x_0 \rAngle$ für alle $x' ∈ X'$ gilt. +\end{satz} +\begin{proof} + Übung. +\end{proof} +\begin{bemerkung-nn} + Wir schreiben für die schwache Konvergenz $x_n \xrightharpoonup[n → ∞]{} x_0$. + Im Beispiel zur Definition 5.4.5 haben wir gesehen, dass $e_i \xrightharpoonup[n→∞]{} 0$ in $\ell^2$. +\end{bemerkung-nn} +Nach Satz 1.6 sind alle $x' ∈ X'$ als Abbildungen +\[ + x': (X, \T_w) → \K +\] +folgenstetig. Nach Definition ist aber auch $x': (X, \T_s) → \K$ stetig. +Tatsächlich ist $\T_w$ die gröbste Topologie auf $X$, das heißt die mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle $x' ∈ X'$ stetig sind. +Beachte +\[ + U(x', ε) = (x')^{-1}(B_ε(0)), +\] +und $B_ε(0)$ ist eine offene Menge in $\K$, also wird die Topologie gerade durch die Urbilder einer Umgebungsbasis unter den $x'$ erzeugt, das heißt nach Konstruktion ist sie gerade so gemacht, dass alle $x'$ stetig werden, aber es werden nicht mehr offene Mengen hinzugenommen. +$\T_w$ ist also die Initialtopologie bezüglich aller $x'$. + +\subsection*{Schwach$*$-Topologie auf $X'$} +Zu $X'$ (also einem Banachraum) existiert auch $X'' = (X')'$ und ist wieder ein Banachraum. +Damit existiert auf $X'$ eine schwache Topologie $(X',\T_{w,X'})$ mit Umgebungsbasis +\[ + U(x'',ε) ⊂ X' +\] +zu $x'' ∈ X''$ fest und $ε > 0$ und endlichen Schnitten davon. +$X'$ lässt sich aber auch noch anders topologisieren. +Sei $x ∈ X$ fest und $ε > 0$ gegeben. +Dann definiere +\[ + U'(x, ε) \coloneq \{ x' ∈ X': |\lAngle x', x \rAngle| < ε\} ⊂ X'. +\] +\begin{definition} + Eine Menge $V' ⊂ X'$ heißt offen bezüglich der \emph{scwhach$*$-Topologie}, falls zu jedem $x_0' ∈ V'$ endlich viele $x_1,…,x_k ∈ X$, $ε_1,…,ε_n > 0$ existieren, so dass + \[ + x_0' + \bigcap_{i=1}^n U'(x_i, ε_i) ⊂ V'. + \] + Wir schreiben für diese Topologie $(X',\T_{w*,X'})$. +\end{definition} + +\begin{satz} + $X'$ ist bezüglich der schwach$*$"=Topologie ein topologischer linearer Raum, der Hausdorffsch ist. + Die $U'(x, ε)$ und endliche Schnitte davon sind Umgebungsbasis der Null in $X'$ für $\T_{w*,X'}$. +\end{satz} +\begin{proof} + ähnlich wie bei der schwachen Topologie. +\end{proof} + +\begin{warnung-nn} + Eine „schwach$*$-Topologie“ auf $X$ geht offenbar \emph{nicht}. +\end{warnung-nn} + +\begin{bemerkung} + Die schwach$*$ ist eine weitere Abschwächung der schwachen Topologie. + Betrachte dazu den kanonischen Isomorphismus + \[ + J_0: X → X'', \quad ∀x ∈ X': \lAngle J_0 x, x' \rAngle = \lAngle x', x \rAngle. + \] + Definitionsgemäß ist $J_0$ genau dann surjektiv, wenn $X$ reflexiv ist. + Dann ist + \[ + U'(x,ε) = \{ x' ∈ X' : |\lAngle J_0 x, x' \rAngle| < ε\} = + U(J_0 x, ε). + \] + Damit $U'(x,ε) ∈ \T_{w,X'}$, also + \[ + \T_{w^*,X'} ⊂ \T_{w, X'} ⊂ \T_{s, X'} + \] +\end{bemerkung} +\begin{korollar-nn} + Falls $X$ reflexiv ist, so stimmen $\T_{w*,x'}$ und $\T_{w,X'}$ überein. +\end{korollar-nn} +\begin{proof} + klar. +\end{proof} + +Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 +\begin{satz} + Sei $(x'_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge in $X'$. + Dann konvergiert $(x_n')_{n ∈ ℕ}$ in $(X',\T_{w^*,X'})$ gegen $x_0' ∈ X'$ genau dann, wenn + $\lim_{n → ∞} \lAngle x_n', x \rAngle = \lAngle x_0', x \rAngle$ für alle $x ∈ X$. + Wir schreiben dafür $x_n' \xrightharpoonup[n→∞]{*} x_0$. +\end{satz} + +\begin{proof} + Übung. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + \begin{enumerate} + \item + Grenzwerte von schwach (schwach$*$) konvergenten Folgen sind eindeutig bestimmt. + \item + Normkonvergenz implizierte schwache Konvergenz impliziert schwach$*$-Konvergenz. + \end{enumerate} +\end{bemerkung} +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item + Für die schwache Topologie: + Falls $x'[x_0] = x'[\tilde x_0]$ für alle $x' ∈ X$, so impliziert Hahn-Banach bereits $x_0 = \tilde x_0$. + \item + Folgt direkt aus den entsprechenden Inklusionen der Topologien. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{satz} + \begin{enumerate} + \item + Aus $x_k' \xrightharpoonup[n → ∞]{*} x'$ in $X'$ folgt + \[ + \norm{x'}_{X'} \le \liminf_{k → ∞} \norm{x'_k}_{X'}. + \] + \item + Aus $x_k \xrightharpoonup[n → ∞]{} x$ in $X$ folgt + \[ + \norm{x}_{X} ≤ \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_{X}. + \] + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item + Für alle $ ∈ X $ gilt: + \[ + |\lAngle x', x \rAngle| \xleftarrow[n → ∞]{} | \lAngle x_k' x \rAngle | + \le \norm{x}_{X} \norm{x'_k}_{X'}, + \] + also + \[ + | \lAngle x', x \rAngle | \le \underbrace{\left( \liminf_{k → ∞} \norm{x'_k}_{X'} \right)}_{\eqcolon M} \norm{x}_X, + \] + das heißt $\norm{x'}_{X'} ≤ M$, was die Behauptung impliziert. + \item + Gelte $x_k \xrightharpoonup[k→∞]{} x$ + Wie gerade folgt für alle $x' ∈ X'$ + \[ + | \lAngle x', x \rAngle | ≤ + \norm{x'} \left( \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_X \right). + \] + nach Kapitel, Kor 2.1 (Existenz von nichttrivialen Funktionalen) existiert zu $x ∈ X$ fest ein $x' ∈X'$ mit + \[ + \lAngle x', x \rAngle = \norm{x}, \quad \norm{x'}_{X'} = 1, + \] + woraus + \[ + \norm{x}_{X} \le \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_{X} + \] + folgt, was die Behauptung war. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\section{Schwach- und schwach$*$-kompakte Einheitskugeln} +\begin{satz} + Sei $(X,\norm-)$ separabel. + Dann ist die (stark) abgeschlossene Einheitskugel $\cl{B_1}(0) = \{ x' ∈ X': \norm{x'} ≤ 1\} ⊂ X'$ schwach$*$-folgenkompakt. +\end{satz} +\begin{proof} + Sei $\{x_n\}_{n ∈ ℕ}$ eine dichte Teilmenge von $X$. + Sei $(x'_{k ∈ ℕ})$ eine Folge in $X'$ mit $\norm{x'_k}_{X'} ≤ 1$ für alle $k ∈ ℕ$. + Wir konstruieren ein $x' ∈ \cl{B_1(0)}$ mit $x'_k \xrightharpoonup[k→∞]{*}$ (für eine Teilfolge). + Für $n ∈ ℕ$ ist $(\lAngle x_k', x_n \rAngle)_{k ∈ ℕ}$ eine beschräkte Folge in $\K$, denn $|\lAngle x'_k, x_n \rAngle | \le \norm{x_n} \cdot 1 \; (*)$. + + Durch das Diagonalverfahren finden wir eine Teilfolge $(x_{k_m})_{m ∈ ℕ}$, so dass für alle $n ∈ ℕ$ gilt + \[ + \lim_{m → ∞} \lAngle x'_{k_m},x_n \rAngle \;\;\text{existiert}: + \] + Dazu gibt es wegen (*) zu $x_1$ eine Teilfolge $(x_{k,1}')_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_k)_{k ∈ ℕ}$ mit + \[ + (\lAngle x'_{k,1}, x_1 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K. + \] + Analog können wir zu $x_2$ + eine Teilfolge $(x_{k,2}')_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_{k,1})_{k ∈ ℕ}$ finden mit + \[ + (\lAngle x'_{k,2}, x_2 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K + \] + und weiterhin + \[ + (\lAngle x'_{k,2}, x_1 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K. + \] + Induktiv: Zu $x_m$, $m ∈ ℕ$ existiert eine Teilfolge $(x'_{k,m})_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_{k,m-1})_{k ∈ ℕ}$, so dass + \[ + ∀j ≤ m : (\lAngle x'_{k,m}, x_j \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K. + \] + Für die Diagonalfolge $(x'_{m,m})_{m ∈ ℕ} ⊂ (x'_k)_{k ∈ ℕ}$ gilt also + \[ + ∀n ∈ ℕ : (\lAngle x'_{m,m}, x_n \rAngle)_{m ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K. + \] + Setze nun $x'_{k_m} \coloneq x"_{m,m}$. + Sei nun O.B.d.A $x'_{k_m} = x'_k$. + + + Nun konstruieren wir ein $x'$ mit der gewünschten Eigenschaft. + Setze $Y := \lspan \{ x_n: n ∈ ℕ\} ⊂ X$. + Dann liegt $Y$ immer noch dicht in $X$. + Dann gilt für $y ∈ Y$ beliebig auch + \[ + \lim_{k → ∞} \lAngle x'_k, y \rAngle \;\;\text{existiert in } \K. + \] + Wir definieren $x' : Y → \K$ linear mit + \begin{equation} + \label{eq:23} + \lAngle x', y \rAngle \coloneq \lim_{k -^∞} \lAngle x'_k, y \rAngle. + \end{equation} + Wir behaupten $x' ∈ Y'$. Dazu ist + \[ + | \lAngle x', y \rAngle | = \lim_{k → ∞} |\lAngle x'_k, y \rAngle | ≤ \norm{y} \limsup_{k → ∞} \norm{x_k'}_{X'} ≤ \norm{y}. + \] + Damit ist $x'$ auf $Y$ beschränkt, also stetig. + Außerdem gilt $\norm{x'}_{Y'} ≤ 1$. + $x'$ lässt sich als dicht definierte stetige lineare Abbildung eindeutig fortsetzen (Kapitel 5, Satz 1.2) auf $\cl Y = X$. + Also $x' ∈ X'$ und $\norm{x'}_{X'} = \norm{x'}_{Y'} ≤ 1$. + Also $x' ∈ \cl{B_1(0)} ⊂ X'$. + + Bleibt noch zu zeigen: $x'_k \xrightharpoonup[k→∞]{*} x'$. + Sei dazu $x ∈ X$ beliebig und $y ∈ Y$ mit $\norm{x-y}_{X} < ε$ (geht weil $\cl Y = X$). + Dann + \[ + | \lAngle x' - x'_k, x \rAngle | + ≤ | \lAngle x' - x'_k, x-y \lAngle| + |\lAngle x'-x'_k, y \rAngle| + ≤ 2 \norm{x-y} + ε < 3 ε. + \] + Also ist schwache Konvergenz gezeigt und die Behauptung folgt. +\end{proof} + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + %%% Local Variables: %%% mode: latex -- cgit v1.2.3-24-g4f1b