From 5be132a3e01c5ea88a7595940f094b9140f838f5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ulli Kehrle Date: Fri, 10 Nov 2017 13:48:43 +0100 Subject: blub --- inhalt.tex | 5 +++-- pdf/funkana.pdf | Bin 638217 -> 638208 bytes 2 files changed, 3 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/inhalt.tex b/inhalt.tex index 3f07ef6..f69a82b 100644 --- a/inhalt.tex +++ b/inhalt.tex @@ -1845,11 +1845,12 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische \begin{proof} $(a) \iff (b)$ wurde bereits gezeigt. Wir zeigen nur $(b) ⇒ (c)$: Sei $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ A$ eine Cauchy-Folge. Nach (b) besitzt $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ einen Häufungspunkt $x^*$. - Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ Cauchy-Folge ist, konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ schon gegen $x^*$. Damit ist $A$ vollständig, - Da $A$ nach + Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ Cauchy-Folge ist, konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ schon gegen $x^*$. Damit ist $A$ vollständig. + Angenommen, $A$ wäre nicht präkompakt. Dann gibt es $ε > 0$, so dass $A$ keine endliche Überdeckung mit $ε$-Kugeln besitzt. Dadurch kann man eine Folge $(x_k)_{k ∈ K}$ definieren, mit $d(x_k,x_j) > ε$ für $k \ne j$. Dann besitzt $(x_k)_{k ∈ K}$ offensichtlich keine Cauchy-Teilfolge, also auch keinen Häufungspunkt. + Also $A$ präkompakt. \end{proof} \end{document} diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf index b73faa1..a4c8e07 100644 Binary files a/pdf/funkana.pdf and b/pdf/funkana.pdf differ -- cgit v1.2.3-24-g4f1b