From 796fe733685eee6f2558b965c5d32715b8bb7717 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ulli Kehrle Date: Fri, 8 Dec 2017 13:46:44 +0100 Subject: VL 8.12 hinzugefügt MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- inhalt.tex | 229 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- pdf/funkana.pdf | Bin 622512 -> 638595 bytes 2 files changed, 228 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/inhalt.tex b/inhalt.tex index 9591915..90365d6 100644 --- a/inhalt.tex +++ b/inhalt.tex @@ -2447,8 +2447,235 @@ Dagegen ist die Existenz eines vollständigen Orthonormalensystems (also eventue \end{enumerate} \end{beispiel} + +% VL NÄCHSTE WOCHE + +Der Satz 4.1 liefert also, dass die Abbildung $J_x: X → X,', y ↦ y'$ definiert +durch $y': X → \K, x ↦ \langle y,x \rangle$ bijektiv ist. +Wir schreiben nun +\[ +\langle \langle J_x(y),x \rangle \rangle = \langle \langle J_x(y),x \rangle \rangle_{X'×X} := J(x)(y)[x] += \langle y,x \rangle. +\] +Diese Abbildung ist sesquiliniear, das heißt +\[ + J_x (y_1 + y_2) = J_x (y_1) + J_x(y_2), \quad y_1, y_2 ∈ X, +\] +\[ + J_x(αy) = \cl{\alpha} J_x(y), \quad α ∈ \K, +\] +denn +\[ + \langle \langle J_x(αy),x \rangle \rangle = \langle αy, x \rangle = \cl \alpha \langle y, x \rangle = \cl \alpha J_x(y) [x] = \cl \alpha \langle \langle J_x(y), x \rangle \rangle + \langle \langle \cl \alpha J_x(y), x \rangle \rangle, +\] +also $X \cong X'$ sesquilinear isomorph. + +Gilt da sauch topologisch? +Die Topologie von $X'$ sei hierbei die von $\L(X, \K)$, also die von der Norm $\norm{y'}_{X',N} = \sup_{\norm{x} ≤ 1}|y'[x]|$ erzeugte. +\begin{satz} + $X$ und $X'$ sind Hilberträume und $J_x: X → X'$ ist kanonischer sesquilinearer Isomorphismus, der die Norm erhält, also eine Isometrie. + + Genauer gilt: + \begin{enumerate} + \item + $\langle y_1', y_2' \rangle_{X'} := \cl{ \langle y_1, y_2 \rangle_X}$, wobei $J_x(y_1) = y_1', J_x(y_2) = y_2'$, macht $X'$ zum Skalarproduktraum. + \item + Die durch $\langle -,- \rangle_{X'}$ induzierte Norm + \[ + \norm{y'}_{X',S} = \sqrt{\langle y', y' \rangle_{X'}} + \] + ist gerade die von $X' = \L(X, \K)$ bekannte, das heißt, $\norm{y'}_{X',S} = \norm{y'}_{X',N}$. + \item + Da $(X',\norm-_{X',N})$ schon bekanntlich vollständndig ist, ist $(X', \langle -,- \rangle)$ damit ein Hilbertraum. + \item + $J_x: X → X'$ ist eine Isometrie. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item + Beispielsweise ist + \[ + \langle α y_1' , y_2' \rangle_{X'} \stackrel{def}{=} \cl{\langle \cl \alpha y_1, y_2 \rangle_X} = \cl{ \alpha \langle y_1, y_2 \rangle_X} = \cl{\alpha} \langle y_1',y_2' \rangle_{X'}, + \] + die anderen Eigenschaften folgen analog. + \item + Wegen $y'[x] = \langle y,x \rangle$ und $\norm{y'}_{X',S} = \sqrt{\langle y', y' \rangle_{X'}} = \sqrt{\langle y, y \rangle_X} = \norm{y}$, das heißt, es genügt, zu zeigen, dass + \[ + \norm{y'}_{X',N} = \sup_{\norm x \le 1} |y'[x]| = \norm{y}_{X} \quad \text{für alle $y ∈ X$}. + \] + hierbei ist aber „$\le$“ gerade die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, für „$\ge$“ wähle $x = \frac y {\norm y _{X}}$ für $y \ne 0$ ($y=0$ ist sowieso klar). + \item + nichts zu zeigen. + \item + $J_x: X → X'$ ist eine Isometrie, denn $y ↦ J_x(y) = y'$ und $\norm{J_X(y)}_X = \norm{y'}_{X'} = \norm{y}_X$ für alle $y ∈ X$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\chapter{Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen} +\section{Fortsetzbarkeit linearer Funktionale} + +Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wie z.B. Linearität oder Stetigkeit) erhalten bleiben. + +\begin{definition} + Eine Abbildung $A: M → Y$ heißt eine Fortsetzung einer Abbildung $A_0: M_0 → X$, falls + \begin{enumerate} + \item $ M_0 ⊂ M$, + \item $∀x ∈ M_0: A_0 x = Ax $. + \end{enumerate} + Wir schreiben dann $A = A|_{M_0}$. +\end{definition} + +\begin{satz} + Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normietre Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$. + Weiter sei $(Y, \norm-_{Y})$ ein Banachraum und $A_0 : X_0 → Y$ stetig und linear. + Dann gibt es genau eine stetige lineare Fortsetzung $A : X → Y$ von $A_0$ auf $X$. + Für diese gilt: + \[ + \norm{A_0}_{\L(X_,Y)} = \norm{A}_{\L(X,Y)}. + \] +\end{satz} +\begin{proof} + Zeigen wir zunächst die Existenz der Fortsetzung. + Da $X_0$ dicht in $X$ ist, existiert zu jedem $x ∈ X$ eine Folge $(x_n)_{n ≥1}$, die ganz in $X_0$ liegt und gegen $x$ konvergiert. + Wir behaupten, dass $(A_0x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $Y$ ist. + Dazu beachte, dass + \[ + \norm{A_0 x_n - A_0 x_m}_{Y} \le \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n-x_m} \xrightarrow[n,m → ∞]{} 0. + \] + Da $Y$ ein Banachraum ist, ist $(A_0x_n)_{n≥1}$ konvergiert, etwa gegen $y$. + Wir setzen $Ax := y$. + Zunächst ist $A$ wohldefiniert, denn wenn $(z_n)_{n ≥ 1}$ eine weitere Folge mit $\lim_{n → ∞} z_n = x$ ist, dann gilt + $z_n - x_n \xrightarrow[n→∞]{} 0$ und + \[ + \norm{A_0 z_n - y} \le \norm{A_0 z_n - A_0 x_n} + \norm{A_0 x_n - y} + \le + \norm{A_0} \norm{z_n - x_n} + \norm{A_0 x_n - y} \xrightarrow[n→∞]{} 0. + \] + Offensichtlich ist $A$ eine Fortsetzung von $A_0$. + Dass $A$ linear ist, ist ebenfalls klar. + Zur Stetigkeit ist + \[ + \norm{Ax}_Y = \norm{\lim_{n → ∞} A_0 x_n}_Y = \lim_{n → ∞} \norm{A_0 x_n}_{Y} + \le + \lim_{n → ∞} \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n}_X = \norm{A_0} \norm{x}. + \] + Damit ist $A$ beschränkt, also auch stetig. + + Es gilt $\norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} = \norm{A}_{\L(X,Y)}$: + „$\ge$“ ist aus dem Vorherigen klar. Für die andere Ungleichung ist + \[ + \norm{A}_{L(X,Y)} = + \sup_{\norm{x ≤ 1}, x ∈ X} \norm{Ax}_{Y} + ≥ + \sup_{\norm{x ≤ 1}, x ∈ X_0} \norm{Ax}_{Y} = \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)}. + \] + + Für die Eindeutigkeit sei $B: X → Y$ eine weitere stetige, lineare Fortsetzung von $A_0$. + Wie oben existiert zu jedem $x ∈ X$ eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ mit $\lim_{n → ∞} x_n = x$. + Dann ist + \[ + Ax_n = A_0 x_n = Bx_n \quad ∀ n ∈ ℕ + \] + und für $x ∈ X$ + \[ + \norm{B_x - A_x} ≤ \norm{B_x - Bx_n} + \norm{Bx_n - Ax_n} + \norm{Ax_n - Ax} \xrightarrow[n→∞]{} 0, + \] + da $A$ und $B$ stetig sind. Also $Bx = Ax$ für alle $x ∈ X$ und damit $B = A$. +\end{proof} + +\begin{korollar} + Ist $A ∈ \L(X,Y)$, $X, Y$ normiert sowie $Y$ vollständig und $M ⊂ X$ dicht, dann gilt: + Falls $Ax = 0$ für alle $x ∈ M$, dann ist $A$ schon die Nullabbildung auf $X$. +\end{korollar} +\begin{proof} + ~ +\end{proof} + +Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. + + +\begin{satz} + Auf dem linearen Raum $X$ über $ℝ$ gebe es eine Abbildung $p: X → ℝ$ mit: + \begin{enumerate}[label=(\roman*)] + \item + $p(αx) = αp(x)$ für alle $α ≥ 0, x ∈ X$ (positiv homogen) + \item + $p(x+y) ≤ p(x) + p(y)$ für alle $x, y ∈ X$ (subadditiv) + \end{enumerate} + + Weiter seine $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit + \[ + ∀x ∈ X_0 : f_0(x) ≤ p(x). + \] + Dann gibt es eine lineare Fortsetzung $f: X → ℝ$ von $f_0$, welche die Ungleichung respektiert, das heißt + \[ + f|_{X_0} = f_0 \quad \text{und} \quad ∀x ∈ X: f(x) ≤ p(x). + \] +\end{satz} +\begin{bemerkung-nn} + Halbnormen oder Normen $p$ Erfüllen die Voraussetzungen dieses Satzes. +\end{bemerkung-nn} +\begin{proof} + Schritt 1. + Wir setzen $f_0$ auf $X_1 := X_0 \oplus \lspan{x_1}$ für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneqq X$). + Offenbar hat jedes $x ∈X_1$ eine eindeutig Darstellung als + $ y = y + \alpha x_1 $, mit $y ∈ X_0$, $α ∈ ℝ$. + Dann ist mit $c ∈ ℝ$ beliebig + \[ + f(x) = f(y + α(x_1)) := f_0(y) + αc + \] + eine lineare Abbildung $X_1 → ℝ$, die $f_0$ fortsetzt. + Wir müssen $c$ so wählen, dass $f(x) ≤ p(x)$ für alle $x ∈ X_1$, also $f_0(y) + αc \le p(y+αx_1)$ für alle $y ∈ X_0, α ∈ ℝ$. + Mit (i) ist diese Bedingung äquivalent zu zwei anderen Bedingungen: + \begin{enumerate} + \item + Für $a > 0$: $f_0(y/α) + c ≤ p(y/α + x_1)$. + \item + Für $α < 0$: $f_0(-y/α) - c ≤ p(-y/α - x_1)$ + \end{enumerate} + für alle $y ∈ X_0$. Der Fall $α = 0$ ist nach Annahme ohnehin klar. + Um diese Bedingungen erfüllen zu können, muss $c ∈ ℝ$ so gewählt werden, dass + \[ + ∀y_1, y_2 ∈ X_0: f_0(y_1) - p(y_1 - x_1) ≤ c ≤ p(y_2 + x_2) - f_0(y_2). + \] + Das ist möglich, da + \[ + f_0(y_1) + f_0(y_2) = f_0(y_1+y_2) ≤ p(y_1 + y_2) = p(y_1 - x_1 + y_2 + x_1) ≤ p(y_1 - x_1)+p(y_2+x_1). + \] + Folglich gilt + \[ + \sup_{y_1 ∈ X_0} f_0(y_1-p(y_1-x_1)) \le \inf{y_2 ∈ X_0} p(y_2+x_1)-f_0(y_2). + \] + + + Schritt 2. + Finde eine maximale Fortsetzung mit dem Lemma von Zorn. + Betrachte dazu + \[ + \{: X \supset D_g \supset X_0 → ℝ\}: g|_{X_0} = f_0 ∧ ∀x ∈ D_g: g(x) ≤ p(x) \}. + \] + Diese Menge ordnen wir mit $\succeq$ definiert durch + \[ + h \succeq g \gdw h \text{ ist Fortsetzung von $g$}. + \] + Nach dem Lemma von Zorn existiert eine maximale Fortsetzung $g^*$ von $f_0$ mit $g^*(x) ≤ p(x)$ für alle $x ∈ X$. + Wäre $D_{g^*}$ nicht $X$, so verfahre wie in Schritt 1 im Widerspruch zur Maximalität. + Damit hat $g^*$ die gewünschten Eigenschaften. +\end{proof} + +\begin{bemerkung-nn} + \begin{enumerate} + \item + Ohne die Zusatzforderung $f(x) ≤ p(x)$ für alle $x ∈X$ ist die lineare Fortsetzbarkeit trivial. + \item + Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog möglich. % yos IV 4 + \end{enumerate} +\end{bemerkung-nn} + \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana" -%%% End: \ No newline at end of file +%%% End: \ No newline at end of file diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf index 0b255d3..80bd199 100644 Binary files a/pdf/funkana.pdf and b/pdf/funkana.pdf differ -- cgit v1.2.3-24-g4f1b