From a63d837bda735becbcd595d31e5440a6c59bf8fd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Friedrich Rober Date: Fri, 20 Oct 2017 13:50:54 +0200 Subject: Ein Versuch Stefans Notizen in latex zu schreiben --- inhalt.tex | 116 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 116 insertions(+) diff --git a/inhalt.tex b/inhalt.tex index d910123..7229965 100644 --- a/inhalt.tex +++ b/inhalt.tex @@ -378,6 +378,122 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol \end{enumerate} \end{bemerkung} +\begin{definition}[Hausdorff-Raum] + Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum. + Für alle $x,y \in \X$ mit $x \neq y$ + existieren $U \in \U_x, V \in \V_x$ mit $U \cap V = \emptyset$. + Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem Trennungsaxiom. +\end{definition} + +\begin{definition}[Konvergenz] + Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$, + falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ ein $n_{0} \in \N$ existiert, + sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$. +\end{definition} +\begin{bemerkung} + Man überlegt sich leicht, dass der Grenzwert $x_{0}$ in der Regel nicht eindeutig ist. + Bsp: In $\T=\{X,\emptyset\}$ konvergiert jede Folge gegen jeden Punkt. + Ist $(X,\T)$ jedoch ein Hausdorff-Raum, so ist jeder Grenzwert eindeutig. +\end{bemerkung} +\begin{beweis} + Seien $x_{0} \neq \={x_{0}}$ Grenzwerte von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$. + Dann existieren disjunkte Umgebung $U \in x_{0}, \={U} \in \={x_{0}}$. + Weiterhin gibt es ein $n_{0} \in \N$, sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$ + und $\={n_{0}} \in \N$, sodass $x_{n} \in \={U}$ für alle $n \geq \={n_{0}}$. + Also gilt $x_{max\{n_{0},\={n_{0}}\}} \in U cap \={U}$ + Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen. +\end{beweis} + +\begin{definition}[Häufungspunkt] + $x_{0} \in X$ heißt Häufungspunkt von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$, + falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ und für alle $k \in \N$ + ein $n \geq k \in \N$ existiert, sodass $x_{n} \in U$. +\end{definition} +\begin{beispiel} + $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset \R$ mit natürlicher Topologie. + $x_{n}=(-1)^n$ hat zwei HP $\pm 1$ + Achtung: $M={x_{n}:n \in \N}={-1,1}$ hat als Menge keine HP. +\end{beispiel} +\begin{bemerkung} + Für die indiskrete Topologie ist jeder Punkt in X HP jeder Folge. +\end{bemerkung} + +\begin{definition}[Stetigkeit] + $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ heißt stetig, falls + für alle $V \in \T_{Y}$ gilt, dass $f^{-1}(V) \in \T_{X}$. +\end{definition} +\begin{bemerkung} + $f$ ist stetig $\Longleftrightarrow$ $f$ ist stetig in jedem Punkt +\end{bemerkung} + +\begin{definition}[Homöomorphismus] + Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv und stetig, + und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig, + dann heißt $f$ Homöomorphismus. + $X$ und $Y$ heißen homöomorph, falls so ein Homöomorphismus existiert. +\end{definition} + +\begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen] + \begin{enumerate} + \item + Eine Familie $B \subset \T$ heißt Basis der Topologie in $(X,\T)$, falls + $T={\cup M: M \subset B}$. + \item + Eine Familie $B \subset \U_{x}$ von $x \in X$ heißt Umgebungsbasis des Punktes $x$, + falls für alle $U \in \T, x \in U$ existiert ein $V \in B$ mit $x \in V \in U$. + \end{enumerate} +\end{definition} +\begin{beispiel} + Für die natürliche Topologie auf $\R^n$ ist eine Basis der Topologie gegeben durch + ${B_{\eps}(x): x \in X, \eps > 0}$ + mit den offenen Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \nrom{x-y}<\eps}$. + Sei $x \in \R^n$ fest. + Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x +\end{beispiel} + +\begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie] + $M \subset \T$ eines topologischen Raums $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise + zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\'{\T} := {M \cap V : V \in \T}$. +\end{definition} +\begin{bemerkung} + $M = M \cap X \in \'{\T}$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie. + Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein. +\end{bemerkung} + +\begin{definition} + Seien zwei Topologien $\T_{1},\T_{2}$ auf X gegeben. + Wir sagen $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \supset \T_{2}$. + Wir sagen $\T_{1}$ ist gröber als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \subset \T_{2}$. + Wir sagen die Topologien sind gleich, falls $\T_{1}=\T_{2}$. +\end{definition} +\begin{bemerkung} + Sei $\T_{1}$ feiner als $\T_{2}$. + Die feinere Topologie $\T_{1}$ enthält mehr offene Mengen, + und damit zu jedem Grenzwert $x_{0}$ weniger konvergte Folgen. + + Man zeigt leicht: + $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$ $\Longleftrightarrow$ + Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \ subset T_{1},B_{2} \ subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, + dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$. +\end{bemerkung} + +\begin{beispiel} + Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich. + $\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln + $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \nrom{x-y}<\eps}$ erzeugt wird. + $\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Quader + $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \max_{1 \geq i \geq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps}$ erzeugt wird. +\end{beispiel} + +\begin{definition}[Produkttopologie] + Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume. + Dann sit die Familie von Mengen + $\{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset 2^{X \times Y}$ + eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$. + Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X}),\T_{Y}$ genommen werden. +\end{definition} + +\section{Metrische Räume} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana" -- cgit v1.2.3-24-g4f1b