From b73f653e7c90904f9c3931c3a43c2e3fb45c089a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ulli Kehrle Date: Fri, 27 Oct 2017 13:49:37 +0200 Subject: Vorlesung vom Freitag hinzugefügt. MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- inhalt.tex | 264 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- latexmkrc | 4 + pdf/funkana.pdf | Bin 155103 -> 261303 bytes skript.cls | 39 ++++--- uniinput.sty | 318 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 5 files changed, 606 insertions(+), 19 deletions(-) create mode 100644 latexmkrc create mode 100644 uniinput.sty diff --git a/inhalt.tex b/inhalt.tex index 8e912e6..9e653c1 100644 --- a/inhalt.tex +++ b/inhalt.tex @@ -402,7 +402,7 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol Dann existieren disjunkte Umgebungen $U,U' ∈ \U_{x_0}$. Weiterhin gibt es ein $n_{0} \in \N$, so dass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$ und $n_0' \in \N$, so dass $x_{n} \in U'$ für alle $n \geq n_0'$. - Also gilt $x_{\max\{n_{0},\={n_{0}}\}} \in U \cap U'$ + Also gilt $x_{\max\{n_0,n'_0\}} \in U \cap U'$ Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen. \end{beweis} @@ -455,10 +455,10 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol \begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie] $M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise - zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\'{\T} := {M \cap V : V \in \T}$. + zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' := {M \cap V : V \in \T}$. \end{definition} \begin{bemerkung} - $M = M \cap X \in \'{\T}$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie. + $M = M \cap X \in \T'$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie. Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein. \end{bemerkung} @@ -484,7 +484,7 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol $\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \norm{x-y}<\eps}$ erzeugt wird. $\T_{2}$ sei die Topologie, die durch die Quader - $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \max_{1 \geq i \geq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps}$ erzeugt wird. + $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \max_{1 \leq i \leq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps}$ erzeugt wird. \end{beispiel} \begin{definition}[Produkttopologie] @@ -987,6 +987,7 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha \begin{lemma} + \label{lemma-metrischer-linearer-raum-charak} Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit linearer Struktur und mit einer translationinvarianten Metrik. Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $α ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ) ⊂ \K}$ gilt \begin{gather*} @@ -1021,8 +1022,263 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha \end{proof} +\begin{definition} + Eine Abbildung $|\cdot|: X → [0,∞)$ heißt \emph{Quasi-Norm} auf dem Linearen + Raum $X$, falls gilt: + \begin{enumerate}[label=(Q\arabic*)] + \item + $|x| \ge 0$ für alle $x ∈ X$ und $|x| = 0$ genau dann, wenn $x = 0$. + \item + $|-x| = |x|$ für alle $x ∈ X$ + \item + $|x+y| \le |x| + |y|$ für alle $x,y ∈ X$ + \item + $|αx_n| \xrightarrow{n → ∞} 0$ für $α ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$ + \item + $|α_nx| \xrightarrow{n → ∞} 0$ für $x ∈ X$, falls $|α_n| → 0$ + \item + $|α_nx_n| \xrightarrow{n → ∞} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|α_nx_n| → 0$ + \end{enumerate} + $(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum. +\end{definition} + +\begin{bemerkung} + Jeder normierte Raum ist auch ein quasi-normierter Raum. +\end{bemerkung} + +\begin{satz} + \begin{enumerate} + \item + Ist $|\cdot|$ eine Quasi-Norm auf $X$, so wird durch $d(x,y) := |x-y|$ eine translationsinvariante Metrik definiert, welche $X$ zu einem metrischen linearen Raum macht. + \item + Ist $(X,d)$ ein metrischer linearer Raum mit translationsinvarianter Metrik $d$, so ist + $(X,|\cdot|)$ mit $|x| := d(x,0)$ ein quasi-normierter Raum. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Das folgt direkt aus den Axiomen und \cref{lemma-metrischer-linearer-raum-charak}. +\end{proof} + + +Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt. + +\begin{definition} + Sei $X$ ein linearer Raum. + Eine Abbildung $p: X → ℝ$ heißt \emph{Semi-Norm} oder \emph{Halbnorm}, falls folgendes gilt: + \begin{enumerate}[label=(S\arabic*)] + \item + $∀x ∈ X: p(x) ≥ 0$ + \item + $∀ x ∈ X, α ∈ \K: p(αx) = |α| p(x)$ + \item + $∀ x, y ∈ X: p(x+y) ≤ p(x) + p(y)$ + \end{enumerate} + $(X,p)$ heißt dann \emph{semi-normierter} Raum. +\end{definition} + +\begin{beispiel-nn} + $\L^p(\Omega)$ ist ein semi-normierter Raum. +\end{beispiel-nn} + +\begin{bemerkung-nn} + Jeeder semi-normierte Raum $(X,p)$ erzeugt einen normierten Raum $(X/N,p)$, wobei $N = \{ x ∈ X: p(x) = 0\}$ ein linearer Unterraum ist. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{satz} + \label{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} + Es seien $p_n: X → ℝ, n ∈ ℕ$ abzählbar viele Semi-Normen auf einem linearen Raum mit der Eigenschaft + \begin{equation} + p_n(x) = 0 \text{ für alle n ∈ ℕ } \implies x = 0. \label{eq:seminorm-folge-blub} + \end{equation} + Dann ist + \[ + d(x,yr) := \sum_{n = 1}^∞ 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)} + \] + eine translationsinvariante Metrik auf $X$, welche $X$ zum metrischen linearen Raum macht. +\end{satz} + +\begin{bemerkung} + $p_n: X → ℝ$ sind auf $(X,d)$ stetig. Das folgt aus (für $x_i → x_0$ in $X$) + \[ + |p_n(x_i) - p_n(x_0)| \le p_n(x_i-x_0) \xrightarrow{} 0 + \] + und einer Übungsaufgabe. +\end{bemerkung} + +\begin{satz} + \label{satz-umgebungsbasis-produkt-von-seminorm} + Sei $(X,d)$ der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gegebene metrische lineare Raum (mit der von der Metrik erzeugten Topologie). + Dann bilden die Mengen ($ε_n > 0$) + \[ + U (p_n,ε_n) := \bigcup B^{p_n}_{ε_n}(0) + = \{ x ∈ X: p_n(x) < ε_n\} + \] + und deren endliche Durchschnitte eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$ +\end{satz} + +\begin{bemerkung-nn} + Nach dem Invarianzprinzip ist damit durch $\bigcup B^{p_n}_{ε_n}$ die ganze Topologie bestimmt. + Mit anderen Worten: Die Topologie welche über die Metrik bestimmt ist, ist dieselbe wie die, welche von den + $U(p_n,ε_n)$ und endlichen Schnitten davon erzeugt wird. +\end{bemerkung-nn} +\begin{proof}[\cref{satz-umgebungsbasis-produkt-von-seminorm}] + Zunächst ist $U (p_n,ε_n) ∈ \T$: + Sei $n ∈ ℕ$ und $ε_n > 0$ fest und $y ∈ U(p_n,ε_n)$ beliebig gegeben. + Dann ist $p_n(y) < ε_n$. Dann wähle $ρ = ρ(y) > 0$, so dass $p_n(y) + ρ < ε_n$. + Dann gilt für $r := 2^{-n} \frac{ρ}{1+ρ} > 0$: + \[ + x ∈ B_r(y) \implies p_n(x+r) < ρ. + \] + Dazu ist + \[ + \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)} \le 2^n \underbrace{d(x,y)}_{< r} < 2^n r = \frac{ρ}{1+ρ}, + \] + also $p_n(x-y) < ρ$. Mit diesem $r$ gilt $B_r(y) ⊂ U(p_n,ε_n)$: + Sei $x ∈ B_r(y)$. Dann gilt + \[ + p_n(x) \le \underbrace{p_n(x-y)}_{< ρ} + p_n(y) < p_n(y) + ρ = ε_n + \] + wie gewünscht. + + + Sei $ B_r(0), r > 0$ gegeben. + Wähle $n_0 ∈ ℕ$ mit + \[ + \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} < \frac r 2. + \] + + mit $ε := \frac r 2 $ gilt dann + \[ + \bigcap{n=1}^{n_0} U(p_(,ε) ⊂ B_r(0). + \] + Sei dazu $x ∈ \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_n,ε)$ beliebig. + Dann ist + \[ + d(x,0) \le \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} + \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} < ε \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} + \frac r 2 < ε + \frac r 2 = r, + \] + somit also $x ∈ B_r(0)$. +\end{proof} + +\begin{bemerkung} + Die Mengen $U(p_n,ε_n)$ und deren endlichen Schnitte sind konvexe Mengen, das heißt + \[ + x, y ∈ U(p_n,ε_n),α ∈ [0,1] \implies αx+(1-α)y ∈ U(p_n,ε_n) + \] +\end{bemerkung} +\begin{proof} + Es ist + \[ + p_n(αx + (1-α)y) \le |α| \underbrace{p_n(x)}_{< ε_n} + |1-α|\underbrace{p_n(y)}_{< ε_n} = ε_n. + \] +\end{proof} + +Also besitzt der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gewonne metrische lineare Raum $(X,d)$ eine Umgebungsbasis von $0$, die nur aus konvexen elementen besteht. + +\begin{definition} + Ein topologischer linearer Raum $(X,\T)$, in dem jedes $x ∈ X$ eine Umgebungsbasis besitzt, die nur aus konvexen Mengen besteht, heißt \emph{lokalkonvex}. +\end{definition} + +\begin{satz} + Sei $X$ ein linearer Raum mit Semi-Normen $p_i, i ∈ I$, wobei $I$ eine beliebige Indexmenge ist, mit der Eigenschaft + \[ + p_i(x) = 0 \text { für alle } i ∈ I \implies x = 0. + \] + Dann sind die Mengen + \[ + U(p_i,ε_i) = \{ x ∈ X: p_{(x) < ε_i}\}, \quad ε_i > 0, i ∈ I + \] + und deren endliche Schnitte eine konvexe Umgebungsbasis von $0 ∈ X$. + Die dadurch gewonne Topologie $\T$ macht $X$ zu einem \emph{lokalkonvexen Hausdorff-Raum}. +\end{satz} + +\section{Beispiele} +Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit untersuchen. + +\begin{definition} + \begin{enumerate} + \item + Ein metrischer linearer Raum $(X,d)$ der vollständig ist, heißt \emph{Fréchet-Raum}. + \item + Ein normierter Raum $(X,\norm\cdot)$, der vollständig ist, heißt \emph{Banach-Raum}. + + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{beispiel-nn}[$\ell^p$-Räume] + \begin{enumerate} + \item + $(\ell^p,\norm\cdot_p)$, $1 \le p < ∞$ ist normierter Raum mit + \[ + \norm x _p = \left( \sum_{i=1}^∞ |x_i|^p \right)^{1/p}. + \] + \item + $(\ell^∞,\norm\cdot_∝)$, ist normierter Raum mit $\norm x _∞ = \sup_{i ∈ ℕ} |x_i|$. + \item + $(\ell^p,|\cdot|_p = \norm\cdot_p^p)$, $0 \le p < 1$ ist quasi-normierter Raum. + \end{enumerate} +\end{beispiel-nn} + +\begin{bemerkung} + Für $0 < p < q \le ∞$ gilt $\ell^p ⊂ \ell^q ⊂ \ell^∞$. +\end{bemerkung} +\begin{beweis} + Sei $x ∈ \ell^p$ mit $|x| = 1 = \sum_{i ∈ ℕ} |x_i|^p$. + Dann ist für alle $i ∈ ℕ$ $|x_i|^p \le 1$, also auch $|x_i| < 1$. + Dann folgt auch $\sum_{i ∈ ℕ} |x_i|^q < 1$, also $x ∈ \ell^q$ und $\sup_{i ∈ ℕ} |x_i| ≤ 1$, also $x ∈ \ell^∞$. +\end{beweis} + + +\begin{satz} + Für $1 \le p \le ∞$ ist $(\ell^p,\norm\cdot_p)$ ein Banachraum. + Für $0 < p < ∞$ ist $(\ell^p,|\cdot|_p)$ ein Fréchet-Raum. +\end{satz} +\begin{proof} + Nur für $1 \le p < ∞$. + Sei dazu $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ \ell^p$ eine Cauchy-Folge, also + $x_n = (ξ_k^n)_{k ∈ ℕ}$ und für jedes $ε > 0$ gibt es ein $n_0$ mit + \[ + ∀n,m > n_0: \norm{x_n-xm}_p = \left( \sum_{k=1}^∞ |ξ_k^n-ξ_k^m|^p \right)^{1/p} < ε. + \] + Sei $k_0 ∈ ℕ$ beliebig. Dann ist + \[ + (ξ_k^n)_{n ∈ ℕ} + \] + eine Cauchy-Folge in $\K$, besitzt also einen Grenzwert $ξ_{k_0}$. + Setze nun $x := (ξ_k)_{k ∈ ℕ} ∈ \K^∞ = s$. Wir vermuten $x$ als Grenzwert unserer Cauchy-Folge. + Also müssen wir zeigen, dass $x ∈ \ell^p$, und dass unsere Folge tatsächlich gegen $x$ konvergiert. + + Es gilt + \[ + \norm{x_n}_! \le \underbrace{\norm{x_n-x_{n_0}}}_{< ε} + \norm{x_{n_0}} \quad \forall n \ge n_0 + \] + Deshalb existiert ein $M > 0$ mit $\norm{x_n}_p < M$ für alle $n ∈ ℕ$, also + \[ + \sum_{k=1}^N |ξ_k^n|p < \sum_{k =1}^∞ |ξ_k^n|^p \le M^p < ∞. + \] + Also haben wir + \[ + \sum_{k=1}^N |ξ_k^p| \le M^p \quad ∀ n ∈ ℕ, + \] + also durch Grenzwertbildung $N → ∞$ auch $\norm{x}_p^p ≤ M^p$ bzw. $x ∈ \ell^p$. + + + Ferner haben wir + \[ + \sum_{k=1}^N |ξ_k^n-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀ N ∈ ℕ, n, m ≥ n_0(ε). + \] + Für $n → ∞$ folgt + \[ + \sum_{k=1}^N |ξ_k-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀N ∈ ℕ, m ≥ n_0, + \] + und mit $N → ∞$ + \[ + \sum_{k=1}^∞ |ξ_k-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀m ≥ n_0, + \] + also die Konvergenz. +\end{proof} +\end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana" diff --git a/latexmkrc b/latexmkrc new file mode 100644 index 0000000..8354309 --- /dev/null +++ b/latexmkrc @@ -0,0 +1,4 @@ +#$pdflatex = 'lualatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; +$pdflatex = 'pdflatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; +$pdf_mode = 1; +$out_dir = "build"; \ No newline at end of file diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf index 1be5208..8517dae 100644 Binary files a/pdf/funkana.pdf and b/pdf/funkana.pdf differ diff --git a/skript.cls b/skript.cls index 51bf09d..e02b4e6 100644 --- a/skript.cls +++ b/skript.cls @@ -9,8 +9,7 @@ \RequirePackage{tikz-cd} \tikzcdset{arrow style=tikz, diagrams={>=stealth}} -\RequirePackage{polyglossia} -\setdefaultlanguage{german} +\RequirePackage{ifluatex} \RequirePackage{csquotes} \RequirePackage{hyphenat} @@ -20,18 +19,28 @@ \RequirePackage{mathtools} \RequirePackage{amsmath, amssymb} + +\ifluatex + \RequirePackage{polyglossia} + \setdefaultlanguage{german} + \RequirePackage[warnings-off={mathtools-colon,mathtools-overbracket}]{unicode-math} + \setromanfont[Ligatures=TeX]{TeX Gyre Pagella} + \setsansfont{Latin Modern Sans} + % \setsansfont{Roboto} + % \setmathfont{XITS Math} + \setmathfont{TeX Gyre Pagella Math} + \setmathfont[range=\setminus]{XITS Math} + \setmathfont[range={\sum}]{TeX Gyre Termes Math} + \setmathfont[range={\int}]{XITS Math} + \setmathfont{Latin Modern Math}[range={cal,bfcal},StylisticSet=1] + % \setmathfont[range={\mathcal}]{Latin Modern Math} +\else + \RequirePackage[ngerman]{babel} + \RequirePackage[utf8]{inputenc} + \RequirePackage{uniinput} + \usepackage[garamond]{mathdesign} +\fi % fonts -\RequirePackage[warnings-off={mathtools-colon,mathtools-overbracket}]{unicode-math} -\setromanfont[Ligatures=TeX]{TeX Gyre Pagella} -\setsansfont{Latin Modern Sans} -% \setsansfont{Roboto} -% \setmathfont{XITS Math} -\setmathfont{TeX Gyre Pagella Math} -\setmathfont[range=\setminus]{XITS Math} -\setmathfont[range={\sum}]{TeX Gyre Termes Math} -\setmathfont[range={\int}]{XITS Math} -\setmathfont{Latin Modern Math}[range={cal,bfcal},StylisticSet=1] -% \setmathfont[range={\mathcal}]{Latin Modern Math} \setkomafont{disposition}{\sffamily} \RequirePackage{mathtools} @@ -133,11 +142,11 @@ \newdef{problem}{Problem} \theoremstyle{nonumberplain} -\theoremheaderfont{\bfseries} +\theoremheaderfont{\itshape} \theorembodyfont{\normalfont} \theoremseparator{.} % \theoremsymbol{\scalebox{0.8}{\ensuremath{\blacksquare}}} -\theoremsymbol{\ensuremath\square} +\theoremsymbol{\nolinebreak[1]\hspace*{.5em plus 1fill}\ensuremath{\blacksquare}} \newtheorem{proof}{Beweis} \newtheorem{beweis}{Beweis} diff --git a/uniinput.sty b/uniinput.sty new file mode 100644 index 0000000..18c0eea --- /dev/null +++ b/uniinput.sty @@ -0,0 +1,318 @@ +%% +%% This is file `uniinput.sty', +%% generated with the docstrip utility. +%% +%% The original source files were: +%% +%% uniinput.dtx (with options: `package') +%% +%% This is a generated file. +%% +%% Copyright (C) 2007 by Arno Trautmann +%% +%% This file may be distributed and/or modified under the +%% conditions of the LaTeX Project Public License, either +%% version 1.2 of this license or (at your option) any later +%% version. The latest version of this license is in: +%% +%% http://www.latex-project.org/lppl.txt +%% +%% and version 1.2 or later is part of all distributions of +%% LaTeX version 1999/12/01 or later. +%% +\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1999/12/01] +\ProvidesPackage{uniinput} + [2007/08/14 v0.1 uniinput] + +\RequirePackage{textcomp} +\RequirePackage{marvosym} +\RequirePackage{amsmath} + +\DeclareUnicodeCharacter{03B1}{\ensuremath{\alpha}} +\DeclareUnicodeCharacter{03B9}{\ensuremath{\iota}} +\DeclareUnicodeCharacter{03B2}{\ensuremath{\beta}} +\DeclareUnicodeCharacter{03BA}{\ensuremath{\kappa}} +\DeclareUnicodeCharacter{03F0}{\ensuremath{\varkappa}} +\DeclareUnicodeCharacter{03C3}{\ensuremath{\sigma}} +\DeclareUnicodeCharacter{03B3}{\ensuremath{\gamma}} +\DeclareUnicodeCharacter{03BB}{\ensuremath{\lambda}} +\DeclareUnicodeCharacter{03B4}{\ensuremath{\delta}} +\DeclareUnicodeCharacter{03BC}{\ensuremath{\mu}} %! mü, wird in Neo nicht verwendet +\DeclareUnicodeCharacter{00B5}{\ensuremath{\mu}} %! micro +\DeclareUnicodeCharacter{03C4}{\ensuremath{\tau}} +\DeclareUnicodeCharacter{03BD}{\ensuremath{\nu}} +\DeclareUnicodeCharacter{03C5}{\ensuremath{\upsilon}} +\DeclareUnicodeCharacter{03F5}{\ensuremath{\epsilon}} +\DeclareUnicodeCharacter{03B5}{\ensuremath{\varepsilon}} +\DeclareUnicodeCharacter{03BE}{\ensuremath{\xi}} +\DeclareUnicodeCharacter{03BF}{o} +\DeclareUnicodeCharacter{03B6}{\ensuremath{\zeta}} +\DeclareUnicodeCharacter{03D5}{\ensuremath{\phi}} +\DeclareUnicodeCharacter{03C6}{\ensuremath{\varphi}} +\DeclareUnicodeCharacter{03B7}{\ensuremath{\eta}} +\DeclareUnicodeCharacter{03C0}{\ensuremath{\pi}} +\DeclareUnicodeCharacter{03D6}{\ensuremath{\varpi}} +\DeclareUnicodeCharacter{03C7}{\ensuremath{\chi}} +\DeclareUnicodeCharacter{03B8}{\ensuremath{\theta}} +\DeclareUnicodeCharacter{03C8}{\ensuremath{\psi}} +\DeclareUnicodeCharacter{03D1}{\ensuremath{\vartheta}} +\DeclareUnicodeCharacter{03C1}{\ensuremath{\rho}} +\DeclareUnicodeCharacter{03F1}{\ensuremath{\varrho}} +\DeclareUnicodeCharacter{03C9}{\ensuremath{\omega}} +\DeclareUnicodeCharacter{0393}{\ensuremath{\Gamma}} +\DeclareUnicodeCharacter{039E}{\ensuremath{\Xi}} +\DeclareUnicodeCharacter{03A6}{\ensuremath{\Phi}} +\DeclareUnicodeCharacter{0394}{\ensuremath{\Delta}} +\DeclareUnicodeCharacter{03A0}{\ensuremath{\Pi}} +\DeclareUnicodeCharacter{03A8}{\ensuremath{\Psi}} +\DeclareUnicodeCharacter{0398}{\ensuremath{\Theta}} +\DeclareUnicodeCharacter{03A3}{\ensuremath{\Sigma}} +\DeclareUnicodeCharacter{03A9}{\ensuremath{\Omega}} +\DeclareUnicodeCharacter{039B}{\ensuremath{\Lambda}} + +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +\DeclareUnicodeCharacter{202F}{\,} + +\DeclareUnicodeCharacter{2207}{\ensuremath{\nabla}} + +\DeclareUnicodeCharacter{21D2}{\ensuremath{\Rightarrow}} +\DeclareUnicodeCharacter{21D0}{\ensuremath{\Leftarrow}} +\DeclareUnicodeCharacter{21D4}{\ensuremath{\Leftrightarrow}} +\DeclareUnicodeCharacter{2202}{\ensuremath{\partial}} +\DeclareUnicodeCharacter{2192}{\ensuremath{\to}} +\DeclareUnicodeCharacter{2190}{\ensuremath{\gets}} +\DeclareUnicodeCharacter{21A6}{\ensuremath{\mapsto}} + +\DeclareUnicodeCharacter{230A}{\ensuremath{\lfloor}} +\DeclareUnicodeCharacter{230B}{\ensuremath{\rfloor}} + +\DeclareUnicodeCharacter{221A}{\ensuremath{\sqrt}} +\DeclareUnicodeCharacter{221B}{\ensuremath{\sqrt[3]}} +\DeclareUnicodeCharacter{221C}{\ensuremath{\sqrt[4]}} + +\DeclareUnicodeCharacter{00D7}{\ensuremath{\times}} +\DeclareUnicodeCharacter{00F7}{\ensuremath{\div}} +\DeclareUnicodeCharacter{00B1}{\ensuremath{\pm}} +\DeclareUnicodeCharacter{2213}{\ensuremath{\mp}} +\DeclareUnicodeCharacter{2215}{\ensuremath{/}} +\DeclareUnicodeCharacter{22C5}{\ensuremath{\cdot}} +\DeclareUnicodeCharacter{2212}{\ensuremath{-}} + +\DeclareUnicodeCharacter{20AC}{\EUR} + +\DeclareUnicodeCharacter{2026}{\ifmmode\ldots\else\textellipsis\fi} % nutze den jeweils passenden Befehl + + +\DeclareUnicodeCharacter{221E}{\ensuremath{\infty}} +\DeclareUnicodeCharacter{2260}{\ensuremath{\neq}} +\DeclareUnicodeCharacter{2248}{\ensuremath{\approx}} +\DeclareUnicodeCharacter{2264}{\ensuremath{\leq}} +\DeclareUnicodeCharacter{2265}{\ensuremath{\geq}} +\DeclareUnicodeCharacter{2208}{\ensuremath{\in}} +\DeclareUnicodeCharacter{2282}{\ensuremath{\subset}} +\DeclareUnicodeCharacter{2283}{\ensuremath{\supset}} +\DeclareUnicodeCharacter{2286}{\ensuremath{\subseteq}} +\DeclareUnicodeCharacter{2287}{\ensuremath{\supseteq}} +\DeclareUnicodeCharacter{2229}{\ensuremath{\cap}} +\DeclareUnicodeCharacter{222A}{\ensuremath{\cup}} + +\DeclareUnicodeCharacter{2288}{\ensuremath{\nsubseteq}} %! ist nur per Compose zu erreichen + +\DeclareUnicodeCharacter{2020}{\ensuremath{\dagger}} +\DeclareUnicodeCharacter{00AC}{\ensuremath{\neg}} + +\DeclareUnicodeCharacter{2203}{\ensuremath{\exists}} +\DeclareUnicodeCharacter{2200}{\ensuremath{\forall}} +\DeclareUnicodeCharacter{2228}{\ensuremath{\vee}} +\DeclareUnicodeCharacter{2227}{\ensuremath{\wedge}} +\DeclareUnicodeCharacter{226A}{\ensuremath{\ll}} +\DeclareUnicodeCharacter{226B}{\ensuremath{\gg}} +\DeclareUnicodeCharacter{2205}{\ensuremath{\emptyset}} + +\newcommand{\nfrac}[2]{\leavevmode\kern.1em% +\raise.5ex\hbox{\scriptsize #1}% +\kern-.1em/\kern-.15em% +\lower.25ex\hbox{\scriptsize #2}} + +\DeclareUnicodeCharacter{00BC}{\ensuremath{\nfrac{1}{4}}} +\DeclareUnicodeCharacter{00BD}{\ensuremath{\nfrac{1}{2}}} +\DeclareUnicodeCharacter{00BE}{\ensuremath{\nfrac{3}{4}}} +\DeclareUnicodeCharacter{215B}{\ensuremath{\nfrac{1}{8}}} +\DeclareUnicodeCharacter{215E}{\ensuremath{\nfrac{3}{8}}} +\DeclareUnicodeCharacter{215D}{\ensuremath{\nfrac{5}{8}}} + +\DeclareUnicodeCharacter{215E}{\ensuremath{\tfrac{7}{8}}} + +\DeclareUnicodeCharacter{222C}{\ensuremath{\iint}} +\DeclareUnicodeCharacter{222D}{\ensuremath{\iiint}} +\DeclareUnicodeCharacter{2A0C}{\ensuremath{\iiiint}} +\DeclareUnicodeCharacter{222E}{\ensuremath{\oint}} +\DeclareUnicodeCharacter{222F}{\ensuremath{\oiint}} +\DeclareUnicodeCharacter{2230}{\ensuremath{\oiiint}} +\DeclareUnicodeCharacter{33D1}{\ensuremath{\ln}} +\DeclareUnicodeCharacter{33D2}{\ensuremath{\log}} +\DeclareUnicodeCharacter{221D}{\propto} +\DeclareUnicodeCharacter{211C}{\ensuremath{\Re}} +\DeclareUnicodeCharacter{2111}{\ensuremath{\Im}} +\DeclareUnicodeCharacter{220B}{\ensuremath{\ni}} +\DeclareUnicodeCharacter{2135}{\ensuremath{\aleph}} +\DeclareUnicodeCharacter{2211}{\ensuremath{\sum}} +\DeclareUnicodeCharacter{222B}{\ensuremath{\int}} +\DeclareUnicodeCharacter{220F}{\ensuremath{\prod}} +\DeclareUnicodeCharacter{22C1}{\ensuremath{\bigvee}} +\DeclareUnicodeCharacter{22C0}{\ensuremath{\bigwedge}} +\DeclareUnicodeCharacter{22C3}{\ensuremath{\bigcup}} +\DeclareUnicodeCharacter{22C2}{\ensuremath{\bigcap}} +\DeclareUnicodeCharacter{2A00}{\ensuremath{\bigodot}} +\DeclareUnicodeCharacter{2A01}{\ensuremath{\bigoplus}} +\DeclareUnicodeCharacter{2A02}{\ensuremath{\bigotimes}} +\DeclareUnicodeCharacter{2261}{\ensuremath{\equiv}} +\DeclareUnicodeCharacter{2254}{:=} +\DeclareUnicodeCharacter{2255}{=:} + + +\DeclareUnicodeCharacter{2070}{\ensuremath{^0}} +\DeclareUnicodeCharacter{00B9}{\ifmmode^1\else\textonesuperior\fi} +\DeclareUnicodeCharacter{00B2}{\ifmmode^2\else\texttwosuperior\fi} +\DeclareUnicodeCharacter{00B3}{\ifmmode^3\else\textthreesuperior\fi} +\DeclareUnicodeCharacter{2074}{\ensuremath{^4}} +\DeclareUnicodeCharacter{2075}{\ensuremath{^5}} +\DeclareUnicodeCharacter{2076}{\ensuremath{^6}} +\DeclareUnicodeCharacter{2077}{\ensuremath{^7}} +\DeclareUnicodeCharacter{2078}{\ensuremath{^8}} +\DeclareUnicodeCharacter{2079}{\ensuremath{^9}} +\DeclareUnicodeCharacter{207A}{\ensuremath{^+}} +\DeclareUnicodeCharacter{207B}{\ensuremath{^-}} +\DeclareUnicodeCharacter{207C}{\ensuremath{^=}} +\DeclareUnicodeCharacter{207D}{\ensuremath{^(}} +\DeclareUnicodeCharacter{207E}{\ensuremath{^)}} +\DeclareUnicodeCharacter{2080}{\ensuremath{_0}} +\DeclareUnicodeCharacter{2081}{\ensuremath{_1}} +\DeclareUnicodeCharacter{2082}{\ensuremath{_2}} +\DeclareUnicodeCharacter{2083}{\ensuremath{_3}} +\DeclareUnicodeCharacter{2084}{\ensuremath{_4}} +\DeclareUnicodeCharacter{2085}{\ensuremath{_5}} +\DeclareUnicodeCharacter{2086}{\ensuremath{_6}} +\DeclareUnicodeCharacter{2087}{\ensuremath{_7}} +\DeclareUnicodeCharacter{2088}{\ensuremath{_8}} +\DeclareUnicodeCharacter{2089}{\ensuremath{_9}} +\DeclareUnicodeCharacter{208A}{\ensuremath{_+}} +\DeclareUnicodeCharacter{208B}{\ensuremath{_-}} +\DeclareUnicodeCharacter{208C}{\ensuremath{_=}} +\DeclareUnicodeCharacter{208D}{\ensuremath{_(}} +\DeclareUnicodeCharacter{208E}{\ensuremath{_)}} + +\DeclareUnicodeCharacter{1D538}{\ensuremath{\mathbb{A}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D539}{\ensuremath{\mathbb{B}}} +\DeclareUnicodeCharacter{02102}{\ensuremath{\mathbb{C}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D53B}{\ensuremath{\mathbb{D}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D53C}{\ensuremath{\mathbb{E}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D53D}{\ensuremath{\mathbb{F}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D53E}{\ensuremath{\mathbb{G}}} +\DeclareUnicodeCharacter{0210D}{\ensuremath{\mathbb{H}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D540}{\ensuremath{\mathbb{I}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D541}{\ensuremath{\mathbb{J}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D542}{\ensuremath{\mathbb{K}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D543}{\ensuremath{\mathbb{L}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D544}{\ensuremath{\mathbb{M}}} +\DeclareUnicodeCharacter{02115}{\ensuremath{\mathbb{N}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D546}{\ensuremath{\mathbb{O}}} +\DeclareUnicodeCharacter{02119}{\ensuremath{\mathbb{P}}} +\DeclareUnicodeCharacter{0211A}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} +\DeclareUnicodeCharacter{0211D}{\ensuremath{\mathbb{R}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D54A}{\ensuremath{\mathbb{S}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D54B}{\ensuremath{\mathbb{T}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D54C}{\ensuremath{\mathbb{U}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D54D}{\ensuremath{\mathbb{V}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D54E}{\ensuremath{\mathbb{W}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D54F}{\ensuremath{\mathbb{X}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D550}{\ensuremath{\mathbb{Y}}} +\DeclareUnicodeCharacter{02124}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D552}{\ensuremath{\mathbb{a}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D553}{\ensuremath{\mathbb{b}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D554}{\ensuremath{\mathbb{c}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D555}{\ensuremath{\mathbb{d}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D556}{\ensuremath{\mathbb{e}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D557}{\ensuremath{\mathbb{f}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D558}{\ensuremath{\mathbb{g}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D559}{\ensuremath{\mathbb{h}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D55A}{\ensuremath{\mathbb{i}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D55B}{\ensuremath{\mathbb{j}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D55C}{\ensuremath{\mathbb{k}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D55D}{\ensuremath{\mathbb{l}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D55E}{\ensuremath{\mathbb{m}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D55F}{\ensuremath{\mathbb{n}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D560}{\ensuremath{\mathbb{o}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D561}{\ensuremath{\mathbb{p}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D562}{\ensuremath{\mathbb{q}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D563}{\ensuremath{\mathbb{r}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D564}{\ensuremath{\mathbb{s}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D565}{\ensuremath{\mathbb{t}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D566}{\ensuremath{\mathbb{u}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D567}{\ensuremath{\mathbb{v}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D568}{\ensuremath{\mathbb{w}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D569}{\ensuremath{\mathbb{x}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D56A}{\ensuremath{\mathbb{y}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D56B}{\ensuremath{\mathbb{z}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D7D8}{\ensuremath{\mathbb{0}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D7D9}{\ensuremath{\mathbb{1}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D7DA}{\ensuremath{\mathbb{2}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D7DB}{\ensuremath{\mathbb{3}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D7DC}{\ensuremath{\mathbb{4}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D7DD}{\ensuremath{\mathbb{5}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D7DE}{\ensuremath{\mathbb{6}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D7DF}{\ensuremath{\mathbb{7}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D7E0}{\ensuremath{\mathbb{8}}} +\DeclareUnicodeCharacter{1D7E1}{\ensuremath{\mathbb{9}}} + +\DeclareUnicodeCharacter{2113}{\ensuremath{\ell}} +\DeclareUnicodeCharacter{2118}{\ensuremath{\wp}} +\DeclareUnicodeCharacter{212C}{\ensuremath{\mathscr{B}}} + +\DeclareUnicodeCharacter{1D43}{^a} +\DeclareUnicodeCharacter{1D47}{^b} +\DeclareUnicodeCharacter{1D9C}{^c} +\DeclareUnicodeCharacter{1D48}{^d} +\DeclareUnicodeCharacter{1D49}{^e} +\DeclareUnicodeCharacter{1DA0}{^f} +\DeclareUnicodeCharacter{1D4D}{^g} +\DeclareUnicodeCharacter{02B0}{^h} +\DeclareUnicodeCharacter{2071}{^i} +\DeclareUnicodeCharacter{02B2}{^j} +\DeclareUnicodeCharacter{1D4F}{^k} +\DeclareUnicodeCharacter{02E1}{^l} +\DeclareUnicodeCharacter{1D50}{^m} +\DeclareUnicodeCharacter{207F}{^n} +\DeclareUnicodeCharacter{1D52}{^o} +\DeclareUnicodeCharacter{1D56}{^p} +\DeclareUnicodeCharacter{02B3}{^r} +\DeclareUnicodeCharacter{02E2}{^s} +\DeclareUnicodeCharacter{1D57}{^t} +\DeclareUnicodeCharacter{1D58}{^u} +\DeclareUnicodeCharacter{1D5B}{^v} +\DeclareUnicodeCharacter{02B7}{^w} +\DeclareUnicodeCharacter{02E3}{^x} +\DeclareUnicodeCharacter{02B8}{^y} +\DeclareUnicodeCharacter{1DBB}{^z} +\DeclareUnicodeCharacter{1D2C}{^A} +\DeclareUnicodeCharacter{1D2E}{^B} +\DeclareUnicodeCharacter{1D30}{^D} +\DeclareUnicodeCharacter{1D31}{^E} +\DeclareUnicodeCharacter{1D33}{^G} +\DeclareUnicodeCharacter{1D34}{^H} +\DeclareUnicodeCharacter{1D35}{^I} +\DeclareUnicodeCharacter{1D36}{^J} +\DeclareUnicodeCharacter{1D37}{^K} +\DeclareUnicodeCharacter{1D38}{^L} +\DeclareUnicodeCharacter{1D39}{^M} +\DeclareUnicodeCharacter{1D3A}{^N} +\DeclareUnicodeCharacter{1D3C}{^O} +\DeclareUnicodeCharacter{1D3E}{^P} +\DeclareUnicodeCharacter{1D3F}{^R} +\DeclareUnicodeCharacter{1D40}{^T} +\DeclareUnicodeCharacter{1D41}{^U} +\DeclareUnicodeCharacter{1D42}{^W} + +\endinput +%% +%% End of file `uniinput.sty'. -- cgit v1.2.3-24-g4f1b