From 565a46a1bdc5e2d41c84a47adeb95363d36f4129 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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@@ -1,9 +1,10 @@
 \chapter{Die lineare Struktur}
 \label{cha:die-lineare-struktur}
 \index{Struktur!lineare}
+Alle in diesem Kapitel vorgestellten Resultate gelten für beliebige Körper.
+Wir werden uns aber im weiteren Verlauf quasi ausschließlich mit den aus der Analysis bekannten Körper der reellen Zahlen $ℝ$ und der komplexen Zahlen $ℂ$ beschäftigen.
 \section{Der lineare Raum}
 \label{sec:der-lineare-raum}
-Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \begin{definition}[Vektorraum, linearer Raum]
     \label{defi:vektorraum-1.1.1}
     \index{Raum!linearer}
@@ -13,55 +14,52 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
         \cdot : \K × X → X
     \]
     heißt $\K$-\emph{Vektorraum} oder \emph{linearer Raum}, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt:
-    \begin{enumerate}[label=(V\arabic*)]
+    \begin{wenumerate}[label=(V\arabic*)]
     \item $\alpha  x+y) = \alpha x + βy$
     \item $(\alpha +β)x = \alpha x + βx$
     \item $(\alpha β)x = \alpha (βx)$
     \item $1 \cdot x = x$
-    \end{enumerate}
+    \end{wenumerate}
 \end{definition}
-\begin{bemerkung-nn}
-    Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum.
-\end{bemerkung-nn}
-\begin{bemerkung-nn}
-    \index{Raum!linearer Teil-}
-    Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $\alpha , β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $\alpha x + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist.
-    $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}.
-\end{bemerkung-nn}
-\begin{bemerkung-nn}
-    \index{Aufspann}
-    Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$.
-    Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$
-    \[
-        \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, \alpha _1,…,\alpha _l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l \alpha _i m_i = x \right\}.
-    \]
-\end{bemerkung-nn}
-\begin{bemerkung-nn}
-    \index{Basis!Hamel-}
-    $M = \{x_\lambda \}_{\lambda  ∈ \Lambda } ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt,
-    $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_\lambda $ schreiben, und $\lspan M = X$ ist.
-\end{bemerkung-nn}
-\begin{bemerkung-nn}
-    \index{Dimension}
-    Besitzt $X$ eine Basis von $n < \infty $ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$.
-    Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = \infty $).
-\end{bemerkung-nn}
-\begin{bemerkung-nn}
-    \index{Summe}
-    Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist
-    \[
-        X_1 + X_2 \coloneq \left\{ \alpha x_1 + βx_2: \alpha , β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\}
-    \]
-    ebenfalls ein linearer Teilraum.
-    Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}.
-\end{bemerkung-nn}
-\begin{bemerkung-nn}
-    \index{Raum!Quotienten-}
-    Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch
-    $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$.
-    Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum.
-    Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$.
-\end{bemerkung-nn}
+\begin{definition-nn}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum.
+    \item
+        \index{Raum!linearer Teil-}
+        Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $\alpha , β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $\alpha x + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist.
+        $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}.
+    \item
+        \index{Aufspann}
+        Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$.
+        Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$
+        \[
+            \lspan M = \Big\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, \alpha _1,…,\alpha _l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l \alpha _i m_i = x \Big\}.
+        \]
+    \item
+        \index{Basis!Hamel-}
+        $M = \{x_\lambda \}_{\lambda  ∈ \Lambda } ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt,
+        $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_\lambda $ schreiben, und $\lspan M = X$ ist.
+    \item
+        \index{Dimension}
+        Besitzt $X$ eine Basis von $n < \infty $ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$.
+        Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = \infty $).
+    \item
+        \index{Summe}
+        Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist
+        \[
+            X_1 + X_2 \coloneq \left\{ \alpha x_1 + βx_2: \alpha , β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\}
+        \]
+        ebenfalls ein linearer Teilraum.
+        Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}.
+    \item
+        \index{Raum!Quotienten-}
+        Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch
+        $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$.
+        Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum.
+        Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$.
+    \end{enumerate}
+\end{definition-nn}
 \begin{satz}
     \label{satz:vr-besitzt-basis-1.1.2}
     Jeder lineare Raum besitzt eine (Hamel-)Basis.
@@ -87,12 +85,22 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 
 \section{Beispiele}
 \label{sec:beispiele}
+In diesem Abschnitt geben geben wir nun einige Beispiele zu linearen Räumen über den Körpern $ℝ$ und $ℂ$ an.
+Wir werden uns mit diesen Räumen noch weiter beschäftigen, zunächst betrachten wir aber nur die lineare Struktur auf ihnen.
+Zunächst die (bis auf isomorphie eindeutig bestimmten) endlich"=dimensionalen Räume:
 \index{$ℝ^n$}
-\begin{beispiel}
+\index{$ℂ^n$}
+\begin{beispiel}[$ℝ^n$, $ℂ^n$]
     Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum.
+    Dabei ist $\dim_ℝ ℝ^n = n$ und  $\dim_ℂ ℂ^n = n$, aber $\dim_ℝ ℂ^n = 2n$.
+    Insbesondere ist $C$ auch ein zwei"=dimensionaler reeller Vektorraum.
 \end{beispiel}
 
-\begin{beispiel}
+In der klassischen Analysis haben wir uns bereits ausgiebigst mit diesen Räumen befasst.
+Die Funktionalanlaysis versucht nun, einige der Konzepte, die wir von diesen Räumen kennen, auf die nachfolgenden unendlich"=dimensionalen Räume zu übertragen:
+
+\begin{beispiel}[{$C[a,b]$}]
+    \index{$C[a,b]$}
     Sei $[a,b] ⊂ ℝ$, $a < b$. Dann ist
     \[
       C[a,b] = \{x: [a,b] → \K, x \text { ist stetig}\}
@@ -106,32 +114,34 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     \index{$\ell^p$}
     \index{Folge!$p$-summierbar}
     \index{Raum!Folgen-}
-    Es ist
+    Sei $0 < p < ∞$. Wir betrachten die Menge $\ell^p$ aller $p$-Summierbaren Folgen in $\K$
     \[
-        \ell^p = \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \}
+        \ell^p = \Big\{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \Big\}.
     \]
-    für $0 < p < ∞$ ein linearer Raum.
-    Die Menge der Einheitsvektoren $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ mit $e_i = (0,…,0,1,0,…)$ ist eine unendliche linear unabhängige Teilmenge, aber ebenfalls keine Basis.
+    Sie wird mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation ein linearer Raum.
+    Dabei ist die Menge der Einheitsvektoren $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ mit $e_i = (0,…,0,1,0,…)$ ist eine unendliche linear unabhängige Teilmenge, aber ebenfalls keine Basis.
 
     Genauso ist
     \[
-        \ell^∞ = \left\{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sup_{n=1} |ξ_n| < ∞ \right\}
+        \ell^∞ = \Big\{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sup_{n=1} |ξ_n| < ∞ \Big\}
     \]
-    ein überabzählbar"=dimensionaler linearer Raum mit den Unterräumen
+    ein überabzählbar"=dimensionaler linearer Raum mit den unendlich"=dimensionalen linearen Unterräumen
     \[
-        c = \left\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n \text{ existiert}\right\}
+        c = \Big\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n \text{ existiert}\Big\}
     \]
     und
     \[
-        c_0 = \left\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n = 0 \right\}.
+        c_0 = \Big\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n = 0 \Big\}.
     \]
 \end{beispiel}
-\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] \index{$L^p$}
+\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen]
+    \index{$L^p$}
+    \index{$\L^p$}
     \index{Funktion!Lebesgue-integrierbar}
     Sei $M ⊂ ℝ$ messbar und $0 < p < ∞$.
     Dann ist
     \[
-        \L^p(M) = \left\{f : M → ℝ, f \text { messbar}, ∫_M |f|^p \dd μ < ∞ \right\}
+        \L^p(M) = \Big\{f : M → ℝ, f \text { messbar}, ∫_M |f|^p \dd μ < ∞ \Big\}
     \]
     ein unendlich"=dimensionaler linearer Raum.
     Offenkundig ist $\mathcal N \coloneq \{ f: M → ℝ,\; f = 0$ fast überall $\}$ ein Unterraum von $\L^p(M)$, also auch
@@ -184,7 +194,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     \end{enumerate}
 \end{bemerkung}
 
-\begin{beispiel-nn}
+\begin{beispiel}
     $X = \{ x: [a,b] → ℝ, x, \dot x, \ddot x \text{ stetig},\; x(a) = \dot x(a) = 0\}$ ist ein linearer Raum.
     Sei $Y = C[a,b]$ und $A: X → Y$ gegeben durch
     \[
@@ -201,9 +211,9 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     Also ist $A$ bijektiv, das heißt, es gibt eine lineare Abbildung $A^{-1}: Y → X$.
     Diese Inverse ist in der Regel schlecht anzugeben.
     Einen einfacheren Spezialfall dazu wird in der Übung behandelt.
-\end{beispiel-nn}
+\end{beispiel}
 
-\begin{beispiel-nn}
+\begin{beispiel}
     Sei $X = Y = C[a,b]$, $A: X → X$ gegeben durch
     \[
         (Ax)(t) \coloneq ∫_a^b k(s,t) x(s) ds, \quad t ∈ [a,b],
@@ -217,9 +227,9 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     linear.
     Die Probleme $Ax = y$ (bei gegebenem $y ∈ Y$ und gesuchtem $x ∈ X$) oder $A_\lambda  x = 0$ (gesucht ist $\lambda  ∈ ℝ$ und eine nichttriviale Lösung $x ∈ X \setminus \{ 0\}$)
     heißen Integralgleichungen erster und zweiter Ordnung.
-\end{beispiel-nn}
+\end{beispiel}
 
-\begin{beispiel-nn}
+\begin{beispiel}
     Sei $X = C[a,b]$, $A : X → ℝ$ mit
     \[
         Ax = x(t_0),
@@ -230,28 +240,25 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
         Ax = ∫_a^b x(t) dt
     \]
     Dann sind beide Abbildungen $A$ linear und nicht injektiv, aber surjektiv.
-\end{beispiel-nn}
+\end{beispiel}
 
-\begin{beispiel-nn}
+\begin{beispiel}
     Sei $X = \ell^2$, $A: X → X$. Für $x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ sei
     \[
         Ax = (0,ξ_1, ξ_2, \dots) ∈ \ell^2.
     \]
     $A$ heißt (Rechts-)Shiftoperator und ist linear und injektiv, jedoch nicht surjektiv.
     Solche Abbildungen gibt es für $\dim X = \dim Y < \infty $ nicht.
-\end{beispiel-nn}
+\end{beispiel}
 
 \section{Duale Räume}
 \label{sec:duale-raume}
-$A: X → \K$ sei ein lineares Funktional, $X$ ein linearer Raum. Wir verwenden ein neues Symbol (statt $A$)
-\[
-    x': X → \K \text{ linear}.
-\]
+Wir bezeichnen lineare Funktionale $X → \K$ (also stetige lineare Abbildungen $X → \K$) üblicherweise mit $x'$.
 Wir schreiben nun
 \[
-    x'(x) \eqcolon \langle  x, x' \rangle = \langle  x, x' \rangle_{X × X^f} ∈ \K.
+    x'(x) \eqcolon \langle  x, x' \rangle = \langle  x, x' \rangle_{X × X^f} ∈ \K
 \]
-Wir setzen
+und setzen
 \[
     X^f \coloneq \left\{ x': x' \text{ ist lineares Funktional auf } X \right\}.
 \]
@@ -262,11 +269,11 @@ Der Raum $X^f$ wird auf natürlicher Weise zum linearen Raum mit
 \[
     (\alpha x_1' + βx_2')(x) \coloneq \alpha x_1'(x) + βx_2'(x), \quad x ∈ X, x_1', x_2' ∈ X^f, \alpha , β ∈ \K.
 \]
-So ist
+Dann ist
 \[
     \langle -,- \rangle_{X×X^f}: X × X^f → \K
 \]
-bilinear.
+eine Bilinearform.
 \begin{definition}[Algebraischer Dualraum, Algebraischer Bidualraum]
     \index{Raum!algebraischer Dual-}
     \index{Raum!algebraischer Bidual-}
@@ -320,5 +327,5 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
 
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
-%%% TeX-master: "funkana-ebook"
+%%% TeX-master: "funkana"
 %%% End:
-- 
cgit v1.2.3-24-g4f1b

