From 883baa0409e0f1f86f40277cc9af3244f427842d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Thu, 28 Dec 2017 00:29:50 +0100
Subject: ersten beiden Kapitel indiziert

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@@ -1,12 +1,18 @@
 \chapter{Die lineare Struktur}
+\label{cha:die-lineare-struktur}
+\index{Struktur!lineare}
 \section{Der lineare Raum}
+\label{sec:der-lineare-raum}
 Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
-\begin{definition}[Vektorraum]
+\begin{definition}[Vektorraum, linearer Raum]
+    \label{defi:vektorraum-1.1.1}
+    \index{Raum!linearer}
+    \index{Vektorraum}
     Sei $\K$ ein Körper. Eine Abelsche Gruppe $(X,+)$ zusammen mit einer Abbildung
     \[
         \cdot : \K × X → X
     \]
-    heißt $\K$-Vektorraum, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt:
+    heißt $\K$-\emph{Vektorraum} oder \emph{linearer Raum}, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt:
     \begin{enumerate}[label=(V\arabic*)]
     \item $\alpha  x+y) = \alpha x + βy$
     \item $(\alpha +β)x = \alpha x + βx$
@@ -14,35 +20,34 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     \item $1 \cdot x = x$
     \end{enumerate}
 \end{definition}
-
 \begin{bemerkung-nn}
     Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Raum!linearer Teil-}
     Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $\alpha , β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $\alpha x + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist.
     $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Aufspann}
     Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$.
     Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$
     \[
         \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, \alpha _1,…,\alpha _l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l \alpha _i m_i = x \right\}.
     \]
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Basis!Hamel-}
     $M = \{x_\lambda \}_{\lambda  ∈ \Lambda } ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt,
     $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_\lambda $ schreiben, und $\lspan M = X$ ist.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Dimension}
     Besitzt $X$ eine Basis von $n < \infty $ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$.
     Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = \infty $).
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Summe}
     Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist
     \[
         X_1 + X_2 \coloneq \left\{ \alpha x_1 + βx_2: \alpha , β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\}
@@ -50,22 +55,24 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     ebenfalls ein linearer Teilraum.
     Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Raum!Quotienten-}
     Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch
     $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$.
     Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum.
     Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$.
 \end{bemerkung-nn}
-
-\begin{satz}\label{01-vr-besitzt-basis}
+\begin{satz}
+    \label{satz:vr-besitzt-basis-1.1.2}
     Jeder lineare Raum besitzt eine (Hamel-)Basis.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    Folgt unmittelbar aus \cref{01-basisergaenzungssatz}.
+    Folgt unmittelbar aus \cref{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3}.
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Basisergänzungssatz]\label{01-basisergaenzungssatz}
+\begin{satz}[Basisergänzungssatz]
+    \index{Satz!Basisergänzungs-}
+    \label{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3}
     Sei $M ⊂ X$ eine linear unabhängige Teilmenge.
     Dann gibt es eine Basis $B$ von $X$ mit $M ⊂ B$.
 \end{satz}
@@ -79,6 +86,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \end{proof}
 
 \section{Beispiele}
+\label{sec:beispiele}
+\index{$ℝ^n$}
 \begin{beispiel}
     Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum.
 \end{beispiel}
@@ -94,6 +103,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}[Folgenräume]
+    \index{$\ell^p$}
     Es ist
     \[
         \ell^p = \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \}
@@ -114,8 +124,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
         c_0 = \left\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n = 0 \right\}.
     \]
 \end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen]
+\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] \index{$L^p$}
+    \index{Funktion!Lebesgue-integrierbar}
     Sei $M ⊂ ℝ$ messbar und $0 < p < ∞$.
     Dann ist
     \[
@@ -130,7 +140,11 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \end{beispiel}
 
 \section{Lineare Abbildungen}
-\begin{definition}
+\label{sec:lineare-abbildungen}
+\begin{definition}[Lineare Abbildung]
+    \index{Funktion!linear}
+    \index{Abbildung!linear}
+    \label{defi-lineare-abbildung-1.3.1}
     Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $\alpha , β ∈ \K$ gilt:
     \[
     A(\alpha x_1 + βx_2)  = \alpha A(x_1) + βA(x_2).
@@ -138,8 +152,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     $A: X → \K$ heißt \emph{lineares Funktional}.
     Für $A$ linear heißt $R(A) = \im A = \{A(x): x ∈ X\}$ der \emph{Bildraum} von $A$ und $N(A) = \ker A = \{ x ∈ X: A(x) = 0\}$ der \emph{Kern} von $A$.
 \end{definition}
-
 \begin{bemerkung}
+    \label{bem:lineare-abb-eigenschaften-1.3.2}
     Sei $A: X → Y$ linear.
     \begin{enumerate}
     \item Sei $M ⊂ X $ ein linearer Unterraum. Dann ist $A(M) ⊂ Y$ wieder ein linearer Unterraum und es gilt $\dim A(M) \le \dim M$ mit Gleichheit bei Injektivität.
@@ -156,6 +170,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     \item
         $A: X → Y$ ist linear und bijektiv genau dann, wenn es eine lineare Umkehrabbildung $A^{-1}: Y → X$ gibt.
     \item
+        \index{isomorph!linear}
         Falls so ein $A: X → Y$ linear und bijektiv existiert, nennen wir $X$ und $Y$ \emph{linear isomorph.}
         $A$ heißt dann ein \emph{linearer Isomorphismus}.
 
@@ -222,6 +237,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \end{beispiel-nn}
 
 \section{Duale Räume}
+\label{sec:duale-raume}
 $A: X → \K$ sei ein lineares Funktional, $X$ ein linearer Raum. Wir verwenden ein neues Symbol (statt $A$)
 \[
     x': X → \K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases} \text{ linear}.
@@ -246,12 +262,16 @@ So ist
     \langle -,- \rangle_{X×X^f}: X × X^f → \K
 \]
 bilinear.
-\begin{definition}
+\begin{definition}[Algebraischer Dualraum, Algebraischer Bidualraum]
+    \index{Raum!algebraischer Dual-}
+    \index{Raum!algebraischer Bidual-}
+    \label{defi:alg-dualraum-bidualraum-1.4.1}
     $X^f$ heißt der \emph{algebraische Dualraum} zu $X$.
     $X^{ff} \coloneq (X^f)^f$ heißt der \emph{biduale Raum} zu $X$.
 \end{definition}
-
 \begin{beispiel-nn}
+    \index{$J$}
+    \index{Abbildung!kanonische}
     $X^{ff}$ liefert die kanonische Abbildung
     \[
         J: X → X^{ff}, \; x ↦ J(x) = x''
@@ -262,12 +282,13 @@ bilinear.
     \]
     Damit ist $x'': X^f → \K$ linear wohldefiniert.
 \end{beispiel-nn}
-
-\begin{definition}
+\begin{definition}[algebraisch reflexiv]
+    \index{algebraisch reflexiv}
+    \label{defi:alg-reflexiv-1.4.2}
     Der lineare Raum $X$ heißt \emph{algebraisch reflexiv}, falls $J$ bijektiv ist (und damit $X$ linear isomorph zu $X^{ff}$) ist.
 \end{definition}
-
 \begin{bemerkung}
+    \label{bem:X-alg-reflexiv-gdw-dim-endlich-1.4.3}
     $X$ ist genau dann algebraisch reflexiv, wenn $\dim X < \infty $ ist.
 
     Im Fall $\dim X < \infty $ lässt sich leicht eine duale Basis angeben:
@@ -282,6 +303,8 @@ bilinear.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{definition}[Dualraum]
+    \index{Raum!Dual-}
+    \label{defi:dualraum-1.4.4}
     Zu einem linearen Raum $X$ ist
     \[
         X' \coloneq \left\{ x' : X → \K, x' \text{ linear und stetig} \right\} ⊂ X^f
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