From 883baa0409e0f1f86f40277cc9af3244f427842d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ulli Kehrle Date: Thu, 28 Dec 2017 00:29:50 +0100 Subject: ersten beiden Kapitel indiziert --- ch01-lineare-struktur.tex | 67 +++++++++++++++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 45 insertions(+), 22 deletions(-) (limited to 'ch01-lineare-struktur.tex') diff --git a/ch01-lineare-struktur.tex b/ch01-lineare-struktur.tex index c7bfea4..262d130 100644 --- a/ch01-lineare-struktur.tex +++ b/ch01-lineare-struktur.tex @@ -1,12 +1,18 @@ \chapter{Die lineare Struktur} +\label{cha:die-lineare-struktur} +\index{Struktur!lineare} \section{Der lineare Raum} +\label{sec:der-lineare-raum} Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die -\begin{definition}[Vektorraum] +\begin{definition}[Vektorraum, linearer Raum] + \label{defi:vektorraum-1.1.1} + \index{Raum!linearer} + \index{Vektorraum} Sei $\K$ ein Körper. Eine Abelsche Gruppe $(X,+)$ zusammen mit einer Abbildung \[ \cdot : \K × X → X \] - heißt $\K$-Vektorraum, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt: + heißt $\K$-\emph{Vektorraum} oder \emph{linearer Raum}, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt: \begin{enumerate}[label=(V\arabic*)] \item $\alpha x+y) = \alpha x + βy$ \item $(\alpha +β)x = \alpha x + βx$ @@ -14,35 +20,34 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \item $1 \cdot x = x$ \end{enumerate} \end{definition} - \begin{bemerkung-nn} Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum. \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Raum!linearer Teil-} Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $\alpha , β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $\alpha x + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist. $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}. \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Aufspann} Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$. Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$ \[ \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, \alpha _1,…,\alpha _l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l \alpha _i m_i = x \right\}. \] \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Basis!Hamel-} $M = \{x_\lambda \}_{\lambda ∈ \Lambda } ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt, $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_\lambda $ schreiben, und $\lspan M = X$ ist. \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Dimension} Besitzt $X$ eine Basis von $n < \infty $ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$. Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = \infty $). \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Summe} Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist \[ X_1 + X_2 \coloneq \left\{ \alpha x_1 + βx_2: \alpha , β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\} @@ -50,22 +55,24 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die ebenfalls ein linearer Teilraum. Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}. \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Raum!Quotienten-} Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$. Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum. Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$. \end{bemerkung-nn} - -\begin{satz}\label{01-vr-besitzt-basis} +\begin{satz} + \label{satz:vr-besitzt-basis-1.1.2} Jeder lineare Raum besitzt eine (Hamel-)Basis. \end{satz} \begin{proof} - Folgt unmittelbar aus \cref{01-basisergaenzungssatz}. + Folgt unmittelbar aus \cref{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3}. \end{proof} -\begin{satz}[Basisergänzungssatz]\label{01-basisergaenzungssatz} +\begin{satz}[Basisergänzungssatz] + \index{Satz!Basisergänzungs-} + \label{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3} Sei $M ⊂ X$ eine linear unabhängige Teilmenge. Dann gibt es eine Basis $B$ von $X$ mit $M ⊂ B$. \end{satz} @@ -79,6 +86,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \end{proof} \section{Beispiele} +\label{sec:beispiele} +\index{$ℝ^n$} \begin{beispiel} Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum. \end{beispiel} @@ -94,6 +103,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \end{beispiel} \begin{beispiel}[Folgenräume] + \index{$\ell^p$} Es ist \[ \ell^p = \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \} @@ -114,8 +124,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die c_0 = \left\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n = 0 \right\}. \] \end{beispiel} - -\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] +\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] \index{$L^p$} + \index{Funktion!Lebesgue-integrierbar} Sei $M ⊂ ℝ$ messbar und $0 < p < ∞$. Dann ist \[ @@ -130,7 +140,11 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \end{beispiel} \section{Lineare Abbildungen} -\begin{definition} +\label{sec:lineare-abbildungen} +\begin{definition}[Lineare Abbildung] + \index{Funktion!linear} + \index{Abbildung!linear} + \label{defi-lineare-abbildung-1.3.1} Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $\alpha , β ∈ \K$ gilt: \[ A(\alpha x_1 + βx_2) = \alpha A(x_1) + βA(x_2). @@ -138,8 +152,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die $A: X → \K$ heißt \emph{lineares Funktional}. Für $A$ linear heißt $R(A) = \im A = \{A(x): x ∈ X\}$ der \emph{Bildraum} von $A$ und $N(A) = \ker A = \{ x ∈ X: A(x) = 0\}$ der \emph{Kern} von $A$. \end{definition} - \begin{bemerkung} + \label{bem:lineare-abb-eigenschaften-1.3.2} Sei $A: X → Y$ linear. \begin{enumerate} \item Sei $M ⊂ X $ ein linearer Unterraum. Dann ist $A(M) ⊂ Y$ wieder ein linearer Unterraum und es gilt $\dim A(M) \le \dim M$ mit Gleichheit bei Injektivität. @@ -156,6 +170,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \item $A: X → Y$ ist linear und bijektiv genau dann, wenn es eine lineare Umkehrabbildung $A^{-1}: Y → X$ gibt. \item + \index{isomorph!linear} Falls so ein $A: X → Y$ linear und bijektiv existiert, nennen wir $X$ und $Y$ \emph{linear isomorph.} $A$ heißt dann ein \emph{linearer Isomorphismus}. @@ -222,6 +237,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \end{beispiel-nn} \section{Duale Räume} +\label{sec:duale-raume} $A: X → \K$ sei ein lineares Funktional, $X$ ein linearer Raum. Wir verwenden ein neues Symbol (statt $A$) \[ x': X → \K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases} \text{ linear}. @@ -246,12 +262,16 @@ So ist \langle -,- \rangle_{X×X^f}: X × X^f → \K \] bilinear. -\begin{definition} +\begin{definition}[Algebraischer Dualraum, Algebraischer Bidualraum] + \index{Raum!algebraischer Dual-} + \index{Raum!algebraischer Bidual-} + \label{defi:alg-dualraum-bidualraum-1.4.1} $X^f$ heißt der \emph{algebraische Dualraum} zu $X$. $X^{ff} \coloneq (X^f)^f$ heißt der \emph{biduale Raum} zu $X$. \end{definition} - \begin{beispiel-nn} + \index{$J$} + \index{Abbildung!kanonische} $X^{ff}$ liefert die kanonische Abbildung \[ J: X → X^{ff}, \; x ↦ J(x) = x'' @@ -262,12 +282,13 @@ bilinear. \] Damit ist $x'': X^f → \K$ linear wohldefiniert. \end{beispiel-nn} - -\begin{definition} +\begin{definition}[algebraisch reflexiv] + \index{algebraisch reflexiv} + \label{defi:alg-reflexiv-1.4.2} Der lineare Raum $X$ heißt \emph{algebraisch reflexiv}, falls $J$ bijektiv ist (und damit $X$ linear isomorph zu $X^{ff}$) ist. \end{definition} - \begin{bemerkung} + \label{bem:X-alg-reflexiv-gdw-dim-endlich-1.4.3} $X$ ist genau dann algebraisch reflexiv, wenn $\dim X < \infty $ ist. Im Fall $\dim X < \infty $ lässt sich leicht eine duale Basis angeben: @@ -282,6 +303,8 @@ bilinear. \end{bemerkung} \begin{definition}[Dualraum] + \index{Raum!Dual-} + \label{defi:dualraum-1.4.4} Zu einem linearen Raum $X$ ist \[ X' \coloneq \left\{ x' : X → \K, x' \text{ linear und stetig} \right\} ⊂ X^f -- cgit v1.2.3-24-g4f1b