From 59c2089055ff2af58fdc04a73f0f8bca4fd33e48 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Sat, 30 Dec 2017 20:19:35 +0100
Subject: alles aktualisiert

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 ch02-topologie.tex | 32 ++++++++++++++++----------------
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index e91a20d..123583f 100644
--- a/ch02-topologie.tex
+++ b/ch02-topologie.tex
@@ -17,7 +17,7 @@
     \label{defi:top-raum-2.1.1}
     Sei $X$ eine Menge und $\T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$.
     $\T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.
-    Insbesondere muss $\T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten.
+    Insbesondere muss $\T$ die leere Menge $\emptyset$ als leere Vereinigung und den ganzen Raum $X$ als leeren Schnitt enthalten.
     $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen}
 \end{definition}
 \begin{beispiele-nn}
@@ -231,11 +231,11 @@ existiert.
 	Wir sagen die Topologien sind gleich, falls $\T_{1}=\T_{2}$.
 \end{definition}
 \begin{bemerkung-nn}
-	Sei $\T_{1}$ feiner als $\T_{2}$.
-	Die feinere Topologie $\T_{1}$ enthält mehr offene Mengen, 
+	Sei nun $\T_{1}$ eine feinere Topologie als $\T_{2}$ auf $X$.
+	Dann enthält die feinere Topologie $\T_{1}$ mehr offene Mengen, 
 	und damit zu jedem Grenzwert $x_{0}$ weniger konvergte Folgen.
-	
 \end{bemerkung-nn}
+
 \begin{lemma-nn}
     Sei $X$ eine Menge, $\T_1$ und $\T_2$ Topologien auf $X$, für jedes $x ∈ X$ $B^x_i$ eine Umgebungsbasis von $x$ in $\T_i$, $i=1,2$.
     Dann sind äquivalent:
@@ -469,36 +469,36 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
     Wähle nun $n_1 ∈ ℕ$ beliebig und iterativ $n_{k+1} > n_k$ mit $d(x,x_{n_{k+1}}) < 1/k$. Dann ist $(x_{n_k})_{k ∈ }$ eine Teilfolge von $(x_n)_{n ∈ ℕ}$, die gegen $x$ konvergiert.
 
     $(c) ⇒ (a)$: %Siehe zum Beispiel \cite[Ch 3, Th 28.2]{munkres2000topology}.
-    Wir zeigen zunächst, dass, wenn $X$ folgenkompakt ist, und $\mathcal A$ eine offene Überdeckung von $X$ ist, ein $δ > 0$ existiert, so dass jede Teilmenge von $X$ mit Durchmesser höchstens $δ$ in einer Menge aus $\mathcal A$ enthalten ist.
+    Wir zeigen zunächst, dass, wenn $K$ folgenkompakt ist, und $\mathcal A$ eine offene Überdeckung von $K$ ist, ein $δ > 0$ existiert, so dass jede Teilmenge von $K$ mit Durchmesser höchstens $δ$ in einer Menge aus $\mathcal A$ enthalten ist.
     Angenommen, es würde kein $δ > 0$ mit dieser Eigenschaft geben.
     Dann gibt es insbesondere für jedes $n ∈ ℕ$ eine Menge mit Durchmesser kleiner $1/n$. die nicht in einer Menge aus $\mathcal A$ enthalten ist.
     Sei für jede natürliche Zahl $n$ $C_n$ so eine Menge und $x_n ∈ C_n$.
-    Per Annahme besitzt $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine konvergente Teilfolge, sagen wir $(x_{n_k})_{k ∈ ℕ}$, die gegen $a ∈ X$ konvergiert.
+    Per Annahme besitzt $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine konvergente Teilfolge, sagen wir $(x_{n_k})_{k ∈ ℕ}$, die gegen $a ∈ K$ konvergiert.
     Dann ist $a$ in einem $A ∈ \mathcal A$ enthalten.
     Da $A$ offen ist, gibt es ein $ε > 0$, so dass $B_ε(a) ⊂ A$.
     Ist nun $k$ so groß, dass $1/n_k < ε/2$, dann ist $C_{n_k} ⊂ B_{ε/2}(x_{n_k})$.
     Aber das ist ein Widerspruch zur Annahme.
 
-    Zweitens zeigen wir, dass, wenn $X$ folgenkompakt ist und $ε > 0$, wir eine endliche Überdeckung von $X$ durch $ε$-Bällen finden können.
+    Zweitens zeigen wir, dass, wenn $K$ folgenkompakt ist und $ε > 0$ beliebig, wir eine endliche Überdeckung von $K$ durch $ε$-Bällen finden können.
     Auch hier nehmen wir an, das würde nicht gehen.
-    Sei $ε > 0$ so, dass $X$ nicht von endlich vielen $ε$-Bällen überdeckt werden kann.
-    Wir konstruieren nun iterativ eine Folge, die keine konvergente Teilfolge besitzen kann: Sei $x_1 ∈ X$ beliebig.
-    Da per Wahl von $ε$ $X$ nicht komplett von $B_ε(x_1)$ überdeckt wird, gibt es ein $x_2 ∈ X \setminus B_ε(x_1)$.
+    Sei $ε > 0$ so, dass $K$ nicht von endlich vielen $ε$-Bällen überdeckt werden kann.
+    Wir konstruieren nun iterativ eine Folge, die keine konvergente Teilfolge besitzen kann: Sei $x_1 ∈ K$ beliebig.
+    Da per Wahl von $ε$ $K$ nicht komplett von $B_ε(x_1)$ überdeckt wird, gibt es ein $x_2 ∈ K \setminus B_ε(x_1)$.
     Wähle nun iterativ, wenn $x_n$ schon konstruiert ist, $x_{n+1}$ so, dass es nicht in der Vereininung
     \[
         B_ε(x_1) ∪ \cdots ∪ B_ε(x_n)
     \]
     liegt.
-    Das geht, da nach Annahme $X$ nicht von endlich vielen $ε$-Bällen überdeckt werden kann.
+    Das geht, da nach Annahme $K$ nicht von endlich vielen $ε$-Bällen überdeckt werden kann.
     Nach Konstruktion ist nun $d(x_n, x_m) > ε$ für $n \ne m$.
-    Somit kann $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ keine Cauchy"=Teilfolge, also auch keine konvergente Teilfolge enthalten und $X$ ist somit nicht folgenkompakt.
+    Somit kann $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ keine Cauchy"=Teilfolge, also auch keine konvergente Teilfolge enthalten und $K$ ist somit nicht folgenkompakt.
 
-    Nun folgern wir die Behauptung: Sei $\mathcal A$ eine offene Überdeckung von $X$.
-    Da $X$ folgenkompakt ist, gibt es nun ein $δ > 0$, so dass jede Menge mit Durchmesser kleiner $δ$ in einer Menge in $\mathcal A$ enthalten ist.
+    Nun folgern wir die Behauptung: Sei $\mathcal A$ eine offene Überdeckung von $K$.
+    Da $K$ folgenkompakt ist, gibt es nun ein $δ > 0$, so dass jede Menge mit Durchmesser kleiner $δ$ in einer Menge in $\mathcal A$ enthalten ist.
     Sei nun $ε = δ/3$.
-    Da $X$ folgenkompakt ist, gibt es eine endliche Überdeckung von $X$ aus $ε$-Bällen.
+    Da $K$ folgenkompakt ist, gibt es eine endliche Überdeckung von $K$ aus $ε$-Bällen.
     Da jeder dieser Bälle einen Durchmesser von höchstens $2δ/3$ hat, ist er in einer Menge in $\mathcal A$ enthalten.
-    Das erlaubt uns, eine endliche Teilüberdeckung aus $\mathcal A$ auszuwählen, die $X$ überdeckt.
+    Das erlaubt uns, eine endliche Teilüberdeckung aus $\mathcal A$ auszuwählen, die $K$ überdeckt.
 \end{proof}
 \section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire}
 \label{sec:vollst-metr-raum}
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cgit v1.2.3-24-g4f1b

