From 5bae51d51824c2d960bc15d332ec69bd5df515bf Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Sun, 17 Dec 2017 20:14:11 +0100
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@@ -0,0 +1,566 @@
+\chapter{Topologie}
+\section{Topologische Räume}
+\begin{definition}
+    Sei $X$ eine Menge und $\mathcal T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$.
+    $\mathcal T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\mathcal T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.
+    Insbesondere muss $\mathcal T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten.
+    $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen}
+\end{definition}
+\begin{beispiele-nn}
+    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+        \item
+              Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}.
+        \item
+              Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$.
+        \item
+            In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $\epsilon  > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < \epsilon $ auch $y ∈ U$ gilt.
+            Aus der Analysis ist bekannt, dass die so definierten offenen Mengen den Axiomen genügen.
+            Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt.
+        \item
+              Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf
+              $X$ wird definiert als
+              \[
+                  \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\}
+              \]
+        \item
+              Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$.
+    \end{enumerate}
+\end{beispiele-nn}
+
+\begin{definition}
+    Sei $M ⊂ X$.
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $X \setminus  M$ offen ist.
+    \item
+        $U ⊂ X$ heißt \emph{Umgebung von $A$}, wenn es eine offene Menge $V$ gibt mit $A ⊂ V ⊂ U$. Wir setzen
+        \[
+            \U_A \coloneq \U_A (\T) \coloneq \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}.
+        \]
+        $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$.
+        Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x \coloneq \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$.
+    \item
+        $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$.k
+    \item
+        Das \emph{Innere von M} ist
+        \[
+            M^\circ \coloneq \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\}
+        \]
+        die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist.
+    \item
+        Der \emph{Abschluss von} M ist
+        \[
+            \cl M \coloneq \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\}
+        \]
+        die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält.
+    \item
+        $M$ heißt \emph{kompakt}, falls jede offene Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
+    \item
+        $M$ heißt \emph{dicht}, falls $\cl M = X$.
+    \item
+        $M$ heißt \emph{nirgends dicht}, falls $(\cl M)^\circ = \emptyset$.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+    \begin{enumerate}
+    \item $M^\circ ⊂ M ⊂ \cl  M$.
+    \item
+        $M^\circ$ ist die Menge der inneren Punkte von $M$.
+    \item
+        $M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M = \cl M$.
+    \end{enumerate}
+\end{bemerkung}
+
+
+\begin{definition}[Hausdorff-Raum]
+	Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum.
+	Für alle $x,y \in X$ mit $x \neq y$ 
+	existieren $U \in \U_x, V \in \U_x$ mit $U \cap V = \emptyset$.
+	Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem $T_2$-Axiom.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiele-nn}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Ein Pseudometrischer Raum $(X,d)$ ist Hausdorff"=Raum genau dann, wenn
+        $d$ eine Metrik ist.
+    \item
+        Der Sierpinski"=Raum $(\{0,1\}),\{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}\})$ ist kein Hausdorff"=Raum.
+    \item
+        Sei $X = \prod_{i ∈ I} X_i$ ausgestattet mit dem Produkt $\T$ der Topologien
+        $(T_i)_{i ∈ I}$. $(X,\T)$ ist hausdorffsch genau dann, wenn alle $(X_i,
+        \T_i)$ hausdorffsch sind.
+    \item
+        Ist $(X,\T)$ ein Hausdorff Raum und $Y ⊂ X$, dann ist auch $(Y,\T|Y)$ hausdorffsch.
+    \end{enumerate}
+\end{beispiele-nn}
+
+\begin{definition}[Konvergenz]
+	Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$,
+	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ ein $n_{0} \in \N$ existiert, 
+	sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung-nn}
+	Man überlegt sich leicht, dass der Grenzwert $x_{0}$ in der Regel nicht eindeutig ist.
+	Bsp: In $\T=\{X,\emptyset\}$ konvergiert jede Folge gegen jeden Punkt.
+	Ist $(X,\T)$ jedoch ein Hausdorff-Raum, so ist jeder Grenzwert eindeutig.
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{beweis}
+	Seien $x_{0} \neq x'_{0}$ Grenzwerte von $(x_{n})_{n \in \N} \subset X$.
+	Dann existieren disjunkte Umgebungen $U,U' ∈ \U_{x_0}$.
+	Weiterhin gibt es ein $n_{0} \in \N$, so dass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$
+	und $n_0' \in \N$, so dass $x_{n} \in U'$ für alle $n \geq n_0'$.
+	Also gilt $x_{\max\{n_0,n'_0\}} \in U \cap U'$
+	Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen.
+\end{beweis}
+
+\begin{definition}[Häufungspunkt]
+	$x_{0} \in X$ heißt Häufungspunkt von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$,
+	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ und für alle $k \in \N$ 
+	ein $n \geq k \in \N$ existiert, so dass $x_{n} \in U$.
+\end{definition}
+\begin{beispiel-nn}
+	Wir betrachten $\R$ mit der natürlichen Topologie.
+	$(x_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $x_n=(-1)^n$ hat zwei Häufungspunkte $\pm 1$.
+	Die Menge aller Folgenglieder $M=\{x_{n}:n \in \N\}=\{-1,1\}$ hat als Menge jedoch keine Häufungspunkte.
+\end{beispiel-nn}
+\begin{bemerkung-nn}
+	Für die indiskrete Topologie ist jeder Punkt in $X$ Häufungspunkt jeder Folge.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{definition}[Stetigkeit]
+    Seien $(X, \T_X)$ und $(Y, \T_Y)$ topologische Räume, $f: X → Y$.
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Sei $x_0 ∈ X$.
+        $f$ heißt \emph{stetig in $x_0$}, falls für jede Umgebung $V$ von $f(x_0)$ das Urbild $f^{-1}(V)$ eine Umgebung von $x_0$ ist.
+    \item
+        $f$ heißt \emph{stetig}, falls für alle $V \in \T_{Y}$ gilt, dass $f^{-1}(V) \in \T_{X}$.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{bemerkung-nn}
+	$f$ ist genau dann stetig, wenn $f$ in jedem Punkt stetig ist.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{definition}[Homöomorphismus]
+	Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv, stetig,
+	und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig,
+	dann heißt $f$ (und $f^{-1}$) \emph{Homöomorphismus}.
+	$X$ und $Y$ heißen \emph{homöomorph}, falls so ein Homöomorphismus
+existiert.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen]
+	\begin{enumerate}
+	\item
+	Eine Familie $B \subset \T$ heißt Basis der Topologie in $(X,\T)$, falls $T= \{\bigcup M: M \subset B\}$.
+	\item
+	Eine Familie $B \subset \U_{x}$ von $x \in X$ heißt Umgebungsbasis des Punktes $x$, falls für alle $U \in \T, x \in U$ existiert ein $V \in B$ mit $x \in V \in U$. 
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{beispiel-nn}
+	Für die natürliche Topologie auf $\R^n$ ist eine Basis der Topologie gegeben durch
+	${B_{\eps}(x): x \in X, \eps > 0}$ 
+	mit den offenen Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \norm{x-y}<\eps}$.
+	Sei $x \in \R^n$ fest. 
+	Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie]
+	$M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise
+	zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' \coloneq \{M \cap V : V \in \T\}$.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung-nn}
+	$M = M \cap X \in \T'$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie.
+	Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{definition}
+	Seien zwei Topologien $\T_{1},\T_{2}$ auf X gegeben. 
+	Wir sagen $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \supset \T_{2}$.
+	Wir sagen $\T_{1}$ ist gröber als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \subset \T_{2}$.
+	Wir sagen die Topologien sind gleich, falls $\T_{1}=\T_{2}$.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung-nn}
+	Sei $\T_{1}$ feiner als $\T_{2}$.
+	Die feinere Topologie $\T_{1}$ enthält mehr offene Mengen, 
+	und damit zu jedem Grenzwert $x_{0}$ weniger konvergte Folgen.
+	
+	Man zeigt leicht: 
+	$\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$ $\Longleftrightarrow$ 
+	Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \subset T_{1},B_{2} \subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, 
+	dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{beispiel-nn}
+	Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich.
+	$\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln 
+	$B_{\eps}(x)=\{y \in R^n : \norm{x-y}<\eps\}$ erzeugt wird.
+	$\T_{2}$ sei die Topologie, die durch die Quader 
+	$B_{\eps}(x)=\{y \in R^n : \max_{1 \leq i \leq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps\}$ erzeugt wird.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{definition}[Produkttopologie]
+	Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume.
+	Dann ist die Familie von Mengen
+    \[
+	\{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset \Pot{X \times Y}
+    \]
+	eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$.
+	Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden.
+\end{definition}
+
+\section{Metrische Räume}
+\begin{definition}[Pseudometrik, Metrik]
+\label{defi:metrik}
+    Sei $X$ eine Menge. $d: X × X → \R$ heißt \emph{Pseudometrik}, wenn $d$ den
+    folgenden Axiomen genügt:
+    \begin{enumerate}[series=metrik,label=(\textbf{M.\arabic*}),ref=M.\arabic*]
+        \item \label{defi:metrik:m1}
+              Für alle $x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) \ge 0$ und $d(x,x) = 0$.
+        \item \label{defi:metrik:m2:symmetrie}
+              \emph{Symmetrie:} Für alle $ x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) = d(y,x)$.
+        \item \label{defi:metrik:m3:dreiecksungleichung}
+              \emph{Dreiecksungleichung:} Für alle $x, y, z ∈ X$ gilt $d(x,y)
+              \le d(x,y) + d(z,y)$.
+    \end{enumerate}
+    $d$ heißt \emph{Metrik}, falls es zusätzlich
+    \begin{enumerate}[resume=metrik,label=(\textbf{M.\arabic*}),ref=M.\arabic*]
+        \item \label{defi:metrik:m4:posdef}
+              $d(x,y) = 0 \implies x = y$
+    \end{enumerate}
+    erfüllt. $(X,d)$ heißt dann (pseudo-)metrischer Raum. Zu $x ∈ X$ und $r > 0$
+    definieren wir die \emph{offene Kugel um $x$ mit Radius $r$} als
+    \[
+        B_r(x) \coloneq B^d_r(x) \coloneq \{ y ∈ X: d(x,y) < r\}.
+    \]
+    Die Menge
+    \[
+        \cl{B_r}(x) \coloneq \{y ∈ X: d(x,y) \le r\}
+    \]
+    heißt \emph{abgeschlossene Kugel}.
+\end{definition}
+\begin{satz}
+    Sei $(X,d)$ pseudometrischer Raum. Dann wird durch
+    \[
+        U ∈ \T_d :\Longleftrightarrow ∀ x ∈ U ∃ ε > 0: B_ε(x) ⊂ U
+    \]
+    eine Topologie $\T_d$ definiert, die \emph{von $d$ induzierte Topologie} auf
+    $X$. Die Kugeln $B_r(x)$ für $x ∈ X$ und $r > 0$ sind offen bezüglich dieser
+    Topologie. Ein topologischer Raum $(X,\T)$ heißt
+    \emph{(pseudometrisierbar}, wenn es eine (Pseudo-)Metrik $d$ mit $\T =
+    \T_d$ gibt.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Sei zunächst $\mathfrak M ⊂ \T_d$ und $x ∈ \bigcup \mathfrak M$. Dann gibt es
+    $x ∈ M ∈ \mathfrak M$, da $M$ offen ist, enthält $M$ einen Ball $B_ε(x)$. Somit auch
+    $B_ε(x) ⊂ M ⊂ \bigcup \mathfrak M$. Da dies für alle $x ∈ \bigcup \mathfrak M$ gilt, ist $\bigcup \mathfrak M$ offen.
+
+    Sei nun $\mathfrak M ⊂ \T_d$ endlich und $x ∈ \bigcap \mathfrak M$. Dann
+    gibt es zu jedem $M_i ∈ \mathfrak M$ ein $ε_i > 0$ mit $B_{ε_i}(x) ⊂ M_i$. Somit ist
+    für $ε \coloneq \min\limits_{i} ε_i $ auch $B_ε(x) ⊂ \bigcup \mathfrak M$.
+    Also ist $\T_d$ eine Topologie.
+
+    Jetzt zu $B_r(x) ∈ \T_d$. Sei dazu $y ∈ B_r(x)$, also $δ \coloneq r - d(x,y) > 0$
+    Sei $z ∈ B_δ(y)$, also $d(z,y) < δ$. Mit der Dreiecksungleichung ist dann
+    $d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) = d(x,y) + r - d(x,y) = r$. Also $y ∈ B_δ(y) ⊂ B_r(x)$.
+\end{proof}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Die abgeschlossene Kugel $\cl B_r (x)$ ist im Allgemeinen nicht der Abschluss der offenen Kugel $B_r(x)$, aber es gilt immer
+    \[
+        \cl{B_r(x)} ⊂ \cl{B_r}(x).
+    \]
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{satz}
+    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
+    Dann genügt $(X,\T_d)$ dem $T_2$-Axiom.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Seien $x \ne y ∈ X$. Dann ist $δ \coloneq d(x,y) > 0$.
+    Dann sind $B_{δ/2}(x)$ und $B_{δ/2}(y)$ disjunkte Umgebungen von $x$ bzw $y$:
+    Sei $z ∈ B_{δ/2}(x)$. Dann ist
+    \[
+        d(z,y) \ge d(y,x) - d(x,z) > δ - \frac δ 2 = \frac δ 2.
+    \]
+\end{proof}
+\begin{lemma-nn}[Eigenschaften metrischer Räume]
+    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
+    \begin{enumerate}
+    \item Jeder Punkt $x ∈ X$ besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis
+        \[
+            \{ B_{1/n} (x), n ∈ ℕ\}.
+        \]
+
+    \item
+        Es gilt
+        \[
+            \lim_{n \to \infty } x_n = x \; \Longleftrightarrow \; \lim_{n→\infty } d(x,x_n) = 0.
+        \]
+    \item
+        Es ist $x_0 ∈ M$ genau dann ein innerer Punkt von $M ⊂ X$, wenn ein $\epsilon  > 0$ existiert mit $B_\epsilon (x_0) ⊂ M$.
+    \item
+        $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder Kugel
+$B_\epsilon (x_0)$ mit $x_0 ∈ X, \epsilon > 0$ eine Kugel $B_\delta (x_1) ⊂
+B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
+    \item
+        Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume.
+        Dann ist auch $(X×Y,d_{X×Y})$ ein metrischer Raum vermöge der Metrik
+        \[
+            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \coloneq \max\{d_x(x_1,x_2),d_y(y_1,y_2)\}
+        \]
+        oder auch mit 
+        \[
+            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \coloneq \sqrt{d_x^2(x_1,x_2)+d_y^2(y_1,y_2)}.
+        \]
+        Tatsächlich induzieren diese beiden Metriken die gleiche Topologie (nämlich die Produkttopologie)
+    \item
+        Homöomorphismen $f: X → Y$ (für metrische Räume $X, Y$), die die Metrik respektieren, das heißt
+        \[
+            d_X(x_1,x_2) = d_Y(f(x_1),f(x_2)) \quad ∀x_1, x_2 ∈ X
+        \]
+        heißen \emph{Isometrien}.
+    \item
+        Ein metrischer Raum muss im allgemeinen keine lineare Struktur haben.
+        Man betrachte hierzu die Menge $X \coloneq \{1,2,3,4,5,6\}$ mit der diskreten Metrik.
+        Diese kann keine Vektorraumstruktur haben, da $|X| = 6$ keine Primzahlpotenz ist.
+    \end{enumerate}
+\end{lemma-nn}
+\begin{proof}
+Der Beweis wird aufgrund seiner Trivialität den Lesern zur Übung überlassen, da er wirklich nur Einsetzen der Definitionen ist.
+\end{proof}
+
+Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
+\begin{satz}
+    Im metrischen Raum $(X,d)$ sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $K ⊂ X$ ist kompakt (überdeckungskompakt)
+    \item
+        Jede Folge in $K$ besitzt mindestens einen  Häufungspunkt in $K$ (abzählbar kompakt)
+    \item
+        Jede Folge in $K$ besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $K$ (folgenkompakt)
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{bemerkung}
+    Der Satz gilt so im allgemeinen Hausdorff-Raum \emph{nicht}.
+    Für „$(b) \Rightarrow (a)$“ benötigt man zusätzlich das zweite Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz einer abzählbaren Basis der Topologie.
+    Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt  man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt.
+\end{bemerkung}
+
+\section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire}
+\begin{definition}
+    Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $\epsilon  > 0$ ein $N = N(\epsilon )$ existiert mit $d(x_m,x_n) < \epsilon $ für alle $n,m \ge N$.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+    Jede konvergente Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Sei etwa $\lim_{n→∞} x_n = x$. Sei $ε > 0$.
+    Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen $x$ konvergiert, gibt es $N ∈ ℕ$ mit $d(x_n,x)< ε/2$ für alle $n ≥ N$, also mit der Dreiecksungleichung
+    \[
+        ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < \frac ε 2 + \frac ε 2 = ε.
+    \]
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Der metrische Raum $(X,d)$ heißt \emph{vollständig}, falls jede Cauchy-Folge in $(X,d)$ konvergiert.
+\end{definition}
+
+Nicht jeder metrische Raum braucht vollständig zu sein (man betrachte hierfür z.B. $ℚ$ und die Folge der Partialsummen der Dezimalbruchentwicklung von $\sqrt 2$),
+jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
+
+\begin{satz}
+    Jeder metrische Raum $(X,d)$ lässt sich in einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten kleinsten vollständigen metrischen Raum $(\tilde X, \tilde d)$ einbetten.
+    Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$.
+    Hierdurch ist eine Äquivalenzrelation definiiert. Sei $[(x_n)_{n ∈ ℕ}]$ die vom Repräsententaten $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ erzeugte Klasse. Man setzt
+    \[
+        \tilde X \coloneq \{ [ (x_n)_{n ∈ ℕ}] : (x_n)_{n ∈ ℕ} \text{ ist Cauchy-Folge in }(X,d)\}
+    \]
+    und
+    \[
+        \tilde d([(x_n)_{n ∈ ℕ}],[(y_n)_{n ∈ ℕ}]) \coloneq \lim_{n → \infty } d(x_n,y_n).
+    \]
+    Dann ist $(d(x_n,y_n))_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $ℝ$, da
+    \[
+        |d(x_n,x_m) - d(y_m,y_m) | \le \underbrace{d(x_n,x_m)}_{→ 0} + \underbrace{d(y_n,y_m)}_{→ 0}.
+    \]
+    Da $ℝ$ bekanntlich vollständig ist, existiert somit der Grenzwert.
+    Ferner ist $\tilde d$ Repräsentatenunabhängig, also wohldefiniert:
+    Seien $(\tilde x_n)$ und $(\tilde y_n)$ andere Repräsentaten. Dann ist
+    \[
+        d(x_n,y_n) \le \underbrace{d(x_n,\tilde x_n)}_{→ 0} + d(\tilde x_n,\tilde y_n) + \underbrace{d(\tilde y_n, y_n)}_{→ 0}.
+    \]
+    Die umgekehrte Ungleichung ergibt sich aus Vertauschung der Rollen. Man rechnet leicht nach, dass $(\tilde X, \tilde d)$ ein vollständiger Raum ist.
+    Wir können $(X,d)$ durch die entsprechenden konstanten Folgen isometrisch in $\tilde X$ einbetten.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Wendet man diese Technik auf $ℚ$ mit der natürlichen Metrik an, dann erhält man $(ℝ,d)$ als vollständige Hülle.
+    Man beachte jedoch, dass dies nicht für die Konstruktion von $ℝ$ ausreicht, da hier schon die Existenz von $ℝ$ verwenden wird -- Aber das funktioniert größtenteils analog.
+\end{bemerkung-nn}
+
+
+\begin{satz}[Schachtelsatz]\label{schachtelsatz}
+    Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und seien
+    $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty ) $ Folgen mit der Eigenschaft
+    \begin{enumerate}
+    \item $\cl B_{r_{n+1}}(x_{n+1}) ⊂ B_{r_n} (x_n)$
+    \item $\lim_{n \to \infty } r_n = 0$.
+    \end{enumerate}
+    Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n} (x_n)$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+
+    Für $p ∈ ℕ$ beliebig gilt
+    \[
+        \cl B_{r_{n+p}} (x_{n+p}) ⊂ \cl B_{r_n} (x_n).
+    \]
+    Also
+    \[
+        d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
+    \]
+    Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$.
+    Außerdem gilt
+    \[
+        d(x_p,x_n) \le \underbrace{d(x_0, x_{n+p})}_{→ 0 (p → \infty )} + \underbrace{d(x_{n+p},x_n)}_{ \le r_n}.
+    \]
+    Damit folgt für $p → \infty $
+    \[
+        d(x_0, x_n) \le r_n \quad ∀ n ∈ ℕ
+    \]
+    also $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$.
+    Für die Eindeutigkeit sei $\tilde x_0$ ebenfalls in $\bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$.
+    Dann folgt
+    \[
+        d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
+    \]
+    Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ heißt \emph{von erster Kategorie} oder  \emph{mager}, falls sie
+     die Vereinigung abzählbar vieler in $X$ nirgends dichter Mengen ist. Andernfalls heißt $M$ \emph{von zweiter Kategorie}.
+\end{definition}
+
+Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B beim Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder dem Open-Mapping-Theorem.
+
+
+\begin{satz}[Baire]\label{baire}
+    Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst)
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Sei  $ \emptyset \ne M ⊂ X$ offen. Wir nehmen umgekehrt an, $M$ wäre von erster Kategorie, das heißt
+    \[
+        M ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} M_n
+    \]
+    mit $M_n ⊂ X$ nirgends dicht. Wähle $x_0 ∈ M$. Da $M$ offen ist, gibt es ein $r = r_0 > 0$ mit $B_{r_0}(x_0) ⊂ M$.
+    Da $M_1$ nirgends dicht ist, gibt es $r_1 > 0$ und $x_1 ∈ X$ mit
+    \[
+        B_{r_1}(x_1) ⊂ B_{r_0/2} (x_0)
+    \]
+    und $B_{r_1}(x_1) ∩ M_1 = \emptyset$.
+    Analog finden wir, da $M_2$ nirgends dicht ist, $r_2 > 0$ und $x_2 ∈ X$ mit
+    \[
+        B_{r_2}(x_2) ⊂ B_{r_1/2} (x_1)
+    \]
+    und $B_{r_2}(x_2) ∩ M_2 = \emptyset$.
+    Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty )$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$.
+    Damit sind alle Voraussetzungen von \cref{schachtelsatz} erfüllt. Folglich existiert genau ein
+    \[
+        \tilde x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} B_{r_n} (x_n) ⊂ B_r(x_0) ⊂ M.
+    \]
+    Aber $\tilde x \not\in M_n$ für alle $n ∈ ℕ$ Folglich ist auch $\tilde x$ nicht in $\bigcup_{n ∈ ℕ} M_n = M$. Das ist ein Widerspruch. Also ist $M$ von zweiter Kategorie.
+\end{proof}
+
+% \begin{satz}[Satz von Baire]\label{44-baire}
+%     Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff\hyp{}Raum
+%     \begin{enumerate}
+%     \item
+%         Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$.
+%         Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht.
+%     \item
+%         Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist
+%         $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$.
+%     \item
+%         Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit
+%         $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ
+%         \ne \emptyset$.
+%     \end{enumerate}
+% \end{satz}
+% \begin{proof}
+%     \begin{enumerate}
+%     \item
+%         Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne
+%         \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik
+%         $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$
+%         und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv
+%         Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden
+%         Eigenschaften:
+%         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+%         \item
+%             $0 < r_n < \frac 1 n$
+%         \item
+%             $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$
+%         \end{enumerate}
+%         Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen
+%         ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon  > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩
+%         B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon  2$ ist wie gewünscht. Für $m
+%         \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt,
+%         dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit
+%         konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m >
+%         N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass
+%         \begin{align*}
+%           x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
+%           & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W,
+%           \end{align*}
+%         also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$.
+
+%         Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es
+%         $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt
+%         mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen
+%         $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften:
+%         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+%         \item
+%             $B_k ⊂ B_{k-1}$
+%         \item
+%             $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$.
+%         \end{enumerate}
+%         Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und
+%         der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und
+%         nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch
+%         eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$.
+%         Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge
+%         $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft.
+%         Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$
+%         abgeschlossen, somit folgt 
+%         \[
+%             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k
+%         \]
+%         sowie
+%         \[
+%             \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W.
+%         \]
+%         Insgesamt also
+%         \[
+%             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W.
+%         \]
+%     \item
+%         Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und
+%         dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und
+%         somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n
+%         ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$.
+%     \item
+%         Das ist eine direkte Konsequenz aus (b).
+%     \end{enumerate}
+% \end{proof}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "funkana-ebook"
+%%% End:
-- 
cgit v1.2.3-24-g4f1b

