From 883baa0409e0f1f86f40277cc9af3244f427842d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Thu, 28 Dec 2017 00:29:50 +0100
Subject: ersten beiden Kapitel indiziert

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 ch02-topologie.tex | 310 +++++++++++++++++++++++++++++++----------------------
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+++ b/ch02-topologie.tex
@@ -1,63 +1,86 @@
 \chapter{Topologie}
+\label{cha:topologie}
 \section{Topologische Räume}
-\begin{definition}
-    Sei $X$ eine Menge und $\mathcal T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$.
-    $\mathcal T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\mathcal T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.
-    Insbesondere muss $\mathcal T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten.
+\label{sec:topologische-raume}
+\begin{definition}[Topologischer Raum, offene Mengen]
+    \index{Raum!topologischer}
+    \index{Struktur!topologische}
+    \index{offen}
+    \index{Topologie}
+    \label{defi:top-raum-2.1.1}
+    Sei $X$ eine Menge und $\T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$.
+    $\T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.
+    Insbesondere muss $\T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten.
     $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen}
 \end{definition}
 \begin{beispiele-nn}
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
         \item
+            \index{Topologie!indiskrete}
+            \index{Topologie!Klumpen-}
               Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}.
         \item
+            \index{Topologie!diskrete}
               Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$.
         \item
+            \index{Topologie!natürliche}
             In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $\epsilon  > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < \epsilon $ auch $y ∈ U$ gilt.
             Aus der Analysis ist bekannt, dass die so definierten offenen Mengen den Axiomen genügen.
             Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt.
         \item
+            \index{Topologie!cofinite}
               Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf
               $X$ wird definiert als
               \[
                   \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\}
               \]
         \item
+            \index{Raum!Sierpinski-}
               Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$.
     \end{enumerate}
 \end{beispiele-nn}
-
 \begin{definition}
+    \label{defi:top-grundbegriffe-2.1.2}
     Sei $M ⊂ X$.
     \begin{enumerate}
     \item
+        \index{abgeschlossen}
         $M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $X \setminus  M$ offen ist.
     \item
+        \index{Umgebung}
         $U ⊂ X$ heißt \emph{Umgebung von $A$}, wenn es eine offene Menge $V$ gibt mit $A ⊂ V ⊂ U$. Wir setzen
         \[
             \U_A \coloneq \U_A (\T) \coloneq \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}.
         \]
+        \index{Umgebungssystem}
+        \index{Umgebungsfilter}
         $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$.
         Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x \coloneq \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$.
     \item
+        \index{Häufungspunkt}
         $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$.
     \item
+        \index{Inneres}
         Das \emph{Innere von M} ist
         \[
             \operatorname{int} M \coloneq M^\circ \coloneq \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\}
         \]
         die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist.
     \item
+        \index{Abschluss}
         Der \emph{Abschluss von} M ist
         \[
             \operatorname{cl} M \coloneq \cl M \coloneq \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\}
         \]
         die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält.
     \item
+        \index{kompakt}
         $M$ heißt \emph{kompakt}, falls jede offene Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
     \item
+        \index{dicht}
         $M$ heißt \emph{dicht}, falls $\cl M = X$.
     \item
+        \index{dicht!nirgends}
         $M$ heißt \emph{nirgends dicht}, falls $(\cl M)^\circ = \emptyset$.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -70,21 +93,21 @@
         $M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M = \cl M$.
     \end{enumerate}
 \end{bemerkung}
-
-
 \begin{definition}[Hausdorff-Raum]
+    \index{Raum!Hausdorff-}
+    \label{defi:hausdorff-raum-2.1.4}
 	Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum.
 	Für alle $x,y \in X$ mit $x \neq y$ 
 	existieren $U \in \U_x, V \in \U_x$ mit $U \cap V = \emptyset$.
 	Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem $T_2$-Axiom.
 \end{definition}
-
 \begin{beispiele-nn}
     \begin{enumerate}
     \item
         Ein Pseudometrischer Raum $(X,d)$ ist Hausdorff"=Raum genau dann, wenn
         $d$ eine Metrik ist.
     \item
+        \index{Raum!Sierpinski-}
         Der Sierpinski"=Raum $(\{0,1\}),\{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}\})$ ist kein Hausdorff"=Raum.
     \item
         Sei $X = \prod_{i ∈ I} X_i$ ausgestattet mit dem Produkt $\T$ der Topologien
@@ -96,6 +119,8 @@
 \end{beispiele-nn}
 
 \begin{definition}[Konvergenz]
+    \index{Folge!konvergent}
+    \label{defi:konvergenz-2.1.5}
 	Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$,
 	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ ein $n_{0} \in \N$ existiert, 
 	sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$.
@@ -113,8 +138,9 @@
 	Also gilt $x_{\max\{n_0,n'_0\}} \in U \cap U'$
 	Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen.
 \end{beweis}
-
 \begin{definition}[Häufungspunkt]
+    \index{Häufungspunkt}
+    \label{defi:haeufungspunkt-2.1.6}
 	$x_{0} \in X$ heißt Häufungspunkt von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$,
 	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ und für alle $k \in \N$ 
 	ein $n \geq k \in \N$ existiert, so dass $x_{n} \in U$.
@@ -127,8 +153,10 @@
 \begin{bemerkung-nn}
 	Für die indiskrete Topologie ist jeder Punkt in $X$ Häufungspunkt jeder Folge.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{definition}[Stetigkeit]
+    \index{stetig}
+    \index{Abbildung!stetige}
+    \label{defi:stetigkeit-2.1.7}
     Seien $(X, \T_X)$ und $(Y, \T_Y)$ topologische Räume, $f: X → Y$.
     \begin{enumerate}
     \item
@@ -141,16 +169,19 @@
 \begin{bemerkung-nn}
 	$f$ ist genau dann stetig, wenn $f$ in jedem Punkt stetig ist.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{definition}[Homöomorphismus]
+    \index{Homöomorphismus}
+    \label{defi:homoeomorphismus-2.1.8}
 	Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv, stetig,
 	und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig,
 	dann heißt $f$ (und $f^{-1}$) \emph{Homöomorphismus}.
 	$X$ und $Y$ heißen \emph{homöomorph}, falls so ein Homöomorphismus
 existiert.
 \end{definition}
-
 \begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen]
+    \index{Basis!der Topologie}
+    \index{Basis!Umgebungs-}
+    \label{defi:basis-top-umgebung-2.1.9}
 	\begin{enumerate}
 	\item
 	Eine Familie $B \subset \T$ heißt Basis der Topologie in $(X,\T)$, falls $T= \{\bigcup M: M \subset B\}$.
@@ -165,8 +196,10 @@ existiert.
 	Sei $x \in \R^n$ fest. 
 	Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x
 \end{beispiel-nn}
-
 \begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie]
+    \index{Topologie!Relativ-}
+    \index{Topologie!Spur-}
+    \label{defi:relativtop-2.1.10}
 	$M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise
 	zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' \coloneq \{M \cap V : V \in \T\}$.
 \end{definition}
@@ -174,8 +207,10 @@ existiert.
 	$M = M \cap X \in \T'$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie.
 	Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{definition}
+    \index{Topologie!feiner}
+    \index{Topologie!gröber}
+    \label{defi:top-feiner-groeber-2.1.11}
 	Seien zwei Topologien $\T_{1},\T_{2}$ auf X gegeben. 
 	Wir sagen $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \supset \T_{2}$.
 	Wir sagen $\T_{1}$ ist gröber als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \subset \T_{2}$.
@@ -191,7 +226,6 @@ existiert.
 	Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \subset T_{1},B_{2} \subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, 
 	dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{beispiel-nn}
 	Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich.
 	$\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln 
@@ -199,8 +233,8 @@ existiert.
 	$\T_{2}$ sei die Topologie, die durch die Quader 
 	$B_{\eps}(x)=\{y \in R^n : \max_{1 \leq i \leq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps\}$ erzeugt wird.
 \end{beispiel-nn}
-
 \begin{definition}[Produkttopologie]
+    \index{Topologie!Produkt-}
 	Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume.
 	Dann ist die Familie von Mengen
     \[
@@ -209,26 +243,31 @@ existiert.
 	eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$.
 	Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden.
 \end{definition}
-
 \section{Metrische Räume}
+\index{Raum!metrischer}
+\label{sec:metrische-raume}
 \begin{definition}[Pseudometrik, Metrik]
-\label{defi:metrik}
+    \index{Metrik}
+    \index{Pseudometrik}
+    \label{defi:metrik-2.2.1}
     Sei $X$ eine Menge. $d: X × X → \R$ heißt \emph{Pseudometrik}, wenn $d$ den
     folgenden Axiomen genügt:
-    \begin{enumerate}[series=metrik,label=(\textbf{M.\arabic*}),ref=M.\arabic*]
-        \item \label{defi:metrik:m1}
+    \begin{enumerate}[series=metrik,label=(M\arabic*)]
+        \item
               Für alle $x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) \ge 0$ und $d(x,x) = 0$.
-        \item \label{defi:metrik:m2:symmetrie}
+        \item
               \emph{Symmetrie:} Für alle $ x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) = d(y,x)$.
-        \item \label{defi:metrik:m3:dreiecksungleichung}
+        \item
+              \index{Dreiecksungleichung}
               \emph{Dreiecksungleichung:} Für alle $x, y, z ∈ X$ gilt $d(x,y)
               \le d(x,y) + d(z,y)$.
     \end{enumerate}
     $d$ heißt \emph{Metrik}, falls es zusätzlich
-    \begin{enumerate}[resume=metrik,label=(\textbf{M.\arabic*}),ref=M.\arabic*]
-        \item \label{defi:metrik:m4:posdef}
+    \begin{enumerate}[resume=metrik,label=(M\arabic*)]
+        \item
               $d(x,y) = 0 \implies x = y$
     \end{enumerate}
+    \index{Kugel!offene}
     erfüllt. $(X,d)$ heißt dann (pseudo-)metrischer Raum. Zu $x ∈ X$ und $r > 0$
     definieren wir die \emph{offene Kugel um $x$ mit Radius $r$} als
     \[
@@ -238,9 +277,11 @@ existiert.
     \[
         \cl{B_r}(x) \coloneq \{y ∈ X: d(x,y) \le r\}
     \]
+    \index{Kugel!abgeschlossene}
     heißt \emph{abgeschlossene Kugel}.
 \end{definition}
 \begin{satz}
+    \label{satz:metrik-induziert-top-2.2.2}
     Sei $(X,d)$ pseudometrischer Raum. Dann wird durch
     \[
         U ∈ \T_d :\Longleftrightarrow ∀ x ∈ U ∃ ε > 0: B_ε(x) ⊂ U
@@ -272,6 +313,7 @@ existiert.
     \]
 \end{bemerkung-nn}
 \begin{satz}
+    \label{satz:metr-raum-ist-t2-2.2.3}
     Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
     Dann genügt $(X,\T_d)$ dem $T_2$-Axiom.
 \end{satz}
@@ -290,7 +332,6 @@ existiert.
         \[
             \{ B_{1/n} (x), n ∈ ℕ\}.
         \]
-
     \item
         Es gilt
         \[
@@ -319,6 +360,7 @@ B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
             d_X(x_1,x_2) = d_Y(f(x_1),f(x_2)) \quad ∀x_1, x_2 ∈ X
         \]
         heißen \emph{Isometrien}.
+        \index{Isometrie}
     \item
         Ein metrischer Raum muss im allgemeinen keine lineare Struktur haben.
         Man betrachte hierzu die Menge $X \coloneq \{1,2,3,4,5,6\}$ mit der diskreten Metrik.
@@ -328,32 +370,39 @@ B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
 \begin{noproof}
 Der Beweis wird aufgrund seiner Trivialität den Lesern zur Übung überlassen, da er wirklich nur Einsetzen der Definitionen ist.
 \end{noproof}
-
 Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
 \begin{satz}
+    \index{kompakt}
+    \label{satz:metr-raum-kompaktheit-aequ-charakt-2.2.4}
     Im metrischen Raum $(X,d)$ sind äquivalent:
     \begin{enumerate}
     \item
+        \index{kompakt!überdeckungs!}
         $K ⊂ X$ ist kompakt (überdeckungskompakt)
     \item
         Jede Folge in $K$ besitzt mindestens einen  Häufungspunkt in $K$ (abzählbar kompakt)
     \item
+        \index{kompakt!folgen-}
         Jede Folge in $K$ besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $K$ (folgenkompakt)
     \end{enumerate}
 \end{satz}
-
 \begin{bemerkung}
     Der Satz gilt so im allgemeinen Hausdorff-Raum \emph{nicht}.
+    \index{Abzählbarkeitsaxiom!erstes}
     Für „$(b) \Rightarrow (a)$“ benötigt man zusätzlich das zweite Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz einer abzählbaren Basis der Topologie.
+    \index{Abzählbarkeitsaxiom!zweites}
     Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt  man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt.
 \end{bemerkung}
 
 \section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire}
-\begin{definition}
+\label{sec:vollst-metr-raum}
+\begin{definition}[Cauchy-Folge]
+    \index{Folge!Cauchy-}
+    \label{defi-cauchy-folge-2.3.1}
     Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $\epsilon  > 0$ ein $N = N(\epsilon )$ existiert mit $d(x_m,x_n) < \epsilon $ für alle $n,m \ge N$.
 \end{definition}
-
 \begin{lemma}
+    \label{lemma:konv-folge-ist-cauchy-2.3.2}
     Jede konvergente Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
@@ -363,15 +412,17 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
         ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < \frac ε 2 + \frac ε 2 = ε.
     \]
 \end{proof}
-
-\begin{definition}
+\begin{definition}[vollständiger metrischer Raum]
+    \label{defi:vollst-metrisch-raum-2.3.3}
+    \index{Raum!vollständiger metrischer}
+    \index{vollständig}
     Der metrische Raum $(X,d)$ heißt \emph{vollständig}, falls jede Cauchy-Folge in $(X,d)$ konvergiert.
 \end{definition}
-
 Nicht jeder metrische Raum braucht vollständig zu sein (man betrachte hierfür z.B. $ℚ$ und die Folge der Partialsummen der Dezimalbruchentwicklung von $\sqrt 2$),
 jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
-
 \begin{satz}
+    \label{satz:metr-raum-vervollstd-2.3.4}
+    \index{Vervollständigung}
     Jeder metrische Raum $(X,d)$ lässt sich in einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten kleinsten vollständigen metrischen Raum $(\tilde X, \tilde d)$ einbetten.
     Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$.
 \end{satz}
@@ -397,15 +448,15 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     \]
     Die umgekehrte Ungleichung ergibt sich aus Vertauschung der Rollen. Man rechnet leicht nach, dass $(\tilde X, \tilde d)$ ein vollständiger Raum ist.
     Wir können $(X,d)$ durch die entsprechenden konstanten Folgen isometrisch in $\tilde X$ einbetten.
+    \todo{Hier fehlt noch was.}
 \end{proof}
-
 \begin{bemerkung-nn}
     Wendet man diese Technik auf $ℚ$ mit der natürlichen Metrik an, dann erhält man $(ℝ,d)$ als vollständige Hülle.
     Man beachte jedoch, dass dies nicht für die Konstruktion von $ℝ$ ausreicht, da hier schon die Existenz von $ℝ$ verwenden wird -- Aber das funktioniert größtenteils analog.
 \end{bemerkung-nn}
-
-
-\begin{satz}[Schachtelsatz]\label{schachtelsatz}
+\begin{satz}[Schachtelsatz]
+    \label{satz:schachtelsatz-2.3.5}
+    \index{Satz!Schachtel-}
     Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und seien
     $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty ) $ Folgen mit der Eigenschaft
     \begin{enumerate}
@@ -415,7 +466,6 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n} (x_n)$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-
     Für $p ∈ ℕ$ beliebig gilt
     \[
         \cl B_{r_{n+p}} (x_{n+p}) ⊂ \cl B_{r_n} (x_n).
@@ -424,7 +474,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     \[
         d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
     \]
-    Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$.
+    Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$, da $X$ vollständig ist.
     Außerdem gilt
     \[
         d(x_p,x_n) \le \underbrace{d(x_0, x_{n+p})}_{→ 0 (p → \infty )} + \underbrace{d(x_{n+p},x_n)}_{ \le r_n}.
@@ -441,17 +491,20 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     \]
     Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$.
 \end{proof}
-
-\begin{definition}
+\begin{definition}[mager, Menge von erster Kategorie, Menge von zweiter Kategorie]
+    \label{defi:mager-2.3.6}
+    \index{mager}
+    \index{Kategorie!erste}
+    \index{Kategorie!zweite}
     Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ heißt \emph{von erster Kategorie} oder  \emph{mager}, falls sie
      die Vereinigung abzählbar vieler in $X$ nirgends dichter Mengen ist. Andernfalls heißt $M$ \emph{von zweiter Kategorie}.
 \end{definition}
-
 Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B beim Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder dem Open-Mapping-Theorem.
-
-
-\begin{satz}[Baire]\label{baire}
-    Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst)
+\begin{satz}[Baire]
+    \label{satz:bcd-2.3.7}
+    \index{Satz!von Baire}
+    \index{BCT}
+    Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst).
 \end{satz}
 \begin{proof}
     Sei  $ \emptyset \ne M ⊂ X$ offen. Wir nehmen umgekehrt an, $M$ wäre von erster Kategorie, das heißt
@@ -476,88 +529,89 @@ Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B
     \]
     Aber $\tilde x \not\in M_n$ für alle $n ∈ ℕ$ Folglich ist auch $\tilde x$ nicht in $\bigcup_{n ∈ ℕ} M_n = M$. Das ist ein Widerspruch. Also ist $M$ von zweiter Kategorie.
 \end{proof}
-
-% \begin{satz}[Satz von Baire]\label{44-baire}
-%     Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff\hyp{}Raum
-%     \begin{enumerate}
-%     \item
-%         Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$.
-%         Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht.
-%     \item
-%         Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist
-%         $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$.
-%     \item
-%         Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit
-%         $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ
-%         \ne \emptyset$.
-%     \end{enumerate}
-% \end{satz}
-% \begin{proof}
-%     \begin{enumerate}
-%     \item
-%         Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne
-%         \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik
-%         $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$
-%         und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv
-%         Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden
-%         Eigenschaften:
-%         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
-%         \item
-%             $0 < r_n < \frac 1 n$
-%         \item
-%             $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$
-%         \end{enumerate}
-%         Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen
-%         ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon  > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩
-%         B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon  2$ ist wie gewünscht. Für $m
-%         \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt,
-%         dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit
-%         konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m >
-%         N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass
-%         \begin{align*}
-%           x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
-%           & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W,
-%           \end{align*}
-%         also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$.
-
-%         Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es
-%         $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt
-%         mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen
-%         $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften:
-%         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
-%         \item
-%             $B_k ⊂ B_{k-1}$
-%         \item
-%             $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$.
-%         \end{enumerate}
-%         Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und
-%         der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und
-%         nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch
-%         eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$.
-%         Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge
-%         $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft.
-%         Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$
-%         abgeschlossen, somit folgt 
-%         \[
-%             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k
-%         \]
-%         sowie
-%         \[
-%             \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W.
-%         \]
-%         Insgesamt also
-%         \[
-%             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W.
-%         \]
-%     \item
-%         Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und
-%         dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und
-%         somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n
-%         ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$.
-%     \item
-%         Das ist eine direkte Konsequenz aus (b).
-%     \end{enumerate}
-% \end{proof}
+Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung:
+\begin{satz}[Baire]
+    \label{satz:bct-2.3.8}
+    Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff"=Raum
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$.
+        Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht.
+    \item
+        Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist
+        $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$.
+    \item
+        Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit
+        $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ
+        \ne \emptyset$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne
+        \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik
+        $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$
+        und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv
+        Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden
+        Eigenschaften:
+        \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+        \item
+            $0 < r_n < \frac 1 n$
+        \item
+            $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$
+        \end{enumerate}
+        Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen
+        ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon  > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩
+        B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon  2$ ist wie gewünscht. Für $m
+        \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt,
+        dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit
+        konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m >
+        N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass
+        \begin{align*}
+          x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
+          & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W,
+          \end{align*}
+        also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$.
+
+        Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es
+        $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt
+        mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen
+        $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften:
+        \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+        \item
+            $B_k ⊂ B_{k-1}$
+        \item
+            $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$.
+        \end{enumerate}
+        Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und
+        der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und
+        nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch
+        eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$.
+        Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge
+        $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft.
+        Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$
+        abgeschlossen, somit folgt 
+        \[
+            \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k
+        \]
+        sowie
+        \[
+            \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W.
+        \]
+        Insgesamt also
+        \[
+            \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W.
+        \]
+    \item
+        Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und
+        dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und
+        somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n
+        ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$.
+    \item
+        Das ist eine direkte Konsequenz aus (b).
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
 
 
 %%% Local Variables:
-- 
cgit v1.2.3-24-g4f1b

