From 3de78a26a64b0ee5fc33587a85e9e0aa9c48ec7b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Thu, 21 Dec 2017 15:49:10 +0100
Subject: VL donnerstag hinzugefügt
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@@ -273,7 +273,7 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K ×
     \item
         $|\alpha _nx| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|\alpha _n| → 0$
     \item
-        $|\alpha _nx_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _nx_n| → 0$
+        $|\alpha _nx_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _n| → 0$
     \end{enumerate}
     $(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum.
 \end{definition}
@@ -1231,9 +1231,41 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
 
 
 \section{Stetige lineare Operatoren}
+Seien $X, Y$ topologische lineare Räume und $T: X → Y$ linear.
+Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein:
+
+\begin{beispiel}
+    Sei $X = \mathcal S = ℝ^∞$ und für $i ∈ ℕ$ $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor.
+    Dann ist $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ linear unabhängig, also gibt es nach \cref{01-basisergaenzungssatz} eine Basis $\{w_i\}_{i ∈ I}$ von $S$, die $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ umfasst.
+    Definiere $T: X → ℝ$ linear durch die Bilder der Basisvektoren $T(e_i) \coloneq 1$ und $T(w) \coloneq 0$ für $w ∈ B \setminus \{ e_i\}_{i ∈ ℕ}$.
+    Dann ist $T$ nicht stetig in $0$, denn $f (\lim_{i → ∞} e_i) = f(0) = 0 \ne 1 = \lim_{i → ∞} f(e_i)$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{satz}
+    Seien $X \ne \{ 0\} \ne Y$ normierte oder metrische lineare Räume.
+    Dann gibt es genau dann eine unstetige lineare Abbildung $X → Y$, wenn $\dim X = ∞$ ist
+\end{satz}
+
+\subsection*{Stetigkeit in normierten Räumen}
+\begin{definition}
+    Seien $X, Y$ topologische lineare Räume.
+    Eine Abbildung $F: X → Y$ heißt \emph{beschränkt}, falls das Bild jeder in $X$ beschränkten Menge in $Y$ beschränkt ist.
+\end{definition}
 
 \begin{satz}
-    3.6.4.    
+    Seien $X,Y$ normierte $\K$-Vektorräume, $T: X → Y$ linear und $x^* ∈ X$. Es sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
+    \item
+        $T$ ist stetig.
+    \item
+        $T$ ist stetig in $x^*$.
+    \item
+        $T$ ist beschränkt.
+    \item
+        $\sup\limits_{\norm{x} ≤ 1} \norm{Tx} \eqcolon M < ∞$ .
+    \item
+        Es gibt eine Konstante $C ≥ 0$ mit $\norm{Tx} ≤ C \norm{x}$  für alle $x ∈ X$.
+    \end{enumerate}
 \end{satz}
 Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
 \begin{proof}
-- 
cgit v1.2.3-24-g4f1b

