From 47534da23fc513a3afcdf6504c8b19d41b64f04e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Wed, 27 Dec 2017 19:54:57 +0100
Subject: Ein paar Tippfehler korrigiert.

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 ch03-topologisch-lineare-raeume.tex | 28 ++++++++++++++--------------
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@@ -79,7 +79,7 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
     \]
     und
     \[
-        |\norm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x}
+        |\snorm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x}
     \]
     nach der umgekehrten Dreiecksungleichung.
     Folglich sind die zu betrachtenden Abbildungen alle folgenstetig, und, da metrische Räume stets dem ersten Abzähhlbarkeitsaxiom genügen, auch stetig.
@@ -160,16 +160,16 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
 \begin{lemma}
     Die Translationsoperatoren und Multiplikationsoperatoren sind Homöomorphismen.
 \end{lemma}
-\begin{proof}
-    Das ist klar.
-\end{proof}
+\begin{noproof}
+    ~
+\end{noproof}
 
 \begin{korollar}[Invarianzprinzip]
     Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ ist die Topologie bereits durch die offenen Umgebungen von $0 ∈ X$ bestimmt. Alle anderen offenen Mengen entstehen durch Translation.
 \end{korollar}
-\begin{proof}
-    Das ist klar.
-\end{proof}
+\begin{noproof}
+    ~
+\end{noproof}
 
 \section{Metrische lineare Räume und Quasi-normierte Räume}
 \begin{definition}
@@ -180,7 +180,7 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
     oder äquivalent dazu:
     \[
         ∀x,y ∈ X: d(x,y) = d(x-y, 0).
-k    \]
+    \]
 \end{definition}
 \begin{bemerkung-nn}
     Ohne lineare Struktur macht das gar keinen Sinn!
@@ -246,13 +246,13 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K ×
     Sei dazu $z_n \coloneq x_n - x ∈ X$, $γ_n \coloneq \alpha _n - \alpha  ∈ \K$. Dann ist
     \[
         γ_n z_n + γ_n x + \alpha  z_n = (\alpha _n - \alpha )(x_n-x) + (\alpha _n-\alpha ) x + \alpha (x_n-x)
-        = \alpha _n x_n - \alpha ×.
+        = \alpha _n x_n - \alpha x.
     \]
     Somit ist
     \begin{align*}
         d(\alpha _nx_n,\alpha x) &= d(\alpha nx_n - \alpha x,0) = d(γ_nz_n + γnx + \alpha z_n, 0) \\
         &\le \underbrace{d(γ_nz_n,0)}_{→ 0} + \underbrace{d(γ_nx, 0)}_{→ 0} +
-\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow{n → \infty } 0.
+\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow[n → \infty]{} 0.
     \end{align*}
     Da die Addition ohnehin immer stetig ist, sind wir  fertig.
 \end{proof}
@@ -828,9 +828,9 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
             \]
             sind gleich.
         \end{lemma}
-        \begin{proof}
+        \begin{noproof}
             Übung.
-        \end{proof}
+        \end{noproof}
         \begin{korollar}
             Die Mengen $U_\epsilon$ sind bereits eine Umgebungsbasis der Null.
             Nach Definition sind sie aber auch Konvex, das heißt $(\D(\Omega),\T_\D)$ ist ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum.
@@ -1301,9 +1301,9 @@ Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
     \]
     für alle $x ∈ X$
 \end{korollar}
-\begin{beweis}
+\begin{noproof}
     klar.
-\end{beweis}
+\end{noproof}
 
 \begin{warnung-nn}
     $T$ linear, bijektiv und stetig impliziert selbst in normierten Räumen noch nicht, dass auch die Inverse Abbildung $T^{-1}$ auch stetig ist, wie wir in der Übung sehen werden.
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cgit v1.2.3-24-g4f1b