From 565a46a1bdc5e2d41c84a47adeb95363d36f4129 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sat, 30 Dec 2017 15:01:41 +0100
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@@ -20,30 +20,49 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
     Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$
     heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, \alpha  ∈ K$ gilt:
     \begin{enumerate}
-    \item $\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ (Definitheit)
     \item
+        \index{Definitheit}
+        $\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ (Definitheit)
+    \item
+        \index{Homogenität}
         $\norm{\alpha x} = |\alpha | \norm x$ (Homogenität)
     \item
+        \index{Dreiecksungleichung}
         $\norm{x+y} \le \norm x + \norm y$ (Dreiecksungleichung)
     \end{enumerate}
     $(X,\norm\cdot)$ heißt dann \emph{normierter Raum}.
 \end{definition}
 
-\begin{bemerkung}
+\begin{definition}[Normtopologie]
+    \label{defi:normtopologie-3.1.2}
+    \index{Normtopologie}
     Durch $d(x,y) \coloneq \norm{x-y}$ wird ein normierter Raum auch ein metrischer, also insbesondere auch ein topologischer Raum.
     Diese induzierte Topologie auf $(X, \norm\cdot)$ heißt \emph{Normtopologie}.
+\end{definition}
 
-    Ohne die lineare Struktur macht der normierte Raum gar keinen Sinn, da für die Definition einiger der Normaxiome die Vektorraumoperationen verwendet werden.
-\end{bemerkung}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Man kann nur Normen auf linearen Räumen definieren, denn ohne die lineare Struktur macht der normierte Raum gar keinen Sinn, da für die Definition der Normaxiome die Vektorraumoperationen verwendet werden.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{lemma-nn}
+    \index{Dreiecksungleichung}
+    \label{bem:umgekehrte-dreicksungleichung}
+    In einem normierten Raum $(X,\norm -)$ gilt die \emph{umgekehrte Dreiecksungleichung}
+    \[
+        ∀x,y ∈ X: \big| \snorm x - \snorm y \big| \le \norm{x+y}.
+    \]
+\end{lemma-nn}
 
 \begin{beispiele}
     \begin{enumerate}
     \item 
+        \index{$ℝ^n$}
         Betrachte den $ℝ^n$ mit $\norm x _{p} \coloneq \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$ mit $1 \le p < \infty $ ist ein normierter Raum,
         genauso wie mit $\norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{1 \le i \le n} |x_i|$.
         Insbesondere gibt es im $ℝ^n$ überabzählbar viele verschiedene Normen.
         Wir werden jedoch später sehen, dass diese Normen alle die gleiche Topologie erzeugen.
     \item
+        \index{$C[a,b]$}
         Der Raum aller stetigen Funktionen auf einem kompaktem Intervall $C[a,b]$ mit $\norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{t ∈ [a,b]} |x(t)|$ ist ein normierter Raum.
         Außerdem wird durch
         \[
@@ -51,18 +70,21 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
         \]
         ebenfalls eine Norm definiert.
     \item
+        \index{$C(\cl{Ω})$}
         Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und beschränkt. Dann wird $C(\cl{\Omega})$ mit
         \[
             \norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{t ∈ \cl \Omega} |x(t)|
         \]
         auch zu einem normierten Raum.
     \item
+        \index{$L^p$}
         $L^p(\Omega) = \L^p(\Omega)/\mathcal N$, wobei $\mathcal N = \{ f: \Omega → \R, f(t) = 0 \text{ fast überall}\}$ ist mit 
         \[
             \norm x \coloneq \left(∫_{\Omega} |x(t)|^p dt \right)^{1/p}
         \]
         ein normierter Raum, wobei $1 \le p < \infty $.
     \item
+        \index{$\ell^p$}
         $\ell^p$ mit
         \[
             \norm x _{p} \coloneq \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}
@@ -72,6 +94,7 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
 \end{beispiele}
 
 \begin{lemma}
+    \label{lemma:normierter-raum-ist-top-vr-3.1.4}
     Sei $(X, \norm\cdot)$ ein normierter Raum. Dann sind die Abbildungen $+$, $\cdot$ und $\norm\cdot$ stetig.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
@@ -85,20 +108,24 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
     \]
     und
     \[
-        |\snorm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x}
+        |\snorm{x_n} - \norm{x}| \le \snorm{x_n - x}
     \]
     nach der umgekehrten Dreiecksungleichung.
     Folglich sind die zu betrachtenden Abbildungen alle folgenstetig, und, da metrische Räume stets dem ersten Abzähhlbarkeitsaxiom genügen, auch stetig.
 \end{proof}
 
+Die Wichtigkeit dieser Eigenschaft wollen wir in diesem Korrolar betonen:
+
 \begin{korollar}
+    \label{kor:normierter-raum-ist-top-vr-3.1.5}
     Jeder normierte Raum versehen mit der Normtopologie ist ein topologischer linearer Raum.
     Deshalb ist auch keine Unterscheidung zwischen normierten Räumen und normierten topologischen linearen Räumen nötig.
 \end{korollar}
 
 \section{Topologische lineare Räume}
+\label{sec:topol-line-raume}
 \begin{bemerkung-nn}
-    Hierbei sei stets die Topologie von $X×X$ die Produktopologie, bei den Körpern $\K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases}$ die übliche Topologie.
+    Hierbei sei stets die Topologie von $X×X$ die Produktopologie, bei den Körpern $ℝ$ und $ℂ$ die übliche Topologie.
     Wir schreiben im Folgenden für Mengen $M, M_1, M_2 ⊂ X$ und $\alpha  ⊂ \K$ nun
     \[
         M_1 + M_2 \coloneq s(M_1,M_2) \coloneq \{x+y : x ∈ M_1, y ∈ M_2\},
@@ -109,76 +136,101 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
 \end{bemerkung-nn}
 
 \begin{lemma}
+    \label{lemma:top-raum-mit-lin-struktur-aeq-charak-stetigkeit-addition-3.2.1}
     Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent:
     \begin{enumerate}
-    \item Die Addition $s$ ist stetig.
     \item
-        Für beliebiges $x, y ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{x+y} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_y ∈ \T$ von $y$ mit $O_x + O_y ⊂ O_{x+y}$
+        Die Addition $s$ ist stetig.
+    \item
+        Für beliebiges $x, y ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{x+y} ∈ \T$ von $x+y$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_y ∈ \T$ von $y$ mit $O_x + O_y ⊂ O_{x+y}$
     \end{enumerate}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
     $s$ ist stetig in $(x,y)$ genau dann, wenn zu jeder Umgebung $O_{x,y} ∈ \T_X$
-    von $(x,y)$ existiert eine Umgebung $U ⊂ \T_{X×X}$ von $(x,y)$ mit $s(U) ⊂ O_{x+y}$.
+    von $(x,y)$ eine Umgebung $U ⊂ \T_{X×X}$ von $(x,y)$ mit $s(U) ⊂ O_{x+y}$ existiert.
     Nach Definition der Produkttopologie existieren dann Umgebungen $O_x ∈ \U_x$ und $O_y ∈ \U_y$ mit $O_x × O_y ⊂ U$.
     Damit ist
     \[
         O_x + O_y = s(O_x, O_y) = s(O_x × O_y) ⊂ s(U) ⊂ O_{x+y}.
     \]
-    Analog zeigt man die entsprechende Aussage für die skalare Multiplikation:
 \end{proof}
+    Analog zeigt man die entsprechende Aussage für die skalare Multiplikation:
 \begin{lemma}
+    \label{lemma:top-raum-mit-lin-struktur-aeq-charak-stetigkeit-multiplikation-3.2.2}
     Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent:
     \begin{enumerate}
-    \item Die Addition $m$ ist stetig.
     \item
-        Für beliebiges $\alpha  ∈ \K, x ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{\alpha x} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_\alpha  ∈ \T$ von $y$ mit $O_\alpha  × O_x ⊂ O_{\alpha x}$.
+        Die Multiplikation $m$ ist stetig.
+    \item
+        Für beliebiges $\alpha  ∈ \K, x ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{\alpha x} ∈ \T$ von $αx$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_\alpha  ∈ \T$ von $y$ mit $O_\alpha  × O_x ⊂ O_{\alpha x}$.
     \end{enumerate}
 \end{lemma}
+\begin{noproof}
+    ~
+\end{noproof}
 
+Sei nun $X$ ein topologischer linearer Raum, das heißt, insbesondere ist die Multiplikation stetig.
 Betrachtet man insbesondere die Stetigkeit am Punke $\alpha =0$ und $x ∈ X$ beliebig, dann gilt also:
-Für jede Umgebung $O_0 ∈ \U_0 ⊂ X$ existiert eine Umgebung $O_x ∈ \U_x$ und ein $r > 0$, so dass
+Für jede Umgebung $O_0 ∈ \U_0 ⊂ \Pot X$ existiert eine Umgebung $O_x ∈ \U_x$ und ein $r > 0$, so dass
 \[
     ∀β: |β| <r: βO_x ⊂ O_0.
 \]
 Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
 \begin{korollar}
-    Im topologischen Raum $(X,\T)$ gilt für $x ∈ X$ beliebig und $(β_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$
+    \label{kor:top-linear-raum-nullfolge-mit-skalarmult-uebertraegt-3.2.3}
+    Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ gilt für $x ∈ X$ beliebig und $(β_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$
     \[
-       β_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \implies β_nx \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
+       β_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0 \implies β_nx \yrightarrow[n → \infty ]{} 0.
     \]
 \end{korollar}
-
-\begin{definition-nn}
+\begin{noproof*}
+    ~
+\end{noproof*}
+
+\begin{definition-nn}[Translationsoperator, Multiplikationsoperator]
+    \label{defi:translationsoperator-multiplikationsoperator}
+    \index{Translationsoperator}
+    \index{Multiplikationsoperator}
+    \index{$T_{x_0}$}
+    \index{$M_{α_0}$}
     \begin{enumerate}
     \item 
         Zu $x_0 ∈ X$ fest definieren wir den Translationsoperator
         \[
-            T_{x_0} \coloneq X → X, x ↦ x + x_0.
+            T_{x_0} \coloneq X → X,\; x ↦ x + x_0.
         \]
     \item
         Zu $\alpha _0 ∈ \K^*$ fest definieren wir den Multiplikationsoperator
         \[
-            M_{\alpha _0} \coloneq X → X, x ↦ \alpha _0\cdot x.
+            M_{\alpha _0} \coloneq X → X,\; x ↦ \alpha _0\cdot x.
         \]
     \end{enumerate}
 \end{definition-nn}
 
 \begin{lemma}
-    Die Translationsoperatoren und Multiplikationsoperatoren sind Homöomorphismen.
+    \label{lemma:top-lin-raum-trans-multi-op-homeo-3.2.4}
+    In einem topologischen linearen Raum sind die Translationsoperatoren und Multiplikationsoperatoren Homöomorphismen.
 \end{lemma}
-\begin{noproof}
-    ~
-\end{noproof}
+\begin{proof}
+    Für $x_0 ∈ X$ ist $T_{x_0}$ stetig nach \cref{defi:top-linearer-raum-3.0.1}.
+    Offenkundig ist $T_{x_0}$ bijektiv mit Umkehrabbildung $T_{-x_0}$, welche ebenfalls stetig per Definition ist.
+
+    Analog ist für $α_0 ∈ \K^*$ der Multiplikationsoperator $M_{α_0}$ bijektiv mit Umkehrabbildung $M_{α_0^{-1}}$ und beide diese Abbildungen sind stetig nach Voraussetzung.
+\end{proof}
 
 \begin{korollar}[Invarianzprinzip]
+    \label{kor:invarianzprinip}
+    \index{Invarianzprinzip}
     Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ ist die Topologie bereits durch die offenen Umgebungen von $0 ∈ X$ bestimmt. Alle anderen offenen Mengen entstehen durch Translation.
 \end{korollar}
-\begin{noproof}
-    ~
-\end{noproof}
+\begin{proof}
+    Das ist eine unmittelbare Konsequenz aus~\cref{lemma:top-lin-raum-trans-multi-op-homeo-3.2.4}.
+\end{proof}
 
 \section{Metrische lineare Räume und Quasi-normierte Räume}
-\begin{definition}
+\begin{definition}[translationsinvariante Metrik]
+    \label{defi:translationsinvariante-metrik-3.3.1}
+    \index{Metrik!translationsinvariant}
     Eine Metrik $d: X × X → ℝ$ auf einem linearen Raum $X$ heißt \emph{translationsinvariant}, falls gilt:
     \[
         ∀x,y,z ∈ X: d(x,y) = d(x+z, y+z),
@@ -192,49 +244,59 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
     Ohne lineare Struktur macht das gar keinen Sinn!
 \end{bemerkung-nn}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}[Metrischer linearer Raum]
+    \index{Raum!metrischer linearer}
+    \label{defi:metrischer-linearer-raum-3.3.2}
     Ein metrischer Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter Mertik $d$ heißt \emph{metrischer linearer Raum}, falls
     die Vektorraumoperationen stetig sind (in der von der Metrik induzierten Topologie).
 \end{definition}
 
-
 \begin{lemma}
-    Im metrischen Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter metrik, dann ist die Addition immer stetig.
+    Im metrischen Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter Metrik ist die Addition immer stetig.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-    Es genügt, da in metrischen Räumen Folgenstetigkeit und Stetigkeit äquivalent sind, zu zeigen, dass $\lim d(x_n + y_n, x + y ) = 0$, sofern $\lim d(x_n,x) = 0$  und $\lim d(y_n,y) = 0$.
+    Es genügt, da in metrischen Räumen Folgenstetigkeit und Stetigkeit äquivalent sind (\cref{lemma:eigenschaften-metrischer-raeume}), zu zeigen, dass $\lim_{n→∞} d(x_n + y_n, x + y ) = 0$, sofern $\lim_{n → ∞} d(x_n,x) = 0$  und $\lim_{n → ∞} d(y_n,y) = 0$.
     Dazu ist
     \[
-        d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
+        d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n,x+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \yrightarrow[n → \infty ]{} 0.
     \]
 \end{proof}
 
 \begin{beispiel-nn}
+    \index{$C(a,b)$}
     Sei $X = C(a,b)$ mit der Metrik
     \[
-        d(x,y) \coloneq \min\{ 1, \sup_{t ∈ (a,b)} |x(t)-y(t)|\}.
+        d(x,y) \coloneq \min\{ 1, \sup_{t ∈ (a,b)} |x(t)-y(t)|\}
+    \]
+    ausgestattet.
+    Dann ist $d$ eine translationsinvariante Metrik, aber $(X,d)$ ist kein topologischer linearer Raum, da die Skalarmultiplikation nicht stetig ist.
+    Denn für $x := 1/(t-a)$, $t ∈ (a,b)$, $(α_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $α_n = 1/n$, $n ∈ ℕ$ ist für alle $n ∈ ℕ$
+    \[
+    d(0, α_n x) = 1.
     \]
-    Dann ist $d$ eine translationsinvariante Metrik, aber $X$ ist kein linearer Raum, da die Skalarmultiplikation nicht stetig ist.
+    Insbesondere gilt $a_n x \not\rightarrow 0\;(n → ∞)$ und mit \cref{kor:top-linear-raum-nullfolge-mit-skalarmult-uebertraegt-3.2.3} folgt, dass $C(a,b)$ kein metrischer linearer Raum ist.
 \end{beispiel-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
 Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × X$ hat man (nach dem $\epsilon -\delta$ -Kriterium)
 \[
-    ∀\epsilon  > 0 ∃ \delta  > 0 ∃ r> 0 ∀β ∈ \K ∀y ∈ X: 
+    ∀\epsilon  > 0\; ∃ \delta  > 0\; ∃ r> 0\; ∀β ∈ \K\;∀y ∈ X: 
     \begin{rcases}
         |β - \alpha | < r \\
         d(x,y) < \delta 
     \end{rcases}
     \implies d(βy,\alpha x) < \epsilon 
 \]
-
+\end{bemerkung-nn}
 
 \begin{lemma}
-    \label{lemma-metrischer-linearer-raum-charak}
+    \label{lemma:metrischer-linearer-raum-charak-3.4}
     Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit linearer Struktur und mit einer translationinvarianten Metrik.
     Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $\alpha  ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (\alpha _n)_{n ∈ ℕ)} ⊂ \K$ gilt
     \begin{gather*}
-        \alpha x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\
-        \alpha x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\
-        \alpha _nx_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0
+        \alpha x_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\
+        \alpha x_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\
+        \alpha _nx_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0
     \end{gather*}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
@@ -243,10 +305,10 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K ×
     „$⇐$“: Wegen der Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit ist zu zeigen
     \[
         \begin{rcases}
-            \alpha _n \xrightarrow[n → \infty ]{} \alpha  ∈ \K \\
-            x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} x ∈ X
+            \alpha _n \yrightarrow[n → \infty ]{} \alpha  ∈ \K \\
+            x_n \yrightarrow[n → \infty ]{} x ∈ X
         \end{rcases}
-    \implies \alpha _n x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} \alpha x.
+    \implies \alpha _n x_n \yrightarrow[n → \infty ]{} \alpha x.
     \]
 
     Sei dazu $z_n \coloneq x_n - x ∈ X$, $γ_n \coloneq \alpha _n - \alpha  ∈ \K$. Dann ist
@@ -258,37 +320,38 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K ×
     \begin{align*}
         d(\alpha _nx_n,\alpha x) &= d(\alpha nx_n - \alpha x,0) = d(γ_nz_n + γnx + \alpha z_n, 0) \\
         &\le \underbrace{d(γ_nz_n,0)}_{→ 0} + \underbrace{d(γ_nx, 0)}_{→ 0} +
-\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow[n → \infty]{} 0.
+\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \yrightarrow[n → \infty]{} 0.
     \end{align*}
     Da die Addition ohnehin immer stetig ist, sind wir  fertig.
 \end{proof}
-
-
-\begin{definition}
+\begin{definition}[Quasi-Norm]
+    \index{Quasi-Norm}
+    \index{Raum!quasi-normierter}
+    \label{defi:quasinorm-3.3.5}
     Eine Abbildung $|\cdot|: X → [0,\infty )$ heißt \emph{Quasi-Norm} auf dem Linearen
     Raum $X$, falls gilt:
-    \begin{enumerate}[label=(Q\arabic*)]
+    \begin{wenumerate}[label=(Q\arabic*)]
     \item
-        $|x| \ge 0$ für alle $x ∈ X$ und $|x| = 0$ genau dann, wenn $x = 0$.
+        $|x| \ge 0$ für alle $x ∈ X$ und $|x| = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ (positiv definit)
     \item
         $|-x| = |x|$ für alle $x ∈ X$
     \item
-        $|x+y| \le |x| + |y|$ für alle $x,y ∈ X$
+        $|x+y| \le |x| + |y|$ für alle $x,y ∈ X$ (Dreiecksungleichung)\index{Dreiecksungleichung}
     \item
-        $|\alpha x_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $\alpha  ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$
+        $|\alpha x_n| \yrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $\alpha  ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$
     \item
-        $|\alpha _nx| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|\alpha _n| → 0$
+        $|\alpha _nx| \yrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|\alpha _n| → 0$
     \item
-        $|\alpha _nx_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _n| → 0$
-    \end{enumerate}
+        $|\alpha _nx_n| \yrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _n| → 0$
+    \end{wenumerate}
     $(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum.
 \end{definition}
-
 \begin{bemerkung}
-    Jeder normierte Raum ist auch ein quasi-normierter Raum.
+    \label{bem:norm-raum-ist-quasinorm-raum-3.3.6}
+    Jeder normierte Raum ist auch ein quasi-normierter Raum mit $|-| := \norm-$.
 \end{bemerkung}
-
 \begin{satz}
+    \label{satz:quasi-norm-ind-transinvar-metrik-3.3.7}
     \begin{enumerate}
     \item
         Ist $|\cdot|$ eine Quasi-Norm auf $X$, so wird durch $d(x,y) \coloneq |x-y|$ eine translationsinvariante Metrik definiert, welche $X$ zu einem metrischen linearen Raum macht.
@@ -298,13 +361,15 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K ×
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    Das folgt direkt aus den Axiomen und \cref{lemma-metrischer-linearer-raum-charak}.
+    Das folgt direkt aus den Axiomen und~\cref{lemma:metrischer-linearer-raum-charak-3.4}
 \end{proof}
-
-
-Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt.
-
-\begin{definition}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt.
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{definition}[Semi-Norm]
+    \index{Semi-Norm}
+    \index{Raum!semi-normierter}
+    \label{defi:seminorm-3.3.8}
     Sei $X$ ein linearer Raum.
     Eine Abbildung $p: X → ℝ$ heißt \emph{Semi-Norm} oder \emph{Halbnorm}, falls folgendes gilt:
     \begin{enumerate}[label=(S\arabic*)]
@@ -313,21 +378,26 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se
     \item
         $∀ x ∈ X, \alpha  ∈ \K: p(\alpha x) = |\alpha | p(x)$ (Homogenität)
     \item
+        \index{Dreiecksungleichung}
         $∀ x, y ∈ X: p(x+y) \le p(x) + p(y)$ (Dreiecksungleichung)
     \end{enumerate}
     $(X,p)$ heißt dann \emph{semi-normierter} Raum.
 \end{definition}
-
 \begin{beispiel-nn}
-    $\L^p(\Omega)$ ist ein semi-normierter Raum.
+    \index{$\L^p(Ω)$}
+    Sei $Ω ⊂ ℝ^n$, $p > 1$.
+    Dann ist $\L^p(\Omega)$ ist ein semi-normierter Raum.
 \end{beispiel-nn}
 
 \begin{bemerkung}
+    \label{bem:seminorm-ind-norm-auf-faktorraum-3.9}
     Jeder semi-normierte Raum $(X,p)$ erzeugt einen normierten Raum $(X/N,p)$, wobei $N = \{ x ∈ X: p(x) = 0\}$ ein linearer Unterraum ist.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{satz}
     \label{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume}
+    \label{satz:abzaehbar-viele-seminormen-transinvar-metrik-3.3.10}
+    \index{Semi-Norm!abzählbar viele}
     Es seien $p_n: X → ℝ, n ∈ ℕ$ abzählbar viele Semi-Normen auf einem linearen Raum mit der Eigenschaft
     \begin{equation}
         p_n(x) = 0  \text{ für alle n ∈ ℕ } \implies x = 0. \label{eq:seminorm-folge-blub}
@@ -338,13 +408,15 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se
     \]
     eine translationsinvariante Metrik auf $X$, welche $X$ zum metrischen linearen Raum macht.
 \end{satz}
+\begin{noproof}
+    ~
+\end{noproof}
 
 \begin{bemerkung}
     $p_n: X → ℝ$ sind auf $(X,d)$ stetig. Das folgt aus (für $x_i → x_0$ in $X$)
     \[
-        |p_n(x_i) - p_n(x_0)| \le p_n(x_i-x_0) \xrightarrow{} 0
+        |p_n(x_i) - p_n(x_0)| \le p_n(x_i-x_0) \yrightarrow{} 0.
     \]
-    und einer Übungsaufgabe.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{satz}
@@ -388,7 +460,6 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se
     \[
         \sum_{n=n_0}^\infty  2^{-n} < \frac r 2.
     \]
-
     mit $\epsilon  \coloneq \frac r 2 $ gilt dann
     \[
         \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_(,\epsilon ) ⊂ B_r(0).
@@ -402,6 +473,7 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se
 \end{proof}
 
 \begin{bemerkung}
+    \label{bem:abz-viele-seminormen-lokalkonvex-3.3.13}
     Die Mengen $U(p_n,\epsilon _n)$ und deren endlichen Schnitte sind konvexe Mengen, das heißt
     \[
         x, y ∈ U(p_n,\epsilon _n),\alpha  ∈ [0,1] \implies \alpha x+(1-\alpha )y ∈ U(p_n,\epsilon _n)
@@ -413,14 +485,15 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se
         p_n(\alpha x + (1-\alpha )y) \le |\alpha | \underbrace{p_n(x)}_{< \epsilon _n} + |1-\alpha |\underbrace{p_n(y)}_{< \epsilon _n} = \epsilon _n.
     \]
 \end{proof}
-
-Also besitzt der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gewonne metrische lineare Raum $(X,d)$ eine Umgebungsbasis von $0$, die nur aus konvexen elementen besteht.
-
-\begin{definition}
+Also besitzt der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gewonne metrische lineare Raum $(X,d)$ eine Umgebungsbasis der $0$, die nur aus konvexen Elementen besteht.
+\begin{definition}[lokal-konvex]
+    \index{lokal-konvex}
+    \label{defi:lokalkonvex-3.3.14}
     Ein topologischer linearer Raum $(X,\T)$, in dem jedes $x ∈ X$ eine Umgebungsbasis besitzt, die nur aus konvexen Mengen besteht, heißt \emph{lokalkonvex}.
 \end{definition}
 
 \begin{satz}
+    \label{satz:seminormen-lokal-konvexer-t2-raum-3.3.15}
     Sei $X$ ein linearer Raum mit Semi-Normen $p_i, i ∈ I$, wobei $I$ eine beliebige Indexmenge ist, mit der Eigenschaft
     \[
         p_i(x) = 0 \text { für alle } i ∈ I \implies x = 0.
@@ -437,28 +510,33 @@ Also besitzt der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gewonne
 Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit untersuchen.
 
 \begin{definition}
+    \label{defi:frechet-raum-banach-raum:3.4.1}
+    \index{Raum!Banach-}
+    \index{Raum!Fréchet-}
+    \index{Fréchetraum}
+    \index{Banachraum}
     \begin{enumerate}
     \item
-        Ein metrischer linearer Raum $(X,d)$ der vollständig ist, heißt \emph{Fréchet"=Raum}.
+        Ein metrischer linearer Raum $(X,d)$ der vollständig ist, heißt \emph{Fréchetraum}.
     \item
-        Ein normierter Raum $(X,\norm\cdot)$, der vollständig ist, heißt \emph{Banach"=Raum}.
-
+        Ein normierter Raum $(X,\norm\cdot)$, der vollständig ist, heißt \emph{Banachraum}.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
-\begin{beispiel-nn}[$\ell^p$-Räume]
-    \begin{enumerate}
-    \item 
-        $(\ell^p,\norm\cdot_p)$, $1 \le p < \infty $ ist normierter Raum mit
-        \[
-            \norm x _p = \left( \sum_{i=1}^\infty  |x_i|^p \right)^{1/p}.
-        \]
-    \item 
-        $(\ell^\infty ,\norm\cdot_\infty)$, ist normierter Raum mit $\norm x _\infty  = \sup_{i ∈ ℕ} |x_i|$.
-    \item 
-        $(\ell^p,|\cdot|_p = \norm\cdot_p^p)$, $0 \le p < 1$ ist quasi-normierter Raum.
-    \end{enumerate}
-\end{beispiel-nn}
+\subsection{Die Folgenräume \(\ell^p\)}
+\label{sec:ellp-raume}
+\index{$\ell^p$}
+\begin{enumerate}
+\item 
+    $(\ell^p,\norm\cdot_p)$, $1 \le p < \infty $ ist normierter Raum mit
+    \[
+        \norm x _p = \left( \sum_{i=1}^\infty  |x_i|^p \right)^{1/p}.
+    \]
+\item 
+    $(\ell^\infty ,\norm\cdot_\infty)$, ist normierter Raum mit $\norm x _\infty  = \sup_{i ∈ ℕ} |x_i|$.
+\item 
+    $(\ell^p,|\cdot|_p = \norm\cdot_p^p)$, $0 \le p < 1$ ist quasi-normierter Raum.
+\end{enumerate}
 
 \begin{bemerkung}
     Für $0 < p < q \le \infty $ gilt $\ell^p ⊂ \ell^q ⊂ \ell^\infty $.
@@ -476,7 +554,7 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte
 \end{satz}
 \begin{proof}
     Nur für $1 \le p < \infty $.
-    Sei dazu $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ \ell^p$  eine Cauchy-Folge, also
+    Sei dazu $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ \ell^p$  eine Cauchy"=Folge, also
     $x_n = (ξ_k^n)_{k ∈ ℕ}$ und für jedes $\epsilon  > 0$ gibt es ein $n_0$ mit
     \[
         ∀n,m > n_0: \norm{x_n-x_m}_p = \left( \sum_{k=1}^\infty  |ξ_k^n-ξ_k^m|^p \right)^{1/p} < \epsilon .
@@ -488,7 +566,7 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte
 
     Es gilt
     \[
-        \norm{x_n}_! \le \underbrace{\norm{x_n-x_{n_0}}}_{< \epsilon } + \norm{x_{n_0}} \quad \forall n \ge n_0
+        \norm{x_n}_p \le \underbrace{\norm{x_n-x_{n_0}}}_{< \epsilon } + \norm{x_{n_0}} \quad \forall n \ge n_0
     \]
     Deshalb existiert ein $M > 0$ mit $\norm{x_n}_p < M$ für alle $n ∈ ℕ$, also
     \[
@@ -515,48 +593,51 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte
     \]
     also die Konvergenz.
 \end{proof}
-\begin{beispiel-nn}
-    Betrachte den Folgenraum $S = \K^\infty  = \{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$.
-    Dann ist 
-    \[
-        p_n(x) \coloneq |ξ_n|, \quad p_n: \K^\infty  → ℝ
-    \]
-    eine abzählbare Familie von Halbnormen mit
-    \[
-        p_n(x) = 0 ∀n ∈ ℕ \implies x = 0 ∈ \K^\infty 
-    \]
-    Nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} folgt, dass $(\K^\infty , d)$ mit
-    \[
-        d(x,y) \coloneq \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}
-    \]
-    ein metrischer linearer Raum ist.
-    Der Konvergenzbegriff entspricht gerade der komponentenweisen Konvergenz, das heißt, für eine Folge $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ mit $x_k = (ξ^k_n)_{n ∈ ℕ}$ gilt
-    \begin{align*}
-        x_k \xrightarrow[k→\infty ]{} 0
-        &\gdw d(x_n,0) \xrightarrow[k→\infty ]{} 0 \\
-        &\gdw p_n(x_k) \xrightarrow[k→\infty ]{} ∀ n ∈ ℕ \\
-        &\gdw |ξ_n^k| \xrightarrow[k→\infty ]{} 0 ∀ n ∈ ℕ.
-    \end{align*}
 
-    Wir fragen uns nun, ob auf dem $\K^\infty $  auch eine Topologie existiert, so dass der induzierte Konvergenzbegriff der der gleichmäßigen Konvergenz in allen Komponenten entspricht.
-    Also
-    \[
-        x_k \xrightarrow[k → \infty ]{\text{glm}} 0 ∈ \K^\infty  \gdw ∀\epsilon  > 0 ∃ k_0 ∈ ℕ: |ξ_n^k| < \epsilon  ∀ k \ge k_0 ∀n ∈ ℕ.
-    \]
-    Wenn $\K^\infty $ ein topologischer linearer Raum sein soll, ist das nicht möglich. Notwendig wäre, dass für eine Folge $x  ∈ \K^\infty $
-    \[
-        \alpha _k \xrightarrow[k → \infty ]{} 0 \text{ in } \K \implies \alpha _k x \xrightarrow[k→\infty ]{} \text{ in } X = \K^\infty .
-    \]
-    Wähle dazu die Nullfolge $(\alpha _k)_{k ∈ ℕ} = (1/k)_{k ∈ ℕ} ⊂ ℝ$, $x= (n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$. Dann ist
-    \[
-        \alpha _k x = (n/k)_{n ∈ ℕ} ∈ \K^\infty 
-    \]
-    zwar eine Nullfolge in $\K^\infty$ ist, diese Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig in $n$.
-    Man kann zeigen, dass $\K^\infty $ mit $d$ vollständig, also ein Fréchet-Raum, ist.
-    Ist $\K^\infty $ auch normierbar?
-    Also gibt es auf $\K^\infty $ eine Norm, welche die gleiche Topologie erzeugt wie die $d$?
-    Auch  das ist nicht möglich:
-\end{beispiel-nn}
+\subsection{Der Folgenraum $\mathcal S = \K^∞$}
+\label{sec:der-folg-mathc}
+Wir bezeichnen den Raum $\{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$ aller Folgen in $\K$ mit $\mathcal S$ oder $\K^\infty$.
+\index{$\K^∞$}
+\index{$\mathcal S$}
+Dann ist \[
+    p_n(x) \coloneq |ξ_n|, \quad p_n: \K^\infty  → ℝ
+\]
+eine abzählbare Familie von Halbnormen mit
+\[
+    p_n(x) = 0 ∀n ∈ ℕ \implies x = 0 ∈ \K^\infty 
+\]
+Nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} folgt, dass $(\K^\infty , d)$ mit
+\[
+    d(x,y) \coloneq \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}
+\]
+ein metrischer linearer Raum ist.
+Der Konvergenzbegriff entspricht gerade der komponentenweisen Konvergenz, das heißt, für eine Folge $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ mit $x_k = (ξ^k_n)_{n ∈ ℕ}$ gilt
+\begin{align*}
+    x_k \yrightarrow[k→\infty ]{} 0
+    &\gdw d(x_n,0) \yrightarrow[k→\infty]{} 0 \\
+    &\gdw p_n(x_k) \yrightarrow[k→\infty]{}0\; ∀ n ∈ ℕ \\
+    &\gdw |ξ_n^k| \yrightarrow[k→\infty]{}0\;∀ n ∈ ℕ.
+\end{align*}
+
+Wir fragen uns nun, ob auf dem $\K^\infty $  auch eine Topologie existiert, so dass der induzierte Konvergenzbegriff der der gleichmäßigen Konvergenz in allen Komponenten entspricht.
+Also
+\[
+    x_k \yrightarrow[k → \infty ]{\text{glm}} 0 ∈ \K^\infty  \gdw ∀\epsilon  > 0 ∃ k_0 ∈ ℕ: |ξ_n^k| < \epsilon  ∀ k \ge k_0 ∀n ∈ ℕ.
+\]
+Wenn $\K^\infty $ ein topologischer linearer Raum sein soll, ist das nicht möglich. Notwendig wäre, dass für eine Folge $x  ∈ \K^\infty $
+\[
+    \alpha _k \yrightarrow[k → \infty ]{} 0 \text{ in } \K \implies \alpha _k x \yrightarrow[k→\infty ]{} \text{ in } X = \K^\infty .
+\]
+Wähle dazu die Nullfolge $(\alpha _k)_{k ∈ ℕ} = (1/k)_{k ∈ ℕ} ⊂ ℝ$, $x= (n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$. Dann ist
+\[
+    \alpha _k x = (n/k)_{n ∈ ℕ} ∈ \K^\infty 
+\]
+zwar eine Nullfolge in $\K^\infty$ ist, diese Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig in $n$.
+Man kann zeigen, dass $\K^\infty $ mit $d$ vollständig, also ein Fréchet-Raum, ist.
+Ist $\K^\infty $ auch normierbar?
+Also gibt es auf $\K^\infty $ eine Norm, welche die gleiche Topologie erzeugt wie die $d$?
+Auch  das ist nicht möglich:
+
 \begin{lemma}
     \label{lemma-s-metrikkugeln-enthalten-unterraeme}
     In $(\K^\infty ,d)$ gilt:
@@ -605,15 +686,17 @@ Das heißt,
 was bereits $\alpha  = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch.
 
 
-\begin{beispiel-nn}[Räume beschränkter Funktionen]
-    Sei $S$  eine beliebige Menge und $B(S) \coloneq \{ f: S → \K, f(s)$ ist beschränkt $\}$.
-    Dann wird $B(S)$ mit
-    \[
-        \norm f _{B(S)} \coloneq \sup_{x ∈ S} |f(x)| < \infty ,
-    \]
-    der $\sup$-Norm, zu einem Banachraum.
-    Dabei ist offensichtlich, dass $\norm\cdot_{B(S)}$ tatsächlich eine Norm ist, und wir werden in einer Übung zeigen, dass die induzierte Metrik tatsächlich vollständig ist.
-\end{beispiel-nn}
+\subsection{Räume beschränkter Funktionen}
+\label{sec:raume-beschr-funkt}
+\index{Raum!beschränkter Funktionen}
+\index{$B(S)$}
+Sei $S$  eine beliebige Menge und $B(S) \coloneq \{ f: S → \K, f(s)$ ist beschränkt $\}$.
+Dann wird $B(S)$ mit
+\[
+    \norm f _{B(S)} \coloneq \sup_{x ∈ S} |f(x)| < \infty ,
+\]
+der $\sup$-Norm, zu einem Banachraum.
+Dabei ist offensichtlich, dass $\norm\cdot_{B(S)}$ tatsächlich eine Norm ist, und wir werden in einer Übung zeigen, dass die induzierte Metrik tatsächlich vollständig ist.
 
 \begin{lemma-nn}
     \label{lemma-vollst-ubertragt-abgeschl-teilmengen}
@@ -630,11 +713,13 @@ was bereits $\alpha  = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch.
 \end{proof}
 
 
-\begin{beispiel-nn}[Räume stetiger Funktionen]
-    Sei $K ⊂ ℝ^n$ kompakt, also nach Heine-Borel abgeschlossen und beschränkt.
+\subsection{Räume stetiger Funktionen}
+\begin{beispiel-nn}[$C(K)$]
+    \index{$C(K)$}
+    Sei $K$ eine kompakte Teilmenge vom $ℝ^n$, also nach dem Satz von Heine-Borel abgeschlossen und beschränkt.
     Dann ist
     \[
-        C(k) = \{ f: K → \K, f \text{ stetig} \}
+        C(K) = \{ f: K → \K, f \text{ stetig} \}
     \]
     ein normierter Raum mit
     \[
@@ -642,7 +727,7 @@ was bereits $\alpha  = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch.
     \]
     der Maximumsnorm.
     Dieses Maximum wird tatsächlich immer angenommen, da $K$ kompakt ist (Satz von Minimum und Maximum).
-    Insbesondere sind alle stetigen Funktionen auf  $K$ beschränkt. Damit gilt offensichtlich $C(K) ⊂ B(K)$ und $\norm{f}_{C(K)} = \norm{f}_{B(K)}$ für alle $f ∈ C(K)$.
+    Insbesondere sind alle stetigen Funktionen auf  $K$ beschränkt. Damit gilt offensichtlich $C(K) ⊂ B(K)$ und $\snorm{f}_{C(K)} = \snorm{f}_{B(K)}$ für alle $f ∈ C(K)$.
     Da jede stetige Funktion auf kompakten Teilmengen von metrischen Räumen auch gleichmäßig stetig ist, das heißt
     \[
         ∀ \epsilon  > 0 ∃ \delta  > 0: \left( |t_1-t_2| < \delta  \implies |f(t_1)-f(t_2)| < \epsilon  \right) ∀ t_1,t_2 ∈ K
@@ -654,7 +739,7 @@ was bereits $\alpha  = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
     Sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine konvergente (in $(B(K),\norm\cdot_{B(K)})$) Folge in $C(K)$.
-    Dann existiert ein $f ∈ B(K)$ mit $f_i \xrightarrow[i → \infty ]{\norm{\cdot}_{B(K)}} f$.
+    Dann existiert ein $f ∈ B(K)$ mit $f_i \yrightarrow[i → \infty ]{\norm{\cdot}_{B(K)}} f$.
     Wir müssen zeigen, dass $f$ bereits stetig ist.
     Für beliebige $t₁, t_2 ∈ K$ gilt
     \[
@@ -678,7 +763,6 @@ Allerdings ist die Konvergenz in dieser Topologie impliziert keine Stetigkeit f
     \]
     Hier können Funktionen aber auch unbeschränkt sein. Also braucht $\sup |f|$ nicht mehr zu existieren.
 \end{beispiel-nn}
-
 \begin{definition}
     Es sei $(K_m)_{m ∈ ℕ}$ eine \emph{Ausschöpfung} von $\Omega$ mit kompakten Mengen $K_= ⊂ \Omega$, das heißt, es gelte
     \[
@@ -693,7 +777,6 @@ Man nehme z.B.
     K_m = \{ x ∈ \Omega ⊂ ℝ^n: \norm{x} \le m, \operatorname{dist}(x,∂\Omega) \ge 1/m\},
 \]
 wobei $\operatorname{dist}(x,∂\Omega) \coloneq \inf\{ \norm{x-y}: y ∈ ∂\Omega\}$ und $∂M = \cl \Omega \setminus \Omega$.
-
 Dann ist $C(\Omega)$ mit der Metrik
 \[
     d(f,0) = \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{\norm{f}_{C(K_m)}}{1+\norm{f}_{C(K_m)}}
@@ -702,11 +785,10 @@ ein Fréchetraum, also ein metrisierbarer linearer Raum nach \cref{satz-abzaehlb
 \[
     \norm{f}_{C(K_m)} = 0 ∀ m ∈ ℕ \implies f = 0 ∈ C(\Omega).
 \]
-
 Es gilt in diesem Raum
 \[
-    d(f_i,f) \xrightarrow[i → \infty ]{} 0 \gdw
-    \norm{f_i-f}_{C(K_m)} \xrightarrow[i → \infty ]{} ∀m  ∈ ℕ,
+    d(f_i,f) \yrightarrow[i → \infty ]{} 0 \gdw
+    \norm{f_i-f}_{C(K_m)} \yrightarrow[i → \infty ]{} ∀m  ∈ ℕ,
 \]
 was ja gerade gleichmäßige Konvergenz auf jeder Kompakten Menge $K ⊂ \Omega$ bedeutet.
 Damit ist Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(\Omega)$ impliziert Stetigkeit der Grenzfunktion $f ∈ C(\Omega)$, da Stetigkeit nur eine lokale Eigenschaft ist.
@@ -842,13 +924,13 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
             Nach Definition sind sie aber auch Konvex, das heißt $(\D(\Omega),\T_\D)$ ist ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum.
         \end{korollar}
         \begin{satz}
-            $ξ_m \xrightarrow[m → \infty ]{} 0 \gdw$
+            $ξ_m \yrightarrow[m → \infty ]{} 0 \gdw$
             \[
                 \begin{cases}
                     (i), & \text{Es existiert $D$ offen mit $D ⊂⊂ \Omega$ und
                         $ξ_m ∈ C_0^\infty (D)$ für alle $m ∈ ℕ$} \\
                     (ii), & \text{Für jedes $k ∈ ℕ$ gilt:
-                        $\norm{ξ_m}_{C^k(\cl{\Omega})} \xrightarrow[m → \infty ]{} 0$}
+                        $\norm{ξ_m}_{C^k(\cl{\Omega})} \yrightarrow[m → \infty ]{} 0$}
                 \end{cases}
             \]
         \end{satz}
@@ -864,8 +946,8 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
         \end{proof}
     \end{enumerate}
     \end{beispiel-nn}
-    \begin{beispiel-nn}[Lebesgue-integrierbare Funktionen]
-        Betrachten wir nun Lebesgue-integrierbare Funktionen.
+    \begin{beispiel-nn}[Lebesgue"=integrierbare Funktionen]
+        Betrachten wir nun Lebesgue"=integrierbare Funktionen.
         Bereits eingeführt wurden die Räume $\L^p(\Omega)$ und $L^p(\Omega)$, $0 < p < \infty $, wobei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen.
         Diese sind für $1 \le p < \infty $ normiert, und für $0 < p < 1$ quasi-normiert.
         Für $p = \infty $ setzen wir
@@ -928,6 +1010,7 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
         ∫_\Omega f(t) \cdot \left[ \frac {∂} {∂t_i} h(t) \right] \dd t = ∫_{∂\Omega} f(t) h(t) \nu_i \dd S(t) - ∫_\Omega \left[ \frac {∂} {∂t_i} f(t) \right] h(t) \dd t,
     \]
     wobei $\nu = (\nu_1, …, \nu_n)^T$ die äußere Einheitsnormale ist.
+\end{beispiel}
 
     \begin{bemerkung-nn}
         Ist $f$ oder $h ∈ \C_0^∞(\Omega)$, so verschwinden die Randterme.
@@ -985,7 +1068,6 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
         \]
         ein Banachraum.
     \end{satz}
-\end{beispiel}
 
 Seien $f_n → f ∈ L^p(\Omega), h ∈ C_0^\infty (\Omega)$.
 Dann
@@ -1127,7 +1209,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
 
     „⊂“: Sei $x ∈ X$. Setze $β_n = 1/n, n ∈ ℕ$. Dann gilt
     \[
-        β_n x \xrightarrow[n → \infty ]{} 0,
+        β_n x \yrightarrow[n → \infty ]{} 0,
     \]
     also $β_n ∈ V$ für $n \ge n_0$. Damit haben wir aber $x ∈ n_0 V$.
 \end{proof}
@@ -1136,12 +1218,17 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
     Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer $T_2$-Raum und $K ⊂ X$ kompakt.
     Dann ist $K$ abgeschlossen und beschränkt.
 \end{satz}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Ohne die Hausdorff"=Eigenschaft gilt dies nicht.
+    Wenn wir beispiesweise $X = ℝ$ mit der Klumpentopologie betrachten, 
+    ist jede Teilmenge von $ℝ$ kompakt, aber nur $\emptyset$ und $ℝ$ sind abgeschlossen.
+\end{bemerkung-nn}
+
+Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
 \begin{definition-nn}
+    Sei $(X,)$
     Falls auch die Umkehrung gilt, dann besitzt $X$ die \emph{Heine"=Borel"=Eigenschaft}.
 \end{definition-nn}
-\begin{warnung-nn}
-    Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
-\end{warnung-nn}
 \begin{proof}
     Nach einer Übungsaufgabe ist $K$ bereits abgeschlossen.
     Also müssen wir nur zeigen, dass $K$ auch beschränkt ist.
@@ -1157,10 +1244,6 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
     \]
     also folgt die Behauptung mit $\alpha  = n_s$. $(*)$ gilt wegen der Kreisförmigkeit und $\left|\frac {n_i}{n_s}\right| \le 1$.
 \end{proof}
-\begin{bemerkung-nn}
-    Ohne die Hausdorff-Eigenschaft gilt dies nicht. Gegenbeispiel: $X = ℝ$ mit der Klumpentopologie.
-    Dann ist jede Teilmenge von $ℝ$ kompakt, aber nur $\emptyset$ und $ℝ$ sind abgeschlossen.
-\end{bemerkung-nn}
 
 \begin{definition}
     \begin{enumerate}
@@ -1209,7 +1292,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
     \item
         $A$ ist beschränkt und gleichgradig stetig, das heißt,
         \[
-            \sup_{f ∈ A} |f(x)-f(y)|_{ℝ^m} \xrightarrow[|x-y|→ 0]{} 0.
+            \sup_{f ∈ A} |f(x)-f(y)|_{ℝ^m} \yrightarrow[|x-y|→ 0]{} 0.
         \]
     \end{enumerate}
 \end{satz}
@@ -1222,11 +1305,11 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
     \item
         $A$ ist im Mittel gleichgradig stetig, das heißt
         \[
-            \sup_{f ∈ A} \norm{f(\cdot + h) - f}_{L^p(ℝ^n)} \xrightarrow[|h| → 0]{} 0.
+            \sup_{f ∈ A} \norm{f(\cdot + h) - f}_{L^p(ℝ^n)} \yrightarrow[|h| → 0]{} 0.
         \]
     \item
         \[
-            \sup_{f ∈ A} \norm{f}_{L^p(ℝ^n \setminus B_R(0))} \xrightarrow[R → ∞]{} 0.
+            \sup_{f ∈ A} \norm{f}_{L^p(ℝ^n \setminus B_R(0))} \yrightarrow[R → ∞]{} 0.
         \]
     \end{enumerate}
 \end{satz}
@@ -1242,7 +1325,7 @@ Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein:
 
 \begin{beispiel}
     Sei $X = \mathcal S = ℝ^∞$ und für $i ∈ ℕ$ $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor.
-    Dann ist $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ linear unabhängig, also gibt es nach \cref{01-basisergaenzungssatz} eine Basis $\{w_i\}_{i ∈ I}$ von $S$, die $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ umfasst.
+    Dann ist $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ linear unabhängig, also gibt es nach~\cref{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3} eine Basis $\{w_i\}_{i ∈ I}$ von $S$, die $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ umfasst.
     Definiere $T: X → ℝ$ linear durch die Bilder der Basisvektoren $T(e_i) \coloneq 1$ und $T(w) \coloneq 0$ für $w ∈ B \setminus \{ e_i\}_{i ∈ ℕ}$.
     Dann ist $T$ nicht stetig in $0$, denn $f (\lim_{i → ∞} e_i) = f(0) = 0 \ne 1 = \lim_{i → ∞} f(e_i)$.
 \end{beispiel}
@@ -1295,7 +1378,7 @@ Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
 
     $(5) \Rightarrow (1)$. Für $x, x_1 ∈ X$ gilt
     \[
-        \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm x-x_1 \xrightarrow[x → x_1]{} 0.
+        \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm x-x_1 \yrightarrow[x → x_1]{} 0.
     \]
     Damit ist $T$ stetig in $x_1$.
 \end{proof}
@@ -1382,10 +1465,10 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
 
 \begin{proof}
     Es ist nur noch die Vollständigkeit zu zeigen.
-    Sei dazu $(T_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $\L(X,Y)$.
+    Sei dazu $(T_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy"=Folge in $\L(X,Y)$.
     Das heißt, für jedes $\epsilon  > 0$ existiert ein $N_0$ mit $\norm {T_n - T_m} < \epsilon $ für $n, m > N_0$.
     Also mit \eqref{eq:61} $\norm {T_n x - T_mx} \le \norm {T_n - T_m} \norm x < \epsilon  \norm x$ für alle $x ∈ X$ und $n,m > N_0$.
-    Insbesondere ist $(T_nx)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $Y$. Da $Y$ vollständig ist, besitzt diese Folge einen Grenzwert $y_x ∈ Y$.
+    Insbesondere ist $(T_nx)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy"=Folge in $Y$. Da $Y$ vollständig ist, besitzt diese Folge einen Grenzwert $y_x ∈ Y$.
     Wir definieren eine Abbildung
     \[
         T: X → Y, x ↦ y_x.
@@ -1400,7 +1483,7 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
     \[
         \norm{Tx} \xleftarrow[n → \infty ]{} \norm{T_nx } \le M \norm x, ∀ x ∈ X,
     \]
-    also die stetigkeit von $T$.
+    also die Stetigkeit von $T$.
     Jetzt zur Konvergenz:
     Für $\norm x \le$ 1 gilt
     \[
@@ -1451,7 +1534,7 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
         \norm{ S_l - S_k} = \norm { \sum_{n=k+1}^l T^n} \le \sum_{n=k+1}^l \norm{ T^k} \le \sum_{n=k+1}^l \Theta ^n < \epsilon , \quad k, l \ge N_0.
     \]
     Damit ist $(S_k)_{k ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $\L(X)$ und somit konvergent.
-    Sei $S$ der Grenzwert. Dann gilt für jedes $x ∈ X$ auch $S_k x \xrightarrow[k → \infty ]{\norm\cdot_{X}} Sx$, also damit ist für alle $x∈ X$
+    Sei $S$ der Grenzwert. Dann gilt für jedes $x ∈ X$ auch $S_k x \yrightarrow[k → \infty ]{\norm\cdot_{X}} Sx$, also damit ist für alle $x∈ X$
     \[
         (\id - T) Sx = \lim_{k → \infty } (\id -T) S_k x = \lim_{k → \infty } \sum_{n=0}^k (T^n -T^{n-1})x = \lim_{k→\infty } x - T^{k+1}x = x.
     \]
@@ -1552,5 +1635,5 @@ Damit sind in unendlich-dimensionalen normierten Räumen weder die Sphären noch
 
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
-%%% TeX-master: "funkana-ebook"
+%%% TeX-master: "funkana"
 %%% End:
-- 
cgit v1.2.3-24-g4f1b

