From 59c2089055ff2af58fdc04a73f0f8bca4fd33e48 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ulli Kehrle Date: Sat, 30 Dec 2017 20:19:35 +0100 Subject: alles aktualisiert --- ch03-topologisch-lineare-raeume.tex | 20 +++++++++++++++++--- 1 file changed, 17 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'ch03-topologisch-lineare-raeume.tex') diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex index bbf5265..306f07f 100644 --- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex +++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex @@ -363,6 +363,20 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × \begin{proof} Das folgt direkt aus den Axiomen und~\cref{lemma:metrischer-linearer-raum-charak-3.4} \end{proof} + +\begin{figure}[tb] + \centering + \definecolor{cff0000}{RGB}{255,0,0} + \definecolor{c0000ff}{RGB}{0,0,255} + \definecolor{c800080}{RGB}{128,0,128} + \begin{tikzpicture}[yscale=-0.2, xscale=0.20000] + \footnotesize + \begin{scope}[align=center,very thick,shift={(0,-87.0)}] + \path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (6.2258,27.8092) rectangle (60.9550,70.6598);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (9.0259,36.5619) rectangle (55.4438,63.7343);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (11.3696,39.9704) rectangle (52.7539,62.1758);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (26.7273,30.4917) rectangle (73.8299,68.9673);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (28.6626,33.2726) rectangle (58.0980,66.3885);\path[draw=c0000ff,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.6756,42.9603) rectangle (51.8855,59.8931);\path[cm={{1.0,0.0,0.04521,0.99898,(0.0,0.0)}},draw=c800080,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.7058,52.2710) rectangle (47.5445,58.2520);\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (8.2029,31.7679) node[above right] (text902) {topologischer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (11.8801,39.5) node[above right] (text906) {Hausdorff-Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (12,50) node[above right] (text910) {metrischer Raum \\ mit induzierter \\ Topologie};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34,56) node[above right] (text916) {normierter Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (30.5489,51) node[above right] (text922) {metrischer linearer Raum \\ oder quasinormierter \\ Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (61,33.2709) node[above right] (text928) {linearer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34.5089,36) node[above right] (text932) {topologischer linearer Raum};\end{scope} + \end{tikzpicture} + \caption{topologische und lineare Strukturen} +\end{figure} + \begin{bemerkung-nn} Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt. \end{bemerkung-nn} @@ -594,7 +608,7 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte also die Konvergenz. \end{proof} -\subsection{Der Folgenraum $\mathcal S = \K^∞$} +\subsection{Der Folgenraum \(\mathcal S\)} \label{sec:der-folg-mathc} Wir bezeichnen den Raum $\{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$ aller Folgen in $\K$ mit $\mathcal S$ oder $\K^\infty$. \index{$\K^∞$} @@ -905,7 +919,7 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) Die so definierte Topologie nennen wir $\T_\D$ und den Raum $C_1^\infty (\Omega)$ auch $\D(\Omega)$. Es stellt sich heraus, dass diese Topologie tatsächlich unabhängig von der gewählten Ausschöpfung ist. Außerdem ist $(\D(\Omega),\T_\D)$ ein topologischer linearer Raum, das heißt, die Vektorraumoperationen sind stetig. - \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in $\D(\Omega)$] + \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in \(\mathcal D (Ω)\)] Es gilt \[ O ∈ \T_\D \iff ∀ ξ ∈ O ∃ \epsilon =(e_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^\infty , e_j > 0: e+U_\epsilon ⊂ O. @@ -1335,7 +1349,7 @@ Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein: Dann gibt es genau dann eine unstetige lineare Abbildung $X → Y$, wenn $\dim X = ∞$ ist \end{satz} -\subsection*{Stetigkeit in normierten Räumen} +\subsection{Stetigkeit in normierten Räumen} \begin{definition} Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. Eine Abbildung $F: X → Y$ heißt \emph{beschränkt}, falls das Bild jeder in $X$ beschränkten Menge in $Y$ beschränkt ist. -- cgit v1.2.3-24-g4f1b