From 59c2089055ff2af58fdc04a73f0f8bca4fd33e48 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Sat, 30 Dec 2017 20:19:35 +0100
Subject: alles aktualisiert

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@@ -363,6 +363,20 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K ×
 \begin{proof}
     Das folgt direkt aus den Axiomen und~\cref{lemma:metrischer-linearer-raum-charak-3.4}
 \end{proof}
+
+\begin{figure}[tb]
+    \centering
+    \definecolor{cff0000}{RGB}{255,0,0}
+    \definecolor{c0000ff}{RGB}{0,0,255}
+    \definecolor{c800080}{RGB}{128,0,128}
+    \begin{tikzpicture}[yscale=-0.2, xscale=0.20000]
+    \footnotesize
+    \begin{scope}[align=center,very thick,shift={(0,-87.0)}]
+    \path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (6.2258,27.8092) rectangle (60.9550,70.6598);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (9.0259,36.5619) rectangle (55.4438,63.7343);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (11.3696,39.9704) rectangle (52.7539,62.1758);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (26.7273,30.4917) rectangle (73.8299,68.9673);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (28.6626,33.2726) rectangle (58.0980,66.3885);\path[draw=c0000ff,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.6756,42.9603) rectangle (51.8855,59.8931);\path[cm={{1.0,0.0,0.04521,0.99898,(0.0,0.0)}},draw=c800080,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.7058,52.2710) rectangle (47.5445,58.2520);\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (8.2029,31.7679) node[above right] (text902) {topologischer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (11.8801,39.5) node[above right] (text906) {Hausdorff-Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (12,50) node[above right] (text910) {metrischer Raum \\ mit induzierter \\ Topologie};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34,56) node[above right] (text916) {normierter Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (30.5489,51) node[above right] (text922) {metrischer linearer Raum \\ oder quasinormierter \\ Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (61,33.2709) node[above right] (text928) {linearer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34.5089,36) node[above right] (text932) {topologischer linearer Raum};\end{scope}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{topologische und lineare Strukturen}
+\end{figure}
+
 \begin{bemerkung-nn}
     Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt.
 \end{bemerkung-nn}
@@ -594,7 +608,7 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte
     also die Konvergenz.
 \end{proof}
 
-\subsection{Der Folgenraum $\mathcal S = \K^∞$}
+\subsection{Der Folgenraum \(\mathcal S\)}
 \label{sec:der-folg-mathc}
 Wir bezeichnen den Raum $\{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$ aller Folgen in $\K$ mit $\mathcal S$ oder $\K^\infty$.
 \index{$\K^∞$}
@@ -905,7 +919,7 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
         Die so definierte Topologie nennen wir $\T_\D$ und den Raum $C_1^\infty (\Omega)$  auch $\D(\Omega)$.
         Es stellt sich heraus, dass diese Topologie tatsächlich unabhängig von der gewählten Ausschöpfung ist.
         Außerdem ist $(\D(\Omega),\T_\D)$ ein topologischer linearer Raum, das heißt, die Vektorraumoperationen sind stetig.
-        \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in $\D(\Omega)$]
+        \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in \(\mathcal D (Ω)\)]
             Es gilt
             \[
                 O ∈ \T_\D \iff ∀ ξ ∈ O ∃ \epsilon =(e_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^\infty , e_j > 0: e+U_\epsilon  ⊂ O.
@@ -1335,7 +1349,7 @@ Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein:
     Dann gibt es genau dann eine unstetige lineare Abbildung $X → Y$, wenn $\dim X = ∞$ ist
 \end{satz}
 
-\subsection*{Stetigkeit in normierten Räumen}
+\subsection{Stetigkeit in normierten Räumen}
 \begin{definition}
     Seien $X, Y$ topologische lineare Räume.
     Eine Abbildung $F: X → Y$ heißt \emph{beschränkt}, falls das Bild jeder in $X$ beschränkten Menge in $Y$ beschränkt ist.
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cgit v1.2.3-24-g4f1b

