From d1b0006a9de7a938038de0613718ee7e27409683 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Fri, 12 Jan 2018 18:02:18 +0100
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@@ -17,9 +17,10 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
     \label{defi:norm-3.1.1}
     \index{Norm}
     \index{Raum!normierter}
-    Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$
+    Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$.
+    Eine Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$
     heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, \alpha  ∈ K$ gilt:
-    \begin{enumerate}
+    \begin{wenumerate}[label=(N\arabic*)]
     \item
         \index{Definitheit}
         $\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ (Definitheit)
@@ -28,8 +29,8 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
         $\norm{\alpha x} = |\alpha | \norm x$ (Homogenität)
     \item
         \index{Dreiecksungleichung}
-        $\norm{x+y} \le \norm x + \norm y$ (Dreiecksungleichung)
-    \end{enumerate}
+        $\snorm{x+y} \le \norm x + \snorm y$ (Dreiecksungleichung)
+    \end{wenumerate}
     $(X,\norm\cdot)$ heißt dann \emph{normierter Raum}.
 \end{definition}
 
@@ -372,14 +373,15 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K ×
     \begin{tikzpicture}[yscale=-0.2, xscale=0.20000]
     \footnotesize
     \begin{scope}[align=center,very thick,shift={(0,-87.0)}]
-    \path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (6.2258,27.8092) rectangle (60.9550,70.6598);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (9.0259,36.5619) rectangle (55.4438,63.7343);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (11.3696,39.9704) rectangle (52.7539,62.1758);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (26.7273,30.4917) rectangle (73.8299,68.9673);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (28.6626,33.2726) rectangle (58.0980,66.3885);\path[draw=c0000ff,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.6756,42.9603) rectangle (51.8855,59.8931);\path[cm={{1.0,0.0,0.04521,0.99898,(0.0,0.0)}},draw=c800080,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.7058,52.2710) rectangle (47.5445,58.2520);\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (8.2029,31.7679) node[above right] (text902) {topologischer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (11.8801,39.5) node[above right] (text906) {Hausdorff-Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (12,50) node[above right] (text910) {metrischer Raum \\ mit induzierter \\ Topologie};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34,56) node[above right] (text916) {normierter Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (30.5489,51) node[above right] (text922) {metrischer linearer Raum \\ oder quasinormierter \\ Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (61,33.2709) node[above right] (text928) {linearer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34.5089,36) node[above right] (text932) {topologischer linearer Raum};\end{scope}
-    \end{tikzpicture}
+    \path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (6.2258,27.8092) rectangle (60.9550,70.6598);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (9.0259,36.5619) rectangle (55.4438,63.7343);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (11.3696,39.9704) rectangle (52.7539,62.1758);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (26.7273,30.4917) rectangle (73.8299,68.9673);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (28.6626,33.2726) rectangle (58.0980,66.3885);\path[draw=c0000ff,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.6756,42.9603) rectangle (51.8855,59.8931);\path[draw=c800080,miter limit=4.00,rounded corners=0.50cm] (32,52.2710) rectangle (50.0,57.2520);\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (8.2029,31.7679) node[above right] (text902) {topologischer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (11.8801,39.5) node[above right] (text906) {Hausdorff-Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (12,50) node[above right] (text910) {metrischer Raum \\ mit induzierter \\ Topologie};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34,56) node[above right] (text916) {normierter Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (30.5489,51) node[above right] (text922) {metrischer linearer Raum \\ oder quasinormierter \\ Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (61,33.2709) node[above right] (text928) {linearer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34.5089,36) node[above right] (text932) {topologischer linearer Raum};\end{scope}
+b   \end{tikzpicture}
     \caption{topologische und lineare Strukturen}
 \end{figure}
 
 \begin{bemerkung-nn}
     Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt.
 \end{bemerkung-nn}
+
 \begin{definition}[Semi-Norm]
     \index{Semi-Norm}
     \index{Raum!semi-normierter}
@@ -1203,12 +1205,25 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
     Dann besitzt die Null eine Umgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-    Übung.
+    Wir zeigen, dass jede Umgebung $U$ der Null eine kreisförmige Umgebung enthält.
+    Sei dazu $U ∈ \U_0$.
+    Da $X$ nach Voraussetzung ein topologischer linearer Raum ist, ist die Skalarmultiplikation $s: \K × X → X$ stetig.
+    Das heißt, $s^{-1}(U)$ ist eine Umgebung von $(0,0)$ in der Produkttopologie.
+    Nach \cref{defi:produkttopologie-1.12} gibt es also eine Umgebung $D$ von $0 ∈ \K$ und eine Umgebung $V$ von $0 ∈ X$ mit $D \cdot V ⊂ U$.
+    Insbesondere enthält $D$ einen Ball $B_{δ}(0)$ für ein $δ > 0$.
+    Definiere nun
+    \[
+        W \coloneq \bigcup_{|α| < δ} αV.
+    \]
+    Dann ist $W ⊂ U$ und $W$ ist kreisförmig.
 \end{proof}
 
 \begin{warnung-nn}
-    Metrikkugeln müssen im Allgemeinen nicht kreisförmig sein (obwohl die uns bekannten Kugeln dies sind).
-    Gegenbeispiel: $X = ℝ$, $d(x,y) \coloneq \left| ∫_x^y 1+\ind{ℝ_-}(s)\; ds \right|$.
+    Im Allgemeinen müssen Metrikkugeln nicht kreisförmig sein, obwohl die uns wohlbekannten Kugeln im $ℝ^n$ mit der von der euklidischen Norm induzierten Metrik dies sind.
+    Ein Gegenbeispiel dafür ist etwa $X = ℝ$ mit der Metrik $d$ definiert durch
+    \[
+        d(x,y) \coloneq \left| ∫_x^y 1+\ind{ℝ_-}(s) \dd s \right|.
+    \]
 \end{warnung-nn}
 
 \begin{lemma}
@@ -1229,6 +1244,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
 \end{proof}
 
 \begin{satz}
+    \label{satz:top-lin-t2-raum-kompakt-abgeschl-und-beschr-3.5.11}
     Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer $T_2$-Raum und $K ⊂ X$ kompakt.
     Dann ist $K$ abgeschlossen und beschränkt.
 \end{satz}
@@ -1239,7 +1255,8 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
 \end{bemerkung-nn}
 
 Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
-\begin{definition-nn}
+\begin{definition-nn}[Heine"=Borel"=Eigenschaft]
+    \index{Heine"=Borel"=Eigenschaft}
     Sei $(X,)$
     Falls auch die Umkehrung gilt, dann besitzt $X$ die \emph{Heine"=Borel"=Eigenschaft}.
 \end{definition-nn}
@@ -1259,7 +1276,12 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
     also folgt die Behauptung mit $\alpha  = n_s$. $(*)$ gilt wegen der Kreisförmigkeit und $\left|\frac {n_i}{n_s}\right| \le 1$.
 \end{proof}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}[relativ kompakt, präkompakt]
+    \label{defi:relativ-kompakt-präkompakt}
+    \index{kompakt!relativ}
+    \index{kompakt!prä-}
+    \index{kompakt}
+    \index{präkompakt}
     \begin{enumerate}
     \item 
         In einem topologischen Raum $(X,\T)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{relativ kompakt}, falls $\cl A$ kompakt ist.
@@ -1269,6 +1291,12 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
 \end{definition}
 
 \begin{satz}
+    \label{satz:metr-raum-kompaktheit-equ-charak-3.5.13}
+    \index{kompakt}
+    \index{kompakt!folgen-}
+    \index{folgenkompakt}
+    \index{kompakt!prä-}
+    \index{präkompakt}
     Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $\emptyset \ne A ⊂ X$. Dann sind äquivalent:
     \begin{enumerate}
     \item
@@ -1291,12 +1319,34 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
 \end{proof}
 
 \begin{korollar}
+    \label{kor:vollst-metr-praekomp-gdw-rel-kompakt-3.5.14}
     Ist $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und $A ⊂ X$, dann ist $A$ genau dann präkompakt, wenn $A$ relativ kompakt ist.
 \end{korollar}
+\begin{proof}
+    „⇐“:
+    Sei zunächst $A$ relativ kompakt in $X$.
+    Dann ist definitionsgemäß $\cl A$ abgeschlossen, also nach~\cref{satz:metr-raum-kompaktheit-equ-charak-3.5.13} auch präkompakt.
+    Da jede Teilmenge einer präkompakten Menge ebenfalls präkompakt ist, ist somit insbesondere auch $A$ präkompakt.
 
+    „⇒“:
+    Für die andere Implikation sei nun $A$ präkompakt.
+    Wir zeigen zunächst, dass $A$ präkompakt ist.
+    Sei dazu $ε > 0$ beliebig.
+    Da $A$ präkompakt ist, gibt es endlich viele $x_1,…,x_n ∈ X$ mit $A ⊂ \bigcup_{i=1}^n B_{ε/2}(x_i)$.
+    Dann ist aber auch
+    \[
+        \cl A ⊂ \bigcup_{i=1}^n \cl B_{ε/2}(x_i) ⊂ \bigcup_{i=1}^n B_{ε}(x_i),
+    \]
+    womit $\cl A$ präkompakt ist.
+
+    Da $\cl A$ als abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen Raumes ebenfalls vollständig ist, ist nach~\cref{satz:metr-raum-kompaktheit-equ-charak-3.5.13} $\cl A$ kompakt, was definitionsgemäß schon bedeutet, dass $A$ relativ kompakt ist.
+\end{proof}
 
 \begin{satz}[Ascoli-Arzela]
-    Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $C(S,ℝ^m)$ mit der Norm
+    \label{satz:ascoli-arzela-3.5.15}
+    \index{Satz!von Ascoli-Arzela}
+    \index{Ascoli-Arzela}
+    Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $X = C(S,ℝ^m)$ mit der Norm
     \[
         \norm{f}_∞ \coloneq \max_{x ∈ S} |f(x)|_{ℝ^m}
     \]
@@ -1304,14 +1354,66 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
     \begin{enumerate}
     \item $A$ ist präkompakt.
     \item
-        $A$ ist beschränkt und gleichgradig stetig, das heißt,
+        $A$ ist beschränkt (also es gibt ein $M > 0$ mit $\sup_{f ∈ A} \snorm{f}_{∞} < M$) und gleichgradig stetig, das heißt,
+        \index{stetig!gleichgradig}
         \[
             \sup_{f ∈ A} |f(x)-f(y)|_{ℝ^m} \yrightarrow[|x-y|→ 0]{} 0.
         \]
     \end{enumerate}
 \end{satz}
+\begin{proof}
+    „$(a) ⇒ (b)$“:
+    Sei zunächst $A$ präkompakt.
+    Wir zeigen zunächst die Beschränktheit:
+    Dann ist nach~\cref{kor:vollst-metr-praekomp-gdw-rel-kompakt-3.5.14}, da $C(S;ℝ^m)$ vollständig ist, $\cl A$ kompakt.
+    Mit~\cref{satz:top-lin-t2-raum-kompakt-abgeschl-und-beschr-3.5.11} folgt, dass $\cl A$, also auch die Teilmenge $A$, beschränkt ist.
+
+    Jetzt zu der gleichgradigen Stetigkeit.
+    Sei $ε > 0$ beliebig.
+    Da $A$ präkompakt ist, gibt es $f_1,…f_n ∈ X$ mit $A ⊂ B_ε(f_1) ∪ \dots ∪ B_ε(f_n)$.
+    Da alle (endlich vielen) $f_i$ als stetige Funktionen auf der kompakten Menge $S$ gleichmäßigstetig sind, gibt es ein $δ > 0$, so dass 
+    \[
+        |f_i(x)-f_i(y)| < ε
+    \]
+    für alle $1 ≤ i ≤ n$ und $x, y ∈ S$ mit $|x-y| < δ$.
+    Sei nun $f ∈ A$ beliebig. Dann ist $f$ in einem der $B_{ε}(f_i)$, etwa $B_{ε}(f_j)$ für ein  $1 ≤ j ≤ n$.
+    Dann gilt für alle $x, y ∈ S$ mit $|x-y| < δ$
+    \[
+        |f(x)-f(y)| ≤ 2ε + |f_j(x) - f_j(y)| ≤ 2ε + \max_{1 ≤ i ≤ n} |f_i(x) - f_i(y)| ≤ 2ε + ε = 3ε.
+    \]
+    Da $ε > 0$ beliebig war, ist somit $A$ gleichgradig stetig.
+
+    „$(b)⇒(a)$“: Sei nun $A$ beschränkt (durch $M$) und gleichgradig stetig.
+    Wir wollen zeigen, dass $A$ dann auch präkompakt ist.
+    Wir müssen dazu eine endliche Überdeckung von $A$ durch beliebig kleine Kugeln finden.
+    % Da $A$ gleichgradig stetig ist, gibt es für jedes $x ∈ S$ ein $δ_x > 0$ so dass für jedes $y ∈ B_δ(x) ∩ S$ und jedes $f ∈ A$ auch $|f(x)-f(y)| < ε$ ist.
+    % Dann ist $\{ B_{δ_x}(x): x ∈ S \}$ eine offene Überdeckung von $S$, also gibt es, da $S$ nach Voraussetzung kompakt ist, $x_1,…,x_n ∈ S$ mit Umgebungen $V_i \coloneq B_{δ_{x_i}}(x_i)$, so dass $X = V_1 ∪ \cdots ∪ V_n$.
+    Sei dazu $ε > 0$ beliebig.
+    Da $S$ und $\cl{B_M}(0)$ kompakte sind, gibt es endlich viele $ξ_1,…,ξ_k ∈ R^m$ und endlich viele $x_1,…,x_l ∈ ℝ^n$ mit $\cl{B_m}(0) ⊂ \bigcup_{i=1}^k B_ε(ξ_i)$  und $S ⊂ \bigcup_{j=1}^l B_ε(x_j)$.
+    Sei nun für eine Abbildung $π: \{1,…,l\} → \{1,…,k\}$
+    \[
+        A_π \coloneq \{ f ∈ A: |f(x_j) - ξ_{π(j)}| < ε \text{ für alle } j ∈ \{1,…,l\}\}.
+    \]
+    Da die  $B_ε(ξ_i)$ eine Überdeckung von $\cl{B_m}(0)$ bilden und wegen der Beschränktheit von $A$ durch $M$ gibt es für jedes $f ∈ A$ eine Abbildung $π$, so dass $f ∈ A_\pi$ ist, also $A = \bigcup_{π ∈ \Map([l], [k])} A_π$.
+
+    Für jedes $\pi ∈ \Map([l],[k])$, für das $A_{π} \ne \emptyset$ wählen wir ein $f_π ∈ A_π$ beliebig.
+    Sei nun $f ∈ A$. Dann gibt es ein $π$, so dass $f ∈ A_π$.
+    Sei $x ∈ S$ beliebig. Dann ist $x ∈ B_ε(x_j)$ für ein $1 ≤ j ≤ l$, also
+    \begin{align*}
+      |f(x) -f_π(x)| &≤ |f(x) -f(x_j)| + |f_π(x) - f_π(x_j)| + |f(x_j) - ξ_{π(j)}| + |f_π(x_j) - ξ_{π(j)}| \\
+                       &< 2 \sup_{|y-z|≤ε} \sup_{f ∈ A} |f(y)-f(z)| + 2 ε \eqcolon ε.
+    \end{align*}
+    Damit ist $\norm{f-f_π}_{∞} ≤ r_ε$.
+    Also gilt
+    \[
+        A ⊂ \bigcup_{π: A_π \ne \emptyset} B_{2r_ε}(f_π).
+    \]
+    Da $A$ gleichgradig stetig ist, konvergiert $r_ε → 0$ für $ε → 0$, was bedeutet, dass für hinreichend kleine Werte von $ε$ endliche Überdeckungen von $A$ durch beliebig kleine Bälle existieren, also die Präkompaktheit von $A$.
+\end{proof}
 
 \begin{satz}[Fréchet, Kolmogorov]
+    \index{Satz!von Fréchet und Kolmogorov}
+    \label{satz:frechet-kolmogorov-3.5.16}
     Sei $1 ≤ p < ∞$. Dann ist $A ⊂ L^p(ℝ^n)$ genau dann präkompakt, wenn
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
     \item
@@ -1327,18 +1429,79 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
         \]
     \end{enumerate}
 \end{satz}
-
 \begin{bemerkung-nn}
     Der Satz gilt auch für Teilmengen $Ω$ von $ℝ^n$ mit den offensichtlichen Anpassungen. Ist $Ω$ beschränkt, so wird (iii) überflüssig.
 \end{bemerkung-nn}
+\begin{proof}
+    Wir zeigen hier nur die einfachere  Implikation.
+    „⇒“:  Sei $A ⊂ L^p(ℝ^n)$ präkompakt und $ε > 0$
+    Dann gibt es nach~\cref{defi:relativ-kompakt-präkompakt} endlich viele $f_1,…,f_l ∈ L^p(ℝ^n)$ mit $A ⊂ \bigcup_{i=1}^l B_ε(f_i)$.
+    Jedes $f ∈ A$ ist dann in einem der $B_ε(f_i)$.
+    Folglich ist
+    \[
+        \norm{f}_{L^p(ℝ^n)} ≤ ε + \norm{f_i}_{L^p(ℝ^n)} ≤ ε + \max_{1≤i≤l} \norm{ff_i} < ∞,
+    \]
+    also $A$ beschränkt.
+    Weiter hat man
+    \[
+        \norm{f(\cdot + h)-f}_{L^p(ℝ^n)} ≤ 2ε + \max_{1≤i≤l} \norm{f_i(\cdot+h)-f_i}_{L^p(ℝ^n)}
+    \]
+    sowie
+    \[
+        \norm{f}_{L^p(ℝ^n \setminus B_R(0))} ≤ ε + \max_{1≤i≤l} \norm{f_i}_{L^p(ℝ^n \setminus B_R(0))},
+    \]
+    wobei jeweils die  letzen Summanden klein werten, wenn $h$ bzw $R$ groß werden, was (ii) und (iii) zeigt.
+
+    „⇐“: Zum Beispiel in~\cite[Satz 2.16]{alt2002lineare}.
+\end{proof}
+
+\subsection{Hölder-Räume}
+\label{sec:holder-raume}
+Wir betrachten nun weitere Funktionenräume, die zwischen dem  Raum der differenzierbaren und dem der stetigen Funktionen liegen:
+\begin{definition}[Hölder-Räume]
+    \label{defi:hölder-raum-3.5.17}
+    \index{Raum!Hölder-}
+    \index{stetig!gleichmäßig $α$-Hölder}
+    Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $0 < α ≤ 1$, $f: S → \K$ eine Abbildnug.
+    \begin{itemize}
+    \item $f$ heißt \emph{gleichmäßig $α$-Hölder stetig} auf $S$, falls $f$ stetig ist und
+        \[
+            \sup_{t_1 \ne t_2} \frac{|f(t_1)-f(t_2)|}{|t_1-t_2|^α} < ∞.
+        \]
+    \item
+        Wir definieren die \emph{Hölder-Räume}
+        \[
+            C^{0,α}(S) \coloneq \{ f: S → \K, f \text{ gleichmäßig $α$-Hölder stetig auf } S\}.
+        \]
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+Man beachte, dass die Definition für $α = 1$ gerade mit der Definition der Lipschitz"=stetigkeit zusammenfällt.
+Es gilt die Inklusionskette
+\[
+    C^1(S) ⊂ C^{0,β}(S) ⊂ C^{0,α}(S) ⊂ C^0(S) = C(S)
+\]
+für $1 ≥ β ≥ α > 0$. Mit der Norm $\norm-_{α}$ definiert durch
+\[
+    \norm f _α = \norm{f}_{C(S)} + \sup_{t_1 \ne t_2} \frac{|f(t_1)-f(t_2)|}{|t_1-t_2|^α} < ∞.
+\]
+wird  $C^{0,α}(S)$ zu einem vollständigen, normiertem Raum.
+Es ist nur ein hinreichendes Kompaktheitskriterium bekannt:
 
+\begin{satz}
+    \label{satz-hoelder-raum-kompaktheit-krit-3.5.18}
+    Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $A ⊂ C^{0,α}(S)$. Ist auch $A ⊂ C^{0,β}(S)$ für ein $β>α$ und $A$ als Teilmenge von $C^{0,β}(S)$ beschränkt, so ist $A$ als Teilmenge von $C^{0,α}(S)$ präkompakt.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Zum Beispiel in\cite[Übung 2.7]{alt2002lineare}.
+\end{proof}
 
 \section{Stetige lineare Operatoren}
 Seien $X, Y$ topologische lineare Räume und $T: X → Y$ linear.
 Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein:
 
 \begin{beispiel}
-    Sei $X = \mathcal S = ℝ^∞$ und für $i ∈ ℕ$ $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor.
+    Wir betrachten erneut den Raum aller Folgen. Sei $X = \mathcal S = ℝ^∞$ und für $i ∈ ℕ$ $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor.
     Dann ist $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ linear unabhängig, also gibt es nach~\cref{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3} eine Basis $\{w_i\}_{i ∈ I}$ von $S$, die $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ umfasst.
     Definiere $T: X → ℝ$ linear durch die Bilder der Basisvektoren $T(e_i) \coloneq 1$ und $T(w) \coloneq 0$ für $w ∈ B \setminus \{ e_i\}_{i ∈ ℕ}$.
     Dann ist $T$ nicht stetig in $0$, denn $f (\lim_{i → ∞} e_i) = f(0) = 0 \ne 1 = \lim_{i → ∞} f(e_i)$.
@@ -1370,7 +1533,7 @@ Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein:
         Es gibt eine Konstante $C ≥ 0$ mit $\norm{Tx} ≤ C \norm{x}$  für alle $x ∈ X$.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
-Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
+Hier gilt $M = \inf \{ C \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
 \begin{proof}
     $(1) \iff (2)$ schon gezeigt.
 
@@ -1392,7 +1555,7 @@ Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
 
     $(5) \Rightarrow (1)$. Für $x, x_1 ∈ X$ gilt
     \[
-        \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm x-x_1 \yrightarrow[x → x_1]{} 0.
+        \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm {x-x_1} \yrightarrow[x → x_1]{} 0.
     \]
     Damit ist $T$ stetig in $x_1$.
 \end{proof}
@@ -1573,7 +1736,7 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
 
 \begin{korollar}
     Sei $X$ ein linearer Raum der Dimension $n ∈ ℕ$, $\norm-_a$ und $\norm-_b$ zwei Normen auf $X$.
-    Dann sind $\norm-_a$ und $\norm-b$ äquivalent.
+    Dann sind $\norm-_a$ und $\norm-_b$ äquivalent.
 \end{korollar}
 
 \begin{satz}
-- 
cgit v1.2.3-24-g4f1b

