From e916051fd2a33b1349c3e2cf69bbb6763b7f0b52 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Sat, 13 Jan 2018 00:44:34 +0100
Subject: Kapitel 5 ergänzt
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@@ -450,6 +450,85 @@ Im Allgemeinen kann auch $X' = \{0\}$ gelten.
 Ist $X$ jedoch ein Hilbertraum, so ist stets $X' \ne \{0\}$, denn zu $y ∈ X$ ist durch $y'[x] \coloneq \langle y,x \rangle, x ∈ X$  jeweils ein $y' ∈ X'$ erklärt.
 Tatsächlich bekommt man dadurch sogar schon alle Elemente des Dualraums:
 
+\begin{satz}[Riesz'scher Darstellungssatz]
+    \label{satz:rieszscher-darstellungssatz-4.4.1}
+    \index{Satz!Riesz'scher Darstellungs-}
+    \index{Riesz'scher Darstellungssatz}
+    Sei $(X,\langle -,- \rangle)$ ein (reeller oder komplexer) Hilbertraum und $y' ∈ X'$ gegeben.
+    Dann existiert genau ein Element $\tilde y = \tilde y(y') ∈ X$, so dass
+    \[
+        y'[x] = \langle \tilde y, x \rangle
+    \]
+    für alle $x ∈ X$ gilt.
+
+
+    Ist $X$ ein reeller Hilbertraum, so ist das eindeutig bestimmte Element $\tilde y = \tilde y (y') ∈ X$ von oben auch die eindeutig bestimmte Lösung des \emph{Variationsproblems}\index{Variationsproblem}, das die Abbildung $F: X → ℝ, x ↦ \langle  x,x \rangle - 2y'[x]$ minimiert.
+    Jede Minimalfolge $(x_j)_{j ∈ ℕ} ⊂ X$ des Variationsproblems, also eine Folge mit $\lim_{j → ∞} F(x_j) = \inf_{x ∈ X} F(x)$, konvergiert gegen dieses $\tilde y$, das heißt $F(\tilde y ) = \inf_{x ∈ X} F(x)$ und $\lim_{j → ∞} \norm{x_j - \tilde y} = 0$.
+\end{satz}
+
+\begin{korollar}
+    \label{kor:aus-riesz-spezfall-von-lax-milgram-4.4.2}
+    Sei $B: X → X → \K$ eine \emph{hermitesche Sesquilinearform}\index{hermitesch}\index{Sesquilinearform}, die
+    \begin{enumerate}
+    \item \emph{beschränkt (stetig)}\index{stetig!Bilinearform}, also es gibt ein $c_1 > 0$, so dass $|B(x,y)| ≤ c_1 \norm x \snorm y$ für alle $x, y ∈ X$
+    \item \emph{positiv definitiv}\index{positiv definit!Bilinearform}. also es gibt ein $c_2 > 0$, so dass $B(x,x) ≥ c_2 \norm{x}^2$ für alle $x ∈ X$
+    \end{enumerate}
+    ist, dann existiert zu jedem Funktional $y' ∈ X'$ genau ein $y ∈ X$ mit der Eigenschaft
+    \[
+        ∀x ∈ X: y'[x] = B(y,x).
+    \]
+\end{korollar}
+
+\begin{bemerkung}[Lax-Milgram]
+    \index{Lax-Milgram}
+    \label{bem:lax-milgram-4.4.3}
+    Die Voraussetzung \emph{hermitesch} in~\cref{kor:aus-riesz-spezfall-von-lax-milgram-4.4.2} ist nicht notwendig:
+    Ist $X$ ein Hilbertraum, $B: X × X → \K$ eine \emph{beschränkte Sesquilinearform}, für die es ein $c_3 > 0$ gibt, so dass $\Re(B(x,x)) ≥ c_3 \norm x ^2$ für alle $x ∈ X$ ist, 
+    dann existiert zu jedem Funktional $y' ∈ X'$ genau ein $y ∈ X$ mit der Eigenschaft
+    \[
+        ∀x ∈ X: y'[x] = B(y,x).
+    \]
+\end{bemerkung}
+\begin{proof}
+    In~\cite[Satz 4.7]{alt2002lineare}
+\end{proof}
+
+Satz~\ref{satz:rieszscher-darstellungssatz-4.4.1} liefert also, dass die Abbildung
+\index{$J_x$}
+\[
+    J_X: X → X', y ↦ y',
+\]
+wobei $y'$ als $X → \K, x ↦ \langle y,x \rangle$ definiert ist, bijektiv und sesquilinear ist.
+Damit sind $X$ und $X'$ algebraisch isomorph. Es gilt für $x, y ∈ X$
+\[
+    \lAngle J_X(y),x \rAngle = \lAngle J_X(y), x \rAngle_{X'×X} \coloneq J_x(y)[x] = \langle  y,x \rangle.
+\]
+Diese Isomorphie gilt auch topologisch:
+
+\begin{satz}
+    \label{satz:hilbertraum-dualraum-isomorph-4.4.4}
+    Sei $X$ ein Hilbertraum.
+    Dann ist auch $X'$ ein Hilbertraum und $J_X: X → X'$ ist ein sesquilinearer Isomorphismus, der die Norm erhält, also eine Isometrie\index{Isometrie}.
+    Wir nennen $J_x$ den \emph{kanonischen Isomorphismus}\index{kanonischer Isomorphismus} zwischen $X$ und $X'$.
+    Genauer gilt:
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        $\langle y_1', y_2' \rangle_X' \coloneq \conj{\langle  y_1, y_2 \rangle_X}$ macht $X'$ zum Skalarproduktraum.
+    \item
+        Die durch $\langle -,- \rangle_{X'}$ induzierte Norm $\norm{y'}_{X',S}$ ist gerade die von $X' = \L(X, \K)$ bekannte, das heißt
+        \[
+            \norm{y'}_{X',S} = \norm{y'}_{X',N} = \sup_{\norm x ≤ 1} \left| y'[x] \right|.
+        \]
+    \item
+        Da $(X',\norm-_{X',N})$ vollständig war, ist $(X', \langle  -,- \rangle_{X'})$ ein Hilbertraum.
+    \item
+        $J_x: X → X'$ ist Isometrie, das heißt
+        \[
+            ∀y ∈X: \norm{J_x(y)}_{X'} = \norm{y}_X.
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
 
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 %%% mode: latex
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