From e916051fd2a33b1349c3e2cf69bbb6763b7f0b52 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Sat, 13 Jan 2018 00:44:34 +0100
Subject: Kapitel 5 ergänzt
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 ch05-hahn-banach.tex | 139 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------
 1 file changed, 112 insertions(+), 27 deletions(-)

(limited to 'ch05-hahn-banach.tex')

diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex
index e532ad9..c0ff875 100644
--- a/ch05-hahn-banach.tex
+++ b/ch05-hahn-banach.tex
@@ -6,7 +6,9 @@
 
 Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wie z.B. Linearität oder Stetigkeit) erhalten bleiben.
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}[Fortsetzung]
+    \index{Fortsetzung}
+    \label{defi:fortsetzung-5.1.1}
     Eine Abbildung $A: M → Y$ heißt eine Fortsetzung einer Abbildung $A_0: M_0 → X$, falls
     \begin{enumerate}
     \item $ M_0 ⊂ M$,
@@ -16,7 +18,8 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi
 \end{definition}
 
 \begin{satz}
-    Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normietre Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$.
+    \label{satz:auf-dichtem-teilraum-def-stetig-linear-abb-ist-fortsetzbar-5.1.2}
+    Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normierte Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$.
     Weiter sei $(Y, \norm-_{Y})$ ein Banachraum und $A_0 : X_0 → Y$ stetig und linear.
     Dann gibt es genau eine stetige lineare Fortsetzung $A : X → Y$ von $A_0$ auf $X$.
     Für diese gilt:
@@ -74,6 +77,7 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi
 \end{proof}
 
 \begin{korollar}
+    \label{kor:abb-auf-dichter-teilmenge-null-ueberall-null-5.1.3}
     Ist $A ∈ \L(X,Y)$, $X, Y$ normiert sowie $Y$ vollständig und $M ⊂ X$ dicht, dann gilt:
     Falls $Ax = 0$ für alle $x ∈ M$, dann ist $A$ schon die Nullabbildung auf $X$.
 \end{korollar}
@@ -84,7 +88,12 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi
 Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
 
 
-\begin{satz}
+\begin{satz}[Hahn-Banach]
+    \label{satz:hahn-banach-5.1.4}
+    \index{Satz!von Hahn-Banach}
+    \index{Hahn-Banach}
+    \index{positiv homogen}
+    \index{subadditiv}
     Auf dem linearen Raum $X$ über $ℝ$ gebe es eine Abbildung $p: X → ℝ$ mit:
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
     \item
@@ -93,7 +102,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
         $p(x+y) \le p(x) + p(y)$ für alle $x, y ∈ X$ (subadditiv)
     \end{enumerate}
 
-    Weiter seine $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit
+    Weiter seien $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit
     \[
         ∀x ∈ X_0 : f_0(x) \le p(x).
     \]
@@ -107,7 +116,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
 \end{bemerkung-nn}
 \begin{proof}
     Schritt 1.
-    Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$  für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneqq X$).
+    Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$  für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneq X$).
     Offenbar hat jedes $x ∈X_1$ eine eindeutig Darstellung als
     $ y = y + \alpha x_1 $,  mit $y ∈ X_0$, $\alpha  ∈ ℝ$.
     Dann ist mit $c ∈ ℝ$ beliebig
@@ -154,17 +163,89 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
 \end{proof}
 
 \begin{bemerkung-nn}
-    \begin{enumerate}
-    \item 
     Ohne die Zusatzforderung $f(x) \le p(x)$ für alle $x ∈X$ ist die lineare Fortsetzbarkeit trivial.
-    \item 
-        Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog möglich. % yos IV 4
-    \end{enumerate}
+    Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog
+    möglich \cite[Ch. IV, 4]{MR617913}.
 \end{bemerkung-nn}
 
-%% HIER FEHLT EINE VORLESUNG
+\begin{korollar}[Hahn-Banach für normierte Räume]
+    \index{Hahn-Banach!für normierte Räume}
+    \index{Satz!von Hahn-Banach für normierte Räume}
+    \label{kor:hahn-banach-fuer-normierte-raeume-5.1.5}
+    Sei $(X,\norm-)$ ein normierter Raum, $X_0$ ein linearer Teilraum und $f_0 ∈ X_0'$  sei ein stetiges lineares Funktional auf $X_0$. Dann existiert eine normerhaltende Fortsetzung $f ∈ X'$ vobn $f_0$, das heißt
+    \[
+        f|_{X_0} = f_0\quad \text{und} \quad \norm{f}_{X'} = \norm{f_0}_{X_0'}.
+    \]
+\end{korollar}
+
+\section{Existenz nichttrivaler stetiger Funktionale}
+
+\begin{korollar}
+    \label{kor:ex-nichttriv-stetig-funktional-5.2.1}
+    Zu jedem Element $x_0 \ne 0$ des normierten Raumes $(X,\norm-)$ existiert ein $f ∈X'$ mit $\norm{f}_{X'} = 1$ und $f(x_0) = \norm{x_0}$.
+    Insbesondere ist $X' \ ne \{0\}$.
+\end{korollar}
+
+\begin{korollar}[Normformel]
+    Für jedes Element $x$ eines normierten Raumes $(X, \norm-)$ gilt
+    \[
+         \norm{x} = \sup_{f ∈ X', \norm{f} = 1} |f(x)|.
+    \]
+    
+\end{korollar}
+
+\begin{korollar}
+    \label{kor:5.2.3}
+    Sei $(X,\norm -)$ ein normierter Raum. Dann gilt
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Falls $f(x) = 0$ für alle $f ∈ X'$ gilt, war bereits $x = 0$.
+    \item
+        Aus $f(x_1) = f(x_2)$ für alle $f ∈ X'$ folgt $x_1 = x_2$.
+    \item
+        Aus $|f(x_0)| ≤ C$ für alle $f ∈ X'$ mit $\norm{f} = 1$ folgt $\norm {x_0} ≤ C$.
+    \end{enumerate}
+\end{korollar}
+
+\begin{bemerkung}
+    In jedem lokalen-konvexen topologischen linearen Raum  $X$ gibt es nichttriviale stetige lineare Funktionale, das heißt $\{0\} \subsetneq X'$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+    Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $(X,\norm-)$ und für $x_0 ∈ X \setminus Y$
+    \[
+        d = \operatorname{dist}(x_0,Y) \coloneq \inf_{y ∈ Y} \norm{x_0 - y}.
+    \]
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Dann gilt für alle $f ∈ X'$ mit $\norm f = 1$  und $f|_Y = 0$:
+        \[
+            |f(x_’)| ≤ \operatorname{dist}(x_0, Y).
+        \]
+    \item
+        Im Falle $d > 0$ gibt es ein derartiges $f$ mit $f(x_0) = \operatorname{dist}(x_0, Y)$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
 
-\begin{satz}[5.3.1]
+\begin{satz}[Dichtekriterium von Banach]
+    \index{Dichtekriterium von Banach}
+    \index{Banachsches Dichtekriterium}
+    \label{folgerung:dichtekriterium-banach-5.2.6}
+    Sei $(X,\norm-)$ ein normiterter Raum und $M ⊂ X$.
+    Dann sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $\operatorname{cl}_X(\lspan(M)) = X$
+    \item
+        Für alle $f ∈ X'$ mit $f|_{M} = 0$ gilt schon $f = 0$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\section{Trennung Konvexer Mengen}
+\begin{satz}[Mazur]
+    \index{Satz!von Mazur}
+    \index{Mazur}
+    \label{satz:mazur-5.3.1}
     Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum über $ℝ$, $M ⊂ X$ abgeschlossen und konvex und $0 ∈ M$.
     Dann existiert zu jedem $x_0 \not\in M$ ein $f ∈ X'$ mit
     \[
@@ -189,7 +270,7 @@ Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + \epsilon \}$ für $0 < \epsilon  < f(
         \frac r 2 > \norm{z_{n_0} - x_0} = \norm{y_{n_0 - x_0} + u_{n_0}} \ge |\underbrace{\norm{y_{n_0-x_0}}}_{\ge 2r} - \underbrace{\norm{u_{n_0}}}_{\le r}| \ge r.
     \]
 
-    Verwende nun das Minkowski-Funktional
+    Verwende nun das Minkowski-Funktional\index{Minkowski-Funktional}
     \[
         p_N(x) \coloneq \inf \{ρ > 0: ρ^{-1} x ∈ N\}, \quad x ∈ X.
     \]
@@ -233,7 +314,10 @@ Dann existiert $X'$ und ist ein Banachraum.
 Aber dann existiert auch $X'' \coloneq (X')'$ und ist ebenfalls ein Banachraum.
 Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}[kanonische Abbildung]
+    \index{$J_0$}
+    \index{kanonische Abbildung}
+    \label{defi:kanonische-abb-5.4.1}
     Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist definiert durch
     \[
         J_0(x) [x'] = \lAngle J_0(x), x' \rAngle_{X''×X'} \coloneq \lAngle x', x \rAngle_{X'×X} = x'[x] ∈ \K
@@ -267,14 +351,14 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
     \[
         \lAngle x', x_1-x_2 \rAngle = 0.
     \]
-    Mit Folgerung 2.3(1) folgt $x_1-x_2 = 0$.
+    Mit~\cref{kor:5.2.3}  folgt $x_1-x_2 = 0$.
 
     Zur Isometrieeigenschaft bleibt zu zeigen: $\norm{J_0x} = \norm{x}$ für alle $x ∈ X''$.
-    „$\le$“: Aus (4.1) folgt bereits
+    „$\le$“: Aus~\cref{defi:kanonische-abb-5.4.1} folgt bereits
     \[
         \norm{J_0(x)}_{X''} = \sup_{\norm{x'} \le 1} |J_0(x)[x'] \le \norm{x}_X.
     \]
-    „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach Korollar 2.1 ein $x_0' ∈ X'$ mit
+    „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach  ein $x_0' ∈ X'$ mit
     $\norm{x_0'}_{X'} = 1$ und $x_0'[x_0]= \norm{x_0}$.
     Also folgt
     \[
@@ -283,7 +367,9 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
     Da $x_0$ beliebig war, gilt $\norm{J_0x}_{X''} \ge \norm{x}$.
 \end{proof}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}[reflexiv]
+    \index{reflexiv}
+    \label{defi:reflexiv-5.4.3}
     Ein Banachraum $X$ heißt \emph{reflexiv}, wenn $J_0$ surjektiv ist, also $X$ und $X''$ isomorph sind vermöge $J_0$.
 \end{definition}
 
@@ -296,6 +382,7 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
 \end{warnung-nn}
 
 \begin{satz}
+    \label{satz:hilbertraum-refl-5.4.4}
     Jeder Hilbertraum $H$ ist reflexiv
 \end{satz}
 \begin{noproof}
@@ -316,8 +403,8 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
     Dies ist zum Beispiel in der Variationsrechnung sehr wichtig.
 \end{bemerkung-nn}
 
-\begin{definition}
-    Eine Folge  $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn
+\begin{definition}[schwach konvergent]
+    Eine Folge  $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{\index{Konvergenz!schwache}\index{schwach konvergent}schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn
     \[
         \lim_{n → \infty } x'[x_n] = x'[x]
     \]
@@ -329,17 +416,15 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
 \end{bemerkung-nn}
 
 \begin{beispiel-nn}
-    Für $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ Hilbertraumbasis in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt
+    Für eine Hilbertraumbasis $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt
     \[
-        \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty )
+        \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty ).
     \]
-\end{beispiel-nn}
 
-\begin{bemerkung-nn}
     $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge
     ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0}
     \not\rightarrow 0\; (i → \infty )$.
-\end{bemerkung-nn}
+\end{beispiel-nn}
 
 \begin{proof}
     Der kanonische Isomorphismus $J_X: X  → X', y ↦ y'$ mit $y'[x] = \langle y,x \rangle$ für alle $x ∈ X$ liefert
@@ -483,7 +568,7 @@ Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$
     \]
     Wir nennen
     \[
-        \Var_{a,b}(v) := \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v) 
+        \Var_{a,b}(v) \coloneq \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v) 
     \]
     die \emph{totale Variation von $v$} auf $[a,b]$.
 \end{definition}
@@ -495,7 +580,7 @@ Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$
 \end{beispiel-nn}
 
 \begin{bemerkung-nn}
-    Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist v. b. V. $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch
+    Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist von beschränkter Variation $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch
     \[
         \norm{v} := |v(a)| + \Var_{a,b}(v)
     \]
-- 
cgit v1.2.3-24-g4f1b

