From e916051fd2a33b1349c3e2cf69bbb6763b7f0b52 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ulli Kehrle Date: Sat, 13 Jan 2018 00:44:34 +0100 Subject: Kapitel 5 ergänzt MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ch05-hahn-banach.tex | 139 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------- 1 file changed, 112 insertions(+), 27 deletions(-) (limited to 'ch05-hahn-banach.tex') diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex index e532ad9..c0ff875 100644 --- a/ch05-hahn-banach.tex +++ b/ch05-hahn-banach.tex @@ -6,7 +6,9 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wie z.B. Linearität oder Stetigkeit) erhalten bleiben. -\begin{definition} +\begin{definition}[Fortsetzung] + \index{Fortsetzung} + \label{defi:fortsetzung-5.1.1} Eine Abbildung $A: M → Y$ heißt eine Fortsetzung einer Abbildung $A_0: M_0 → X$, falls \begin{enumerate} \item $ M_0 ⊂ M$, @@ -16,7 +18,8 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi \end{definition} \begin{satz} - Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normietre Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$. + \label{satz:auf-dichtem-teilraum-def-stetig-linear-abb-ist-fortsetzbar-5.1.2} + Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normierte Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$. Weiter sei $(Y, \norm-_{Y})$ ein Banachraum und $A_0 : X_0 → Y$ stetig und linear. Dann gibt es genau eine stetige lineare Fortsetzung $A : X → Y$ von $A_0$ auf $X$. Für diese gilt: @@ -74,6 +77,7 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi \end{proof} \begin{korollar} + \label{kor:abb-auf-dichter-teilmenge-null-ueberall-null-5.1.3} Ist $A ∈ \L(X,Y)$, $X, Y$ normiert sowie $Y$ vollständig und $M ⊂ X$ dicht, dann gilt: Falls $Ax = 0$ für alle $x ∈ M$, dann ist $A$ schon die Nullabbildung auf $X$. \end{korollar} @@ -84,7 +88,12 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. -\begin{satz} +\begin{satz}[Hahn-Banach] + \label{satz:hahn-banach-5.1.4} + \index{Satz!von Hahn-Banach} + \index{Hahn-Banach} + \index{positiv homogen} + \index{subadditiv} Auf dem linearen Raum $X$ über $ℝ$ gebe es eine Abbildung $p: X → ℝ$ mit: \begin{enumerate}[label=(\roman*)] \item @@ -93,7 +102,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. $p(x+y) \le p(x) + p(y)$ für alle $x, y ∈ X$ (subadditiv) \end{enumerate} - Weiter seine $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit + Weiter seien $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit \[ ∀x ∈ X_0 : f_0(x) \le p(x). \] @@ -107,7 +116,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. \end{bemerkung-nn} \begin{proof} Schritt 1. - Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$ für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneqq X$). + Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$ für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneq X$). Offenbar hat jedes $x ∈X_1$ eine eindeutig Darstellung als $ y = y + \alpha x_1 $, mit $y ∈ X_0$, $\alpha ∈ ℝ$. Dann ist mit $c ∈ ℝ$ beliebig @@ -154,17 +163,89 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. \end{proof} \begin{bemerkung-nn} - \begin{enumerate} - \item Ohne die Zusatzforderung $f(x) \le p(x)$ für alle $x ∈X$ ist die lineare Fortsetzbarkeit trivial. - \item - Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog möglich. % yos IV 4 - \end{enumerate} + Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog + möglich \cite[Ch. IV, 4]{MR617913}. \end{bemerkung-nn} -%% HIER FEHLT EINE VORLESUNG +\begin{korollar}[Hahn-Banach für normierte Räume] + \index{Hahn-Banach!für normierte Räume} + \index{Satz!von Hahn-Banach für normierte Räume} + \label{kor:hahn-banach-fuer-normierte-raeume-5.1.5} + Sei $(X,\norm-)$ ein normierter Raum, $X_0$ ein linearer Teilraum und $f_0 ∈ X_0'$ sei ein stetiges lineares Funktional auf $X_0$. Dann existiert eine normerhaltende Fortsetzung $f ∈ X'$ vobn $f_0$, das heißt + \[ + f|_{X_0} = f_0\quad \text{und} \quad \norm{f}_{X'} = \norm{f_0}_{X_0'}. + \] +\end{korollar} + +\section{Existenz nichttrivaler stetiger Funktionale} + +\begin{korollar} + \label{kor:ex-nichttriv-stetig-funktional-5.2.1} + Zu jedem Element $x_0 \ne 0$ des normierten Raumes $(X,\norm-)$ existiert ein $f ∈X'$ mit $\norm{f}_{X'} = 1$ und $f(x_0) = \norm{x_0}$. + Insbesondere ist $X' \ ne \{0\}$. +\end{korollar} + +\begin{korollar}[Normformel] + Für jedes Element $x$ eines normierten Raumes $(X, \norm-)$ gilt + \[ + \norm{x} = \sup_{f ∈ X', \norm{f} = 1} |f(x)|. + \] + +\end{korollar} + +\begin{korollar} + \label{kor:5.2.3} + Sei $(X,\norm -)$ ein normierter Raum. Dann gilt + \begin{enumerate} + \item + Falls $f(x) = 0$ für alle $f ∈ X'$ gilt, war bereits $x = 0$. + \item + Aus $f(x_1) = f(x_2)$ für alle $f ∈ X'$ folgt $x_1 = x_2$. + \item + Aus $|f(x_0)| ≤ C$ für alle $f ∈ X'$ mit $\norm{f} = 1$ folgt $\norm {x_0} ≤ C$. + \end{enumerate} +\end{korollar} + +\begin{bemerkung} + In jedem lokalen-konvexen topologischen linearen Raum $X$ gibt es nichttriviale stetige lineare Funktionale, das heißt $\{0\} \subsetneq X'$. +\end{bemerkung} + +\begin{satz} + Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $(X,\norm-)$ und für $x_0 ∈ X \setminus Y$ + \[ + d = \operatorname{dist}(x_0,Y) \coloneq \inf_{y ∈ Y} \norm{x_0 - y}. + \] + \begin{enumerate} + \item + Dann gilt für alle $f ∈ X'$ mit $\norm f = 1$ und $f|_Y = 0$: + \[ + |f(x_’)| ≤ \operatorname{dist}(x_0, Y). + \] + \item + Im Falle $d > 0$ gibt es ein derartiges $f$ mit $f(x_0) = \operatorname{dist}(x_0, Y)$. + \end{enumerate} +\end{satz} -\begin{satz}[5.3.1] +\begin{satz}[Dichtekriterium von Banach] + \index{Dichtekriterium von Banach} + \index{Banachsches Dichtekriterium} + \label{folgerung:dichtekriterium-banach-5.2.6} + Sei $(X,\norm-)$ ein normiterter Raum und $M ⊂ X$. + Dann sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item + $\operatorname{cl}_X(\lspan(M)) = X$ + \item + Für alle $f ∈ X'$ mit $f|_{M} = 0$ gilt schon $f = 0$. + \end{enumerate} +\end{satz} + +\section{Trennung Konvexer Mengen} +\begin{satz}[Mazur] + \index{Satz!von Mazur} + \index{Mazur} + \label{satz:mazur-5.3.1} Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum über $ℝ$, $M ⊂ X$ abgeschlossen und konvex und $0 ∈ M$. Dann existiert zu jedem $x_0 \not\in M$ ein $f ∈ X'$ mit \[ @@ -189,7 +270,7 @@ Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + \epsilon \}$ für $0 < \epsilon < f( \frac r 2 > \norm{z_{n_0} - x_0} = \norm{y_{n_0 - x_0} + u_{n_0}} \ge |\underbrace{\norm{y_{n_0-x_0}}}_{\ge 2r} - \underbrace{\norm{u_{n_0}}}_{\le r}| \ge r. \] - Verwende nun das Minkowski-Funktional + Verwende nun das Minkowski-Funktional\index{Minkowski-Funktional} \[ p_N(x) \coloneq \inf \{ρ > 0: ρ^{-1} x ∈ N\}, \quad x ∈ X. \] @@ -233,7 +314,10 @@ Dann existiert $X'$ und ist ein Banachraum. Aber dann existiert auch $X'' \coloneq (X')'$ und ist ebenfalls ein Banachraum. Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. -\begin{definition} +\begin{definition}[kanonische Abbildung] + \index{$J_0$} + \index{kanonische Abbildung} + \label{defi:kanonische-abb-5.4.1} Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist definiert durch \[ J_0(x) [x'] = \lAngle J_0(x), x' \rAngle_{X''×X'} \coloneq \lAngle x', x \rAngle_{X'×X} = x'[x] ∈ \K @@ -267,14 +351,14 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. \[ \lAngle x', x_1-x_2 \rAngle = 0. \] - Mit Folgerung 2.3(1) folgt $x_1-x_2 = 0$. + Mit~\cref{kor:5.2.3} folgt $x_1-x_2 = 0$. Zur Isometrieeigenschaft bleibt zu zeigen: $\norm{J_0x} = \norm{x}$ für alle $x ∈ X''$. - „$\le$“: Aus (4.1) folgt bereits + „$\le$“: Aus~\cref{defi:kanonische-abb-5.4.1} folgt bereits \[ \norm{J_0(x)}_{X''} = \sup_{\norm{x'} \le 1} |J_0(x)[x'] \le \norm{x}_X. \] - „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach Korollar 2.1 ein $x_0' ∈ X'$ mit + „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach ein $x_0' ∈ X'$ mit $\norm{x_0'}_{X'} = 1$ und $x_0'[x_0]= \norm{x_0}$. Also folgt \[ @@ -283,7 +367,9 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. Da $x_0$ beliebig war, gilt $\norm{J_0x}_{X''} \ge \norm{x}$. \end{proof} -\begin{definition} +\begin{definition}[reflexiv] + \index{reflexiv} + \label{defi:reflexiv-5.4.3} Ein Banachraum $X$ heißt \emph{reflexiv}, wenn $J_0$ surjektiv ist, also $X$ und $X''$ isomorph sind vermöge $J_0$. \end{definition} @@ -296,6 +382,7 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. \end{warnung-nn} \begin{satz} + \label{satz:hilbertraum-refl-5.4.4} Jeder Hilbertraum $H$ ist reflexiv \end{satz} \begin{noproof} @@ -316,8 +403,8 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. Dies ist zum Beispiel in der Variationsrechnung sehr wichtig. \end{bemerkung-nn} -\begin{definition} - Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn +\begin{definition}[schwach konvergent] + Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{\index{Konvergenz!schwache}\index{schwach konvergent}schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn \[ \lim_{n → \infty } x'[x_n] = x'[x] \] @@ -329,17 +416,15 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. \end{bemerkung-nn} \begin{beispiel-nn} - Für $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ Hilbertraumbasis in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt + Für eine Hilbertraumbasis $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt \[ - \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty ) + \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty ). \] -\end{beispiel-nn} -\begin{bemerkung-nn} $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0} \not\rightarrow 0\; (i → \infty )$. -\end{bemerkung-nn} +\end{beispiel-nn} \begin{proof} Der kanonische Isomorphismus $J_X: X → X', y ↦ y'$ mit $y'[x] = \langle y,x \rangle$ für alle $x ∈ X$ liefert @@ -483,7 +568,7 @@ Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ \] Wir nennen \[ - \Var_{a,b}(v) := \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v) + \Var_{a,b}(v) \coloneq \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v) \] die \emph{totale Variation von $v$} auf $[a,b]$. \end{definition} @@ -495,7 +580,7 @@ Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ \end{beispiel-nn} \begin{bemerkung-nn} - Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist v. b. V. $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch + Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist von beschränkter Variation $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch \[ \norm{v} := |v(a)| + \Var_{a,b}(v) \] -- cgit v1.2.3-24-g4f1b