From 3de78a26a64b0ee5fc33587a85e9e0aa9c48ec7b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Thu, 21 Dec 2017 15:49:10 +0100
Subject: VL donnerstag hinzugefügt
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 ch06-schwache-topologien.tex | 53 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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+++ b/ch06-schwache-topologien.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+\chapter{Schwache Topologien}
+In diesem Kapitel sei $X$ grundsätzlich ein normierter linearer Raum.
+
+Wir wissen bereits, dass $\cl{B_1(0)}$ genau dann kompakt ist, wenn $\dim X < ∞$ ist.
+
+Wir suchen nun eine sinnvolle Topologie für $X$, die von der Normtopologie noch
+möglichst viele Eigenschaften mitnimmt, aber  die Einheitskugel kompakt macht.
+
+\section{Schwache und schwach$*$-Topologie}
+
+Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei
+\begin{equation}\label{eq:11}
+    U(x',ε) \coloneq \{ x ∈ X: |x'[x]| < ε\} ⊂ X
+\end{equation}
+
+\begin{definition}
+    Eine Menge $V ⊂ X$ heißt offen bezüglich der \emph{schwachen Topologie}, falls für jedes $x_0 ∈ V$ endlich viele $x_1',…,x_k' ∈ X'$ existieren und $ε_1, …, ε_k > 0$, so dass
+    \[
+        x_0 + \bigcap_{i=1}^k U(x_i',ε_i) ⊂ V
+    \]
+    gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    Das heißt, die Menge der endlichen Schnitte der $U(x', ε)$ aus \eqref{eq:11}
+    bilden eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$ für die sogenannte \emph{schwache Topologie} $\T_w ⊂ \Pot{X}$ auf $X$.
+    Insbesondere ist $U(x', ε)$ selber offen in $\T_w$ (Übung).
+    Damit sind auf $X$ zwei verschiedene Topologien erklärt, nämlich $(X,\T_w)$ und $(X,\T_S)$, wobei $\T_s$ nun die (starke) Normtopologie bezeichne.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        $(X,\T_w)$ ist ein topologischen linearer Raum, der Hausdorffsch ist.
+    \item
+        Jede schwach offene Menge ist auch stark offen, das heißt die Normtopologie ist feiner als die Schwache Topologie bzw $\T_w ⊂ \T_s$.
+        \begin{warnung-nn}
+            Die Umkehrung gilt in der Regel nicht.
+            Falls $V ⊂ X$ stark offen und konvex ist, so ist $V$ auch schwach offen (Übung).
+        \end{warnung-nn}
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Übung.
+\end{proof}
+\begin{bemerkung-nn}
+    $(X,\T_w)$ ist ein topologischer linearer Raum, also folgt aus dem Invarianzprinzip, dass die Topologie bereits vollständig durch die offenen Umgebungen der Null bestimmt ist.
+\end{bemerkung-nn}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "funkana-ebook"
+%%% End:
-- 
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