From 565a46a1bdc5e2d41c84a47adeb95363d36f4129 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ulli Kehrle Date: Sat, 30 Dec 2017 15:01:41 +0100 Subject: updated everything --- ch06-schwache-topologien.tex | 30 ++++++++++++------------------ 1 file changed, 12 insertions(+), 18 deletions(-) (limited to 'ch06-schwache-topologien.tex') diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex index 52a7f4d..ea30203 100644 --- a/ch06-schwache-topologien.tex +++ b/ch06-schwache-topologien.tex @@ -4,7 +4,7 @@ Wir wissen bereits, dass $\cl{B_1(0)}$ genau dann kompakt ist, wenn $\dim X < Wir suchen nun eine sinnvolle Topologie für $X$, die von der Normtopologie noch möglichst viele Eigenschaften mitnimmt, aber die Einheitskugel kompakt macht. -\section{Schwache und schwach$*$-Topologie} +\section{Schwache und schwach\(*\)-Topologie} Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei \begin{equation}\label{eq:11} @@ -80,10 +80,8 @@ Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei \begin{proof} Übung. \end{proof} -\begin{bemerkung-nn} - Wir schreiben für die schwache Konvergenz $x_n \xrightharpoonup[n → ∞]{} x_0$. - Im Beispiel zur Definition 5.4.5 haben wir gesehen, dass $e_i \xrightharpoonup[n→∞]{} 0$ in $\ell^2$. -\end{bemerkung-nn} +Wir schreiben für die schwache Konvergenz $x_n \yrightharpoonup[n → ∞]{} x_0$. +Im Beispiel zur Definition 5.4.5 haben wir gesehen, dass $e_i \yrightharpoonup[n→∞]{} 0$ in $\ell^2$. Nach Satz 1.6 sind alle $x' ∈ X'$ als Abbildungen \[ x': (X, \T_w) → \K @@ -125,11 +123,9 @@ Dann definiere \begin{proof} ähnlich wie bei der schwachen Topologie. \end{proof} - \begin{warnung-nn} Eine „schwach$*$-Topologie“ auf $X$ geht offenbar \emph{nicht}. \end{warnung-nn} - \begin{bemerkung} Die schwach$*$ ist eine weitere Abschwächung der schwachen Topologie. Betrachte dazu den kanonischen Isomorphismus @@ -144,7 +140,7 @@ Dann definiere \] Damit $U'(x,ε) ∈ \T_{w,X'}$, also \[ - \T_{w^*,X'} ⊂ \T_{w, X'} ⊂ \T_{s, X'} + \T_{w^*,X'} ⊂ \T_{w, X'} ⊂ \T_{s, X'}. \] \end{bemerkung} \begin{korollar-nn} @@ -153,19 +149,17 @@ Dann definiere \begin{proof} klar. \end{proof} - Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 \begin{satz} Sei $(x'_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge in $X'$. Dann konvergiert $(x_n')_{n ∈ ℕ}$ in $(X',\T_{w^*,X'})$ gegen $x_0' ∈ X'$ genau dann, wenn $\lim_{n → ∞} \lAngle x_n', x \rAngle = \lAngle x_0', x \rAngle$ für alle $x ∈ X$. - Wir schreiben dafür $x_n' \xrightharpoonup[n→∞]{*} x_0$. + Wir schreiben dafür $x_n' \yrightharpoonup[n→∞]{*} x_0$. \end{satz} \begin{proof} Übung. \end{proof} - \begin{bemerkung} \begin{enumerate} \item @@ -187,12 +181,12 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 \begin{satz} \begin{enumerate} \item - Aus $x_k' \xrightharpoonup[n → ∞]{*} x'$ in $X'$ folgt + Aus $x_k' \yrightharpoonup[n → ∞]{*} x'$ in $X'$ folgt \[ \norm{x'}_{X'} \le \liminf_{k → ∞} \norm{x'_k}_{X'}. \] \item - Aus $x_k \xrightharpoonup[n → ∞]{} x$ in $X$ folgt + Aus $x_k \yrightharpoonup[n → ∞]{} x$ in $X$ folgt \[ \norm{x}_{X} ≤ \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_{X}. \] @@ -212,7 +206,7 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 \] das heißt $\norm{x'}_{X'} ≤ M$, was die Behauptung impliziert. \item - Gelte $x_k \xrightharpoonup[k→∞]{} x$ + Gelte $x_k \yrightharpoonup[k→∞]{} x$ Wie gerade folgt für alle $x' ∈ X'$ \[ | \lAngle x', x \rAngle | ≤ @@ -230,7 +224,7 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 \end{enumerate} \end{proof} -\section{Schwach- und schwach$*$-kompakte Einheitskugeln} +\section{Schwach- und schwach\(*\)-kompakte Einheitskugeln} \begin{satz} Sei $(X,\norm-)$ separabel. Dann ist die (stark) abgeschlossene Einheitskugel $\cl{B_1}(0) = \{ x' ∈ X': \norm{x'} ≤ 1\} ⊂ X'$ schwach$*$-folgenkompakt. @@ -238,7 +232,7 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 \begin{proof} Sei $\{x_n\}_{n ∈ ℕ}$ eine dichte Teilmenge von $X$. Sei $(x'_{k ∈ ℕ})$ eine Folge in $X'$ mit $\norm{x'_k}_{X'} ≤ 1$ für alle $k ∈ ℕ$. - Wir konstruieren ein $x' ∈ \cl{B_1(0)}$ mit $x'_k \xrightharpoonup[k→∞]{*}$ (für eine Teilfolge). + Wir konstruieren ein $x' ∈ \cl{B_1(0)}$ mit $x'_k \yrightharpoonup[k→∞]{*}$ (für eine Teilfolge). Für $n ∈ ℕ$ ist $(\lAngle x_k', x_n \rAngle)_{k ∈ ℕ}$ eine beschräkte Folge in $\K$, denn $|\lAngle x'_k, x_n \rAngle | \le \norm{x_n} \cdot 1 \; (*)$. Durch das Diagonalverfahren finden wir eine Teilfolge $(x_{k_m})_{m ∈ ℕ}$, so dass für alle $n ∈ ℕ$ $\lim_{m → ∞} \lAngle x'_{k_m},x_n \rAngle$ existiert: @@ -288,7 +282,7 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 Also $x' ∈ X'$ und $\norm{x'}_{X'} = \norm{x'}_{Y'} ≤ 1$. Also $x' ∈ \cl{B_1(0)} ⊂ X'$. - Bleibt noch zu zeigen: $x'_k \xrightharpoonup[k→∞]{*} x'$. + Bleibt noch zu zeigen: $x'_k \yrightharpoonup[k→∞]{*} x'$. Sei dazu $x ∈ X$ beliebig und $y ∈ Y$ mit $\norm{x-y}_{X} < ε$ (geht weil $\cl Y = X$). Dann \[ @@ -325,5 +319,5 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 %%% Local Variables: %%% mode: latex -%%% TeX-master: "funkana-ebook" +%%% TeX-master: "funkana" %%% End: -- cgit v1.2.3-24-g4f1b