From 565a46a1bdc5e2d41c84a47adeb95363d36f4129 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Sat, 30 Dec 2017 15:01:41 +0100
Subject: updated everything

---
 ch06-schwache-topologien.tex | 30 ++++++++++++------------------
 1 file changed, 12 insertions(+), 18 deletions(-)

(limited to 'ch06-schwache-topologien.tex')

diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex
index 52a7f4d..ea30203 100644
--- a/ch06-schwache-topologien.tex
+++ b/ch06-schwache-topologien.tex
@@ -4,7 +4,7 @@ Wir wissen bereits, dass $\cl{B_1(0)}$ genau dann kompakt ist, wenn $\dim X < 
 Wir suchen nun eine sinnvolle Topologie für $X$, die von der Normtopologie noch
 möglichst viele Eigenschaften mitnimmt, aber  die Einheitskugel kompakt macht.
 
-\section{Schwache und schwach$*$-Topologie}
+\section{Schwache und schwach\(*\)-Topologie}
 
 Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei
 \begin{equation}\label{eq:11}
@@ -80,10 +80,8 @@ Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei
 \begin{proof}
     Übung.
 \end{proof}
-\begin{bemerkung-nn}
-    Wir schreiben für die schwache Konvergenz $x_n \xrightharpoonup[n → ∞]{} x_0$.
-    Im Beispiel zur Definition 5.4.5 haben wir gesehen, dass $e_i \xrightharpoonup[n→∞]{} 0$ in $\ell^2$.
-\end{bemerkung-nn}
+Wir schreiben für die schwache Konvergenz $x_n \yrightharpoonup[n → ∞]{} x_0$.
+Im Beispiel zur Definition 5.4.5 haben wir gesehen, dass $e_i \yrightharpoonup[n→∞]{} 0$ in $\ell^2$.
 Nach Satz 1.6 sind alle $x' ∈ X'$ als Abbildungen
 \[
     x': (X, \T_w) → \K
@@ -125,11 +123,9 @@ Dann definiere
 \begin{proof}
     ähnlich wie bei der schwachen Topologie.
 \end{proof}
-
 \begin{warnung-nn}
     Eine „schwach$*$-Topologie“ auf $X$ geht offenbar \emph{nicht}.
 \end{warnung-nn}
-
 \begin{bemerkung}
     Die schwach$*$ ist eine weitere Abschwächung der schwachen Topologie.
     Betrachte dazu den kanonischen Isomorphismus
@@ -144,7 +140,7 @@ Dann definiere
     \]
     Damit $U'(x,ε) ∈ \T_{w,X'}$, also
     \[
-        \T_{w^*,X'} ⊂ \T_{w, X'} ⊂ \T_{s, X'}
+        \T_{w^*,X'} ⊂ \T_{w, X'} ⊂ \T_{s, X'}.
     \]
 \end{bemerkung}
 \begin{korollar-nn}
@@ -153,19 +149,17 @@ Dann definiere
 \begin{proof}
     klar.
 \end{proof}
-
 Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6
 \begin{satz}
     Sei $(x'_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge in $X'$.
     Dann konvergiert $(x_n')_{n ∈ ℕ}$ in $(X',\T_{w^*,X'})$ gegen $x_0' ∈ X'$ genau dann, wenn
     $\lim_{n → ∞} \lAngle x_n', x \rAngle = \lAngle x_0', x \rAngle$  für alle $x ∈ X$.
-    Wir schreiben dafür $x_n' \xrightharpoonup[n→∞]{*} x_0$.
+    Wir schreiben dafür $x_n' \yrightharpoonup[n→∞]{*} x_0$.
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
     Übung.
 \end{proof}
-
 \begin{bemerkung}
     \begin{enumerate}
     \item 
@@ -187,12 +181,12 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6
 \begin{satz}
     \begin{enumerate}
     \item
-        Aus $x_k' \xrightharpoonup[n → ∞]{*} x'$ in $X'$ folgt
+        Aus $x_k' \yrightharpoonup[n → ∞]{*} x'$ in $X'$ folgt
         \[
             \norm{x'}_{X'} \le \liminf_{k → ∞} \norm{x'_k}_{X'}.
         \]
     \item
-        Aus $x_k \xrightharpoonup[n → ∞]{} x$ in $X$ folgt
+        Aus $x_k \yrightharpoonup[n → ∞]{} x$ in $X$ folgt
         \[
             \norm{x}_{X} ≤ \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_{X}.
         \]
@@ -212,7 +206,7 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6
         \]
         das heißt $\norm{x'}_{X'} ≤ M$, was die Behauptung impliziert.
     \item
-        Gelte $x_k \xrightharpoonup[k→∞]{} x$
+        Gelte $x_k \yrightharpoonup[k→∞]{} x$
         Wie gerade folgt für alle $x' ∈ X'$
         \[
             | \lAngle x', x \rAngle | ≤
@@ -230,7 +224,7 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
-\section{Schwach- und schwach$*$-kompakte Einheitskugeln}
+\section{Schwach- und schwach\(*\)-kompakte Einheitskugeln}
 \begin{satz}
     Sei $(X,\norm-)$ separabel.
     Dann ist die (stark) abgeschlossene Einheitskugel $\cl{B_1}(0) = \{ x' ∈ X': \norm{x'} ≤ 1\} ⊂ X'$ schwach$*$-folgenkompakt.
@@ -238,7 +232,7 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6
 \begin{proof}
     Sei $\{x_n\}_{n ∈ ℕ}$ eine dichte Teilmenge von $X$.
     Sei $(x'_{k ∈ ℕ})$ eine Folge in $X'$ mit $\norm{x'_k}_{X'} ≤ 1$  für alle $k ∈ ℕ$.
-    Wir konstruieren ein $x' ∈ \cl{B_1(0)}$ mit $x'_k \xrightharpoonup[k→∞]{*}$ (für eine Teilfolge).
+    Wir konstruieren ein $x' ∈ \cl{B_1(0)}$ mit $x'_k \yrightharpoonup[k→∞]{*}$ (für eine Teilfolge).
     Für $n ∈ ℕ$ ist $(\lAngle x_k', x_n \rAngle)_{k ∈ ℕ}$ eine beschräkte Folge in $\K$, denn $|\lAngle x'_k, x_n \rAngle | \le \norm{x_n} \cdot 1 \; (*)$.
 
     Durch das Diagonalverfahren finden wir eine Teilfolge $(x_{k_m})_{m ∈ ℕ}$, so dass für alle $n ∈ ℕ$ $\lim_{m → ∞} \lAngle x'_{k_m},x_n \rAngle$ existiert:
@@ -288,7 +282,7 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6
     Also $x' ∈ X'$ und $\norm{x'}_{X'} = \norm{x'}_{Y'} ≤ 1$.
     Also $x' ∈ \cl{B_1(0)} ⊂ X'$.
 
-    Bleibt noch zu zeigen: $x'_k \xrightharpoonup[k→∞]{*} x'$.
+    Bleibt noch zu zeigen: $x'_k \yrightharpoonup[k→∞]{*} x'$.
     Sei dazu $x ∈ X$ beliebig und $y ∈ Y$ mit $\norm{x-y}_{X} < ε$ (geht weil $\cl Y = X$).
     Dann 
     \[
@@ -325,5 +319,5 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6
 
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
-%%% TeX-master: "funkana-ebook"
+%%% TeX-master: "funkana"
 %%% End:
-- 
cgit v1.2.3-24-g4f1b

