From d1b0006a9de7a938038de0613718ee7e27409683 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Fri, 12 Jan 2018 18:02:18 +0100
Subject: vorlesung freitag, 12.01.18 hinzugefügt
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@@ -42,7 +42,7 @@ Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei
     Übung.
 \end{proof}
 \begin{bemerkung-nn}
-    Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$
+    Sei $X$ eine beliebige Menge und $\T_1$ und $\T_2$ Topologien auf $X$. Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$
     \begin{itemize}
     \item
         mehr offene Mengen,
@@ -295,6 +295,116 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6
 
 
 
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+HIER FEHLT EINE VL
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+\begin{definition}
+    Sei $X$ ein reeller normierter Raum, $M ⊂ X$ eine Teilmenge, $f: M → ℝ$ eine Abbildung.
+    ...
+\end{definition}
+
+
+
+\begin{satz}[Hauptsatz der Variationsrechnung]
+    \index{Hauptsatz der Variationsrechnung}
+    \index{Variationsrechnung!Hauptsatz}
+    \label{satz:hauptsatz-variorechnung-6.3.2}
+    Sei $(X,\norm-)$ ein reflexiver Banachraum und $M ⊂ X$ schwach
+    abgeschlossen. 
+    Ist $f: M → ℝ$ eine schwach unterhalbstetige und koerzive Abbildung, dann gilt
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $f$ ist nach unten beschränkt.
+    \item
+        $f$ nimmt das Infimum in $M$ an.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+% Ist $(X,\norm -)$ separabel, dann ist die Einheitskugel $\cl{B_1^{X'}(0)$ schwach*-folgenkompakt,
+% ist $(X,\norm -)$ reflexiv, so ist die Einheitskugel $\cl{B_1^{X}(0)  ⊂ X$ schwach folgenkompakt.
+% Das heißt, jede beschränkte Folge besitzt also eine schwach($*$)-konvergente Teilfolge.
+
+\begin{proof}
+    Sei $f: M → ℝ$, $f$ schwach unterhalbstetig, das heißt aus $x_k \yrightharpoonup[k→∞]{} \hat x$ folgt bereits $f(\hat x) \le \liminf_{k → ∞} f(x_k)$.
+    Sei $α_0 \coloneq \inf_{x ∈ M} f(x) ≥ - ∞$ und $(x_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ M$ eine Folge, für die $f(x_k) \nlk α_0$ gilt.
+    Da $f$ koerziv ist, ist $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ (stark) beschränkt.
+    Eberlein-Shimulyan liefert, da $X$ reflexiv ist, eine schwach konvergente Teilfolge $(x_{k_j})_{j ∈ ℕ}$ von $(x_;)_{k ∈ ℕ}$, also $x_{k_j} \slj \hat x ∈ X$.
+    Es gilt sogar $\hat x ∈ M$, da $M$ nach Voraussetzung schwach folgenabgeschlossen ist.
+    Weil $f$ schwach unterhalbstetig ist, folgt $f(\hat x) ≤ \liminf_{k → ∞} f(x_k) = α_0$.
+    Insbesondere ist $α_0 > -∞$ und $f(\hat x) = \inf_{x ∈ M} f(x)$.
+\end{proof}
+
+Im Vergleich zu den motivierenden Sätzen, die wir im endlich"=dimensionalen kennen, haben wir hier andere Voraussetzungen. % TODO anderer vergleich?
+Hier  ist $f$ schwach unterhalbstetig, was eine stärkere Forderung ist als unterhalbstetig.
+Außerdem haben beschränkte Folgen schwach konvergente Teilfolgen, also schwache Folgenkompaktheit von beschränkten Mengen, was eine schwächere Eigenschaft ist als die Folgenkompaktheit von beschränkten Mengen im $ℝ^n$.
+
+
+\begin{beispiel}[Anwendung auf Variationsprobleme]
+    \index{Variationsprobleme}
+    \index{Variationsrechnung}
+    Sei $X$ ein Funktionenraum über $(a,b) ⊂ ℝ$, $f: X → ℝ$, $x ↦ ∫_a^b F(x,\dot x) \dd t$.
+    Wir suchen $x_0 = x_0(t), t∈ (a,b)$ mit $f(x_0) = \min_{x ∈ M} f(x)$ und $x_0 ∈ M ⊂X$, wobei $M$ die Teilmenge der zulässigen Funktionen bezeichne.
+
+    Konkret ist zum Beispiel
+    \[
+        f(x) := ∫_a^b F(x, \dot x) \dd t
+        = ∫_a ^b \tfrac 12 \big(\dot x(t))^2 + g(x(t))\big) \dd t,
+    \]
+    wobei $g: ℝ → ℝ$ eine zwei mal stetig differenzierbare Abbildung ist mit $g''(x) ≥ γ > 0$, also $g$ konvex. Dann ist $f: X = H^1(a,b) = W^{1,2}(a,b) → ℝ$ schwach unterhalbstetig und koerziv ist.
+    Nach~\cref{satz:hauptsatz-variorechnung-6.3.2} gibt es einen Minimierer $x_0 ∈ H^1(a,b)$ von $f$.
+    Ohne Beweis merken wir an, dass dieser Minimierer $x_0$ dann folgendes Randwertproblem löst:
+    Wir suchen eine Funktion $x = x(t)$ mit
+    \[
+        \begin{cases}
+            -\ddot x + g'(x) = 0  \\
+            \dot x(a) = \dot x (b) = 0
+        \end{cases}.
+    \]
+    Man nennt die zweite Bedingung \emph{natürliche Randbedingung}.
+    Weiteres dazu gibt es in den Vorlesungen über Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen.
+
+    Im Wesentlichen folgt die Behauptung aus der Eigenschaft, dass wenn $x_0$ ein Minimierer ist, dann ist $Df(x_0) = 0$, wobei $Df(x_0) ∈ H(a,b)'$ eine geeignet definierte Verallgemeinerung der Ableitung ist.
+\end{beispiel}
+
+\begin{satz}
+    \label{satz:6.3.4}
+    Sei $(X,\norm -)$ ein normierter Raum und $f: X → ℝ$ unterhalbstetig und konvex, also
+    $f(λu + (1-λ)v) ≤ λf(u) + (1-λ) f(v)$ für alle $u, v ∈ X, λ ∈ (0,1)$.
+    Dann ist $f$ auch schwach unterhalbstetig.
+\end{satz}
+
+Für den Beweis benötigen wir den Satz von Mazur, den wir in der Übung beweisen werden.
+
+\begin{satz}[Mazur]
+    \label{satz:mazur-6.3.5}
+    Sei $X$ ein normierter Raum, $(u_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ mit $u_k \slk u_0 ∈ X$. Dann existiert eine Folge von \emph{Konvexkombinationen}
+    \[
+        v_k = \sum_{j=1}^k α_{k,j} u_j \quad \text{mit} \; \sum_{j=1}^k α_{k,j} = 1, \quad α_{k,j} ≥ 0,
+    \]
+    so dass $v_k \nlk u_0$ in $X$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[{\cref{satz:6.3.4}}]
+    Sei also $u_i \sli \bar u ∈ X$.
+    Wähle $c > \liminf_{i → ∞} f(u_i)$, für eine Teilfolge, die wir wieder mit $(u_i)_{i ∈ ℕ}$ bezeichnen, so dass für alle $i ∈ ℕ$ $f(u_i) < c$.
+    Nach \cref{satz:mazur-6.3.5} existiert Eine Folge $(v_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ von Konvexkombinationen von $u_i$, das heißt
+    \[
+        v_k = \sum_{j=1}^k α_{k,j} u_j \quad \sum_{j=1}^k α_{k,j} = 1, \quad α_{k,j} ≥ 0
+    \]
+    und $v_k \nlk \bar u$ in $X$.
+    Wegen $f$ (stark) unterhalbstetig und der Konvexität von $f$ gilt
+
+    \[
+        f(\bar u) ≤ \liminf_{k →∞} f(v_k) ≤ \liminf_{k → ∞} \Big( \sum_{j=1}^k α_{k,j} \underbrace{f(u_j)}_{<c} \Big)
+        ≤ c \liminf_{k → ∞} \sum_{j=1}^k α_{k,j} = c.
+    \]
+    Da aber $c > \liminf_{i → ∞}f(u_i)$ beliebig war gilt somit $f(\bar u) ≤ \liminf_{i → ∞} f(u_i)$ .
+\end{proof}
+
+
+
 
 
 
-- 
cgit v1.2.3-24-g4f1b

