From d1b0006a9de7a938038de0613718ee7e27409683 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Fri, 12 Jan 2018 18:02:18 +0100
Subject: vorlesung freitag, 12.01.18 hinzugefügt
MIME-Version: 1.0
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+\chapter{Konsequenzen aus dem Satz von Baire}
+
+In diesem Kapitel werden wir einige interessante Folgenrungen aus dem Satz von
+Baire ziehen.
+Dieses Resultat (\cref{satz:bct-2.3.7}) sagt aus, dass jede nichtleere offene
+Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ von zweiter Kategorie ist,
+also nicht von erster Kategorie (oder mager) ist.
+Eine Menge $M ⊂ X$ heißt \emph{mager}, falls $M ⊂ \bigcup_{n=1} M_n$ mit $M_n$
+nirgends dicht, also $\cl{M_n}^\circ = \emptyset$.
+
+Zunächst folgendes Elementares Resultat:
+\begin{korollar-nn}[Übung 13]
+    In einem vollstänndigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht.
+\end{korollar-nn}
+
+Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt:
+\begin{korollar-nn}[Übung 69]
+    Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum mit $\dim X = ∞$. Dann ist
+    jede Hamelbasis von $X$ überabzählbar
+\end{korollar-nn}
+\begin{beweisidee}
+    Angenommen, es gäbe eine abzählbare Hamelbasis $\{b_i\}_{i ∈ ℕ}$.
+    Dann ist $X = \bigcup_{n ∈ ℕ} \lspan \{b_1,…,b_n\}$,
+    wobei $lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale
+    Unterräume von $X$ vollständig, also abgeschlossen sind.
+    Aber dann wäre $X$ von erster Kategorie.
+\end{beweisidee}
+
+\section{Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit}
+Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm -_{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm - _{Y})$
+ein normierter Raum. Wir werden hier die Konvergenz von Elementen des normierten
+Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren.
+
+\begin{satz}[Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit]
+    \label{satz:gleichmäßige-beschränktheit7.1.1}
+    \index{beschränkt!gleichmäßig}
+    \index{beschränkt!punktweise}
+    \index{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit}
+    Sei $\{A_λ\}_{λ ∈ \Lambda} ⊂ \L(X,Y)$  eine Familie von stetigen Operatoren,
+    die \emph{punktweise beschränkt} ist, das heißt es gibt Zahlen $m(x)$, so
+    dass
+    \[
+        \sum_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞
+    \]
+    für alle $x ∈ X$. Dann ist $(A_λ)_{λ ∈ Λ}$ \emph{gleichmäßig beschränkt},
+    das heißt, es gibt ein $μ > 0$ mit
+    \[
+        \snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ μ
+    \]
+    für alle $λ ∈ Λ$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Wir verwenden den Satz von Baire in einem Widerspruchsbeweis.
+    Wir setzen $M_k := \{ x ∈ X: m(x) ≤ k \} ⊂ X, k ∈ ℕ$.
+
+    Wir werden gleich zeigen, dass wenn $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht gleichmäßig
+    beschränkt ist, $M_k$ nirgends dicht ist.
+    Ist dies gezeigt, so ist $\hat M \coloneq \bigcup_{k ∈ ℕ} M_; ⊂ X$ mager,
+    also das Komplement $X \setminus \hat M$ dicht.
+    Für alle $x ∈ X \setminus \hat M$ gilt dann aber, dass $x$ in keinem der
+    $m_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was
+    direkt bedeutet, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht punktweise beschränkt sein
+    kann. Das ist ein Widerspruch.
+
+    Nun zum Beweis dieser Aussage.
+    Wir müssen zeigen, dass $\cl{M_k}^\circ$ leer ist.
+    Das ist äquivalent dazu, dass es zu jeder Kugel $B_ε(x_0)$ eine Kugel 
+    $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ gibt mit $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$.
+    Sei also $B_ε(x_9)$ mit $x_0 ∈ X$, $ε > 0$ eine beliebige Kugel in $X$.
+    Dann gibt es ein $x_1 ∈ B_ε(x_0)$, so dass $x_1 \not\in M_k$:
+    Angenommen, es würde nicht so ein $x_1$ geben. 
+    Dann ist $B_ε(x_0) ⊂ M_k$, also $\sup_{λ ∈  Λ} \snorm{A_λx} ≤ k$ für alle $x ∈ \cl{B_ε(x_0)}$.
+    Für $x ∈ X \setminus \{ 0\}$ gilt dann immer
+    \[
+        x_0 + \frac{ε}{\snorm{x}}x ∈ \cl{B_ε(x_0)},
+    \]
+    also
+    \begin{align*}
+        \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx}_Y &= \sup_{λ ∈ Λ} \norm{ \frac{\snorm x}{ε} \left( A_λx_0 + \frac{ε} {\norm x} A_λ x \right) - \frac{\norm x}{ε} A_λ x_0} \\
+        &≤ \frac{\norm{x}}{ε} \left( \sup_{λ ∈ Λ} \norm{A_λ\left( x_0 + \frac{ε}{\norm x} x \right)} + \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx_0} \right) ≤ \frac{\norm{x}}{ε} 2k.
+    \end{align*}
+    Damit ist $\snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ \frac{2k}{ε}$ für alle $λ ∈ Λ$ im Widerspruch zur Annahme, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ \emph{nicht} gleichmäßig beschränkt ist.
+
+
+    Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0) mit x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$.
+    Dann gibt es also ein $λ_0 ∈ Λ$ mit $\snorm{A_λx_1}_Y > k$.
+    Da $A_{λ_0}$ stetig ist, gibt es $ρ > 0$ mit $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ und $\snorm{A_{λ_0}x}_Y > k$ für alle $x ∈ B_ρ(x_1)$.
+    Dies bedeutet $m(x) > k$ für alle $ x ∈ B_ρ(x_1)$, also $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$, was den Beweis vollendet.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    \label{kor:7.1.2}
+    blub.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Zu (b):
+\end{proof}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "funkana"
+%%% End:
-- 
cgit v1.2.3-24-g4f1b

