From e916051fd2a33b1349c3e2cf69bbb6763b7f0b52 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Sat, 13 Jan 2018 00:44:34 +0100
Subject: Kapitel 5 ergänzt
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@@ -1,4 +1,4 @@
-\chapter{Konsequenzen aus dem Satz von Baire}
+\chapter[Konsequenzen aus dem Satz von Baire]{Konsequenzen aus dem\\  Satz von Baire}
 
 In diesem Kapitel werden wir einige interessante Folgenrungen aus dem Satz von
 Baire ziehen.
@@ -10,7 +10,7 @@ nirgends dicht, also $\cl{M_n}^\circ = \emptyset$.
 
 Zunächst folgendes Elementares Resultat:
 \begin{korollar-nn}[Übung 13]
-    In einem vollstänndigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht.
+    In einem vollständigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht.
 \end{korollar-nn}
 
 Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt:
@@ -21,26 +21,26 @@ Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt:
 \begin{beweisidee}
     Angenommen, es gäbe eine abzählbare Hamelbasis $\{b_i\}_{i ∈ ℕ}$.
     Dann ist $X = \bigcup_{n ∈ ℕ} \lspan \{b_1,…,b_n\}$,
-    wobei $lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale
+    wobei $\lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale
     Unterräume von $X$ vollständig, also abgeschlossen sind.
     Aber dann wäre $X$ von erster Kategorie.
 \end{beweisidee}
 
 \section{Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit}
-Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm -_{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm - _{Y})$
+Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm \cdot _{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm \cdot _{Y})$
 ein normierter Raum. Wir werden hier die Konvergenz von Elementen des normierten
-Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren.
+Raumes $(\L(X,Y),\snorm \cdot _{\L(X,Y)})$ studieren.
 
-\begin{satz}[Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit]
-    \label{satz:gleichmäßige-beschränktheit7.1.1}
+\begin{satz}[{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit}]
+    \label{satz:gleichmaessige-beschraenktheit-7.1.1}
     \index{beschränkt!gleichmäßig}
     \index{beschränkt!punktweise}
-    \index{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit}
+    \index{Prinzip!der gleichmäßigen Beschränktheit}
     Sei $\{A_λ\}_{λ ∈ \Lambda} ⊂ \L(X,Y)$  eine Familie von stetigen Operatoren,
     die \emph{punktweise beschränkt} ist, das heißt es gibt Zahlen $m(x)$, so
     dass
     \[
-        \sum_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞
+        \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞
     \]
     für alle $x ∈ X$. Dann ist $(A_λ)_{λ ∈ Λ}$ \emph{gleichmäßig beschränkt},
     das heißt, es gibt ein $μ > 0$ mit
@@ -58,7 +58,7 @@ Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren.
     Ist dies gezeigt, so ist $\hat M \coloneq \bigcup_{k ∈ ℕ} M_; ⊂ X$ mager,
     also das Komplement $X \setminus \hat M$ dicht.
     Für alle $x ∈ X \setminus \hat M$ gilt dann aber, dass $x$ in keinem der
-    $m_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was
+    $M_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was
     direkt bedeutet, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht punktweise beschränkt sein
     kann. Das ist ein Widerspruch.
 
@@ -82,7 +82,7 @@ Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren.
     Damit ist $\snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ \frac{2k}{ε}$ für alle $λ ∈ Λ$ im Widerspruch zur Annahme, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ \emph{nicht} gleichmäßig beschränkt ist.
 
 
-    Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0) mit x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$.
+    Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0)$ mit $x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$.
     Dann gibt es also ein $λ_0 ∈ Λ$ mit $\snorm{A_λx_1}_Y > k$.
     Da $A_{λ_0}$ stetig ist, gibt es $ρ > 0$ mit $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ und $\snorm{A_{λ_0}x}_Y > k$ für alle $x ∈ B_ρ(x_1)$.
     Dies bedeutet $m(x) > k$ für alle $ x ∈ B_ρ(x_1)$, also $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$, was den Beweis vollendet.
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cgit v1.2.3-24-g4f1b

