From e916051fd2a33b1349c3e2cf69bbb6763b7f0b52 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ulli Kehrle Date: Sat, 13 Jan 2018 00:44:34 +0100 Subject: Kapitel 5 ergänzt MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ch07-konsequenzen-baire.tex | 22 +++++++++++----------- 1 file changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-) (limited to 'ch07-konsequenzen-baire.tex') diff --git a/ch07-konsequenzen-baire.tex b/ch07-konsequenzen-baire.tex index e4eadf2..4bf56d5 100644 --- a/ch07-konsequenzen-baire.tex +++ b/ch07-konsequenzen-baire.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\chapter{Konsequenzen aus dem Satz von Baire} +\chapter[Konsequenzen aus dem Satz von Baire]{Konsequenzen aus dem\\ Satz von Baire} In diesem Kapitel werden wir einige interessante Folgenrungen aus dem Satz von Baire ziehen. @@ -10,7 +10,7 @@ nirgends dicht, also $\cl{M_n}^\circ = \emptyset$. Zunächst folgendes Elementares Resultat: \begin{korollar-nn}[Übung 13] - In einem vollstänndigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht. + In einem vollständigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht. \end{korollar-nn} Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt: @@ -21,26 +21,26 @@ Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt: \begin{beweisidee} Angenommen, es gäbe eine abzählbare Hamelbasis $\{b_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist $X = \bigcup_{n ∈ ℕ} \lspan \{b_1,…,b_n\}$, - wobei $lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale + wobei $\lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale Unterräume von $X$ vollständig, also abgeschlossen sind. Aber dann wäre $X$ von erster Kategorie. \end{beweisidee} \section{Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit} -Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm -_{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm - _{Y})$ +Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm \cdot _{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm \cdot _{Y})$ ein normierter Raum. Wir werden hier die Konvergenz von Elementen des normierten -Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren. +Raumes $(\L(X,Y),\snorm \cdot _{\L(X,Y)})$ studieren. -\begin{satz}[Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit] - \label{satz:gleichmäßige-beschränktheit7.1.1} +\begin{satz}[{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit}] + \label{satz:gleichmaessige-beschraenktheit-7.1.1} \index{beschränkt!gleichmäßig} \index{beschränkt!punktweise} - \index{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit} + \index{Prinzip!der gleichmäßigen Beschränktheit} Sei $\{A_λ\}_{λ ∈ \Lambda} ⊂ \L(X,Y)$ eine Familie von stetigen Operatoren, die \emph{punktweise beschränkt} ist, das heißt es gibt Zahlen $m(x)$, so dass \[ - \sum_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞ + \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞ \] für alle $x ∈ X$. Dann ist $(A_λ)_{λ ∈ Λ}$ \emph{gleichmäßig beschränkt}, das heißt, es gibt ein $μ > 0$ mit @@ -58,7 +58,7 @@ Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren. Ist dies gezeigt, so ist $\hat M \coloneq \bigcup_{k ∈ ℕ} M_; ⊂ X$ mager, also das Komplement $X \setminus \hat M$ dicht. Für alle $x ∈ X \setminus \hat M$ gilt dann aber, dass $x$ in keinem der - $m_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was + $M_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was direkt bedeutet, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht punktweise beschränkt sein kann. Das ist ein Widerspruch. @@ -82,7 +82,7 @@ Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren. Damit ist $\snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ \frac{2k}{ε}$ für alle $λ ∈ Λ$ im Widerspruch zur Annahme, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ \emph{nicht} gleichmäßig beschränkt ist. - Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0) mit x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$. + Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0)$ mit $x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$. Dann gibt es also ein $λ_0 ∈ Λ$ mit $\snorm{A_λx_1}_Y > k$. Da $A_{λ_0}$ stetig ist, gibt es $ρ > 0$ mit $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ und $\snorm{A_{λ_0}x}_Y > k$ für alle $x ∈ B_ρ(x_1)$. Dies bedeutet $m(x) > k$ für alle $ x ∈ B_ρ(x_1)$, also $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$, was den Beweis vollendet. -- cgit v1.2.3-24-g4f1b