From 1c1b4338b756fdae238e375ef73de4766ccb9dd1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Fri, 3 Nov 2017 14:02:19 +0100
Subject: vorlesung freitag, 03. nov hinzugefügt
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@@ -1468,6 +1468,167 @@ Damit ist Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(\Omega)$ implizi
 
 Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)}$ nicht normierbar ist.
 
+\begin{beispiel-nn}[Räume differenzierbarer Funktionen]
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Betrachte die Menge $C^\ell(K) = \{ f: K → ℝ, D^α f$ existiert und ist stetig für$|α| < \ell \}$ der $\ell$-mal stetig differenzierbaren Funtktionen auf einer kompakten Menge $K ⊂ ℝ^n$ mit $\ell ∈ ℕ_0$
+        Dabei ist $α = (α_1,…,α_n) ∈ ℕ_0^n$ ein Multiindex, $|α| = \sum_{i=1}^n α_i$ und
+        \[
+            D^α f = \frac{∂^{|α|} f}{∂x_1^{α_1}\cdots∂x_n^{α_n}}.
+        \]
+        Dann wird $C^\ell(K)$ mit der Norm
+        \[
+            \norm{f}_{C^\ell(K)} = \max_{|α| \le l} \max_{x ∈ K} | D^α f(x)|
+        \]
+        zu einem Banachraum. Die meisten Eigenschaften sind klar, die Vollständigkeit folgt unmittelbar aus der Vollständigkeit von $C(K)$
+        Konvergenz in $C^\ell(K)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $\ell$ auf ganz $K$.
+    \item
+        Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und
+        $\C^\ell(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^α f$ existiert und ist stetig für$|α| < \ell \}$
+        der Raum der $\ell$-mal stetig differenzierbaren Funtktionen auf $\Omega$ mit $\ell ∈ ℕ_0$.
+        $C^\ell(\Omega)$ wird mit der Metrik
+        \[
+            d(f,g) := \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{p_{m,l}(f-g)}{1+p_{m,l}(f-g)}, \quad p_{m,l}(f) = \max_{|α| \le \ell} \norm{D^α f}_{C(K_m)},
+        \]
+        wobei die $K_m$ Ausschöpfungen von $\Omega$ mit kompakten Mengen sind, zu einem Fréchetraum.
+        Konvergenz in $C^\ell(\Omega)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $\ell$ auf jedem Kompaktum, das in $\Omega$ enthalten ist.
+        Auch dieser Raum ist nicht normierbar mit einem analogem Argument wie bei den stetigen Funktionen auf $\Omega$.
+    \item
+        Wir betrachten nun einige Unterräume von $\C^\ell(\Omega)$:
+        \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+        \item
+        $\C^\ell_B(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^α f$ existiert, ist beschränkt und ist stetig für$|α| < \ell \}$
+        wird zum normierten Raum mit 
+        \[
+            \norm{f}_{C^\ell_B(\Omega)} = \max_{|α| \le l} \sup_{x ∈ \Omega} | D^α f(x)|
+        \]
+        Zwar gilt $C^\ell_B(\Omega) ⊂ C^\ell(\Omega)$ (als Mengen), jedoch besitzt $C^\ell_B(\Omega)$ nicht die Relativtopologie von $\C^\ell(\Omega)$, wie wir in einer Übung sehen werden.
+        \begin{definition}
+            \begin{enumerate}
+            \item 
+                Für $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und $f: \Omega → ℝ$ heißt
+                \[
+                    \supp f := \cl{ \{ x ∈ \Omega, f(x) \ne 0 \}}
+                \]
+                der \emph{Träger} oder \emph{Support} von $f$.
+            \item
+                Wir sagen für eine Menge $M ⊂ \Omega$ \emph{$M$ liegt kompakt in $\Omega$}, wenn $\cl M $ kompakt ist und $\cl M ⊂ \Omega$. Wir schreiben dafür $M ⊂⊂ \Omega$.
+            \end{enumerate}
+        \end{definition}
+    \item
+        $C_0^\ell(\Omega) = \{ f ∈ C^\ell(\Omega) : \supp f ⊂⊂ M \}$
+        Funktionen mit $\supp f ⊂⊂ M $ haben Luft zum Rand von $\Omega$:
+        \[
+            \operatorname{dist}(\supp(f), ∂\Omega) > 0,
+        \]
+        denn sowohl $\supp f$ als auch $∂\Omega$ sind abgeschlossen.
+        Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Topologien für $C_0^\ell(\Omega)$ zu wählen:
+        \begin{enumerate}
+        \item
+            $C_0^\ell(\Omega) ⊂ C^\ell(M)$ mit Spurtopologie von der Metrik.
+        \item
+            $C_0^\ell(\Omega) ⊂ C_B^\ell(M)$ mit Spurtopologie von der Norm.
+        \end{enumerate}
+        Diese Topologien sind jedoch nicht identisch.
+        \end{enumerate}
+    \item
+        Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und 
+        $C^∞(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^αf $ existiert und ist stetig für alle $α ∈ ℕ_0^n \} = \bigcap_{\ell ∈ ℕ}C^\ell(\Omega)$.
+        Wir definieren die Topologie wieder über eine Metrik durch Seminormen
+        \[
+            d(f,g) := \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{p_{m}(f-g)}{1+p_{m}(f-g)}, \quad p_{m}(f) = \max_{|α| \le m} \norm{D^α f}_{C(K_m)}.
+        \]
+        Mit dieser Metrik wird $C^\ell(\Omega)$ zum Fréchetraum.
+        Konvergenz in $C^∞(\Omega)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen auf jedem Kompaktum, das in $\Omega$ enthalten ist.
+        Auch dieser Raum ist nicht normierbar mit einem analogem Argument wie bei den stetigen Funktionen auf $\Omega$.
+    \item
+        Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und $C_0^∞(\Omega) = \{ f ∈ C^∞(\Omega) : \supp f ⊂⊂ M \}$ der \emph{Raum der Testfunktionen}.
+        Ein Beispiel für so eine Funktion ist
+        \[
+            f(x) =
+            \begin{cases}
+                c \exp \left( - \frac{1}{{1-|x|^2}} \right), & |x| < 1 \\
+                0, & |x| \ge 1
+            \end{cases},
+        \]
+        wobei $\Omega = B^{\norm\cdot_\infty}_2(0)$, $|\cdot| = \norm\cdot_2$ und $c ∈ ℝ$ konstant.
+        Offensichtlich ist $C_0^∞(\Omega) ⊂ C^∞(\Omega)$.
+        Wenn man auf $C_0^∞(\Omega)$ jedoch die Spurtopologie wählt, bekommt man später Probleme (bestimmte Funktionale auf $C_0^∞(\Omega)$ sind nicht mehr stetig, wie wir in einer Übungsaufgabe sehen werden.
+        Man nennt Funktionale auf $C_0^∞(\Omega)$ auch Distributionen).
+        Außerdem wäre der $C_0^∞(\Omega)$ mit dieser Metrik nicht vollständig -- der Träger der Grenzfunktion muss nicht mehr beschränkt sein.
+        \begin{definition-nn}
+            Sei $M ⊂ X$ und $X$ ein linearer Raum. Dann heißt
+            \[
+                \conv (M) := \{ x: ∃α_i > 0, x_i ∈ M, i ∈ \{1,…,k\}: \sum_{i=1}^k α_i = 1, \sum_{i=1}^k α_i x_i = x \}
+            \]
+            die \emph{konvexe Hülle} von $M$.
+        \end{definition-nn}
+        Aus Gründen, die erst später zu verstehen sind, wählt man auf $C^∞_0(\Omega)$ folgende lokalkonvxe Topologie:
+        Setze
+        \[
+            p(\xi) := \sum_{k ∈ ℕ} 2^{-k} \frac{\norm \xi _{C^k(\Omega)}}{1 + \norm \xi _{C^k(\Omega)}}, \quad \xi ∈ C_0^∞(\Omega)
+        \]
+        Sei $(D_j)_{j ∈ ℕ}$ eine Ausschöpfung von $\Omega$ mit offenen Mengen, also $D_j ⊂ D_{j+1}, D_j ⊂⊂ \Omega, \bigcup_{j ∈ ℕ} D_j = \Omega$.
+        Eine mögliche Wahl wäre beispielsweise $D_j = K_j^\circ$, wobei die $K_j$ wie oben sind.
+        Für $ε = (ε_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, ε_j > 0$ für alle $ℕ$ definieren wir eine Umgebungsbasis der $0 ∈ C_0^∞(\Omega)$  durch alle Mengen
+        \[
+            U_ε := \conv \left[ \bigcup_{j ∈ ℕ}  \{ \xi ∈ C^∞_0 : p(\xi) < ε_j \} \right] ⊂ C_0^∞(\Omega).
+        \]
+        mit $ε = (ε_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, ε_j > 0$ und endliche Schnitte davon. Andere Umgebungen umgeben sich durch Translation.
+        Die so definierte Topologie nennen wir $\T_\D$ und den Raum $C_1^∞(\Omega)$  auch $\D(\Omega)$.
+        Es stellt sich heraus, dass diese Topologie tatsächlich unabhängig von der gewählten Ausschöpfung ist.
+        Außerdem ist $(\D(\Omega),\T_\D)$ ein topologischer linearer Raum, das heißt, die Vektorraumoperationen sind stetig.
+        \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in $\D(\Omega)$]
+            joa, hab keine lust, das abzuschreiben.
+        \end{lemma}
+        \begin{proof}
+            Übung.
+        \end{proof}
+        \begin{korollar}
+            Die Mengen $U_∈$ sind bereits eine Umgebungsbasis der Null.
+            Nach Definition sind sie aber auch Konvex, das heißt $(\D(\Omega),\T_\D)$ ist ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum.
+        \end{korollar}
+        \begin{satz}
+            mach ich später.
+        \end{satz}
+        \begin{proof}
+            Zeige nur „$\Longleftarrow$“. Sei dazu $(ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge mit (i) und (ii). 
+            Wähle nun $D_j$ von oben mit $D ⊂ D_j$ ($j$ ist fest).
+            Sei nun $ε=(ε_i)_{i ∈ ℕ}, ε_i > 0$ gegeben. Dann müssen wir zeigen, dass für alle $m > m_0$ schon $ξ_m ∈ U_ε$  gilt.
+            Zunächst sind nach (i) $ξ_m ∈ C^∞_0(D_j)$ .
+            Außerdem gilt
+            \[
+                p(\xi_m) \le \underbrace{\sum_{k=1}^N 2^{-k} \frac{ \norm{\xi_m}_{C^k(\cl \Omega)} } {1+ \norm{\xi_m}_{C^k(\cl \Omega)} }}_{\text{wegen (i)} < ε_j/2 \text{ für $m \ge m_0(ε_j,N)$}}  + \underbrace{\sum_{k=N+1} 2^{-k}}_{<ε_j/2 \text{ für $n$ groß genug}} < ε_j.
+            \]
+        \end{proof}
+    \item
+        Betrachten wir nun Lebesgue-integrierbare Funktionen.
+        Bereits eingeführt wurden die Räume $\L^p(\Omega)$ und $L^p(\Omega)$, $0 < p < ∞$, wobei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen.
+        Diese sind für $1 \le p < ∞$ normiert, und für $0 < p < 1$ quasi-normiert.
+        Für $p = ∞$ setzen wir
+        \[
+            \L^∞(\Omega)  := \{ f: \Omega → ℝ ∪ \{ -∞, ∞ \}, f \text{ messbar und fast überall beschränkt} \}.
+        \]
+        Damit haben wir offenbar
+        \[
+            C(\Omega) ∩ B(\Omega) ⊂ \L^∞(\omega).
+        \]
+        Sei
+        \[
+            \norm f _{\L^∞(\Omega)} := \supess_{t ∈ \Omega} |f(t)| := \inf_{M ⊂ \Omega \text{ NM}} \sup_{t ∈ \Omega \setminus M} |f(t)|.
+        \]
+        Dann gilt für $f ∈ \L^∞(\Omega)$
+        \[
+            \norm f = 0 \gdw f = 0 \text{ fast überall}
+        \]
+        Mit $N := \{ f ∈ \L^∞(\Omega) : \norm f = 0 \}$ wird
+        \[
+            L^∞(\Omega) := \left( \L^∞(\Omega)/N, \norm\cdot_{L^∞(\Omega)} \right)
+        \]
+        zu einem normiertem raum.
+    \end{enumerate}
+\end{beispiel-nn}
+
 \end{document}
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
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