From 5bae51d51824c2d960bc15d332ec69bd5df515bf Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sun, 17 Dec 2017 20:14:11 +0100
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@@ -1,9 +1,7 @@
-\section*{Motivation}
-\markboth{}{Motivation}
-
+\section*{Motivation} \markboth{}{Motivation}
 In der klassischen Analyis haben wir Funktionen im $\K^n$, wobei $\K$ entweder $ℝ$ oder $ℂ$ ist, untersucht.
 Dabei war das Betrachten von Eigenschaften wie Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit sehr nützlich.
-Die Funktionalanalysis beschäftigt sich nun mit vergleichbaren Problemen in üblicherweise unendlich-dimensionalen Funktionenräumen.
+Die Funktionalanalysis beschäftigt sich nun mit vergleichbaren Problemen in üblicherweise unendlich"=dimensionalen Funktionenräumen.
 Hierfür werden wir versuchen, die aus der klassischen Analysis bekannten Untersuchungsmethoden zu verallgemeinern.
 Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis benötigt.
 
@@ -11,41 +9,41 @@ Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis
     Ein klassisches Beispiel aus der Variationsrechnung:
     Wir wollen die Funktion
     \[
-        f(u) = \int_0^π |u'(x)|^2 dx
+        f(u) = \int_0^\pi |u'(x)|^2 dx
     \]
-    unter den Nebenbedingungungen $u(0) = u(π) = 0$ und $\int_0^π |u(x)|^2 dx = 1$ minimieren.
+    unter den Nebenbedingungungen $u(0) = u(\pi ) = 0$ und $\int_0^\pi |u(x)|^2 dx = 1$ minimieren.
     In der klassischen Analysis haben wir für Minimierungsprobleme mit Nebenbedingungungen Lagrange-Multiplikatoren genutzt.
-    Im unendlich-dimensionalen Fall ist das jedoch nicht so einfach.
-    Wir betrachten $f : Y → ℝ$ wie oben, wobei $Y$ eine Teilmenge des unendlich-dimensionalen Funktionenraums
+    Im unendlich"=dimensionalen Fall ist das jedoch nicht so einfach.
+    Wir betrachten $f : Y → ℝ$ wie oben, wobei $Y$ eine Teilmenge des unendlich"=dimensionalen Funktionenraums
     \[
-        X = \left\{ u ∈ C^1[0,π]: u(0) = u(π) = 0 \right\}
+        X = \left\{ u ∈ C^1[0,\pi ]: u(0) = u(\pi ) = 0 \right\}
     \]
     ist, die durch
     \[
-        Y = \left\{ u ∈ X: \int_0^π |u(x)|^2 dx = 1 \right\}
+        Y = \left\{ u ∈ X: \int_0^\pi |u(x)|^2 dx = 1 \right\}
     \]
     gegeben ist.
-    Zwar ist $Y$ (in der $\L^2([0,π])$-Metrik) beschränkt und abgeschlossen, jedoch nicht kompakt.
+    Zwar ist $Y$ (in der $\L^2([0,\pi ])$-Metrik) beschränkt und abgeschlossen, jedoch nicht kompakt.
 \end{problem-nn}
-\begin{problem-nn}[Fourierreihenentwicklung]
+\begin{problem-nn}
     Sei $\mathcal T = \{ 1, \cos t, \sin t, \cos (2t), \sin (2t), … \} =
     \{\phi_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist bekanntlich
     \[
-        \langle \phi_i, \phi_j \rangle = ∫_0^{2π} φ_i(t) φ_j(t) dt = 2π δ_{i,j},
+        \langle \phi_i, \phi_j \rangle = ∫_0^{2\pi } φ_i(t) φ_j(t) dt = 2\pi  \delta _{i,j},
     \]
-    wobei $δ_{i,j}$ das Kronecker-Delta bezeichne.
+    wobei $\delta _{i,j}$ das Kronecker-Delta bezeichne.
     Also lässt sich durch Normierung ein Orthonormalsystem aus $\mathcal T$ gewinnen.
-    Jetzt fragen wir uns, ob sich jede $2π$-periodische Funktion $u$ bezüglich eines geeigneten Konvergenzbegriffs in eine Reihe $u = \sum_{i ∈ ℕ} α_i φ_i$ mit $α_i ∈ ℝ$ entwickeln können.
+    Jetzt fragen wir uns, ob sich jede $2\pi $-periodische Funktion $u$ bezüglich eines geeigneten Konvergenzbegriffs in eine Reihe $u = \sum_{i ∈ ℕ} \alpha _i φ_i$ mit $\alpha _i ∈ ℝ$ entwickeln können.
     Bereits bekannt ist, dass das für das entsprechende endlich-dimensionale Problem geht: Sei $T = \{ e_1,…,e_n\}$ die kanonische Standardbasis des $ℝ^n$
     Dann gilt bekanntlich
     \[
-        \langle e_i, e_j \rangle_{ℝ^n} = δ_{i,j}
+        \langle e_i, e_j \rangle_{ℝ^n} = \delta _{i,j}
     \]
     und für jedes $x ∈ ℝ^n$ ist
     \[
-        x = \sum_{i=1}^n α_i e_i, \quad α_i = \langle x, e_i \rangle_{ℝ^n}.
+        x = \sum_{i=1}^n \alpha _i e_i, \quad \alpha _i = \langle x, e_i \rangle_{ℝ^n}.
     \]
-    Wir fragen uns nach den Zusammenhängen zwischen den Problemen im endlich- und unendlich-dimensionalen.
+    Wir fragen uns nach den Zusammenhängen zwischen den Problemen im endlich- und unendlich"=dimensionalen.
 \end{problem-nn}
 \begin{problem-nn}
     Das Biegemoment eines Trägers kann man als Randwertaufgabe (gesucht ist $u: [0,1] → ℝ$, gegeben sind $p,r: [0,1] → ℝ$)
@@ -54,7 +52,7 @@ Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis
     \]
     bestimmen. Mit Hilfte der sogenannten Green'schen Funktion lässt sich diese Randwertaufgabe in eine Integralgleichung
     \[
-        (T_u)(t) := ∫_0^1 G(t,s) \big(r(s)-p(s)u(s)\big) ds = u
+        (T_u)(t) \coloneq ∫_0^1 G(t,s) \big(r(s)-p(s)u(s)\big) ds = u
     \]
     umwandeln. Das heißt, man sucht einen Fixpunkt eines Integraloperators $T$ in einer geeigneten Menge von Funktionen.
 \end{problem-nn}
@@ -77,11 +75,11 @@ Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     \[
         \cdot : \K × X → X
     \]
-    heißt $\K$-Vektorraum, falls für alle $α, β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt:
+    heißt $\K$-Vektorraum, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt:
     \begin{enumerate}[label=(V\arabic*)]
-    \item $α x+y) = αx + βy$
-    \item $(α+β)x = αx + βx$
-    \item $(αβ)x = α(βx)$
+    \item $\alpha  x+y) = \alpha x + βy$
+    \item $(\alpha +β)x = \alpha x + βx$
+    \item $(\alpha β)x = \alpha (βx)$
     \item $1 \cdot x = x$
     \end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -91,7 +89,7 @@ Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \end{bemerkung-nn}
 
 \begin{bemerkung-nn}
-    Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $α, β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $αx + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist.
+    Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $\alpha , β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $\alpha x + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist.
     $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}.
 \end{bemerkung-nn}
 
@@ -99,24 +97,24 @@ Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$.
     Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$
     \[
-        \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, α_1,…,α_l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l α_i m_i = x \right\}.
+        \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, \alpha _1,…,\alpha _l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l \alpha _i m_i = x \right\}.
     \]
 \end{bemerkung-nn}
 
 \begin{bemerkung-nn}
-    $M = \{x_λ\}_{λ ∈ Λ} ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt,
-    $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_λ$ schreiben, und $\lspan M = X$ ist.
+    $M = \{x_\lambda \}_{\lambda  ∈ \Lambda } ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt,
+    $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_\lambda $ schreiben, und $\lspan M = X$ ist.
 \end{bemerkung-nn}
 
 \begin{bemerkung-nn}
-    Besitzt $X$ eine Basis von $n < ∞$ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$.
-    Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = ∞$).
+    Besitzt $X$ eine Basis von $n < \infty $ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$.
+    Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = \infty $).
 \end{bemerkung-nn}
 
 \begin{bemerkung-nn}
     Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist
     \[
-        X_1 + X_2 := \left\{ αx_1 + βx_2: α, β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\}
+        X_1 + X_2 \coloneq \left\{ \alpha x_1 + βx_2: \alpha , β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\}
     \]
     ebenfalls ein linearer Teilraum.
     Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}.
@@ -139,16 +137,16 @@ Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     \[
       C[a,b] = \{x: [a,b] → \K, x \text { ist stetig}\}
     \]
-    ein $\K$-Vektorraum mit $\dim C[a,b] = ∞$.
+    ein $\K$-Vektorraum mit $\dim C[a,b] = \infty $.
     Zum Beispiel sind die Monome $(t^k)_{k ∈ ℕ}$ ein unendliches linear unabhängiges System, jedoch keine Basis.
     Tatsächlich ist jede Basis dieses Raumes überabzählbar.
 \end{beispiel}
 
 \section{Lineare Abbildungen}
 \begin{definition}
-    Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $α, β ∈ \K$ gilt:
+    Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $\alpha , β ∈ \K$ gilt:
     \[
-    A(αx_1 + βx_2)  = αA(x_1) + βA(x_2).
+    A(\alpha x_1 + βx_2)  = \alpha A(x_1) + βA(x_2).
     \]
     $A: X → \K$ heißt \emph{lineares Funktional}.
     Für $A$ linear heißt $R(A) = \im A = \{A(x): x ∈ X\}$ der \emph{Bildraum} von $A$ und $N(A) = \ker A = \{ x ∈ X: A(x) = 0\}$ der \emph{Kern} von $A$.
@@ -157,7 +155,7 @@ Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \begin{bemerkung}
     Sei $A: X → Y$ linear.
     \begin{enumerate}
-    \item Sei $M ⊂ X $ ein linearer Unterraum. Dann ist $A(M) ⊂ Y$ wieder ein linearer Unterraum und es gilt $\dim A(M) \le \dim M$ mit Gleichheit bei injektivität.
+    \item Sei $M ⊂ X $ ein linearer Unterraum. Dann ist $A(M) ⊂ Y$ wieder ein linearer Unterraum und es gilt $\dim A(M) \le \dim M$ mit Gleichheit bei Injektivität.
     \item Es gilt
         \[
             A \text{ injektiv} \Longleftrightarrow N(A) = \{ 0\}.
@@ -167,14 +165,14 @@ Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
             X/(N(A)) \cong \im A.
         \]
     \item
-        Falls $\dim X = \dim Y = n < ∞$, dann ist $A$ genau dann injektiv, wenn $A$ surjektiv ist.
+        Falls $\dim X = \dim Y = n < \infty $, dann ist $A$ genau dann injektiv, wenn $A$ surjektiv ist.
     \item
-        $A: X → Y$ ist linear und bijektiv genau dann, wenn es eine lineare Umkehrabbildung $A^{-1}: Y → X$.
+        $A: X → Y$ ist linear und bijektiv genau dann, wenn es eine lineare Umkehrabbildung $A^{-1}: Y → X$ gibt.
     \item
         Falls so ein $A: X → Y$ linear und bijektiv existiert, nennen wir $X$ und $Y$ \emph{linear isomorph.}
         $A$ heißt dann ein \emph{linearer Isomorphismus}.
 
-        Nur falls $\dim X = \dim Y < ∞$ sind $X$ und $Y$ auch „topologisch“ isomorph.
+        Nur falls $\dim X = \dim Y < \infty $ sind $X$ und $Y$ auch „topologisch“ isomorph.
         In diesem Fall erhält man die Prototypen $ℝ^n$ und $ℂ^n$ für endlich-dimensionale Vektorräume und andere gitbt es nicht (die sie auch als Topologische Räume isomorph sind).
     \end{enumerate}
 \end{bemerkung}
@@ -183,7 +181,7 @@ Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     $X = \{ x: [a,b] → ℝ, x, \dot x, \ddot x \text{ stetig},\; x(a) = \dot x(a) = 0\}$ ist ein linearer Raum.
     Sei $Y = C[a,b]$ und $A: X → Y$ gegeben durch
     \[
-        (Ax)(t) := \ddot x(t) + c_1 (t) \dot x (t) + c_2 (t) x(t), \quad t ∈ [a,b], c_1,c_2 ∈ C[a,b].
+        (Ax)(t) \coloneq \ddot x(t) + c_1 (t) \dot x (t) + c_2 (t) x(t), \quad t ∈ [a,b], c_1,c_2 ∈ C[a,b].
     \]
     Dann ist $A$ linear, weil differenzieren linear ist und $A$ ist injektiv:
     Zunächst ist $x = 0$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung $Ax = 0$.
@@ -201,16 +199,16 @@ Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \begin{beispiel-nn}
     Sei $X = Y = C[a,b]$, $A: X → X$ gegeben durch
     \[
-        (Ax)(t) := ∫_a^b k(s,t) x(s) ds, \quad t ∈ [a,b],
+        (Ax)(t) \coloneq ∫_a^b k(s,t) x(s) ds, \quad t ∈ [a,b],
     \]
     wobei $k : [a,b] × [a,b] → ℝ$ stetig und gegeben ist.
     Dann ist $A$ linear, da das Integral linear ist.
-    Auch ist, wenn $λ ∈ ℝ$ ein Parameter ist, die Abbildung
+    Auch ist, wenn $\lambda  ∈ ℝ$ ein Parameter ist, die Abbildung
     \[
-        (A_λx)(t) := λx(t) - (Ax)t), \quad t ∈ [a,b]
+        (A_\lambda x)(t) \coloneq \lambda x(t) - (Ax)t), \quad t ∈ [a,b]
     \]
     linear.
-    Die Probleme $Ax = y$ (bei gegebenem $y ∈ Y$ und gesuchtem $x ∈ X$) oder $A_λ x = 0$ (gesucht ist $λ ∈ ℝ$ und eine nichttriviale Lösung $x ∈ X \setminus \{ 0\}$)
+    Die Probleme $Ax = y$ (bei gegebenem $y ∈ Y$ und gesuchtem $x ∈ X$) oder $A_\lambda  x = 0$ (gesucht ist $\lambda  ∈ ℝ$ und eine nichttriviale Lösung $x ∈ X \setminus \{ 0\}$)
     heißen Integralgleichungen erster und zweiter Ordnung.
 \end{beispiel-nn}
 
@@ -233,7 +231,7 @@ Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
         Ax = (0,ξ_1, ξ_2, \dots) ∈ \ell^2.
     \]
     $A$ heißt (Rechts-)Shiftoperator und ist linear und injektiv, jedoch nicht surjektiv.
-    Solche Abbildungen gibt es für $\dim X = \dim Y < ∞$ nicht.
+    Solche Abbildungen gibt es für $\dim X = \dim Y < \infty $ nicht.
 \end{beispiel-nn}
 
 \section{Duale Räume}
@@ -247,14 +245,14 @@ Wir schreiben nun
 \]
 Wir setzen
 \[
-    X^f := \left\{ x': x' \text{ ist lineares Funktional auf } X \right\}.
+    X^f \coloneq \left\{ x': x' \text{ ist lineares Funktional auf } X \right\}.
 \]
 Hierbei sollte man nicht $x'$ nicht mit der Ableitung von $x$ verwechseln.
 Auch ist $\langle  -, - \rangle_{X × X^f}$ kein Skalarprodukt.
 
 Der Raum $X^f$ wird auf natürlicher Weise zum linearen Raum mit
 \[
-    (αx_1' + βx_2')(x) := αx_1'(x) + βx_2'(x), \quad x ∈ X, x_1', x_2' ∈ X^f, α, β ∈ \K.
+    (\alpha x_1' + βx_2')(x) \coloneq \alpha x_1'(x) + βx_2'(x), \quad x ∈ X, x_1', x_2' ∈ X^f, \alpha , β ∈ \K.
 \]
 So ist
 \[
@@ -263,7 +261,7 @@ So ist
 bilinear.
 \begin{definition}
     $X^f$ heißt der \emph{algebraische Dualraum} zu $X$.
-    $X^{ff} := (X^f)^f$ heißt der \emph{biduale Raum} zu $X$.
+    $X^{ff} \coloneq (X^f)^f$ heißt der \emph{biduale Raum} zu $X$.
 \end{definition}
 
 \begin{beispiel-nn}
@@ -273,7 +271,7 @@ bilinear.
     \]
     mit
     \[
-        \langle x', x'' \rangle := \langle x. x' \rangle \quad ∀x' ∈ X^f.
+        \langle x', x'' \rangle \coloneq \langle x. x' \rangle \quad ∀x' ∈ X^f.
     \]
     Damit ist $x'': X^f → \K$ linear wohldefiniert.
 \end{beispiel-nn}
@@ -283,23 +281,23 @@ bilinear.
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}
-    $X$ ist genau dann algebraisch reflexiv, wenn $\dim X < ∞$ ist.
+    $X$ ist genau dann algebraisch reflexiv, wenn $\dim X < \infty $ ist.
 
-    Im Fall $\dim X < ∞$ lässt sich leicht eine duale Basis angeben:
-    Sei dazu $M := \{x_1,…,x_n\}$ eine Basis von $X$. Dann wird durch
+    Im Fall $\dim X < \infty $ lässt sich leicht eine duale Basis angeben:
+    Sei dazu $M \coloneq \{x_1,…,x_n\}$ eine Basis von $X$. Dann wird durch
     \[
-        \langle  x_i, x_k' \rangle := δ_{i,k}
+        \langle  x_i, x_k' \rangle \coloneq \delta _{i,k}
     \]
-    und linearer Fortsetzung die Menge $ M := \{x_1',…,x_n'\} ⊂ X^f$ erklärt.
+    und linearer Fortsetzung die Menge $ M \coloneq \{x_1',…,x_n'\} ⊂ X^f$ erklärt.
     Dann ist $M'$ eine Basis von $X'$, die die \emph{duale Basis} von $M$ genannt wird.
-    Tatsächlich ist $X^f$ im Falle $\dim X = ∞$ wesentlich größer.
+    Tatsächlich ist $X^f$ im Falle $\dim X = \infty $ wesentlich größer.
     Man wählt deshalb eine (neue) Defintion des Dualraums:
 \end{bemerkung}
 
 \begin{definition}[Dualraum]
     Zu einem linearen Raum $X$ ist
     \[
-        X' := \left\{ x' : X → \K, x' \text{ linear und stetig} \right\} ⊂ X^f
+        X' \coloneq \left\{ x' : X → \K, x' \text{ linear und stetig} \right\} ⊂ X^f
     \]
     der Dualraum von $X$.
 \end{definition}
@@ -320,7 +318,7 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
         \item
               Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$.
         \item
-            In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $ε > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < ε$ auch $y ∈ U$ gilt.
+            In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $\epsilon  > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < \epsilon $ auch $y ∈ U$ gilt.
             Aus der Analysis ist bekannt, dass die so definierten offenen Mengen den Axiomen genügen.
             Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt.
         \item
@@ -342,22 +340,22 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
     \item
         $U ⊂ X$ heißt \emph{Umgebung von $A$}, wenn es eine offene Menge $V$ gibt mit $A ⊂ V ⊂ U$. Wir setzen
         \[
-            \U_A := \U_A (\T) := \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}.
+            \U_A \coloneq \U_A (\T) \coloneq \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}.
         \]
         $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$.
-        Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x := \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$.
+        Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x \coloneq \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$.
     \item
         $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$.k
     \item
         Das \emph{Innere von M} ist
         \[
-            M^\circ := \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\}
+            M^\circ \coloneq \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\}
         \]
         die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist.
     \item
         Der \emph{Abschluss von} M ist
         \[
-            \cl M := \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\}
+            \cl M \coloneq \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\}
         \]
         die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält.
     \item
@@ -455,7 +453,7 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
 
 \begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie]
 	$M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise
-	zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' := {M \cap V : V \in \T}$.
+	zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' \coloneq {M \cap V : V \in \T}$.
 \end{definition}
 \begin{bemerkung}
 	$M = M \cap X \in \T'$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie.
@@ -507,21 +505,23 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
     \item
         Es gilt
         \[
-            \lim_{n \to ∞} x_n = x \; \Longleftrightarrow \; \lim_{n→∞} d(x,x_n) = 0.
+            \lim_{n \to \infty } x_n = x \; \Longleftrightarrow \; \lim_{n→\infty } d(x,x_n) = 0.
         \]
     \item
-        Es ist $x_0 ∈ M$ genau dann ein innerer Punkt von $M ⊂ X$, wenn ein $ε > 0$ existiert mit $B_ε(x_0) ⊂ M$.
+        Es ist $x_0 ∈ M$ genau dann ein innerer Punkt von $M ⊂ X$, wenn ein $\epsilon  > 0$ existiert mit $B_\epsilon (x_0) ⊂ M$.
     \item
-        $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder  Kugel $B_ε(x_0)$ mit $x_0 ∈ X, ε > 0$ eine Kugel $B_δ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ mit $B_θ(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
+        $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder Kugel
+$B_\epsilon (x_0)$ mit $x_0 ∈ X, \epsilon > 0$ eine Kugel $B_\delta (x_1) ⊂
+B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
     \item
         Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume.
         Dann ist auch $(X×Y,d_{X×Y})$ ein metrischer Raum vermöge der Metrik
         \[
-            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \max\{d_x(x_1,x_2),d_y(y_1,y_2)\}
+            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \coloneq \max\{d_x(x_1,x_2),d_y(y_1,y_2)\}
         \]
         oder auch mit 
         \[
-            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \sqrt{d_x^2(x_1,x_2)+d_y^2(y_1,y_2)}.
+            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \coloneq \sqrt{d_x^2(x_1,x_2)+d_y^2(y_1,y_2)}.
         \]
         Tatsächlich induzieren diese beiden Metriken die gleiche Topologie (nämlich die Produkttopologie)
     \item
@@ -532,7 +532,7 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
         heißen \emph{Isometrien}.
     \item
         Ein metrischer Raum muss im allgemeinen keine lineare Struktur haben.
-        Man betrachte hierzu die Menge $X := \{1,2,3,4,5,6\}$ mit der diskreten Metrik.
+        Man betrachte hierzu die Menge $X \coloneq \{1,2,3,4,5,6\}$ mit der diskreten Metrik.
         Diese kann keine Vektorraumstruktur haben, da $|X| = 6$ keine Primzahlpotenz ist.
     \end{enumerate}
 \end{lemma}
@@ -561,7 +561,7 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
 
 \section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire}
 \begin{definition}
-    Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $ε > 0$ ein $N = N(ε)$ existiert mit $d(x_m,x_n) < ε$ für alle $n,m \ge N$.
+    Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $\epsilon  > 0$ ein $N = N(\epsilon )$ existiert mit $d(x_m,x_n) < \epsilon $ für alle $n,m \ge N$.
 \end{definition}
 
 \begin{lemma}
@@ -580,14 +580,14 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow[n → ∞]{} 0$.
+    Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$.
     Hierdurch ist eine Äquivalenzrelation definiiert. Sei $[(x_n)_{n ∈ ℕ}]$ die vom Repräsententaten $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ erzeugte Klasse. Man setzt
     \[
-        \tilde X := \{ [ (x_n)_{n ∈ ℕ}] : (x_n)_{n ∈ ℕ} \text{ ist Cauchy-Folge in }(X,d)\}
+        \tilde X \coloneq \{ [ (x_n)_{n ∈ ℕ}] : (x_n)_{n ∈ ℕ} \text{ ist Cauchy-Folge in }(X,d)\}
     \]
     und
     \[
-        \tilde d([(x_n)_{n ∈ ℕ}],[(y_n)_{n ∈ ℕ}]) := \lim_{n → ∞} d(x_n,y_n).
+        \tilde d([(x_n)_{n ∈ ℕ}],[(y_n)_{n ∈ ℕ}]) \coloneq \lim_{n → \infty } d(x_n,y_n).
     \]
     Dann ist $(d(x_n,y_n))_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $ℝ$, da
     \[
@@ -605,17 +605,18 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
 
 \begin{bemerkung-nn}
     Wendet man diese Technik auf $ℚ$ mit der natürlichen Metrik an, dann erhält man $(ℝ,d)$ als vollständige Hülle.
+    Man beachte jedoch, dass dies nicht für die Konstruktion von $ℝ$ ausreicht, da hier schon die Existenz von $ℝ$ verwenden wird -- Aber das funktioniert größtenteils analog.
 \end{bemerkung-nn}
 
 
 \begin{satz}[Schachtelsatz]\label{schachtelsatz}
     Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und seien
-    $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞) $ Folgen mit der Eigenschaft
+    $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty ) $ Folgen mit der Eigenschaft
     \begin{enumerate}
     \item $\cl B_{r_{n+1}}(x_{n+1}) ⊂ B_{r_n} (x_n)$
-    \item $\lim_{n \to ∞} r_n = 0$.
+    \item $\lim_{n \to \infty } r_n = 0$.
     \end{enumerate}
-    Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ \cl B_{r_n} (x_n)}$.
+    Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n} (x_n)$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
 
@@ -625,14 +626,14 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     \]
     Also
     \[
-        d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0.
+        d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
     \]
     Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$.
     Außerdem gilt
     \[
-        d(xp,x_n) \le \underbrace{d(x_0, x_{n+p})}_{→ 0 (p → ∞)} + \underbrace{d(x_{n+p},x_n)}_{ \le r_n}.
+        d(x_p,x_n) \le \underbrace{d(x_0, x_{n+p})}_{→ 0 (p → \infty )} + \underbrace{d(x_{n+p},x_n)}_{ \le r_n}.
     \]
-    Damit folgt für $p → ∞$
+    Damit folgt für $p → \infty $
     \[
         d(x_0, x_n) \le r_n \quad ∀ n ∈ ℕ
     \]
@@ -640,7 +641,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     Für die Eindeutigkeit sei $\tilde x_0$ ebenfalls in $\bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$.
     Dann folgt
     \[
-        d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0.
+        d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
     \]
     Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$.
 \end{proof}
@@ -672,7 +673,7 @@ Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B
         B_{r_2}(x_2) ⊂ B_{r_1/2} (x_1)
     \]
     und $B_{r_2}(x_2) ∩ M_2 = \emptyset$.
-    Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞)$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow[n → ∞]{} 0$.
+    Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty )$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$.
     Damit sind alle Voraussetzungen von \cref{schachtelsatz} erfüllt. Folglich existiert genau ein
     \[
         \tilde x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} B_{r_n} (x_n) ⊂ B_r(x_0) ⊂ M.
@@ -711,14 +712,14 @@ Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B
 %             $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$
 %         \end{enumerate}
 %         Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen
-%         ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > ε > 0$ mit $B_ε(x_n) ⊂ U_n ∩
-%         B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac ε 2$ ist wie gewünscht. Für $m
+%         ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon  > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩
+%         B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon  2$ ist wie gewünscht. Für $m
 %         \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt,
 %         dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit
 %         konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m >
 %         N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass
 %         \begin{align*}
-%           x &= \lim_{m → ∞} x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
+%           x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
 %           & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W,
 %           \end{align*}
 %         also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$.
@@ -776,12 +777,12 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
 
 \section{Normierte Räume}
 \begin{definition}
-    Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,∞)$
-    heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, α ∈ K$ gilt:
+    Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$
+    heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, \alpha  ∈ K$ gilt:
     \begin{enumerate}
     \item $\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$
     \item
-        $\norm{αx} = |α| \norm x$
+        $\norm{\alpha x} = |\alpha | \norm x$
     \item
         $\norm{x+y} \le \norm x + \norm y$
     \end{enumerate}
@@ -789,7 +790,7 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}
-    Durch $d(x,y) := \norm{x-y}$ wird ein normierter Raum auch ein metrischer, also insbesondere auch ein topologischer Raum.
+    Durch $d(x,y) \coloneq \norm{x-y}$ wird ein normierter Raum auch ein metrischer, also insbesondere auch ein topologischer Raum.
     Diese induzierte Topologie auf $(X, \norm\cdot)$ heißt \emph{Normtopologie}.
 
     Ohne die lineare Struktur macht der normierte Raum gar keinen Sinn, da für die Definition einiger der Normaxiome die Vektorraumoperationen verwendet werden.
@@ -798,35 +799,35 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
 \begin{beispiele}
     \begin{enumerate}
     \item 
-        Betrachte den $ℝ^n$ mit $\norm x _{p} := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$ mit $1 \le p < ∞$ ist ein normierter Raum,
-        genauso wie mit $\norm{x}_{∞} := \max_{1 \le i \le n} |x_i|$.
+        Betrachte den $ℝ^n$ mit $\norm x _{p} \coloneq \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$ mit $1 \le p < \infty $ ist ein normierter Raum,
+        genauso wie mit $\norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{1 \le i \le n} |x_i|$.
         Insbesondere gibt es im $ℝ^n$ überabzählbar viele verschiedene Normen.
         Wir werden jedoch später sehen, dass diese Normen alle die gleiche Topologie erzeugen.
     \item
-        Der Raum aller stetigen Funktionen auf einem kompaktem Intervall $C[a,b]$ mit $\norm{x}_{∞} := \max_{t ∈ [a,b]} |x(t)|$ ist ein normierter Raum.
+        Der Raum aller stetigen Funktionen auf einem kompaktem Intervall $C[a,b]$ mit $\norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{t ∈ [a,b]} |x(t)|$ ist ein normierter Raum.
         Außerdem wird durch
         \[
-            \norm x := ∫_a^b |x(t)| dt
+            \norm x \coloneq ∫_a^b |x(t)| dt
         \]
         ebenfalls eine Norm definiert.
     \item
         Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und beschränkt. Dann wird $C(\cl{\Omega})$ mit
         \[
-            \norm{x}_{∞} := \max_{t ∈ \cl \Omega} |x(t)|
+            \norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{t ∈ \cl \Omega} |x(t)|
         \]
         auch zu einem normierten Raum.
     \item
         $L^p(\Omega) = \L^p(\Omega)/\mathcal N$, wobei $\mathcal N = \{ f: \Omega → \R, f(t) = 0 \text{ fast überall}\}$ ist mit 
         \[
-            \norm x := \left(∫_{\Omega} |x(t)|^p dt \right)^{1/p}
+            \norm x \coloneq \left(∫_{\Omega} |x(t)|^p dt \right)^{1/p}
         \]
-        ein normierter Raum, wobei $1 \le p < ∞$.
+        ein normierter Raum, wobei $1 \le p < \infty $.
     \item
         $\ell^p$ mit
         \[
-            \norm x _{p} := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}
+            \norm x _{p} \coloneq \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}
         \]
-        ist ebenfalls ein normierter Raum, wobei $1 \le p < ∞$.
+        ist ebenfalls ein normierter Raum, wobei $1 \le p < \infty $.
     \end{enumerate}
 \end{beispiele}
 
@@ -834,13 +835,13 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
     Sei $(X, \norm\cdot)$ ein normierter Raum. Dann sind die Abbildungen $+$, $\cdot$ und $\norm\cdot$ stetig.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-    Für beliebige Folgen $(x_n)_{n ∈ ℕ},(y_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $\lim x_n = x$, $\lim y_n = y$, $\lim α_n = α$ gelten
+    Für beliebige Folgen $(x_n)_{n ∈ ℕ},(y_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (\alpha _n)_{n ∈ ℕ}$ mit $\lim x_n = x$, $\lim y_n = y$, $\lim \alpha _n = \alpha $ gelten
     \[
         \norm{(x_n + y_n) - (x+y)} \le \norm{x-x_n} + \norm{y -y_n}
     \]
     sowie
     \[
-        \norm{α_nx_n - αx} \le |α_n| \norm{x_n-x} + \norm{x} |α_n - α|
+        \norm{\alpha _nx_n - \alpha x} \le |\alpha _n| \norm{x_n-x} + \norm{x} |\alpha _n - \alpha |
     \]
     und
     \[
@@ -858,12 +859,12 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
 \section{Topologische lineare Räume}
 \begin{bemerkung-nn}
     Hierbei sei stetis die Topologie von $X×X$ die Produktopologie, bei den Körpern $\K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases}$ die übliche Topologie.
-    Wir schreiben im Folgenden für Mengen $M, M_1, M_2 ⊂ X$ und $α ⊂ \K$ nun
+    Wir schreiben im Folgenden für Mengen $M, M_1, M_2 ⊂ X$ und $\alpha  ⊂ \K$ nun
     \[
-        M_1 + M_2 := s(M_1,M_2) := \{x+y : x ∈ M_1, y ∈ M_2\},
+        M_1 + M_2 \coloneq s(M_1,M_2) \coloneq \{x+y : x ∈ M_1, y ∈ M_2\},
     \]
     \[
-        A \cdot M := m(A,M) := \{ αx: α ∈ A, x ∈ M\}.
+        A \cdot M \coloneq m(A,M) \coloneq \{ \alpha x: \alpha  ∈ A, x ∈ M\}.
     \]
 \end{bemerkung-nn}
 
@@ -890,11 +891,11 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
     \begin{enumerate}
     \item Die Addition $m$ ist stetig.
     \item
-        Für beliebiges $α ∈ \K, x ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{αx} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_α ∈ \T$ von $y$ mit $O_α × O_x ⊂ O_{αx}$.
+        Für beliebiges $\alpha  ∈ \K, x ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{\alpha x} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_\alpha  ∈ \T$ von $y$ mit $O_\alpha  × O_x ⊂ O_{\alpha x}$.
     \end{enumerate}
 \end{lemma}
 
-Betrachtet man insbesondere die Stetigkeit am Punke $α=0$ und $x ∈ X$ beliebig, dann gilt also:
+Betrachtet man insbesondere die Stetigkeit am Punke $\alpha =0$ und $x ∈ X$ beliebig, dann gilt also:
 Für jede Umgebung $O_0 ∈ \U_0 ⊂ X$ existiert eine Umgebung $O_x ∈ \U_x$ und ein $r > 0$, so dass
 \[
     ∀β: |β| <r: βO_x ⊂ O_0.
@@ -903,7 +904,7 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
 \begin{korollar}
     Im topologischen Raum $(X,\T)$ gilt für $x ∈ X$ beliebig und $(β_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$
     \[
-       β_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0 \implies β_nx \xrightarrow[n → ∞]{} 0.
+       β_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \implies β_nx \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
     \]
 \end{korollar}
 
@@ -912,12 +913,12 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
     \item 
         Zu $x_0 ∈ X$ fest definieren wir den Translationsoperator
         \[
-            T_{x_0} := X → X, x ↦ x + x_0.
+            T_{x_0} \coloneq X → X, x ↦ x + x_0.
         \]
     \item
-        Zu $α_0 ∈ \K^*$ fest definieren wir den Multiplikationsoperator
+        Zu $\alpha _0 ∈ \K^*$ fest definieren wir den Multiplikationsoperator
         \[
-            M_{α_0} := X → X, x ↦ α_0\cdot x.
+            M_{\alpha _0} \coloneq X → X, x ↦ \alpha _0\cdot x.
         \]
     \end{enumerate}
 \end{definition-nn}
@@ -964,36 +965,36 @@ k    \]
     Es genügt, da in metrischen Räumen Folgenstetigkeit und Stetigkeit äquivalent sind, zu zeigen, dass $\lim d(x_n + y_n, x + y ) = 0$, sofern $\lim d(x_n,x) = 0$  und $\lim d(y_n,y) = 0$.
     Dazu ist
     \[
-        d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow[n → ∞]{} 0.
+        d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
     \]
 \end{proof}
 
 \begin{beispiel-nn}
     Sei $X = C(a,b)$ mit der Metrik
     \[
-        d(x,y) := \min\{ 1, \sum_{t ∈ (a,b)} |x(t)-y(t)|\}.
+        d(x,y) \coloneq \min\{ 1, \sup_{t ∈ (a,b)} |x(t)-y(t)|\}.
     \]
     Dann ist $d$ eine translationsinvariante Metrik, aber $X$ ist kein linearer Raum, da die Skalarmultiplikation nicht stetig ist.
 \end{beispiel-nn}
-Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ hat man (nach dem $ε-δ-Kriterium$)
+Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × X$ hat man (nach dem $\epsilon -\delta -Kriterium$)
 \[
-    ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∃ r> 0 ∀β ∈ \K ∀y ∈ X: 
+    ∀\epsilon  > 0 ∃ \delta  > 0 ∃ r> 0 ∀β ∈ \K ∀y ∈ X: 
     \begin{rcases}
-        |β - α| < r \\
-        d(x,y) < δ
+        |β - \alpha | < r \\
+        d(x,y) < \delta 
     \end{rcases}
-    \implies d(βy,αx) < ε
+    \implies d(βy,\alpha x) < \epsilon 
 \]
 
 
 \begin{lemma}
     \label{lemma-metrischer-linearer-raum-charak}
     Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit linearer Struktur und mit einer translationinvarianten Metrik.
-    Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $α ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ) ⊂ \K}$ gilt
+    Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $\alpha  ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (\alpha _n)_{n ∈ ℕ)} ⊂ \K$ gilt
     \begin{gather*}
-        αx_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0 \\
-        αx_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0 \\
-        α_nx_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0
+        \alpha x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\
+        \alpha x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\
+        \alpha _nx_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0
     \end{gather*}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
@@ -1002,28 +1003,29 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha
     „$⇐$“: Wegen der Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit ist zu zeigen
     \[
         \begin{rcases}
-            α_n \xrightarrow[n → ∞]{} α ∈ \K \\
-            x_n \xrightarrow[n → ∞]{} x ∈ X
+            \alpha _n \xrightarrow[n → \infty ]{} \alpha  ∈ \K \\
+            x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} x ∈ X
         \end{rcases}
-    \implies α_n x_n \xrightarrow[n → ∞]{} αx.
+    \implies \alpha _n x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} \alpha x.
     \]
 
-    Sei dazu $z_n := x_n - x ∈ X$, $γ_n := α_n - α ∈ \K$. Dann ist
+    Sei dazu $z_n \coloneq x_n - x ∈ X$, $γ_n \coloneq \alpha _n - \alpha  ∈ \K$. Dann ist
     \[
-        γ_n z_n + γ_n x + α z_n = (α_n - α)(x_n-x) + (α_n-α) x + α(x_n-x)
-        = α_n x_n - α×.
+        γ_n z_n + γ_n x + \alpha  z_n = (\alpha _n - \alpha )(x_n-x) + (\alpha _n-\alpha ) x + \alpha (x_n-x)
+        = \alpha _n x_n - \alpha ×.
     \]
     Somit ist
     \begin{align*}
-        d(α_nx_n,αx) &= d(αnx_n - αx,0) = d(γ_nz_n + γnx + αz_n, 0) \\
-        &\le \underbrace{d(γ_nz_n,0)}_{→ 0} + \underbrace{d(γ_nx, 0)}_{→ 0} + \underbrace{d(αz_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow{n → 0} 0.
+        d(\alpha _nx_n,\alpha x) &= d(\alpha nx_n - \alpha x,0) = d(γ_nz_n + γnx + \alpha z_n, 0) \\
+        &\le \underbrace{d(γ_nz_n,0)}_{→ 0} + \underbrace{d(γ_nx, 0)}_{→ 0} +
+\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow{n → \infty } 0.
     \end{align*}
     Da die Addition ohnehin immer stetig ist, sind wir  fertig.
 \end{proof}
 
 
 \begin{definition}
-    Eine Abbildung $|\cdot|: X → [0,∞)$ heißt \emph{Quasi-Norm} auf dem Linearen
+    Eine Abbildung $|\cdot|: X → [0,\infty )$ heißt \emph{Quasi-Norm} auf dem Linearen
     Raum $X$, falls gilt:
     \begin{enumerate}[label=(Q\arabic*)]
     \item
@@ -1033,11 +1035,11 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha
     \item
         $|x+y| \le |x| + |y|$ für alle $x,y ∈ X$
     \item
-        $|αx_n| \xrightarrow[n → ∞]{} 0$ für $α ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$
+        $|\alpha x_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $\alpha  ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$
     \item
-        $|α_nx| \xrightarrow[n → ∞]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|α_n| → 0$
+        $|\alpha _nx| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|\alpha _n| → 0$
     \item
-        $|α_nx_n| \xrightarrow[n → ∞]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|α_nx_n| → 0$
+        $|\alpha _nx_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _nx_n| → 0$
     \end{enumerate}
     $(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum.
 \end{definition}
@@ -1049,10 +1051,10 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha
 \begin{satz}
     \begin{enumerate}
     \item
-        Ist $|\cdot|$ eine Quasi-Norm auf $X$, so wird durch $d(x,y) := |x-y|$ eine translationsinvariante Metrik definiert, welche $X$ zu einem metrischen linearen Raum macht.
+        Ist $|\cdot|$ eine Quasi-Norm auf $X$, so wird durch $d(x,y) \coloneq |x-y|$ eine translationsinvariante Metrik definiert, welche $X$ zu einem metrischen linearen Raum macht.
     \item
         Ist $(X,d)$ ein metrischer linearer Raum mit translationsinvarianter Metrik $d$, so ist
-        $(X,|\cdot|)$ mit $|x| := d(x,0)$ ein quasi-normierter Raum.
+        $(X,|\cdot|)$ mit $|x| \coloneq d(x,0)$ ein quasi-normierter Raum.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}
@@ -1067,11 +1069,11 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se
     Eine Abbildung $p: X → ℝ$ heißt \emph{Semi-Norm} oder \emph{Halbnorm}, falls folgendes gilt:
     \begin{enumerate}[label=(S\arabic*)]
     \item
-        $∀x ∈ X: p(x) ≥ 0$
+        $∀x ∈ X: p(x) \ge 0$
     \item
-        $∀ x ∈ X, α ∈ \K: p(αx) = |α| p(x)$
+        $∀ x ∈ X, \alpha  ∈ \K: p(\alpha x) = |\alpha | p(x)$
     \item
-        $∀ x, y ∈ X: p(x+y) ≤ p(x) + p(y)$
+        $∀ x, y ∈ X: p(x+y) \le p(x) + p(y)$
     \end{enumerate}
     $(X,p)$ heißt dann \emph{semi-normierter} Raum.
 \end{definition}
@@ -1092,7 +1094,7 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se
     \end{equation}
     Dann ist
     \[
-        d(x,yr) := \sum_{n = 1}^∞ 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}
+        d(x,y) \coloneq \sum_{n = 1}^\infty  2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}
     \]
     eine translationsinvariante Metrik auf $X$, welche $X$ zum metrischen linearen Raum macht.
 \end{satz}
@@ -1108,24 +1110,24 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se
 \begin{satz}
     \label{satz-umgebungsbasis-produkt-von-seminorm}
     Sei $(X,d)$ der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gegebene metrische lineare Raum (mit der von der Metrik erzeugten Topologie).
-    Dann bilden die Mengen ($ε_n > 0$)
+    Dann bilden die Mengen ($\epsilon _n > 0$)
     \[
-        U (p_n,ε_n) := \bigcup B^{p_n}_{ε_n}(0)
-        = \{ x ∈ X: p_n(x) < ε_n\}
+        U (p_n,\epsilon _n) \coloneq \bigcup B^{p_n}_{\epsilon _n}(0)
+        = \{ x ∈ X: p_n(x) < \epsilon _n\}
     \]
     und deren endliche Durchschnitte eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$
 \end{satz}
 
 \begin{bemerkung-nn}
-    Nach dem Invarianzprinzip ist damit durch $\bigcup B^{p_n}_{ε_n}$ die ganze Topologie bestimmt.
+    Nach dem Invarianzprinzip ist damit durch $\bigcup B^{p_n}_{\epsilon _n}$ die ganze Topologie bestimmt.
     Mit anderen Worten: Die Topologie welche über die Metrik bestimmt ist, ist dieselbe wie die, welche von den
-    $U(p_n,ε_n)$ und endlichen Schnitten davon erzeugt wird.
+    $U(p_n,\epsilon _n)$ und endlichen Schnitten davon erzeugt wird.
 \end{bemerkung-nn}
 \begin{proof}[\cref{satz-umgebungsbasis-produkt-von-seminorm}]
-    Zunächst ist $U (p_n,ε_n) ∈ \T$:
-    Sei $n ∈ ℕ$  und $ε_n > 0$ fest und $y ∈ U(p_n,ε_n)$ beliebig gegeben.
-    Dann ist $p_n(y) < ε_n$. Dann wähle $ρ = ρ(y) > 0$, so dass $p_n(y) + ρ < ε_n$.
-    Dann gilt für $r := 2^{-n} \frac{ρ}{1+ρ} > 0$:
+    Zunächst ist $U (p_n,\epsilon _n) ∈ \T$:
+    Sei $n ∈ ℕ$  und $\epsilon _n > 0$ fest und $y ∈ U(p_n,\epsilon _n)$ beliebig gegeben.
+    Dann ist $p_n(y) < \epsilon _n$. Dann wähle $ρ = ρ(y) > 0$, so dass $p_n(y) + ρ < \epsilon _n$.
+    Dann gilt für $r \coloneq 2^{-n} \frac{ρ}{1+ρ} > 0$:
     \[
         x ∈ B_r(y) \implies p_n(x+r) < ρ.
     \]
@@ -1133,10 +1135,10 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se
     \[
         \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)} \le 2^n \underbrace{d(x,y)}_{< r} < 2^n r = \frac{ρ}{1+ρ},
     \]
-    also $p_n(x-y) < ρ$. Mit diesem $r$ gilt $B_r(y) ⊂ U(p_n,ε_n)$:
+    also $p_n(x-y) < ρ$. Mit diesem $r$ gilt $B_r(y) ⊂ U(p_n,\epsilon _n)$:
     Sei $x ∈ B_r(y)$. Dann gilt
     \[
-        p_n(x) \le \underbrace{p_n(x-y)}_{< ρ} + p_n(y) < p_n(y) + ρ = ε_n
+        p_n(x) \le \underbrace{p_n(x-y)}_{< ρ} + p_n(y) < p_n(y) + ρ = \epsilon _n
     \]
     wie gewünscht.
     
@@ -1144,31 +1146,31 @@ Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Se
     Sei $ B_r(0), r > 0$ gegeben.
     Wähle $n_0 ∈ ℕ$ mit
     \[
-        \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} < \frac r 2.
+        \sum_{n=n_0}^\infty  2^{-n} < \frac r 2.
     \]
 
-    mit $ε := \frac r 2 $ gilt dann
+    mit $\epsilon  \coloneq \frac r 2 $ gilt dann
     \[
-        \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_(,ε) ⊂ B_r(0).
+        \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_(,\epsilon ) ⊂ B_r(0).
     \]
-    Sei dazu $x ∈ \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_n,ε)$ beliebig.
+    Sei dazu $x ∈ \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_n,\epsilon )$ beliebig.
     Dann ist
     \[
-        d(x,0) \le \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} + \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} < ε \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} + \frac r 2 < ε + \frac r 2 = r,
+        d(x,0) \le \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} + \sum_{n=n_0}^\infty  2^{-n} < \epsilon  \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} + \frac r 2 < \epsilon  + \frac r 2 = r,
     \]
     somit also $x ∈ B_r(0)$.
 \end{proof}
 
 \begin{bemerkung}
-    Die Mengen $U(p_n,ε_n)$ und deren endlichen Schnitte sind konvexe Mengen, das heißt
+    Die Mengen $U(p_n,\epsilon _n)$ und deren endlichen Schnitte sind konvexe Mengen, das heißt
     \[
-        x, y ∈ U(p_n,ε_n),α ∈ [0,1] \implies αx+(1-α)y ∈ U(p_n,ε_n)
+        x, y ∈ U(p_n,\epsilon _n),\alpha  ∈ [0,1] \implies \alpha x+(1-\alpha )y ∈ U(p_n,\epsilon _n)
     \]
 \end{bemerkung}
 \begin{proof}
     Es ist
     \[
-        p_n(αx + (1-α)y) \le |α| \underbrace{p_n(x)}_{< ε_n} + |1-α|\underbrace{p_n(y)}_{< ε_n} = ε_n.
+        p_n(\alpha x + (1-\alpha )y) \le |\alpha | \underbrace{p_n(x)}_{< \epsilon _n} + |1-\alpha |\underbrace{p_n(y)}_{< \epsilon _n} = \epsilon _n.
     \]
 \end{proof}
 
@@ -1185,10 +1187,10 @@ Also besitzt der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gewonne
     \]
     Dann sind die Mengen
     \[
-        U(p_i,ε_i) = \{ x ∈ X: p_{(x) < ε_i}\}, \quad ε_i > 0, i ∈ I
+        U(p_i,\epsilon _i) = \{ x ∈ X: p_{(x) < \epsilon _i}\}, \quad \epsilon _i > 0, i ∈ I
     \]
     und deren endliche Schnitte eine konvexe Umgebungsbasis von $0 ∈ X$.
-    Die dadurch gewonne Topologie $\T$ macht $X$ zu einem \emph{lokalkonvexen Hausdorff-Raum}.
+    Die dadurch gewonne Topologie $\T$ macht $X$ zu einem \emph{lokalkonvexen Hausdorff"=Raum}.
 \end{satz}
 
 \section{Beispiele}
@@ -1197,9 +1199,9 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte
 \begin{definition}
     \begin{enumerate}
     \item
-        Ein metrischer linearer Raum $(X,d)$ der vollständig ist, heißt \emph{Fréchet-Raum}.
+        Ein metrischer linearer Raum $(X,d)$ der vollständig ist, heißt \emph{Fréchet"=Raum}.
     \item
-        Ein normierter Raum $(X,\norm\cdot)$, der vollständig ist, heißt \emph{Banach-Raum}.
+        Ein normierter Raum $(X,\norm\cdot)$, der vollständig ist, heißt \emph{Banach"=Raum}.
 
     \end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -1207,119 +1209,122 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte
 \begin{beispiel-nn}[$\ell^p$-Räume]
     \begin{enumerate}
     \item 
-        $(\ell^p,\norm\cdot_p)$, $1 \le p < ∞$ ist normierter Raum mit
+        $(\ell^p,\norm\cdot_p)$, $1 \le p < \infty $ ist normierter Raum mit
         \[
-            \norm x _p = \left( \sum_{i=1}^∞ |x_i|^p \right)^{1/p}.
+            \norm x _p = \left( \sum_{i=1}^\infty  |x_i|^p \right)^{1/p}.
         \]
     \item 
-        $(\ell^∞,\norm\cdot_∝)$, ist normierter Raum mit $\norm x _∞ = \sup_{i ∈ ℕ} |x_i|$.
+        $(\ell^\infty ,\norm\cdot_\infty)$, ist normierter Raum mit $\norm x _\infty  = \sup_{i ∈ ℕ} |x_i|$.
     \item 
         $(\ell^p,|\cdot|_p = \norm\cdot_p^p)$, $0 \le p < 1$ ist quasi-normierter Raum.
     \end{enumerate}
 \end{beispiel-nn}
 
 \begin{bemerkung}
-    Für $0 < p < q \le ∞$ gilt $\ell^p ⊂ \ell^q ⊂ \ell^∞$.
+    Für $0 < p < q \le \infty $ gilt $\ell^p ⊂ \ell^q ⊂ \ell^\infty $.
 \end{bemerkung}
 \begin{beweis}
     Sei $x ∈ \ell^p$ mit $|x| = 1 = \sum_{i ∈ ℕ} |x_i|^p$.
     Dann ist für alle $i ∈ ℕ$ $|x_i|^p \le 1$, also auch $|x_i| < 1$.
-    Dann folgt auch $\sum_{i ∈ ℕ} |x_i|^q < 1$, also $x ∈ \ell^q$ und $\sup_{i ∈ ℕ} |x_i| ≤ 1$, also $x ∈ \ell^∞$.
+    Dann folgt auch $\sum_{i ∈ ℕ} |x_i|^q < 1$, also $x ∈ \ell^q$ und $\sup_{i ∈ ℕ} |x_i| \le 1$, also $x ∈ \ell^\infty $.
 \end{beweis}
 
 
 \begin{satz}
-    Für $1 \le p \le ∞$ ist $(\ell^p,\norm\cdot_p)$ ein Banachraum.
-    Für $0 < p < ∞$ ist $(\ell^p,|\cdot|_p)$ ein Fréchet-Raum.
+    Für $1 \le p \le \infty $ ist $(\ell^p,\norm\cdot_p)$ ein Banachraum.
+    Für $0 < p < \infty $ ist $(\ell^p,|\cdot|_p)$ ein Fréchet-Raum.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    Nur für $1 \le p < ∞$.
+    Nur für $1 \le p < \infty $.
     Sei dazu $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ \ell^p$  eine Cauchy-Folge, also
-    $x_n = (ξ_k^n)_{k ∈ ℕ}$ und für jedes $ε > 0$ gibt es ein $n_0$ mit
+    $x_n = (ξ_k^n)_{k ∈ ℕ}$ und für jedes $\epsilon  > 0$ gibt es ein $n_0$ mit
     \[
-        ∀n,m > n_0: \norm{x_n-xm}_p = \left( \sum_{k=1}^∞ |ξ_k^n-ξ_k^m|^p \right)^{1/p} < ε.
+        ∀n,m > n_0: \norm{x_n-x_m}_p = \left( \sum_{k=1}^\infty  |ξ_k^n-ξ_k^m|^p \right)^{1/p} < \epsilon .
     \]
     Sei $k_0 ∈ ℕ$ beliebig. Dann ist $(ξ_k^n)_{n ∈ ℕ}$
     eine Cauchy-Folge in $\K$, besitzt also einen Grenzwert $ξ_{k_0}$.
-    Setze nun $x := (ξ_k)_{k ∈ ℕ} ∈ \K^∞ = s$. Wir vermuten $x$ als Grenzwert unserer Cauchy-Folge.
+    Setze nun $x \coloneq (ξ_k)_{k ∈ ℕ} ∈ \K^\infty  = s$. Wir vermuten $x$ als Grenzwert unserer Cauchy-Folge.
     Also müssen wir zeigen, dass $x ∈ \ell^p$, und dass unsere Folge tatsächlich gegen $x$ konvergiert.
 
     Es gilt
     \[
-        \norm{x_n}_! \le \underbrace{\norm{x_n-x_{n_0}}}_{< ε} + \norm{x_{n_0}} \quad \forall n \ge n_0
+        \norm{x_n}_! \le \underbrace{\norm{x_n-x_{n_0}}}_{< \epsilon } + \norm{x_{n_0}} \quad \forall n \ge n_0
     \]
     Deshalb existiert ein $M > 0$ mit $\norm{x_n}_p < M$ für alle $n ∈ ℕ$, also
     \[
-        \sum_{k=1}^N |ξ_k^n|p < \sum_{k =1}^∞ |ξ_k^n|^p \le M^p < ∞.
+        \sum_{k=1}^N |ξ_k^n|p < \sum_{k =1}^\infty  |ξ_k^n|^p \le M^p < \infty .
     \]
     Also haben wir
     \[
         \sum_{k=1}^N |ξ_k^p| \le M^p \quad ∀ n ∈ ℕ,
     \]
-    also durch Grenzwertbildung $N → ∞$ auch $\norm{x}_p^p ≤ M^p$ bzw. $x ∈ \ell^p$.
+    also durch Grenzwertbildung $N → \infty $ auch $\norm{x}_p^p \le M^p$ bzw. $x ∈ \ell^p$.
 
 
     Ferner haben wir
     \[
-        \sum_{k=1}^N |ξ_k^n-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀ N ∈ ℕ, n, m ≥ n_0(ε).
+        \sum_{k=1}^N |ξ_k^n-ξ_k^m|^p < \epsilon ^p \quad ∀ N ∈ ℕ, n, m \ge n_0(\epsilon ).
     \]
-    Für $n → ∞$ folgt
+    Für $n → \infty $ folgt
     \[
-        \sum_{k=1}^N |ξ_k-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀N ∈ ℕ, m ≥ n_0, 
+        \sum_{k=1}^N |ξ_k-ξ_k^m|^p < \epsilon ^p \quad ∀N ∈ ℕ, m \ge n_0, 
     \]
-    und mit $N → ∞$
+    und mit $N → \infty $
     \[
-        \sum_{k=1}^∞ |ξ_k-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀m ≥ n_0, 
+        \sum_{k=1}^\infty  |ξ_k-ξ_k^m|^p < \epsilon ^p \quad ∀m \ge n_0, 
     \]
     also die Konvergenz.
 \end{proof}
 \begin{beispiel-nn}
-    Betrachte den Folgenraum $S = \K^∞ = \{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$.
+    Betrachte den Folgenraum $S = \K^\infty  = \{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$.
     Dann ist 
     \[
-        p_n(x) := |ξ_n|, \quad p_n: \K^∞ → ℝ
+        p_n(x) \coloneq |ξ_n|, \quad p_n: \K^\infty  → ℝ
     \]
     eine abzählbare Familie von Halbnormen mit
     \[
-        p_n(x) = 0 ∀n ∈ ℕ \implies x = 0 ∈ \K^∞
+        p_n(x) = 0 ∀n ∈ ℕ \implies x = 0 ∈ \K^\infty 
     \]
-    Nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} folgt, dass $(\K^∞, d)$ mit
+    Nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} folgt, dass $(\K^\infty , d)$ mit
     \[
-        d(x,y) := \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}
+        d(x,y) \coloneq \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}
     \]
     ein metrischer linearer Raum ist.
     Der Konvergenzbegriff entspricht gerade der komponentenweisen Konvergenz, das heißt, für eine Folge $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ mit $x_k = (ξ^k_n)_{n ∈ ℕ}$ gilt
-    \[
-        x_k \xrightarrow[k→∞]{} 0 \; \Longleftrightarrow \; d(x_n,0) \xrightarrow[k→∞]{} 0 \; \Longleftrightarrow \; p_n(x_k) \xrightarrow[k→∞]{} ∀ n ∈ ℕ \; \Longleftrightarrow \; |ξ_n^k| \xrightarrow[k→∞] 0 ∀ n ∈ ℕ.
-    \]
+    \begin{align*}
+        x_k \xrightarrow[k→\infty ]{} 0
+        &\gdw d(x_n,0) \xrightarrow[k→\infty ]{} 0 \\
+        &\gdw p_n(x_k) \xrightarrow[k→\infty ]{} ∀ n ∈ ℕ \\
+        &\gdw |ξ_n^k| \xrightarrow[k→\infty ]{} 0 ∀ n ∈ ℕ.
+    \end{align*}
 
-    Wir fragen uns nun, ob auf dem $\K^∞$  auch eine Topologie existiert, so dass der induzierte Konvergenzbegriff der der gleichmäßigen Konvergenz in allen Komponenten entspricht?
+    Wir fragen uns nun, ob auf dem $\K^\infty $  auch eine Topologie existiert, so dass der induzierte Konvergenzbegriff der der gleichmäßigen Konvergenz in allen Komponenten entspricht.
     Also
     \[
-        x_k \xrightarrow[k → ∞]{\text{glm}} 0 ∈ \K^∞ \gdw ∀ε > 0 ∃ k_0 ∈ ℕ: |ξ_n^k| < ε ∀ k \ge k_0 ∀n ∈ ℕ.
+        x_k \xrightarrow[k → \infty ]{\text{glm}} 0 ∈ \K^\infty  \gdw ∀\epsilon  > 0 ∃ k_0 ∈ ℕ: |ξ_n^k| < \epsilon  ∀ k \ge k_0 ∀n ∈ ℕ.
     \]
-    Wenn $\K^∞$ ein topologischer linearer Raum sein soll, ist das nicht möglich. Notwendig wäre, dass für eine Folge $x  ∈ \K^∞$
+    Wenn $\K^\infty $ ein topologischer linearer Raum sein soll, ist das nicht möglich. Notwendig wäre, dass für eine Folge $x  ∈ \K^\infty $
     \[
-        α_k \xrightarrow[k → ∞]{} 0 \text{ in } \K \implies α_k x \xrightarrow[k→∞]{} \text{ in } X = \K^∞.
+        \alpha _k \xrightarrow[k → \infty ]{} 0 \text{ in } \K \implies \alpha _k x \xrightarrow[k→\infty ]{} \text{ in } X = \K^\infty .
     \]
-    Wähle dazu die Nullfolge $(α_k)_{k ∈ ℕ} = (1/k)_{k ∈ ℕ} ⊂ ℝ$, $x= (n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$. Dann ist
+    Wähle dazu die Nullfolge $(\alpha _k)_{k ∈ ℕ} = (1/k)_{k ∈ ℕ} ⊂ ℝ$, $x= (n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$. Dann ist
     \[
-        α_k x = (n/k)_{n ∈ ℕ} ∈ \K^∞
+        \alpha _k x = (n/k)_{n ∈ ℕ} ∈ \K^\infty 
     \]
-    zwar eine Nullfolge in $\K^∝$ ist, diese Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig in $n$.
-    Man kann zeigen, dass $\K^∞$ mit $d$ vollständig, also ein Fréchet-Raum, ist.
-    Ist $\K^∞$ auch normierbar?
-    Also gibt es auf $\K^∞$ eine Norm, welche die gleiche Topologie erzeugt wie die $d$?
+    zwar eine Nullfolge in $\K^\infty$ ist, diese Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig in $n$.
+    Man kann zeigen, dass $\K^\infty $ mit $d$ vollständig, also ein Fréchet-Raum, ist.
+    Ist $\K^\infty $ auch normierbar?
+    Also gibt es auf $\K^\infty $ eine Norm, welche die gleiche Topologie erzeugt wie die $d$?
     Auch  das ist nicht möglich:
 \end{beispiel-nn}
 \begin{lemma}
     \label{lemma-s-metrikkugeln-enthalten-unterraeme}
-    In $(\K^∞,d)$ gilt:
+    In $(\K^\infty ,d)$ gilt:
     \begin{enumerate}
     \item
-        $B_1(0) = \K^∞$
+        $B_1(0) = \K^\infty $
     \item
-        Betrachte den linearen Unterraum $M_{n_0} := \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $ξ_n = 0$ für $n = 1,…,n_0 \}$.
+        Betrachte den linearen Unterraum $M_{n_0} \coloneq \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $ξ_n = 0$ für $n = 1,…,n_0 \}$.
         Dann gibt es für jeden Radius $r > 0$  ein $n_0 ∈ ℕ$, so dass $M_{n_0} ⊂ B_{r}(0)$.
         Das heißt, jede noch so kleine Metrikkugel enthält einen nichttrivialen Unterraum.
     \end{enumerate}
@@ -1330,20 +1335,20 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte
         Das ist trivial.
     \item
         Sei $r > 0$ gegeben.
-        Wähle nun $n_0$, so dass $\sum_{n=n_0+1}^∞ 2^{-n} < r$.
+        Wähle nun $n_0$, so dass $\sum_{n=n_0+1}^\infty  2^{-n} < r$.
         Dann gilt
         \[
             ∀ x ∈ M_{n_0}: d(x,0) =
             \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} =
-            \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} \le
-            \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} < r.
+            \sum_{n=n_0}^\infty  2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} \le
+            \sum_{n=n_0}^\infty  2^{-n} < r.
         \]
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
-Wäre nun die Topologie auf $(\K^∞,d)$ nun auch von einer Norm erzeugt, dann wären die Normkugeln
+Wäre nun die Topologie auf $(\K^\infty ,d)$ nun auch von einer Norm erzeugt, dann wären die Normkugeln
 \[
-    B_r^{\norm\cdot}(0) = \{ x ∈ \K^∞: \norm x < \tilde r \}
+    B_r^{\norm\cdot}(0) = \{ x ∈ \K^\infty : \norm x < \tilde r \}
 \]
 auch eine Umgebungsbasis der Null.
 Das heißt insbesondere würden wir zu jedem $\tilde r$ ein $r$ finden, so dass $0 ∈ B_r^d(0) ⊂ B_r^{\norm\cdot} (0)$.
@@ -1352,19 +1357,19 @@ Mit \cref{lemma-s-metrikkugeln-enthalten-unterraeme} folgt also
     M_{n_0} ⊂ B_r(0) ⊂ B_r^{\norm\cdot}(0)
 \]
 für ein geeignetes $n_0$.
-Sei nun ein $0  \ne x ∈ M_{n_0}$. Dann ist, da $M_{n_0}$ ein Unterraum ist, auch $αx ∈ M_{n_0}$ für alle $α ∈ \K$.
+Sei nun ein $0  \ne x ∈ M_{n_0}$. Dann ist, da $M_{n_0}$ ein Unterraum ist, auch $\alpha x ∈ M_{n_0}$ für alle $\alpha  ∈ \K$.
 Das heißt,
 \[
-    |α| \cdot \norm x = \norm{αx} < \tilde r \text{ für alle } α ∈ \K,
+    |\alpha | \cdot \norm x = \norm{\alpha x} < \tilde r \text{ für alle } \alpha  ∈ \K,
 \]
-was bereits $α = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch.
+was bereits $\alpha  = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch.
 
 
 \begin{beispiel-nn}[Räume beschränkter Funktionen]
-    Sei $S$  eine beliebige Menge und $B(S) := \{ f: S → \K, f(s)$ ist beschränkt $\}$.
+    Sei $S$  eine beliebige Menge und $B(S) \coloneq \{ f: S → \K, f(s)$ ist beschränkt $\}$.
     Dann wird $B(S)$ mit
     \[
-        \norm f _{B(S)} := \sup_{x ∈ S} |f(x)| < ∞,
+        \norm f _{B(S)} \coloneq \sup_{x ∈ S} |f(x)| < \infty ,
     \]
     der $\sup$-Norm, zu einem Banachraum.
     Dabei ist offensichtlich, dass $\norm\cdot_{B(S)}$ tatsächlich eine Norm ist, und wir werden in einer Übung zeigen, dass die induzierte Metrik tatsächlich vollständig ist.
@@ -1393,14 +1398,14 @@ was bereits $α = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch.
     \]
     ein normierter Raum mit
     \[
-        \norm{f}_{C(K)} = \norm{f}_{∞} = \max_{t ∈ K} |f(t)|,
+        \norm{f}_{C(K)} = \norm{f}_{\infty } = \max_{t ∈ K} |f(t)|,
     \]
     der Maximumsnorm.
     Dieses Maximum wird tatsächlich immer angenommen, da $K$ kompakt ist (Satz von Minimum und Maximum).
     Insbesondere sind alle stetigen Funktionen auf  $K$ beschränkt. Damit gilt offensichtlich $C(K) ⊂ B(K)$ und $\norm{f}_{C(K)} = \norm{f}_{B(K)}$ für alle $f ∈ C(K)$.
     Da jede stetige Funktion auf kompakten Teilmengen von metrischen Räumen auch gleichmäßig stetig ist, das heißt
     \[
-        ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: \left( |t_1-t_2| < δ \implies |f(t_1)-f(t_2)| < ε \right) ∀ t_1,t_2 ∈ K
+        ∀ \epsilon  > 0 ∃ \delta  > 0: \left( |t_1-t_2| < \delta  \implies |f(t_1)-f(t_2)| < \epsilon  \right) ∀ t_1,t_2 ∈ K
     \]
 \end{beispiel-nn}
 
@@ -1409,19 +1414,19 @@ was bereits $α = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
     Sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine konvergente (in $(B(K),\norm\cdot_{B(K)})$) Folge in $C(K)$.
-    Dann existiert ein $f ∈ B(K)$ mit $f_i \xrightarrow[i → ∞]{\norm{\cdot}_{B(K)}} f$.
+    Dann existiert ein $f ∈ B(K)$ mit $f_i \xrightarrow[i → \infty ]{\norm{\cdot}_{B(K)}} f$.
     Wir müssen zeigen, dass $f$ bereits stetig ist.
     Für beliebige $t₁, t_2 ∈ K$ gilt
     \[
-        |f(t_1)-f(t_2) | \le \underbrace{|f_i(t_1)-f_i(t_2)|}_{< ε/3 \text{ für } |t_1-t_2| < δ^{(i)}(ε)} + 2 \underbrace{\norm{f_i - f}_{B(K)}}_{< ε/3 \text{ für } i > i_0}  < ε.
+        |f(t_1)-f(t_2) | \le \underbrace{|f_i(t_1)-f_i(t_2)|}_{< \epsilon /3 \text{ für } |t_1-t_2| < \delta ^{(i)}(\epsilon )} + 2 \underbrace{\norm{f_i - f}_{B(K)}}_{< \epsilon /3 \text{ für } i > i_0}  < \epsilon .
     \]
     Damit ist $f$ auch gleichmäßig stetig, also insbesondere auch stetig und in $C(K)$.
 \end{proof}
-Das heißt, die Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(K)$ überträgt sich auf die Grenzfunktion und Konvergenz in $(C(K),\norm\cdot_{∞})$ ist „gleichmäßig auf $K$“.
-Wegen  dieser Eigenschaft ist die Maximumsnorm $\norm\cdot_∞$ auch die natürliche Norm auf $C(K)$.
+Das heißt, die Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(K)$ überträgt sich auf die Grenzfunktion und Konvergenz in $(C(K),\norm\cdot_{\infty })$ ist „gleichmäßig auf $K$“.
+Wegen  dieser Eigenschaft ist die Maximumsnorm $\norm\cdot_\infty $ auch die natürliche Norm auf $C(K)$.
 Andere mögliche Normen (und damit andere Topologien) auf $C(K)$ wären z.B.
 \[
-    \norm{f}_p = \left(  \int_K |f(t)|^p dt \right)^{1/p}, \quad 1 \le p < ∞.
+    \norm{f}_p = \left(  \int_K |f(t)|^p dt \right)^{1/p}, \quad 1 \le p < \infty .
 \]
 Allerdings ist die Konvergenz in dieser Topologie impliziert keine Stetigkeit für die Grenzfunktion.
 
@@ -1429,7 +1434,7 @@ Allerdings ist die Konvergenz in dieser Topologie impliziert keine Stetigkeit f
 \begin{beispiel-nn}
     Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und analog
     \[
-        C(\Omega) := \{ f: \Omega → \K, f \text { stetig }\}.
+        C(\Omega) \coloneq \{ f: \Omega → \K, f \text { stetig }\}.
     \]
     Hier können Funktionen aber auch unbeschränkt sein. Also braucht $\sup |f|$ nicht mehr zu existieren.
 \end{beispiel-nn}
@@ -1447,7 +1452,7 @@ Man nehme z.B.
 \[
     K_m = \{ x ∈ \Omega ⊂ ℝ^n: \norm{x} \le m, \operatorname{dist}(x,∂\Omega) \ge 1/m\},
 \]
-wobei $\operatorname{dist}(x,∂\Omega) := \inf\{ \norm{x-y}: y ∈ ∂\Omega\}$ und $∂M = \cl \Omega \setminus \Omega$.
+wobei $\operatorname{dist}(x,∂\Omega) \coloneq \inf\{ \norm{x-y}: y ∈ ∂\Omega\}$ und $∂M = \cl \Omega \setminus \Omega$.
 
 Dann ist $C(\Omega)$ mit der Metrik
 \[
@@ -1460,8 +1465,8 @@ ein Fréchetraum, also ein metrisierbarer linearer Raum nach \cref{satz-abzaehlb
 
 Es gilt in diesem Raum
 \[
-    d(f_i,f) \xrightarrow[i → ∞]{} 0 \gdw
-    \norm{f_i-f}_{C(K_m)} \xrightarrow[i → ∞]{} ∀m  ∈ ℕ,
+    d(f_i,f) \xrightarrow[i → \infty ]{} 0 \gdw
+    \norm{f_i-f}_{C(K_m)} \xrightarrow[i → \infty ]{} ∀m  ∈ ℕ,
 \]
 was ja gerade gleichmäßige Konvergenz auf jeder Kompakten Menge $K ⊂ \Omega$ bedeutet.
 Damit ist Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(\Omega)$ impliziert Stetigkeit der Grenzfunktion $f ∈ C(\Omega)$, da Stetigkeit nur eine lokale Eigenschaft ist.
@@ -1471,24 +1476,24 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
 \begin{beispiel-nn}[Räume differenzierbarer Funktionen]
     \begin{enumerate}
     \item
-        Betrachte die Menge $C^\ell(K) = \{ f: K → ℝ, D^α f$ existiert und ist stetig für$|α| < \ell \}$ der $\ell$-mal stetig differenzierbaren Funtktionen auf einer kompakten Menge $K ⊂ ℝ^n$ mit $\ell ∈ ℕ_0$
-        Dabei ist $α = (α_1,…,α_n) ∈ ℕ_0^n$ ein Multiindex, $|α| = \sum_{i=1}^n α_i$ und
+        Betrachte die Menge $C^\ell(K) = \{ f: K → ℝ, D^\alpha  f$ existiert und ist stetig für$|\alpha | < \ell \}$ der $\ell$-mal stetig differenzierbaren Funtktionen auf einer kompakten Menge $K ⊂ ℝ^n$ mit $\ell ∈ ℕ_0$
+        Dabei ist $\alpha  = (\alpha _1,…,\alpha _n) ∈ ℕ_0^n$ ein Multiindex, $|\alpha | = \sum_{i=1}^n \alpha _i$ und
         \[
-            D^α f = \frac{∂^{|α|} f}{∂x_1^{α_1}\cdots∂x_n^{α_n}}.
+            D^\alpha  f = \frac{∂^{|\alpha |} f}{∂x_1^{\alpha _1}\cdots∂x_n^{\alpha _n}}.
         \]
         Dann wird $C^\ell(K)$ mit der Norm
         \[
-            \norm{f}_{C^\ell(K)} = \max_{|α| \le l} \max_{x ∈ K} | D^α f(x)|
+            \norm{f}_{C^\ell(K)} = \max_{|\alpha | \le l} \max_{x ∈ K} | D^\alpha  f(x)|
         \]
         zu einem Banachraum. Die meisten Eigenschaften sind klar, die Vollständigkeit folgt unmittelbar aus der Vollständigkeit von $C(K)$
         Konvergenz in $C^\ell(K)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $\ell$ auf ganz $K$.
     \item
         Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und
-        $\C^\ell(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^α f$ existiert und ist stetig für$|α| < \ell \}$
+        $\C^\ell(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^\alpha  f$ existiert und ist stetig für$|\alpha | < \ell \}$
         der Raum der $\ell$-mal stetig differenzierbaren Funtktionen auf $\Omega$ mit $\ell ∈ ℕ_0$.
         $C^\ell(\Omega)$ wird mit der Metrik
         \[
-            d(f,g) := \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{p_{m,l}(f-g)}{1+p_{m,l}(f-g)}, \quad p_{m,l}(f) = \max_{|α| \le \ell} \norm{D^α f}_{C(K_m)},
+            d(f,g) \coloneq \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{p_{m,l}(f-g)}{1+p_{m,l}(f-g)}, \quad p_{m,l}(f) = \max_{|\alpha | \le \ell} \norm{D^\alpha  f}_{C(K_m)},
         \]
         wobei die $K_m$ Ausschöpfungen von $\Omega$ mit kompakten Mengen sind, zu einem Fréchetraum.
         Konvergenz in $C^\ell(\Omega)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $\ell$ auf jedem Kompaktum, das in $\Omega$ enthalten ist.
@@ -1497,10 +1502,10 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
         Wir betrachten nun einige Unterräume von $\C^\ell(\Omega)$:
         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
         \item
-        $\C^\ell_B(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^α f$ existiert, ist beschränkt und ist stetig für$|α| < \ell \}$
+        $\C^\ell_B(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^\alpha  f$ existiert, ist beschränkt und ist stetig für$|\alpha | < \ell \}$
         wird zum normierten Raum mit 
         \[
-            \norm{f}_{C^\ell_B(\Omega)} = \max_{|α| \le l} \sup_{x ∈ \Omega} | D^α f(x)|
+            \norm{f}_{C^\ell_B(\Omega)} = \max_{|\alpha | \le l} \sup_{x ∈ \Omega} | D^\alpha  f(x)|
         \]
         Zwar gilt $C^\ell_B(\Omega) ⊂ C^\ell(\Omega)$ (als Mengen), jedoch besitzt $C^\ell_B(\Omega)$ nicht die Relativtopologie von $\C^\ell(\Omega)$, wie wir in einer Übung sehen werden.
         \begin{definition}
@@ -1508,7 +1513,7 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
             \item 
                 Für $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und $f: \Omega → ℝ$ heißt
                 \[
-                    \supp f := \cl{ \{ x ∈ \Omega, f(x) \ne 0 \}}
+                    \supp f \coloneq \cl{ \{ x ∈ \Omega, f(x) \ne 0 \}}
                 \]
                 der \emph{Träger} oder \emph{Support} von $f$.
             \item
@@ -1533,16 +1538,16 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
         \end{enumerate}
     \item
         Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und 
-        $C^∞(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^αf $ existiert und ist stetig für alle $α ∈ ℕ_0^n \} = \bigcap_{\ell ∈ ℕ}C^\ell(\Omega)$.
+        $C^\infty (\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^\alpha f $ existiert und ist stetig für alle $\alpha  ∈ ℕ_0^n \} = \bigcap_{\ell ∈ ℕ}C^\ell(\Omega)$.
         Wir definieren die Topologie wieder über eine Metrik durch Seminormen
         \[
-            d(f,g) := \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{p_{m}(f-g)}{1+p_{m}(f-g)}, \quad p_{m}(f) = \max_{|α| \le m} \norm{D^α f}_{C(K_m)}.
+            d(f,g) \coloneq \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{p_{m}(f-g)}{1+p_{m}(f-g)}, \quad p_{m}(f) = \max_{|\alpha | \le m} \norm{D^\alpha  f}_{C(K_m)}.
         \]
         Mit dieser Metrik wird $C^\ell(\Omega)$ zum Fréchetraum.
-        Konvergenz in $C^∞(\Omega)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen auf jedem Kompaktum, das in $\Omega$ enthalten ist.
+        Konvergenz in $C^\infty (\Omega)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen auf jedem Kompaktum, das in $\Omega$ enthalten ist.
         Auch dieser Raum ist nicht normierbar mit einem analogem Argument wie bei den stetigen Funktionen auf $\Omega$.
     \item
-        Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und $C_0^∞(\Omega) = \{ f ∈ C^∞(\Omega) : \supp f ⊂⊂ M \}$ der \emph{Raum der Testfunktionen}.
+        Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und $C_0^\infty (\Omega) = \{ f ∈ C^\infty (\Omega) : \supp f ⊂⊂ M \}$ der \emph{Raum der Testfunktionen}.
         Ein Beispiel für so eine Funktion ist
         \[
             f(x) =
@@ -1552,40 +1557,40 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
             \end{cases},
         \]
         wobei $\Omega = B^{\norm\cdot_\infty}_2(0)$, $|\cdot| = \norm\cdot_2$ und $c ∈ ℝ$ konstant.
-        Offensichtlich ist $C_0^∞(\Omega) ⊂ C^∞(\Omega)$.
-        Wenn man auf $C_0^∞(\Omega)$ jedoch die Spurtopologie wählt, bekommt man später Probleme (bestimmte Funktionale auf $C_0^∞(\Omega)$ sind nicht mehr stetig, wie wir in einer Übungsaufgabe sehen werden.
-        Man nennt Funktionale auf $C_0^∞(\Omega)$ auch Distributionen).
-        Außerdem wäre der $C_0^∞(\Omega)$ mit dieser Metrik nicht vollständig -- der Träger der Grenzfunktion muss nicht mehr beschränkt sein.
+        Offensichtlich ist $C_0^\infty (\Omega) ⊂ C^\infty (\Omega)$.
+        Wenn man auf $C_0^\infty (\Omega)$ jedoch die Spurtopologie wählt, bekommt man später Probleme (bestimmte Funktionale auf $C_0^\infty (\Omega)$ sind nicht mehr stetig, wie wir in einer Übungsaufgabe sehen werden.
+        Man nennt Funktionale auf $C_0^\infty (\Omega)$ auch Distributionen).
+        Außerdem wäre der $C_0^\infty (\Omega)$ mit dieser Metrik nicht vollständig -- der Träger der Grenzfunktion muss nicht mehr beschränkt sein.
         \begin{definition-nn}
             Sei $M ⊂ X$ und $X$ ein linearer Raum. Dann heißt
             \[
-                \conv (M) := \{ x: ∃α_i > 0, x_i ∈ M, i ∈ \{1,…,k\}: \sum_{i=1}^k α_i = 1, \sum_{i=1}^k α_i x_i = x \}
+                \conv (M) \coloneq \{ x: ∃\alpha _i > 0, x_i ∈ M, i ∈ \{1,…,k\}: \sum_{i=1}^k \alpha _i = 1, \sum_{i=1}^k \alpha _i x_i = x \}
             \]
             die \emph{konvexe Hülle} von $M$.
         \end{definition-nn}
-        Aus Gründen, die erst später zu verstehen sind, wählt man auf $C^∞_0(\Omega)$ folgende lokalkonvxe Topologie:
+        Aus Gründen, die erst später zu verstehen sind, wählt man auf $C^\infty _0(\Omega)$ folgende lokalkonvxe Topologie:
         Setze
         \[
-            p(\xi) := \sum_{k ∈ ℕ} 2^{-k} \frac{\norm \xi _{C^k(\Omega)}}{1 + \norm \xi _{C^k(\Omega)}}, \quad \xi ∈ C_0^∞(\Omega)
+            p(\xi) \coloneq \sum_{k ∈ ℕ} 2^{-k} \frac{\norm \xi _{C^k(\Omega)}}{1 + \norm \xi _{C^k(\Omega)}}, \quad \xi ∈ C_0^\infty (\Omega)
         \]
         Sei $(D_j)_{j ∈ ℕ}$ eine Ausschöpfung von $\Omega$ mit offenen Mengen, also $D_j ⊂ D_{j+1}, D_j ⊂⊂ \Omega, \bigcup_{j ∈ ℕ} D_j = \Omega$.
         Eine mögliche Wahl wäre beispielsweise $D_j = K_j^\circ$, wobei die $K_j$ wie oben sind.
-        Für $ε = (ε_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, ε_j > 0$ für alle $ℕ$ definieren wir eine Umgebungsbasis der $0 ∈ C_0^∞(\Omega)$  durch alle Mengen
+        Für $\epsilon  = (\epsilon _j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^\infty , \epsilon _j > 0$ für alle $ℕ$ definieren wir eine Umgebungsbasis der $0 ∈ C_0^\infty (\Omega)$  durch alle Mengen
         \[
-            U_ε := \conv \left[ \bigcup_{j ∈ ℕ}  \{ \xi ∈ C^∞_0 : p(\xi) < ε_j \} \right] ⊂ C_0^∞(\Omega).
+            U_\epsilon  \coloneq \conv \left[ \bigcup_{j ∈ ℕ}  \{ \xi ∈ C^\infty _0 : p(\xi) < \epsilon _j \} \right] ⊂ C_0^\infty (\Omega).
         \]
-        mit $ε = (ε_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, ε_j > 0$ und endliche Schnitte davon. Andere Umgebungen umgeben sich durch Translation.
-        Die so definierte Topologie nennen wir $\T_\D$ und den Raum $C_1^∞(\Omega)$  auch $\D(\Omega)$.
+        mit $\epsilon  = (\epsilon _j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^\infty , \epsilon _j > 0$ und endliche Schnitte davon. Andere Umgebungen umgeben sich durch Translation.
+        Die so definierte Topologie nennen wir $\T_\D$ und den Raum $C_1^\infty (\Omega)$  auch $\D(\Omega)$.
         Es stellt sich heraus, dass diese Topologie tatsächlich unabhängig von der gewählten Ausschöpfung ist.
         Außerdem ist $(\D(\Omega),\T_\D)$ ein topologischer linearer Raum, das heißt, die Vektorraumoperationen sind stetig.
         \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in $\D(\Omega)$]
             Es gilt
             \[
-                O ∈ \T_\D \iff ∀ ξ ∈ O ∃ ε=(e_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, e_j > 0: e+U_ε ⊂ O.
+                O ∈ \T_\D \iff ∀ ξ ∈ O ∃ \epsilon =(e_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^\infty , e_j > 0: e+U_\epsilon  ⊂ O.
             \]
             Das heißt, die Topologie $\T_\D$ und die Topologie
             \[
-                \tilde T_\D = \{ O ⊂ C_0^∞(\Omega): ∀ ξ ∈ O ∃ ε = (ε_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, ε_j > 0: ε+ U_ε ⊂ O \}
+                \tilde T_\D = \{ O ⊂ C_0^\infty (\Omega): ∀ ξ ∈ O ∃ \epsilon  = (\epsilon _j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^\infty , \epsilon _j > 0: \epsilon + U_\epsilon  ⊂ O \}
             \]
             sind gleich.
         \end{lemma}
@@ -1593,53 +1598,53 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
             Übung.
         \end{proof}
         \begin{korollar}
-            Die Mengen $U_∈$ sind bereits eine Umgebungsbasis der Null.
+            Die Mengen $U_\epsilon$ sind bereits eine Umgebungsbasis der Null.
             Nach Definition sind sie aber auch Konvex, das heißt $(\D(\Omega),\T_\D)$ ist ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum.
         \end{korollar}
         \begin{satz}
-            $ξ_m \xrightarrow[m → ∞]{} 0 \gdw$
+            $ξ_m \xrightarrow[m → \infty ]{} 0 \gdw$
             \[
                 \begin{cases}
                     (i), & \text{Es existiert $D$ offen mit $D ⊂⊂ \Omega$ und
-                        $ξ_m ∈ C_0^∞(D)$ für alle $m ∈ ℕ$} \\
+                        $ξ_m ∈ C_0^\infty (D)$ für alle $m ∈ ℕ$} \\
                     (ii), & \text{Für jedes $k ∈ ℕ$ gilt:
-                        $\norm{ξ_m}_{C^k(\cl{\Omega})} \xrightarrow[m → ∞]{} 0$}
+                        $\norm{ξ_m}_{C^k(\cl{\Omega})} \xrightarrow[m → \infty ]{} 0$}
                 \end{cases}
             \]
         \end{satz}
         \begin{proof}
-            Zeige nur „$\Longleftarrow$“. Sei dazu $(ξ_m)_{m ∈ ℕ}$ eine Folge mit (i) und (ii). 
+            Zeige nur „$\Leftarrow$“. Sei dazu $(ξ_m)_{m ∈ ℕ}$ eine Folge mit (i) und (ii). 
             Wähle nun $D_j$ von oben mit $D ⊂ D_j$ ($j$ ist fest).
-            Sei nun $ε=(ε_i)_{i ∈ ℕ}, ε_i > 0$ gegeben. Dann müssen wir zeigen, dass für alle $m > m_0$ schon $ξ_m ∈ U_ε$  gilt.
-            Zunächst sind nach (i) $ξ_m ∈ C^∞_0(D_j)$ .
+            Sei nun $\epsilon =(\epsilon _i)_{i ∈ ℕ}, \epsilon _i > 0$ gegeben. Dann müssen wir zeigen, dass für alle $m > m_0$ schon $ξ_m ∈ U_\epsilon $  gilt.
+            Zunächst sind nach (i) $ξ_m ∈ C^\infty _0(D_j)$ .
             Außerdem gilt
             \[
-                p(\xi_m) \le \underbrace{\sum_{k=1}^N 2^{-k} \frac{ \norm{\xi_m}_{C^k(\cl \Omega)} } {1+ \norm{\xi_m}_{C^k(\cl \Omega)} }}_{\text{wegen (i)} < ε_j/2 \text{ für $m \ge m_0(ε_j,N)$}}  + \underbrace{\sum_{k=N+1} 2^{-k}}_{<ε_j/2 \text{ für $n$ groß genug}} < ε_j.
+                p(\xi_m) \le \underbrace{\sum_{k=1}^N 2^{-k} \frac{ \norm{\xi_m}_{C^k(\cl \Omega)} } {1+ \norm{\xi_m}_{C^k(\cl \Omega)} }}_{\text{wegen (i)} < \epsilon _j/2 \text{ für $m \ge m_0(\epsilon _j,N)$}}  + \underbrace{\sum_{k=N+1} 2^{-k}}_{<\epsilon _j/2 \text{ für $n$ groß genug}} < \epsilon _j.
             \]
         \end{proof}
     \item
         Betrachten wir nun Lebesgue-integrierbare Funktionen.
-        Bereits eingeführt wurden die Räume $\L^p(\Omega)$ und $L^p(\Omega)$, $0 < p < ∞$, wobei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen.
-        Diese sind für $1 \le p < ∞$ normiert, und für $0 < p < 1$ quasi-normiert.
-        Für $p = ∞$ setzen wir
+        Bereits eingeführt wurden die Räume $\L^p(\Omega)$ und $L^p(\Omega)$, $0 < p < \infty $, wobei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen.
+        Diese sind für $1 \le p < \infty $ normiert, und für $0 < p < 1$ quasi-normiert.
+        Für $p = \infty $ setzen wir
         \[
-            \L^∞(\Omega)  := \{ f: \Omega → ℝ ∪ \{ -∞, ∞ \}, f \text{ messbar und fast überall beschränkt} \}.
+            \L^\infty (\Omega)  \coloneq \{ f: \Omega → ℝ ∪ \{ -\infty , \infty  \}, f \text{ messbar und fast überall beschränkt} \}.
         \]
         Damit haben wir offenbar
         \[
-            C(\Omega) ∩ B(\Omega) ⊂ \L^∞(\omega).
+            C(\Omega) ∩ B(\Omega) ⊂ \L^\infty (\omega).
         \]
         Sei
         \[
-            \norm f _{\L^∞(\Omega)} := \supess_{t ∈ \Omega} |f(t)| := \inf_{M ⊂ \Omega \text{ NM}} \sup_{t ∈ \Omega \setminus M} |f(t)|.
+            \norm f _{\L^\infty (\Omega)} \coloneq \supess_{t ∈ \Omega} |f(t)| \coloneq \inf_{M ⊂ \Omega \text{ NM}} \sup_{t ∈ \Omega \setminus M} |f(t)|.
         \]
-        Dann gilt für $f ∈ \L^∞(\Omega)$
+        Dann gilt für $f ∈ \L^\infty (\Omega)$
         \[
             \norm f = 0 \gdw f = 0 \text{ fast überall}
         \]
-        Mit $N := \{ f ∈ \L^∞(\Omega) : \norm f = 0 \}$ wird
+        Mit $N \coloneq \{ f ∈ \L^\infty (\Omega) : \norm f = 0 \}$ wird
         \[
-            L^∞(\Omega) := \left( \L^∞(\Omega)/N, \norm\cdot_{L^∞(\Omega)} \right)
+            L^\infty (\Omega) \coloneq \left( \L^\infty (\Omega)/N, \norm\cdot_{L^\infty (\Omega)} \right)
         \]
         zu einem normiertem Raum.
     \end{enumerate}
@@ -1648,21 +1653,21 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
 
 { \LARGE Vorlesung vom Donnerstag, 9. November fehlt (genauso wie vermutlich alle weiteren Donnerstagsvorlesungen ab jetzt)}
 
-Seien $f_n → f ∈ L^p(\Omega), h ∈ C_0^∞(\Omega)$.
+Seien $f_n → f ∈ L^p(\Omega), h ∈ C_0^\infty (\Omega)$.
 Dann
 \[
-    \lim_{n → ∞} ∫_Ω f_n(t) h(t) dt = ∫_Ω f(t) h(t) dt,
+    \lim_{n → \infty } ∫_\Omega f_n(t) h(t) dt = ∫_\Omega f(t) h(t) dt,
 \]
 denn
 \begin{align*}
-  ∫_Ω (f_n(t) - f(t)) h(t) dt &\le ∫_{\supp h} M |f_n(t) - f(t)| dt \\
+  ∫_\Omega (f_n(t) - f(t)) h(t) dt &\le ∫_{\supp h} M |f_n(t) - f(t)| dt \\
                               & \stackrel{\mathclap{\text{Hölder}}}{\le} \; M [ \supp(h)]^{1/q} \norm{f_n-f}_{L^p(\Omega)} → 0.
 \end{align*}
 
 \section{Beschränkte und kompakte Mengen in metrischen linearen Räumen}
 
 Wir wissen bereits nach dem Satz von Heine-Borel, dass eine Teilmenge $K ⊂ ℝ^n$  genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
-Beschränktheit bedeutet hier in einer (beliebigen, da alle äquivalent) Norm.
+Beschränktheit bedeutet hier Beschränktheit in einer (beliebigen, da alle äquivalent) Norm.
 
 Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrischen (topologischen) linearen Räumen finden.
 
@@ -1673,12 +1678,12 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
     \item
         In einigen metrischen Räumen gilt ohnehin $d(x,0) \le 1$ für alle $x ∈ X$.
     \item
-        Ist $d$ eine Metrik auf $X$. Dann ist $\tilde d := \frac d {1+d} \le 1$ eine zu $d$ äquivalente Metrik auf $X$, wie wir in Topologie gesehen haben.
+        Ist $d$ eine Metrik auf $X$. Dann ist $\tilde d \coloneq \frac d {1+d} \le 1$ eine zu $d$ äquivalente Metrik auf $X$, wie wir in Topologie gesehen haben.
     \end{enumerate}
 \end{problem-nn}
 
 \begin{definition}
-    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum, $B ⊂ X$ heißt \emph{beschränkt}, falls zu jeder offenen Umgebung $U$ von $0 ∈ X$ ein $α > 0$ existiert, so dass $B ⊂ αU = \{αu: u ∈ U\}$, das heißt jede Nullumgebung lässt sich so weit „aufblasen“, dass sie $B$ überdeckt.
+    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum, $B ⊂ X$ heißt \emph{beschränkt}, falls zu jeder offenen Umgebung $U$ von $0 ∈ X$ ein $\alpha  > 0$ existiert, so dass $B ⊂ \alpha U = \{\alpha u: u ∈ U\}$, das heißt jede Nullumgebung lässt sich so weit „aufblasen“, dass sie $B$ überdeckt.
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung-nn}
@@ -1692,33 +1697,33 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
 \end{satz}
 \begin{proof}
     „⇒“: Sei $k ∈ ℕ$ gegeben.
-    Setze $r_k := \frac 1 {2^{k+1}}$ und $U := B_{r_k}(0)$.
-    Da $B$ beschränkt ist, gibt es $α = α_k > 0$, dass
+    Setze $r_k \coloneq \frac 1 {2^{k+1}}$ und $U \coloneq B_{r_k}(0)$.
+    Da $B$ beschränkt ist, gibt es $\alpha  = \alpha _k > 0$, dass
     \begin{align*}
-    & B ⊂ αU = α B_{r_k}(0) \\
-      \iff & α^{-1} B ⊂ B_{r_k} (0) \\
-      \iff d(α^{-1} x, 0) < r_k ∀ x ∈ B
+    & B ⊂ \alpha U = \alpha  B_{r_k}(0) \\
+      \gdw & \alpha ^{-1} B ⊂ B_{r_k} (0) \\
+      \gdw &d(\alpha ^{-1} x, 0) < r_k ∀ x ∈ B
     \end{align*}
-    Dann gilt schon $p_k(x) \le M_k := α_k$ für alle $x ∈ B$, denn
+    Dann gilt schon $p_k(x) \le M_k \coloneq \alpha _k$ für alle $x ∈ B$, denn
     \[
-        \frac 1 {2^{k+1}} = r_k > d(α_k^{-1} x, 0
-        \ge 2^k \frac {p_k(α_k^{-1}x)}{1+p_k(α_k^{-1} x)}
-        = 2^{-k} \frac{α_k^{-1} p_k(x)}{1+α_k^{-1} p_k(x)}.
+        \frac 1 {2^{k+1}} = r_k > d(\alpha _k^{-1} x, 0
+        \ge 2^k \frac {p_k(\alpha _k^{-1}x)}{1+p_k(\alpha _k^{-1} x)}
+        = 2^{-k} \frac{\alpha _k^{-1} p_k(x)}{1+\alpha _k^{-1} p_k(x)}.
     \]
-    Also mit $\eta := α_k^{-1} p_k(x)$ gilt $\frac 1 2 > \frac \eta {1+\eta}$, also $\eta < 1$ oder $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$.
+    Also mit $\eta \coloneq \alpha _k^{-1} p_k(x)$ gilt $\frac 1 2 > \frac \eta {1+\eta}$, also $\eta < 1$ oder $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$.
 
     „⇐“:
     Sei also $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$ und $k ∈ ℕ$.
-    Wir müssen nun zeigen, dass es für jedes $r > 0$ ein $α > 0$ gibt mit $B ⊂ αB_r(0)$, also $α^{-1} B ⊂ B_r(0)$.
+    Wir müssen nun zeigen, dass es für jedes $r > 0$ ein $\alpha  > 0$ gibt mit $B ⊂ \alpha B_r(0)$, also $\alpha ^{-1} B ⊂ B_r(0)$.
     Sei also $r > 0$ gegeben.
-    Wähle nun $m_0 ∈ ℕ$ mit $\sum_{n=m_0+1}^∞ 2^{-n} < r/2$.
-    Wähle $α > 0$ mit $\sum_{n=1}^{m_0} 2^{-n} \frac{α^{-1} M_k}{1+α^{-1} M_k} < r/2$.
+    Wähle nun $m_0 ∈ ℕ$ mit $\sum_{n=m_0+1}^\infty  2^{-n} < r/2$.
+    Wähle $\alpha  > 0$ mit $\sum_{n=1}^{m_0} 2^{-n} \frac{\alpha ^{-1} M_k}{1+\alpha ^{-1} M_k} < r/2$.
     Dann gilt für alle $x ∈ B$
-    \[
-        d(α^{-1} x, 0) =
-        \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{α^{-1} p_n(x)}{1+α^{-1} p_n(x)}
-        \le \sum_{n=1}^{m_0} 2^{-n} \frac{α^{-1} p_n(x)}{1+α^{-1} p_n(x)} + \sum_{n=m_0+1}^∞ 2^{-n}  < r/2 + r/2 = r.
-    \]
+    \begin{align*}
+        d(\alpha ^{-1} x, 0) &=
+        \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{\alpha ^{-1} p_n(x)}{1+\alpha ^{-1} p_n(x)} \\
+        &\le \sum_{n=1}^{m_0} 2^{-n} \frac{\alpha ^{-1} p_n(x)}{1+\alpha ^{-1} p_n(x)} + \sum_{n=m_0+1}^\infty  2^{-n}  < r/2 + r/2 = r.
+    \end{align*}
 \end{proof}
 
 \begin{korollar}
@@ -1733,7 +1738,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
 \begin{bemerkung}
     Kugeln $B_r(0)$ in $(X,d)$, wobei $d$ wie in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume}, sinid also immer unbeschränkt,
     weil nichttriviale Unterräume $M_{n_0} ⊂ B_r(x)$ existieren.
-    Insbesondere ist dies gültig in den Räumen $\K^∞, C(Ω), C^\ell(Ω)$ und $C^∞(Ω)$.
+    Insbesondere ist dies gültig in den Räumen $\K^\infty , C(\Omega), C^\ell(\Omega)$ und $C^\infty (\Omega)$.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{definition}
@@ -1750,7 +1755,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
 \end{satz}
 
 \begin{beispiel-nn}
-    Die Räume $\K^∞, C(Ω), C^\ell(Ω)$ und $C^∞(Ω)$ sind nicht lokalbeschränkt, aber lokalkonvex. Somit sind sie auch nicht normierbar.
+    Die Räume $\K^\infty , C(\Omega), C^\ell(\Omega)$ und $C^\infty (\Omega)$ sind nicht lokalbeschränkt, aber lokalkonvex. Somit sind sie auch nicht normierbar.
     Auch $L^p(0,1)$ mit $0 < p < 1$ ist nicht lokalkonvex, aber lokalbeschränkt, also nicht normierbar.
 \end{beispiel-nn}
 
@@ -1772,7 +1777,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
 
 \begin{warnung-nn}
     Metrikkugeln müssen im Allgemeinen nicht kreisförmig sein (obwohl die uns bekannten Kugeln dies sind).
-    Gegenbeispiel: $X = ℝ$, $d(x,y) := \left| ∫_x^y 1+\ind{ℝ_-}(s)\; ds \right|$.
+    Gegenbeispiel: $X = ℝ$, $d(x,y) \coloneq \left| ∫_x^y 1+\ind{ℝ_-}(s)\; ds \right|$.
 \end{warnung-nn}
 
 \begin{lemma}
@@ -1787,7 +1792,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
 
     „⊂“: Sei $x ∈ X$. Setze $β_n = 1/n, n ∈ ℕ$. Dann gilt
     \[
-        β_n x \xrightarrow[n → ∞]{} 0,
+        β_n x \xrightarrow[n → \infty ]{} 0,
     \]
     also $β_n ∈ V$ für $n \ge n_0$. Damit haben wir aber $x ∈ n_0 V$.
 \end{proof}
@@ -1815,7 +1820,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
     \[
         K ⊂ \bigcup_{i=1}^s n_i W \stackrel{(*)}= n_s W, \quad n_1 < n_2 < … < n_s,
     \]
-    also folgt die Behauptung mit $α = n_s$. $(*)$ gilt wegen der Kreisförmigkeit und $\left|\frac {n_i}{n_s}\right| \le 1$.
+    also folgt die Behauptung mit $\alpha  = n_s$. $(*)$ gilt wegen der Kreisförmigkeit und $\left|\frac {n_i}{n_s}\right| \le 1$.
 \end{proof}
 \begin{bemerkung-nn}
     Ohne die Hausdorff-Eigenschaft gilt dies nicht. Gegenbeispiel: $X = ℝ$ mit der Klumpentopologie.
@@ -1827,7 +1832,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
     \item 
         In einem topologischen Raum $(X,\T)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{relativ kompakt}, falls $\cl A$ kompakt ist.
     \item
-        In einem metrischen Raum $(X,d)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{präkompakt}, falls für jedes $ε > 0$ die Menge $A$ von endlich vielen Bällen mit Radius $ε$ überdeckt werden kann.
+        In einem metrischen Raum $(X,d)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{präkompakt}, falls für jedes $\epsilon  > 0$ die Menge $A$ von endlich vielen Bällen mit Radius $\epsilon $ überdeckt werden kann.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
@@ -1847,8 +1852,8 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
     Sei $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ A$ eine Cauchy-Folge. Nach (b) besitzt $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ einen Häufungspunkt $x^*$.
     Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ Cauchy-Folge ist, konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ schon gegen $x^*$. Damit ist $A$ vollständig.
 
-    Angenommen, $A$ wäre nicht präkompakt. Dann gibt es $ε > 0$, so dass $A$ keine endliche Überdeckung mit $ε$-Kugeln besitzt.
-    Dadurch kann man eine Folge $(x_k)_{k ∈ K}$ definieren, mit $d(x_k,x_j) > ε$ für $k \ne j$.
+    Angenommen, $A$ wäre nicht präkompakt. Dann gibt es $\epsilon  > 0$, so dass $A$ keine endliche Überdeckung mit $\epsilon $-Kugeln besitzt.
+    Dadurch kann man eine Folge $(x_k)_{k ∈ K}$ definieren, mit $d(x_k,x_j) > \epsilon $ für $k \ne j$.
     Dann besitzt $(x_k)_{k ∈ K}$ offensichtlich keine Cauchy-Teilfolge, also auch keinen Häufungspunkt.
     Also $A$ präkompakt.
 \end{proof}
@@ -1867,18 +1872,18 @@ Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
     $(3) \iff (4)$ klar durch die Charakterisierung von beschränkten Mengen in
     normierten Räumen und Ausnutzung der Linearität.
 
-    $(2) \Rightarrow (4)$. Sei $T$ stetig in $x^*$. Wähle $ε > 0$, so dass $T(\cl B_ε(x^*)) ⊂ B_1(T(x^*))$.
+    $(2) \Rightarrow (4)$. Sei $T$ stetig in $x^*$. Wähle $\epsilon  > 0$, so dass $T(\cl B_\epsilon (x^*)) ⊂ B_1(T(x^*))$.
     Dann gilt für alle $x ∈ \cl B _1 (0)$
     \[
-        x^* + ε x ∈ \cl B_ε(x^*)
+        x^* + \epsilon  x ∈ \cl B_\epsilon (x^*)
     \]
-    und $T(x^*) + εT(x) = T(x^* + εx) ∈ B_1(T(x^*))$, das heißt $ε T(x) ∈ B_1(0)$ oder $\norm{T(x)}_Y \le \frac 1 {ε} =: M$
+    und $T(x^*) + \epsilon T(x) = T(x^* + \epsilon x) ∈ B_1(T(x^*))$, das heißt $\epsilon  T(x) ∈ B_1(0)$ oder $\norm{T(x)}_Y \le \frac 1 {\epsilon } =: M$
 
     $(4) \Rightarrow (5)$. Für $x \ne 0$ gilt
     \[
         \norm{T(x)} \le \norm x \norm{T\left( \frac x {\norm x} \right)} \le M \norm x,
     \]
-    also gilt die Aussage mit $C := M$.
+    also gilt die Aussage mit $C \coloneq M$.
 
     $(5) \Rightarrow (1)$. Für $x, x_1 ∈ X$ gilt
     \[
@@ -1916,7 +1921,7 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
     3.6.7
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    Nur „$\Leftarrow$“: Nach 6.6 reicht es, Beschränktheit von $T$ zu zeigen, also dass, wenn $B ⊂ X$ beschränkt ist, auch $TN?) ⊂ Y$ beschränkt ist.
+    Nur „$\Leftarrow$“: Nach 6.6 reicht es, Beschränktheit von $T$ zu zeigen, also dass, wenn $B ⊂ X$ beschränkt ist, auch $T(B) ⊂ Y$ beschränkt ist.
     $B ⊂ X$ ist genau dann beschränkt, wenn für alle $k ∈ ℕ$ $C_k > 0$ existieren mit $p_k(x) \le C_k$ für alle $x ∈ B$.
     Nach Voraussetzung ist dann aber auch für alle $x ∈ B$
     \[
@@ -1926,8 +1931,8 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}
-    Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. Dann bezeichnet $\L(X, Y) := \{ T: X → Y: T$ linear und stetig $\}$ den \emph{Raum der stetigen (beschränkten) Operatoren}.
-    Im Spezialfall $Y = \K$ sei $X' := \L(X, \K)$ der \emph{Raum der stetigen Funktionale} oder auch der \emph{Dualraum von $X$}.
+    Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. Dann bezeichnet $\L(X, Y) \coloneq \{ T: X → Y: T$ linear und stetig $\}$ den \emph{Raum der stetigen (beschränkten) Operatoren}.
+    Im Spezialfall $Y = \K$ sei $X' \coloneq \L(X, \K)$ der \emph{Raum der stetigen Funktionale} oder auch der \emph{Dualraum von $X$}.
 \end{definition}
 \begin{bemerkung-nn}
     \begin{enumerate}
@@ -1941,9 +1946,9 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
         Ist  $X$ jedoch normierbar, so folgt aus den Hahn-Banach-Sätzen, dass $X'$ nichttrivial ist.
     \item
         Falls $X$ und $Y$ normierte Räume sind, dann wird $\L(X, Y)$ ebenfalls zu einem normierten Raum mit der Operatornorm
-        \[
-            \norm T := \norm T _{\L(X,Y)} := \sup \{\norm x _X \le 1\} \norm {Tx}_Y = \inf \{ C ≥ 0: ∀x ∈ X: \norm {Tx} \le C \norm x \}.
-        \]
+        \begin{align*}
+            \norm T &\coloneq \norm T _{\L(X,Y)} \coloneq \sup \{\norm x _X \le 1\} \norm {Tx}_Y \\ &= \inf \{ C \ge 0: ∀x ∈ X: \norm {Tx} \le C \norm x \}.
+        \end{align*}
         Das heißt, wir haben
         \begin{equation}
             \label{eq:61}
@@ -1970,8 +1975,8 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
 \begin{proof}
     Es ist nur noch die Vollständigkeit zu zeigen.
     Sei dazu $(T_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $\L(X,Y)$.
-    Das heißt, für jedes $ε > 0$ existiert ein $N_0$ mit $\norm {T_n - T_m} < ε$ für $n, m > N_0$.
-    Also mit \eqref{eq:61} $\norm {T_n x - T_mx} \le \norm {T_n - T_m} \norm x < ε \norm x$ für alle $x ∈ X$ und $n,m > N_0$.
+    Das heißt, für jedes $\epsilon  > 0$ existiert ein $N_0$ mit $\norm {T_n - T_m} < \epsilon $ für $n, m > N_0$.
+    Also mit \eqref{eq:61} $\norm {T_n x - T_mx} \le \norm {T_n - T_m} \norm x < \epsilon  \norm x$ für alle $x ∈ X$ und $n,m > N_0$.
     Insbesondere ist $(T_nx)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $Y$. Da $Y$ vollständig ist, besitzt diese Folge einen Grenzwert $y_x ∈ Y$.
     Wir definieren eine Abbildung
     \[
@@ -1980,39 +1985,39 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
     Dann ist $T$ linear, weil alle $T_n$ linear sind. Also ist nur die Stetigkeit von $T$ und die Konvergenz von $(T_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen $T$ zu zeigen.
     Für die Stetigkeit bekommt man unter Verwendung der Dreicksunglechung direkt
     \[
-        \left| \norm {T_n} - \norm{T_m} \right| \le \norm {T_n - T_m} < ε \quad ∀ n, m ≥ N_0,
+        \left| \norm {T_n} - \norm{T_m} \right| \le \norm {T_n - T_m} < \epsilon  \quad ∀ n, m \ge N_0,
     \]
     also eine Cauchyfolge $\left( \norm{T_n} \right)_{n ∈ ℕ}$ in $ℝ$, die wegen der Vollständigkeit von $ℝ$ konvergent, also insbesondere auch beschränkt ist.
     Damit gibt es $M > 0$ mit $\norm {T_n} \le M$ für alle $n ∈ ℕ$, also mit~\eqref{eq:61}
     \[
-        \norm{Tx} \xleftarrow[n → ∞]{} \norm{T_nx } \le M \norm x, ∀ x ∈ X,
+        \norm{Tx} \xleftarrow[n → \infty ]{} \norm{T_nx } \le M \norm x, ∀ x ∈ X,
     \]
     also die stetigkeit von $T$.
     Jetzt zur Konvergenz:
     Für $\norm x \le$ 1 gilt
     \[
-        \norm {T_n x - T_m x } < ε, \quad ∀n, m ≥ N_0,
+        \norm {T_n x - T_m x } < \epsilon , \quad ∀n, m \ge N_0,
     \]
-    also durch Grenzwertbildung $n → ∞$
+    also durch Grenzwertbildung $n → \infty $
     \[
-        \norm {T_n x - T x } < ε, \quad ∀n ≥ N_0,
+        \norm {T_n x - T x } < \epsilon , \quad ∀n \ge N_0,
     \]
     und mit~\eqref{eq:61}
     \[
-        \norm {T_n -T} = \sup_{\norm x \le 1} \norm {T_n x - T_x} < ε, \quad ∀ n ≥ N_0,
+        \norm {T_n -T} = \sup_{\norm x \le 1} \norm {T_n x - T_x} < \epsilon , \quad ∀ n \ge N_0,
     \]
     das heißt $T_n → T$ wie gewünscht.
 
     Für den Zusatz haben wir
     \[
-        \norm {S(Tx)} ≤ \norm S \norm {Tx} \le \norm S \norm T \norm x.
+        \norm {S(Tx)} \le \norm S \norm {Tx} \le \norm S \norm T \norm x.
     \]
-    Da das für alle $x ∈ X$ gilt, haben wir $\norm {ST} ≤ \norm S \norm T$.
+    Da das für alle $x ∈ X$ gilt, haben wir $\norm {ST} \le \norm S \norm T$.
 \end{proof}
 
 
 \begin{korollar}
-    Ist $X$ ein Banachraum, dann ist $\L(X) := \L(X,X)$ eine \emph{Banachalgebra}, das heißt ein vollständiger normierter Vektorraum mit einer Multiplikation, so dass für $T, S ∈ \L(X)$ gilt:
+    Ist $X$ ein Banachraum, dann ist $\L(X) \coloneq \L(X,X)$ eine \emph{Banachalgebra}, das heißt ein vollständiger normierter Vektorraum mit einer Multiplikation, so dass für $T, S ∈ \L(X)$ gilt:
     \[
         \norm {TS} \le \norm T \norm S.
     \]
@@ -2020,27 +2025,27 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
 
 \begin{bemerkung}
     Ist $T ∈ \L(X,Y)$, so ist $\ker T$ als Urbild der abgeschlossenen Menge $\{ 0\}$ stets abgeschlossen in $X$.
-    Das Bild hingegen $R(T) := \im T$ ist im Allgemeinen jedoch nicht abgeschlossen.
+    Das Bild hingegen $R(T) \coloneq \im T$ ist im Allgemeinen jedoch nicht abgeschlossen.
     Wann sind Elemente in $\L(X)$ invertierbar?
 \end{bemerkung}
 
 \begin{satz}
-    Sei $X$ ein Banachraum und $\T ∈ \L(X)$ mit $\limsup\limits_{m → ∞} \norm{T}^{1/m} < 1$. Dann ist $(\id - T)^{-1} ∈ \L(X)$ und es gilt
+    Sei $X$ ein Banachraum und $\T ∈ \L(X)$ mit $\limsup\limits_{m → \infty } \norm{T}^{1/m} < 1$. Dann ist $(\id - T)^{-1} ∈ \L(X)$ und es gilt
     \[
-        (\id-T)^{-1} = \ lim_{m → ∞} \sum_{n = 0}^m T^n =: \sum_{n = 0}^∞ T^n ∈ \L(X).
+        (\id-T)^{-1} = \ lim_{m → \infty } \sum_{n = 0}^m T^n =: \sum_{n = 0}^\infty  T^n ∈ \L(X).
     \]
     mit Konvergenz in $\L(X)$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    Wähle $m_0$ und $Θ < 1$ mit $\norm {T^n} < Θ^n$  für $n ≥ m_0$.
-    Für $S_k  \sum_{n=0}^k T^n$ gilt dann für $m_0 \le k < l$
+    Wähle $m_0$ und $\Theta  < 1$ mit $\norm {T^n} < \Theta ^n$  für $n \ge m_0$.
+    Für $S_k = \sum_{n=0}^k T^n$ gilt dann für $m_0 \le k < l$
     \[
-        \norm{ S_l - S_k} = \norm { \sum_{n=k+1}^l T^n} \le \sum_{n=k+1}^l \norm{ T^k} \le \sum_{n=k+1}^l Θ^n < ε, \quad k, l ≥ N_0.
+        \norm{ S_l - S_k} = \norm { \sum_{n=k+1}^l T^n} \le \sum_{n=k+1}^l \norm{ T^k} \le \sum_{n=k+1}^l \Theta ^n < \epsilon , \quad k, l \ge N_0.
     \]
     Damit ist $(S_k)_{k ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $\L(X)$ und somit konvergent.
-    Sei $S$ der Grenzwert. Dann gilt für jedes $x ∈ X$ auch $S_k x \xrightarrow[k → ∞]{\norm\cdot_{X}} Sx$, also damit ist für alle $x∈ X$
+    Sei $S$ der Grenzwert. Dann gilt für jedes $x ∈ X$ auch $S_k x \xrightarrow[k → \infty ]{\norm\cdot_{X}} Sx$, also damit ist für alle $x∈ X$
     \[
-        (\id - T) Sx = \lim_{k → ∞} (\id -T) S_k x = \lim_{k → ∞} \sum_{n=0}^k (T^n -T^{n-1})x = \lim_{k→∞} x - T^{k+1}x = x.
+        (\id - T) Sx = \lim_{k → \infty } (\id -T) S_k x = \lim_{k → \infty } \sum_{n=0}^k (T^n -T^{n-1})x = \lim_{k→\infty } x - T^{k+1}x = x.
     \]
     Damit ist $(\id -T)S = \id$. Da sich analog $S(\id-T) = \id$ auch zeigen lässt, folgt die Behauptung.
 \end{proof}
@@ -2050,13 +2055,13 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
     3.7.6
 \end{lemma}
 \begin{bemerkung-nn}
-    Mit $Θ = 1$ geht es nicht immer. Gegenbeispiel: Sei $X = C[0,1] ∩ \{ x(0) =
+    Mit $\Theta  = 1$ geht es nicht immer. Gegenbeispiel: Sei $X = C[0,1] ∩ \{ x(0) =
     0 \}$ und  $M = \{ x ∈ X : g∫_0^1 x(t) dt = 0 \}$.
     Dann ist $M$ ein abgeschlossener linearer Unterraum, weil $T: X → ℝ, ∫_0^1 \cdot$ stetig ist und somit $M = T^{-1}(\{0\})$ als Urbild einer abgeschlossenen Menge in $ℝ$  abgeschlossen ist.
-    Angenommen, ($Θ=1$), es existierte ein $x_Θ = x_ ∈ X$ mit $\norm x_1 = $ und $\norm {x-x_1} \ge 1 $ für alle $x ∈ M$.
+    Angenommen, ($\Theta =1$), es existierte ein $x_\Theta  = x ∈ X$ mit $\norm x_1 = $ und $\norm {x-x_1} \ge 1 $ für alle $x ∈ M$.
     Dann setze
     \[
-        c(y) := \frac{∫_0^1 x_1(t) dt}{∫_0^1 y(t) dt} ∈ ℝ
+        c(y) \coloneq \frac{∫_0^1 x_1(t) dt}{∫_0^1 y(t) dt} ∈ ℝ
     \]
     für alle $y \not\in M$. Man beachte, dass dies wohldefiniert ist. 
     Dann ist $x_1 - c(y)y ∈ M$, also $1 \le \norm{ x_1 - c(y)y - x_1} = |c(y)|\norm y$.
@@ -2072,14 +2077,14 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
 \begin{proof}
     „⇐“ war Korollar 7.4.
 
-    „⇒“. Angenommen, $\dim X = \infty.$ Sei $S^1 := \{ x ∈ X: \norm x = 1\}$.
+    „⇒“. Angenommen, $\dim X = \infty.$ Sei $S^1 \coloneq \{ x ∈ X: \norm x = 1\}$.
     Da $S^1$ abgeschlossen und beschränkt ist, ist $S^1$ nach Annahme kompakt.
-    Wähle $x_1 ∈ S^1$ und $M_1 := \lspan \{ x_1 \} \subsetneq X$.
+    Wähle $x_1 ∈ S^1$ und $M_1 \coloneq \lspan \{ x_1 \} \subsetneq X$.
     $M_1$ ist ein abgeschlossener Unterraum nach Korollar 7.5.
-    Nach Ries existiert ein $x_2 ∈ S_1$ mit $\norm {x_2-x_1} \ge Θ := \frac 1 2 $.
-    Setze nun $M_2 := \lspan \{x_1,x_2\}$.
-    Da $M_2$ ein abgeschlossener Unterraum ist, existiert ein $x_3 ∈ S_1$ mit $\norm {x_3 - x} \ge Θ$ für alle $x ∈ M_2$, also insbesondere $\norm {x_3-x_1} \ge Θ = \frac 1 2$ und $\norm {x_3-x_2} \ge Θ = \frac 1 2$.
-    Iterativ (da $\dim X = ∞ $) existiert $x_n ∈ S_1$ mit $\norm {x_m - x_n} \ge \frac 1 2$ für $m \ge n$.
+    Nach Ries existiert ein $x_2 ∈ S_1$ mit $\norm {x_2-x_1} \ge \Theta  \coloneq \frac 1 2 $.
+    Setze nun $M_2 \coloneq \lspan \{x_1,x_2\}$.
+    Da $M_2$ ein abgeschlossener Unterraum ist, existiert ein $x_3 ∈ S_1$ mit $\norm {x_3 - x} \ge \Theta $ für alle $x ∈ M_2$, also insbesondere $\norm {x_3-x_1} \ge \Theta  = \frac 1 2$ und $\norm {x_3-x_2} \ge \Theta  = \frac 1 2$.
+    Iterativ (da $\dim X = \infty  $) existiert $x_n ∈ S_1$ mit $\norm {x_m - x_n} \ge \frac 1 2$ für $m \ge n$.
     Somit haben wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ ohne Häufungspunkt in $S^1$ gefunden im Widerspruch zu $S^1$ kompakt.
 \end{proof}
 
@@ -2091,7 +2096,7 @@ Damit sind in unendlich-dimensionalen normierten Räumen weder die Sphären noch
 \end{definition}
 
 \begin{korollar}
-    Sei $X$ normiert, $\dim X = ∞$. Dann ist $X$ nicht lokalkompakt.
+    Sei $X$ normiert, $\dim X = \infty $. Dann ist $X$ nicht lokalkompakt.
 \end{korollar}
 \begin{proof}
     Angenommen, dass doch. Dann gibt es $r > 0$, so dass $S_r = \{ x ∈ X : \norm x = r\} ⊂ \cl U$.
@@ -2112,7 +2117,7 @@ Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$.
     \item
         $\langle  x, y \rangle = \cl {\langle  y, x \rangle}$ für alle $x, y ∈ X$.
     \item
-        $\langle x, αy + β z \rangle = α \langle  x, y \rangle + β \langle  x,z \rangle$ für alle $α, β ∈ \K$, $x,y,z ∈ X$.
+        $\langle x, \alpha y + β z \rangle = \alpha  \langle  x, y \rangle + β \langle  x,z \rangle$ für alle $\alpha , β ∈ \K$, $x,y,z ∈ X$.
     \end{enumerate}
     $(X,\langle -,- \rangle)$ heißt \emph{Skalarproduktraum}, \emph{unitärer Raum} oder \emph{Prähilbertraum}.
 \end{definition}
@@ -2125,7 +2130,7 @@ Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$.
     Sei $(X, \langle  -,- \rangle)$ ein unitärer Raum. Dann gelten die folgenden Aussagen:
     \begin{enumerate}
     \item
-        Durch $\norm x := \sqrt{\langle  x, x \rangle}$ wird eine Norm definiert.
+        Durch $\norm x \coloneq \sqrt{\langle  x, x \rangle}$ wird eine Norm definiert.
         Dadurch wird jeder unitäre Raum auf natürliche Art und Weise normiert und trägt dadurch die induzierte natürliche Topologie.
     \item
         $|\langle  x,y \rangle| \le \norm x \norm y$ mit Gleichheit genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig (Cauchy-Schwarz-Ungleichung).
@@ -2147,14 +2152,14 @@ Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$.
     \item
         Einfaches Nachrechnen unter Verwendung von (b)
     \item
-    Für $y = 0$ ist die Behauptung klar. Sei also $y \ne 0, α ∈ ℂ$.
+    Für $y = 0$ ist die Behauptung klar. Sei also $y \ne 0, \alpha  ∈ ℂ$.
     Dann
     \[
-        \langle  x + αy, x+αy \rangle = \langle  x, x \rangle + \cl \alpha \langle  y, x \rangle + α \langle  x,y \rangle + |α|^2 \langle y,y \rangle.
+        \langle  x + \alpha y, x+\alpha y \rangle = \langle  x, x \rangle + \cl \alpha \langle  y, x \rangle + \alpha  \langle  x,y \rangle + |\alpha |^2 \langle y,y \rangle.
     \]
-    Speziell für $\cl \alpha := - \frac{\langle  x,y \rangle}{\langle y,y \rangle}$ ergibt sich
+    Speziell für $\cl \alpha \coloneq - \frac{\langle  x,y \rangle}{\langle y,y \rangle}$ ergibt sich
     \[
-        0 \le \langle x + αy, x+α+ \rangle = \langle  x,x \rangle - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} + \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} = \langle x,x \rangle - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle}.
+        0 \le \langle x + \alpha y, x+\alpha + \rangle = \langle  x,x \rangle - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} + \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} = \langle x,x \rangle - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle}.
     \]
     Durch Umstellen ergibt sich
     \[
@@ -2163,7 +2168,7 @@ Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$.
     Die CSU erhält man durch Wurzel ziehen.
     Gleichheit gilt genau dann, wenn
     \[
-        \langle  x+ α y, x+αy \rangle = 0 \gdw x + αy = 0,
+        \langle  x+ \alpha  y, x+\alpha y \rangle = 0 \gdw x + \alpha y = 0,
     \]
     also wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.
     \item
@@ -2174,9 +2179,10 @@ Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$.
         Addieren dieser Gleichungen für $+$ und $-$ ergibt die Behauptung.
     \item
         Es gilt
-        \[
-            \norm {x+y}^2 - \norm{x-y}^2 = (\norm x^2 + 2 \Re \langle x,y\rangle + \norm y^2)  - (\norm x^2 - 2 \Re \langle x,y \rangle + \norm y^2) = 4 \Re \langle  x,y \rangle.
-        \]
+        \begin{align*}
+          \norm {x+y}^2 - \norm{x-y}^2 &= (\norm x^2 + 2 \Re \langle x,y\rangle + \norm y^2)  - (\norm x^2 - 2 \Re \langle x,y \rangle + \norm y^2) \\
+          & = 4 \Re \langle  x,y \rangle.
+        \end{align*}
         Analog haben wir
         \[
             -i \norm{x+iy}^2 + i \norm{x-iy}^2 = … = 4i \Im \langle x,y \rangle,
@@ -2203,16 +2209,17 @@ Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$.
 
 \begin{bemerkung}
     \begin{enumerate}
-    \item Die Paralellogramgleichung ist also charakteristisch für unitäre Räume.
     \item
-        $(C(S),\norm\cdot_∞)$ mit $S ⊂ ℝ^n$ kompakt erfüllt dies nicht.
+        Die Paralellogrammgleichung ist somit charakteristisch für unitäre Räume.
     \item
-        Die Abbildung $\langle -,- \rangle$ in unitären Räumen ist stetig in beiden Komponenten als unmittelbare Konsequenz aus der Stetigkeit der Norm.
+        $(C(S),\norm\cdot_\infty )$ mit $S ⊂ ℝ^n$ kompakt erfüllt dies nicht.
+    \item
+        Die Abbildung $\langle \cdot,\cdot \rangle$ in unitären Räumen ist stetig in beiden Komponenten als unmittelbare Konsequenz aus der Stetigkeit der Norm.
     \end{enumerate}
 \end{bemerkung}
 
 \begin{definition}
-    Ein bezüglich der Norm $\norm - := \sqrt{ \langle -,- \rangle}$ vollständiger unitärer Raum $(X,\langle -,- \rangle)$ heißt \emph{Hilbertraum}.
+    Ein bezüglich der Norm $\norm \cdot \coloneq \sqrt{ \langle \cdot,\cdot \rangle}$ vollständiger unitärer Raum $(X,\langle \cdot,\cdot \rangle)$ heißt \emph{Hilbertraum}.
 \end{definition}
 
 
@@ -2226,15 +2233,17 @@ Hier fehlt eine VL.
     Sei also $\hat y ∈ Y$ mit $x-\hat y \perp Y$, also $x-\hat y \perp (\hat y - y)$ für $y ∈ Y$ beliebig.
     Dann gilt mit Pythagoras
     \[
-        \norm{x-y}^2 = \norm{x-\hat y + \hat y - y}^2 = \norm{x-\hat y}^2 + \norm{\hat y - y}^2 ≥ \norm{x-\hat y}^2,
+        \norm{x-y}^2 = \norm{x-\hat y + \hat y - y}^2 = \norm{x-\hat y}^2 + \norm{\hat y - y}^2 \ge \norm{x-\hat y}^2,
     \]
     was die Behauptung impliziert.
 \end{proof}
 \begin{bemerkung-nn}
-    Damit gilt im Hilbertraum das Riesz'sche Lemma (3.7.6) mit $Θ = 1$.
+    Damit gilt im Hilbertraum das Riesz'sche Lemma (3.7.6) mit $\Theta  = 1$.
     Setze dazu
-       $ x_{Θ=1} := \frac{x-\hat y }{\norm{x-\hat y}} $
-    für ein $x \notin Y$. Dann ist $\norm{x_Θ} = 1$ und für alle $z ∈ Y$ gilt $\norm {z-x_Θ}^2 + 2 \Re \langle  z,x_Θ \rangle + \norm{x_Θ}^2 ≥ 1 = Θ$.
+       $ x_{\Theta =1} \coloneq \frac{x-\hat y }{\norm{x-\hat y}} $
+    für ein $x \notin Y$. Dann ist $\norm{x_\Theta } = 1$ und für alle $z ∈ Y$
+gilt $\norm {z-x_\Theta }^2 + 2 \Re \langle z,x_\Theta \rangle + \norm{x_\Theta
+}^2 \ge 1 = \Theta $.
 \end{bemerkung-nn}
 \begin{satz}
     Es sei $Y$ ein vollständiger Unterraum eines unitären Raums $X$.
@@ -2315,17 +2324,17 @@ Zentral in der Hilbertraumtheorie ist der Begriff der Hilbertraumbasis.
     \begin{enumerate}
     \item Für alle $x ∈ X$ gilt die Vollständigkeitsrelation
         \[
-            \lim_{n → ∞} \norm{x - \sum_{k=1}^n \langle  \hat e_k, x \rangle \hat e_k} = 0 
+            \lim_{n → \infty } \norm{x - \sum_{k=1}^n \langle  \hat e_k, x \rangle \hat e_k} = 0 
         \]
     \item
         Für alle $x, y ∈ X$ ist
         \[
-            \langle  x,y \rangle = \sum_{k=1}^∞ \cl{\langle \hat e_k. x \rangle} \langle \hat e_k, y \rangle.
+            \langle  x,y \rangle = \sum_{k=1}^\infty  \cl{\langle \hat e_k. x \rangle} \langle \hat e_k, y \rangle.
         \]
     \item
         Für alle $x ∈ X$ gilt die Parseval-Gleichung
         \[
-            \norm{x}^2 = \sum_{k=1}^∞ \left| \langle  \hat e_k, x \rangle \right|^2.
+            \norm{x}^2 = \sum_{k=1}^\infty  \left| \langle  \hat e_k, x \rangle \right|^2.
         \]
     \end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -2336,8 +2345,8 @@ Zentral in der Hilbertraumtheorie ist der Begriff der Hilbertraumbasis.
     \begin{enumerate}
     \item Statt (a) kann man auch
         \[
-            x = \lim_{n → ∞} \sum_{k=1}^n \langle  \hat e_k, x \rangle \hat e_k
-            = \sum_{k=1}^∞ \langle  \hat e_k,x \rangle \hat e_k
+            x = \lim_{n → \infty } \sum_{k=1}^n \langle  \hat e_k, x \rangle \hat e_k
+            = \sum_{k=1}^\infty  \langle  \hat e_k,x \rangle \hat e_k
         \]
         schreiben. Dies nennt man die Fourier-Reihe von $x$.
     \item
@@ -2364,14 +2373,14 @@ Zentral in der Hilbertraumtheorie ist der Begriff der Hilbertraumbasis.
     \item
         Sei $S$ wie oben. Sei $x ∈ X$ mit $x \perp S$. Nach (c) gilt dann
         \[
-            \sum_{k=1}^∞ \big| \underbrace{\langle  \hat e_k^∞, x \rangle}_{=0} \big|^2 = \norm x ^2,
+            \sum_{k=1}^\infty  \big| \underbrace{\langle  \hat e_k^\infty , x \rangle}_{=0} \big|^2 = \norm x ^2,
         \]
         also $\norm x = 0$ und $x = 0$.
     \item
         Sei nun $S$ ein abzählbares vollständiges Orthonormalensystem und $X$ ein Hilbertraum.
         Führe den Beweis indirekt.
         Angenommen, $S$ wäre keine Hilbertraumbasis.
-        Dann gelten die Eigenschaften (a)-(c) aus der Definition nicht und wegen der obigen Bemerkung ist dann $Y := \cl{\lspan S} \subsetneq X$.
+        Dann gelten die Eigenschaften (a)-(c) aus der Definition nicht und wegen der obigen Bemerkung ist dann $Y \coloneq \cl{\lspan S} \subsetneq X$.
         $Y$ ist also ein abgeschlossener Unterraum von $X$, und da $X$ Hilbertraum ist, damit vollständig.
         Nach Satz 2.9 ist $X = Y \oplus Y^\perp$.
         Insbesondere ist also $Y^\perp \ne \{ 0\}$.
@@ -2383,7 +2392,7 @@ Zentral in der Hilbertraumtheorie ist der Begriff der Hilbertraumbasis.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 \begin{frage-nn}
-    Hat jeder Hilbertraum $H$ mit $\dim H = ∞$ ein abzählbares vollständiges ONS (also eine Hilbertbasis)?
+    Hat jeder Hilbertraum $H$ mit $\dim H = \infty $ ein abzählbares vollständiges ONS (also eine Hilbertbasis)?
 \end{frage-nn}
 Die Antwort darauf ist nein, aber falls $H$ zusätzlich separabel ist, dann ist sie ja.
 Dagegen ist die Existenz eines vollständigen Orthonormalensystems (also eventuell überabzählbar, also keine ONB) kein Problem:
@@ -2400,48 +2409,47 @@ Dagegen ist die Existenz eines vollständigen Orthonormalensystems (also eventue
         Sei $X = L^2(0,2\pi), \K = ℝ$.
         Dann ist ein VONS in $X$ gegeben durch
         \[
-            S = \left\{ \frac 1 {\sqrt{2π}}\right\}
-            ∪ \left\{ \frac 1 {\sqrt{π}} \cos(nx) : n ∈ ℕ\right\}
-            ∪ \left\{ \frac 1 {\sqrt{π}} \sin(nx) : n ∈ ℕ\right\}.
+            S = \left\{ \frac 1 {\sqrt{2\pi }}\right\}
+            ∪ \left\{ \frac 1 {\sqrt{\pi }} \cos(nx) : n ∈ ℕ\right\}
+            ∪ \left\{ \frac 1 {\sqrt{\pi }} \sin(nx) : n ∈ ℕ\right\}.
         \]
         In der klassischen Fourieranalysis werden Entwicklungen nach diesem VONS $S$ untersucht.
-        Man zeigt dort, dass $\lspan S$ bezüglich $\norm\cdot_∞$ dicht liegt in $C_\text{per}([0,2\pi]) = \{ f: ℝ → ℝ: f$ ist stetig und $2π$-periodisch $\}$.
-        Die Aussage von 2.13(2) und (2.10) liefert nur die Begründung für die Dichtheit von $\lspan S$ in $\norm-_{L^2}$.
+        Man zeigt dort, dass $\lspan S$ bezüglich $\norm\cdot_\infty $ dicht liegt in $C_{\text{per}}([0,2\pi]) = \{ f: \R → \R: f$ ist stetig und $2\pi $-periodisch $\}$.
+        Die Aussage von 2.13(2) und (2.10) liefert nur die Begründung
+für die Dichtheit von $\lspan S$ in $\norm-_{L^2}$.
     \item
-        Durch $(f,g)_μ := ∫_a^b μ(t) f(t) g(t)\; dt $, wobei $μ > 0$ und stetig auf $(a,b)$, ist auf $L^2(a,b)$ ein reelles Skalarprodukt definiert.
-        Für verschiedene Gewichtsfunktionen $μ$ und verschiedene Wahlen von $(a,b)$ erhält man $μ$-orthogonale Polynomsysteme durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die Monome $\{t^i: i ∈ ℕ_0\}$.
+        Durch $(f,g)_\mu  \coloneq ∫_a^b \mu (t) f(t) g(t)\; dt $, wobei $\mu  > 0$ und stetig auf $(a,b)$, ist auf $L^2(a,b)$ ein reelles Skalarprodukt definiert.
+        Für verschiedene Gewichtsfunktionen $\mu $ und verschiedene Wahlen von $(a,b)$ erhält man $\mu $-orthogonale Polynomsysteme durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die Monome $\{t^i: i ∈ ℕ_0\}$.
         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
         \item
-            $a=-1, b=1$, $μ(t) = 1$ liefert die Legendre-Polynome.
+            $a=-1, b=1$, $\mu (t) = 1$ liefert die Legendre-Polynome.
         \item
-            $a=-1, b=1$, $μ(t) = 1$ liefert die Tschebyscheff-Polynome.
-            Das stimmt nicht, danke, dass du die Folie so lange gezeigt hast.
+            $a=-1, b=1$, $\mu (t) = \frac 1 {\sqrt{1-t^2}}$ liefert die Tschebyscheff-Polynome.
         \item
-            $a=0, b=∞$, $μ(t) = 1$ liefert die Laguerre-Polynome.
-            Das stimmt nicht, danke, dass du die Folie so lange gezeigt hast.
+            $a=0, b=\infty $, $\mu (t) = \exp(-t)$ liefert die Laguerre-Polynome.
         \item
-            $a=-∞, b=∞$, $μ(t) = \exp(-t^2)$ liefert die Hermite-Polynome.
+            $a=-\infty , b=\infty $, $\mu (t) = \exp(-t^2)$ liefert die Hermite-Polynome.
         \end{enumerate}
     \item
         Ist $X$ ein unitärer Raum mit ONB, kann er formal vervollständigt werden:
         Sei also $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ diese ONB, dann ist
         \[
-            H := \left\{ \sum_{k=1}^∞ c_k \hat e_k: (c_k)_{k ∈ ℕ} ∈ \ell^2 \right\}
+            H \coloneq \left\{ \sum_{k=1}^\infty  c_k \hat e_k: (c_k)_{k ∈ ℕ} ∈ \ell^2 \right\}
         \]
         ist ein Hilbertraum, den man die Vervollständigung von $X$ nennt.
         Das Skalarprodukt zwischen $x = \sum_{k ∈ ℕ} c_k \hat e_k$  und $y = \sum_{k ∈ ℕ} d_k \hat e_k$
         wird definiert als
         \[
-            \langle  x,y \rangle := \sum_{k=1}^∞ \cl{c_k} d_k.
+            \langle  x,y \rangle \coloneq \sum_{k=1}^\infty  \cl{c_k} d_k.
         \]
         Tatsächlich kann $H$ mit dem Koordinatenraum $\ell^2 = \ell^2(ℕ)$ identifiert werden.
         Die Abbildung
         \[
-            \Phi: \ell^2(ℕ) → H, (c_k)_{k ∈ℕ} ↦ \sum_{k=1}^∞ c_k \hat e_k
+            \Phi: \ell^2(ℕ) → H, (c_k)_{k ∈ℕ} ↦ \sum_{k=1}^\infty  c_k \hat e_k
         \]
         ist linear, bijektiv und normerhaltend wegen der Parsevalgleichung
         \[
-            \norm{x}^2 = \sum_{k=1}^∞ \left| \langle  \hat e_k, x \rangle \right|^2.
+            \norm{x}^2 = \sum_{k=1}^\infty  \left| \langle  \hat e_k, x \rangle \right|^2.
         \]
         Also $\ell^2(ℕ)$ und $H$ isometrisch und insbesondere $H$ vollständig.
     \end{enumerate}
@@ -2450,11 +2458,11 @@ Dagegen ist die Existenz eines vollständigen Orthonormalensystems (also eventue
 
 % VL NÄCHSTE WOCHE
 
-Der Satz 4.1 liefert also, dass die Abbildung $J_x: X → X,', y ↦ y'$ definiert
+Der Satz 4.1 liefert also, dass die Abbildung $J_x: X → X', y ↦ y'$ definiert
 durch $y': X → \K, x ↦ \langle  y,x \rangle$ bijektiv ist.
 Wir schreiben nun
 \[
-\langle \langle J_x(y),x  \rangle \rangle = \langle \langle J_x(y),x \rangle \rangle_{X'×X} := J(x)(y)[x]
+\lAngle J_x(y),x  \rAngle = \lAngle J_x(y),x \rAngle_{X'×X} \coloneq J(x)(y)[x]
 = \langle  y,x \rangle.
 \]
 Diese Abbildung ist sesquiliniear, das heißt
@@ -2462,24 +2470,24 @@ Diese Abbildung ist sesquiliniear, das heißt
     J_x (y_1 + y_2) = J_x (y_1) + J_x(y_2), \quad y_1, y_2 ∈ X,
 \]
 \[
-    J_x(αy) = \cl{\alpha} J_x(y), \quad α ∈ \K,
+    J_x(\alpha y) = \cl{\alpha} J_x(y), \quad \alpha  ∈ \K,
 \]
 denn
 \[
-    \langle \langle J_x(αy),x \rangle \rangle = \langle  αy, x \rangle = \cl \alpha \langle  y, x \rangle = \cl \alpha J_x(y) [x] = \cl \alpha \langle \langle  J_x(y), x \rangle \rangle
-    \langle \langle \cl \alpha J_x(y), x \rangle \rangle,
+    \lAngle J_x(\alpha y),x \rAngle = \langle  \alpha y, x \rangle = \cl \alpha \langle  y, x \rangle = \cl \alpha J_x(y) [x] = \cl \alpha \lAngle  J_x(y), x \rAngle
+    \lAngle \cl \alpha J_x(y), x \rAngle,
 \]
 also $X \cong X'$ sesquilinear isomorph.
 
 Gilt da sauch topologisch?
-Die Topologie von $X'$ sei hierbei die von $\L(X, \K)$, also die von der Norm $\norm{y'}_{X',N} = \sup_{\norm{x} ≤ 1}|y'[x]|$ erzeugte.
+Die Topologie von $X'$ sei hierbei die von $\L(X, \K)$, also die von der Norm $\norm{y'}_{X',N} = \sup_{\norm{x} \le 1}|y'[x]|$ erzeugte.
 \begin{satz}
     $X$ und $X'$ sind Hilberträume und  $J_x: X → X'$ ist kanonischer sesquilinearer Isomorphismus, der die Norm erhält, also eine Isometrie.
 
     Genauer gilt:
     \begin{enumerate}
     \item
-        $\langle  y_1', y_2' \rangle_{X'} := \cl{ \langle y_1, y_2 \rangle_X}$, wobei $J_x(y_1) = y_1', J_x(y_2) = y_2'$, macht $X'$ zum Skalarproduktraum.
+        $\langle  y_1', y_2' \rangle_{X'} \coloneq \cl{ \langle y_1, y_2 \rangle_X}$, wobei $J_x(y_1) = y_1', J_x(y_2) = y_2'$, macht $X'$ zum Skalarproduktraum.
     \item
         Die durch $\langle  -,- \rangle_{X'}$  induzierte Norm
         \[
@@ -2497,7 +2505,7 @@ Die Topologie von $X'$ sei hierbei die von $\L(X, \K)$, also die von der Norm $\
     \item
         Beispielsweise ist
         \[
-            \langle α y_1' , y_2' \rangle_{X'} \stackrel{def}{=} \cl{\langle \cl \alpha y_1,  y_2 \rangle_X} = \cl{ \alpha \langle  y_1, y_2 \rangle_X} = \cl{\alpha} \langle y_1',y_2' \rangle_{X'},
+            \langle \alpha  y_1' , y_2' \rangle_{X'} \stackrel{\text{def}}{=} \cl{\langle \cl \alpha y_1,  y_2 \rangle_X} = \cl{ \alpha \langle  y_1, y_2 \rangle_X} = \cl{\alpha} \langle y_1',y_2' \rangle_{X'},
         \]
         die anderen Eigenschaften folgen analog.
     \item 
@@ -2505,7 +2513,7 @@ Die Topologie von $X'$ sei hierbei die von $\L(X, \K)$, also die von der Norm $\
         \[
             \norm{y'}_{X',N} = \sup_{\norm x \le 1} |y'[x]| = \norm{y}_{X} \quad \text{für alle $y ∈ X$}.
         \]
-        hierbei ist aber „$\le$“ gerade die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, für „$\ge$“ wähle $x = \frac y {\norm y _{X}}$ für $y \ne 0$ ($y=0$ ist sowieso klar).
+        hierbei ist aber „$\le$“ gerade die Cauchy"=Schwarzsche Ungleichung, für „$\ge$“ wähle $x = \frac y {\norm y _{X}}$ für $y \ne 0$ ($y=0$ ist sowieso klar).
     \item
         nichts zu zeigen.
     \item
@@ -2513,6 +2521,38 @@ Die Topologie von $X'$ sei hierbei die von $\L(X, \K)$, also die von der Norm $\
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
+\section{Separable Hilberträume}
+\begin{definition}
+    Ein metrischer Raum $(X,d)$ heißt \emph{separabel}, wenn es $U ⊂ X$ dicht
+    und abzählbar gibt.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiele}
+    $ℝ^n, ℂ^n, \ell^2, L^2(\Omega)$ für $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen sind separable Hilberträume.
+\end{beispiele}
+
+\begin{satz}
+    In einem separablen unendlich"=dimensionalen Hilbertraum $(X,\langle -,- \rangle)$ gilt
+    \begin{enumerate}
+    \item Jedes ONS in $X$ ist höchstens abzählbar.
+    \item
+        Sei $S = (\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ein VONS in $X$. Dann existiert zu jeder
+        Folge $\alpha  = (\alpha _k)_{k ∈ ℕ} ∈ \ell^2$ genau ein $x ∈ X$ mit $\langle  \hat
+        e_k, x \rangle = \alpha _k, k ∈ ℕ$ (Satz von \emph{Riesz-Fischer}).
+    \item
+        $X$ ist isometrisch isomorph zum $\ell^2$. Insbesondere sind
+        $L^2(\Omega)$ und $\ell^2$ isometrisch isomorph.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+
+\section{Riesz'scher Darstellungssatz und Lax-Milgram}
+Für einen topologischen linearen Raum $X$ ist der Dualraum $X' = \{x': X → \K, x' $ linear und stetig $\}$ definiert.
+Im Allgemeinen kann auch $X' = \{0\}$ gelten.
+Ist $X$ jedoch ein Hilbertraum, so ist stets $X' \ne \{0\}$, denn zu $y ∈ X$ ist durch $y'[x] \coloneq \langle y,x \rangle, x ∈ X$  jeweils ein $y' ∈ X'$ erklärt.
+Tatsächlich bekommt man dadurch sogar schon alle Elemente des Dualraums:
+
+
 \chapter{Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen}
 \section{Fortsetzbarkeit linearer Funktionale}
 
@@ -2538,49 +2578,49 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi
 \end{satz}
 \begin{proof}
     Zeigen wir zunächst die Existenz der Fortsetzung.
-    Da $X_0$ dicht in $X$ ist, existiert zu jedem $x ∈ X$ eine Folge $(x_n)_{n ≥1}$, die ganz in $X_0$ liegt und gegen $x$ konvergiert.
+    Da $X_0$ dicht in $X$ ist, existiert zu jedem $x ∈ X$ eine Folge $(x_n)_{n \ge1}$, die ganz in $X_0$ liegt und gegen $x$ konvergiert.
     Wir behaupten, dass $(A_0x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $Y$ ist.
     Dazu beachte, dass
     \[
-        \norm{A_0 x_n - A_0 x_m}_{Y} \le \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n-x_m} \xrightarrow[n,m → ∞]{} 0.
-    \]
-    Da $Y$ ein Banachraum ist, ist $(A_0x_n)_{n≥1}$ konvergiert, etwa gegen $y$.
-    Wir setzen $Ax := y$.
-    Zunächst ist $A$ wohldefiniert, denn wenn $(z_n)_{n ≥ 1}$ eine weitere Folge mit $\lim_{n → ∞} z_n = x$ ist, dann gilt
-    $z_n - x_n \xrightarrow[n→∞]{} 0$ und
-    \[
-        \norm{A_0 z_n - y} \le \norm{A_0 z_n - A_0 x_n} + \norm{A_0 x_n - y}
-        \le
-        \norm{A_0} \norm{z_n - x_n} + \norm{A_0 x_n - y} \xrightarrow[n→∞]{} 0.
+        \norm{A_0 x_n - A_0 x_m}_{Y} \le \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n-x_m} \xrightarrow[n,m → \infty ]{} 0.
     \]
+    Da $Y$ ein Banachraum ist, ist $(A_0x_n)_{n\ge1}$ konvergiert, etwa gegen $y$.
+    Wir setzen $Ax \coloneq y$.
+    Zunächst ist $A$ wohldefiniert, denn wenn $(z_n)_{n \ge 1}$ eine weitere Folge mit $\lim_{n → \infty } z_n = x$ ist, dann gilt
+    $z_n - x_n \xrightarrow[n→\infty ]{} 0$ und
+    \begin{align*}
+        \norm{A_0 z_n - y} &\le \norm{A_0 z_n - A_0 x_n} + \norm{A_0 x_n - y} \\
+        & \le  
+        \norm{A_0} \norm{z_n - x_n} + \norm{A_0 x_n - y} \xrightarrow[n→\infty ]{} 0.
+    \end{align*}
     Offensichtlich ist $A$ eine Fortsetzung von $A_0$.
     Dass $A$ linear ist, ist ebenfalls klar.
     Zur Stetigkeit ist
-    \[
-        \norm{Ax}_Y = \norm{\lim_{n → ∞} A_0 x_n}_Y = \lim_{n → ∞} \norm{A_0 x_n}_{Y}
-        \le
-        \lim_{n → ∞} \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n}_X = \norm{A_0} \norm{x}.
-    \]
+    \begin{align*}
+        \norm{Ax}_Y &= \norm{\lim_{n → \infty } A_0 x_n}_Y = \lim_{n → \infty } \norm{A_0 x_n}_{Y} \\
+        &\le
+        \lim_{n → \infty } \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n}_X = \norm{A_0} \norm{x}.
+    \end{align*}
     Damit ist $A$ beschränkt, also auch stetig.
 
     Es gilt $\norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} = \norm{A}_{\L(X,Y)}$:
     „$\ge$“ ist aus dem Vorherigen klar. Für die andere Ungleichung ist
     \[
         \norm{A}_{L(X,Y)} =
-        \sup_{\norm{x ≤ 1}, x ∈ X} \norm{Ax}_{Y}
-        ≥
-        \sup_{\norm{x ≤ 1}, x ∈ X_0} \norm{Ax}_{Y} = \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)}.
+        \sup_{\norm{x \le 1}, x ∈ X} \norm{Ax}_{Y}
+        \ge
+        \sup_{\norm{x \le 1}, x ∈ X_0} \norm{Ax}_{Y} = \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)}.
     \]
 
     Für die Eindeutigkeit sei $B: X → Y$ eine weitere stetige, lineare Fortsetzung von $A_0$.
-    Wie oben existiert zu jedem $x ∈ X$ eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ mit $\lim_{n → ∞} x_n = x$.
+    Wie oben existiert zu jedem $x ∈ X$ eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ mit $\lim_{n → \infty } x_n = x$.
     Dann ist
     \[
         Ax_n = A_0 x_n = Bx_n \quad ∀ n ∈ ℕ
     \]
     und für $x ∈ X$
     \[
-        \norm{B_x - A_x} ≤ \norm{B_x - Bx_n} + \norm{Bx_n - Ax_n} + \norm{Ax_n - Ax} \xrightarrow[n→∞]{} 0,
+        \norm{B_x - A_x} \le \norm{B_x - Bx_n} + \norm{Bx_n - Ax_n} + \norm{Ax_n - Ax} \xrightarrow[n→\infty ]{} 0,
     \]
     da $A$ und $B$ stetig sind. Also $Bx = Ax$ für alle $x ∈ X$ und damit $B = A$.
 \end{proof}
@@ -2600,18 +2640,18 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
     Auf dem linearen Raum $X$ über $ℝ$ gebe es eine Abbildung $p: X → ℝ$ mit:
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
     \item
-        $p(αx) = αp(x)$ für alle $α ≥ 0, x ∈ X$ (positiv homogen)
+        $p(\alpha x) = \alpha p(x)$ für alle $\alpha  \ge 0, x ∈ X$ (positiv homogen)
     \item
-        $p(x+y) ≤ p(x) + p(y)$ für alle $x, y ∈ X$ (subadditiv)
+        $p(x+y) \le p(x) + p(y)$ für alle $x, y ∈ X$ (subadditiv)
     \end{enumerate}
 
     Weiter seine $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit
     \[
-        ∀x ∈ X_0 : f_0(x) ≤ p(x).
+        ∀x ∈ X_0 : f_0(x) \le p(x).
     \]
     Dann gibt es eine lineare Fortsetzung $f: X → ℝ$ von $f_0$, welche die Ungleichung respektiert, das heißt
     \[
-        f|_{X_0} = f_0 \quad \text{und} \quad ∀x ∈ X: f(x) ≤ p(x).
+        f|_{X_0} = f_0 \quad \text{und} \quad ∀x ∈ X: f(x) \le p(x).
     \]
 \end{satz}
 \begin{bemerkung-nn}
@@ -2619,30 +2659,30 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
 \end{bemerkung-nn}
 \begin{proof}
     Schritt 1.
-    Wir setzen $f_0$ auf $X_1 := X_0 \oplus \lspan{x_1}$  für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneqq X$).
+    Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$  für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneqq X$).
     Offenbar hat jedes $x ∈X_1$ eine eindeutig Darstellung als
-    $ y = y + \alpha x_1 $,  mit $y ∈ X_0$, $α ∈ ℝ$.
+    $ y = y + \alpha x_1 $,  mit $y ∈ X_0$, $\alpha  ∈ ℝ$.
     Dann ist mit $c ∈ ℝ$ beliebig
     \[
-        f(x) = f(y + α(x_1)) := f_0(y) + αc
+        f(x) = f(y + \alpha (x_1)) \coloneq f_0(y) + \alpha c
     \]
     eine lineare Abbildung $X_1 → ℝ$, die $f_0$ fortsetzt.
-    Wir müssen $c$ so wählen, dass $f(x) ≤ p(x)$ für alle $x ∈ X_1$, also $f_0(y) + αc \le p(y+αx_1)$ für alle $y ∈ X_0, α ∈ ℝ$.
+    Wir müssen $c$ so wählen, dass $f(x) \le p(x)$ für alle $x ∈ X_1$, also $f_0(y) + \alpha c \le p(y+\alpha x_1)$ für alle $y ∈ X_0, \alpha  ∈ ℝ$.
     Mit (i) ist diese Bedingung äquivalent zu zwei anderen Bedingungen:
     \begin{enumerate}
     \item
-        Für $a > 0$: $f_0(y/α) + c ≤ p(y/α + x_1)$.
+        Für $a > 0$: $f_0(y/\alpha ) + c \le p(y/\alpha  + x_1)$.
     \item
-        Für $α < 0$: $f_0(-y/α) - c ≤ p(-y/α - x_1)$ 
+        Für $\alpha  < 0$: $f_0(-y/\alpha ) - c \le p(-y/\alpha  - x_1)$ 
     \end{enumerate}
-    für alle $y ∈ X_0$. Der Fall $α = 0$ ist nach Annahme ohnehin klar.
+    für alle $y ∈ X_0$. Der Fall $\alpha  = 0$ ist nach Annahme ohnehin klar.
     Um diese Bedingungen erfüllen zu können, muss $c ∈ ℝ$ so gewählt werden, dass
     \[
-        ∀y_1, y_2 ∈ X_0: f_0(y_1) - p(y_1 - x_1) ≤ c ≤ p(y_2 + x_2) - f_0(y_2).
+        ∀y_1, y_2 ∈ X_0: f_0(y_1) - p(y_1 - x_1) \le c \le p(y_2 + x_2) - f_0(y_2).
     \]
     Das ist möglich, da
     \[
-        f_0(y_1) + f_0(y_2) = f_0(y_1+y_2) ≤ p(y_1 + y_2) = p(y_1 - x_1 + y_2 + x_1) ≤ p(y_1 - x_1)+p(y_2+x_1).
+        f_0(y_1) + f_0(y_2) = f_0(y_1+y_2) \le p(y_1 + y_2) = p(y_1 - x_1 + y_2 + x_1) \le p(y_1 - x_1)+p(y_2+x_1).
     \]
     Folglich gilt
     \[
@@ -2654,13 +2694,13 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
     Finde eine maximale Fortsetzung mit dem Lemma von Zorn.
     Betrachte dazu
     \[
-        \{: X \supset D_g \supset X_0 → ℝ\}: g|_{X_0} = f_0 ∧ ∀x ∈ D_g: g(x) ≤ p(x) \}.
+        \{: X \supset D_g \supset X_0 → ℝ\}: g|_{X_0} = f_0 ∧ ∀x ∈ D_g: g(x) \le p(x) \}.
     \]
     Diese Menge ordnen wir mit $\succeq$ definiert durch
     \[
         h \succeq g \gdw h \text{ ist Fortsetzung von $g$}.
     \]
-    Nach dem Lemma von Zorn existiert eine maximale Fortsetzung $g^*$ von $f_0$ mit $g^*(x) ≤ p(x)$ für alle $x ∈ X$.
+    Nach dem Lemma von Zorn existiert eine maximale Fortsetzung $g^*$ von $f_0$ mit $g^*(x) \le p(x)$ für alle $x ∈ X$.
     Wäre $D_{g^*}$ nicht $X$, so verfahre wie in Schritt 1 im Widerspruch zur Maximalität.
     Damit hat $g^*$ die gewünschten Eigenschaften.
 \end{proof}
@@ -2668,7 +2708,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
 \begin{bemerkung-nn}
     \begin{enumerate}
     \item 
-    Ohne die Zusatzforderung $f(x) ≤ p(x)$ für alle $x ∈X$ ist die lineare Fortsetzbarkeit trivial.
+    Ohne die Zusatzforderung $f(x) \le p(x)$ für alle $x ∈X$ ist die lineare Fortsetzbarkeit trivial.
     \item 
         Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog möglich. % yos IV 4
     \end{enumerate}
@@ -2681,53 +2721,53 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
 
     Dann existiert zu jedem $x_0 \not\in M$ ein $f ∈ X'$ mit
     \[
-        f(x_0) > 1 ∧ ∀ x ∈ M: f(x) ≤ 1.
+        f(x_0) > 1 ∧ ∀ x ∈ M: f(x) \le 1.
     \]
 \end{satz}
-Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + ε\}$ für $0 < ε < f(x_0) < 1$ trennt also $x_0$ und $M$.
+Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + \epsilon \}$ für $0 < \epsilon  < f(x_0) < 1$ trennt also $x_0$ und $M$.
 
 \begin{proof}
-    Setze $2r := \inf_{y ∈ M} \norm{y - x_0}$  (positiv, da $M$ abgeschlossen).
-    Sei $N := \cl{M + \cl{B_r(0)}} = \cl{\{ z = y + u: y ∈ M, u ∈ \cl{B_r(0)}\}} ⊂ X$.
+    Setze $2r \coloneq \inf_{y ∈ M} \norm{y - x_0}$  (positiv, da $M$ abgeschlossen).
+    Sei $N \coloneq \cl{M + \cl{B_r(0)}} = \cl{\{ z = y + u: y ∈ M, u ∈ \cl{B_r(0)}\}} ⊂ X$.
     Dann ist (i) $N$ abgeschlossen und (ii) $\cl{B_r(0)} ⊂ N$, da $0 ∈ M$, insbesondere ist $0 ∈ N^\circ$.
     (iii) ist $N$ konvex: Es genügt, zu zeigen, dass $A = M + B_r(0)$ konvex ist, denn dann ist auch $\cl A$ konvex.
-    Sei $x _i = y_i + v_i, y_i ∈ M, v_i ∈ \cl{B_r(0)}, i=1,2$ und $α ∈ (0,1)$. Dann ist
+    Sei $x _i = y_i + v_i, y_i ∈ M, v_i ∈ \cl{B_r(0)}, i=1,2$ und $\alpha  ∈ (0,1)$. Dann ist
     \[
-        αx_1 + (1-α)x_2 = \underbrace{[αy_1 + (1-α)y_2]}_{∈ M} + \underbrace{[αu_1+(1-α)v_2]}_{∈ \cl{B_r(0)}}.
+        \alpha x_1 + (1-\alpha )x_2 = \underbrace{[\alpha y_1 + (1-\alpha )y_2]}_{∈ M} + \underbrace{[\alpha u_1+(1-\alpha )v_2]}_{∈ \cl{B_r(0)}}.
     \]
     (iv) ist $x_0 \not\in N$.
-    Angenommen, $x_0 ∈ N$. Dann existiert eine Folge $z_n = y_n + u_n$ in $A$ mit $z_n → x_0 (n→∞)$.
+    Angenommen, $x_0 ∈ N$. Dann existiert eine Folge $z_n = y_n + u_n$ in $A$ mit $z_n → x_0 (n→\infty )$.
     Dann ist für $n_0$ hinreichend groß
     \[
-        \frac r 2 > \norm{z_{n_0} - x_0} = \norm{y_{n_0 - x_0} + u_{n_0}} ≥ |\underbrace{\norm{y_{n_0-x_0}}}_{≥ 2r} - \underbrace{\norm{u_{n_0}}}_{≤ r}| ≥ r.
+        \frac r 2 > \norm{z_{n_0} - x_0} = \norm{y_{n_0 - x_0} + u_{n_0}} \ge |\underbrace{\norm{y_{n_0-x_0}}}_{\ge 2r} - \underbrace{\norm{u_{n_0}}}_{\le r}| \ge r.
     \]
 
     Verwende nun das Minkowski-Funktional
     \[
-        p_N(x) := \inf \{ρ > 0: ρ^{-1} x ∈ N\}, \quad x ∈ X.
+        p_N(x) \coloneq \inf \{ρ > 0: ρ^{-1} x ∈ N\}, \quad x ∈ X.
     \]
     Dieses hat die Eigenschaften
     \begin{enumerate}
     \item
-        $p_N(αx) = αp_n(x),\quad α ≥ 0, x ∈ X$ (positiv homogen)
+        $p_N(\alpha x) = \alpha p_n(x),\quad \alpha  \ge 0, x ∈ X$ (positiv homogen)
     \item
-        $p_N(x+y) ≤ p_N(x) + p_N(y), \quad x, y ∈ X$ (subadditiv)
+        $p_N(x+y) \le p_N(x) + p_N(y), \quad x, y ∈ X$ (subadditiv)
     \item
-        $p_N(x) ≤ 1 \iff x ∈ N$
+        $p_N(x) \le 1 \iff x ∈ N$
     \item
-        Ist zusätzlich $\cl{B_r(0)} ⊂ N$, so gilt $p_nNx) ≤ r^{-1}\norm x$ für alle $x ∈ X$.
+        Ist zusätzlich $\cl{B_r(0)} ⊂ N$, so gilt $p_nNx) \le r^{-1}\norm x$ für alle $x ∈ X$.
     \end{enumerate}
-    Sei nun $X_0 := \lspan\{x_0\}$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ linear definiert durch $f_0(x_0) := p_N(x_0)$.
-    Wir behauptung, dass $f_0 (x) ≤ p_N(x)$ für alle $x  = λx_0 ∈ X_0$.
-    Falls $λ ≥ 0$, so ist $f_0(x) = f_0(λx_0) = λp_N(x_0) = p_N(λx_0) = p_N(x)$.
-    Falls $λ < 0$, so ist wegen $p_n ≥ 0$ ohnehin $f_0(λx_0) = λp_N(x_0) ≤ 0 ≤ p_N(λx_0)$.
+    Sei nun $X_0 \coloneq \lspan\{x_0\}$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ linear definiert durch $f_0(x_0) \coloneq p_N(x_0)$.
+    Wir behauptung, dass $f_0 (x) \le p_N(x)$ für alle $x  = \lambda x_0 ∈ X_0$.
+    Falls $\lambda  \ge 0$, so ist $f_0(x) = f_0(\lambda x_0) = \lambda p_N(x_0) = p_N(\lambda x_0) = p_N(x)$.
+    Falls $\lambda  < 0$, so ist wegen $p_n \ge 0$ ohnehin $f_0(\lambda x_0) = \lambda p_N(x_0) \le 0 \le p_N(\lambda x_0)$.
     Da $p_N$ die Bedingungen (i) und (ii) aus Hahn-Banach erfüllt,
-    gibt es eine lineare Fortsetzung $f$ von $f_0$ mit $f(x) ≤ p_N(x)$ für alle $x ∈ X$.
+    gibt es eine lineare Fortsetzung $f$ von $f_0$ mit $f(x) \le p_N(x)$ für alle $x ∈ X$.
 
     Nun ist $f$ stetig, also $f ∈ X'$, denn für alle $x ∈ X$ gilt
     \begin{multline*}
-        |f(x) = \max\{f(x), -f(x)\}  = \max\{f(x),f(-x)\} ≤ \max\{p_N(x),p_N(-x)\}  \\
-        ≤ \max\left\{\frac{\norm{x}}{r},\frac{\norm{-x}}{r}\right\} = \frac{\norm x}{r}.
+        |f(x) = \max\{f(x), -f(x)\}  = \max\{f(x),f(-x)\} \le \max\{p_N(x),p_N(-x)\}  \\
+        \le \max\left\{\frac{\norm{x}}{r},\frac{\norm{-x}}{r}\right\} = \frac{\norm x}{r}.
     \end{multline*}
 
     Außerdem erfüllt $f$ die Gleichung 3.1 (?), denn
@@ -2736,27 +2776,27 @@ Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + ε\}$ für $0 < ε < f(x_0) < 1$ tren
     \]
     und für $x ∈ M ⊂ N$ gilt
     \[
-        f(x) ≤ p_N(x) ≤ 1.
+        f(x) \le p_N(x) \le 1.
     \]
 \end{proof}
 
 \section{Einbettung von $X$ in seinen Bidualraum}
 Zunächst zur Motivation: Sei $X$ ein normierter linearer Raum.
 Dann existiert $X'$ und ist ein Banachraum.
-Aber dann existiert auch $X'' := (X')'$ und ist ebenfalls ein Banachraum.
-Unser ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
+Aber dann existiert auch $X'' \coloneq (X')'$ und ist ebenfalls ein Banachraum.
+Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
 
 \begin{definition}
     Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist definiert durch
     \[
-        J_0(x) [x'] = \langle \langle J_0(x), x' \rangle \rangle_{X''×X'} := \langle \langle x', x \rangle \rangle_{X'×X} = x'[x] ∈ \K
+        J_0(x) [x'] = \lAngle J_0(x), x' \rAngle_{X''×X'} \coloneq \lAngle x', x \rAngle_{X'×X} = x'[x] ∈ \K
     \]
     für $x ∈ X, x' ∈ X'$.
 
     Offensichtlich gilt für $x ∈ X$ fest $J_0(x): X' → \K$ linear, aber $J_0(x)$ ist auch stetig bzw beschränkt:
     Dazu ist
     \[
-        |J_0(x)[x']| = | \langle  \langle x',x \rangle \rangle ≤ \norm{x'}_{X'} \underbrace{\norm{x}_X}_{=: M}.
+        |J_0(x)[x']| = | \langle  \langle x',x \rAngle \le \norm{x'}_{X'} \underbrace{\norm{x}_X}_{=: M}.
     \]
     Also ist $J_0(x) ∈ X''$, also insbesondere $J_0$ wohldefiniert.
     Wegen der linearität von $J_0$ in $x$ schreiben wir statt $J_0(x)$ auch $J_0 x$.
@@ -2774,29 +2814,28 @@ Unser ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
     Zur Injektivität: Seien $x_1, x_2 ∈ X$ mit $J_0x_1 = J_0x_2$.
     Dann ist für jedes $x' ∈ X'$
     \[
-        \langle \langle x',x_1 \rangle \rangle = J_0 x_1[x'] = J_0x_2[x'] = \langle \langle x', x_2 \rangle \rangle,
+        \lAngle x',x_1 \rAngle = J_0 x_1[x'] = J_0x_2[x'] = \lAngle x', x_2 \rAngle,
     \]
     also wegen Linearität von $x'$
     \[
-        \langle \langle x', x_1-x_2 \rangle \rangle = 0.
+        \lAngle x', x_1-x_2 \rAngle = 0.
     \]
     Mit Folgerung 2.3(1) folgt $x_1-x_2 = 0$.
 
     Zur Isometrieeigenschaft bleibt zu zeigen: $\norm{J_0x} = \norm{x}$ für alle $x ∈ X''$.
-    „≤“: Aus (4.1) folgt bereits
+    „$\le$“: Aus (4.1) folgt bereits
     \[
-        \norm{J_0(x)}_{X''} = \sup_{\norm{x'} ≤ 1} |J_0(x)[x'] ≤ \norm{x}_X.
+        \norm{J_0(x)}_{X''} = \sup_{\norm{x'} \le 1} |J_0(x)[x'] \le \norm{x}_X.
     \]
-    „≥“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach Korollar 2.1 ein $x_0' ∈ X'$ mit
+    „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach Korollar 2.1 ein $x_0' ∈ X'$ mit
     $\norm{x_0'}_{X'} = 1$ und $x_0'[x_0]= \norm{x_0}$.
     Also folgt
     \[
-        \underbrace{|J_0x_0[x_0']|}_{≤ \norm{J_0x_0}_{X''}} = \langle  \langle x_0', x_0 \rangle \rangle = \norm{x_0}.
+        \underbrace{|J_0x_0[x_0']|}_{\le \norm{J_0x_0}_{X''}} = \lAngle  x_0', x_0 \rAngle = \norm{x_0}.
     \]
-    Da $x_0$ beliebig war, gilt $\norm{J_0x}_{X''} ≥ \norm{x}$.
+    Da $x_0$ beliebig war, gilt $\norm{J_0x}_{X''} \ge \norm{x}$.
 \end{proof}
 
-
 \begin{definition}
     Ein Banachraum $X$ heißt \emph{reflexiv}, wenn $J_0$ surjektiv ist, also $X$ und $X''$ isomorph sind vermöge $J_0$.
 \end{definition}
@@ -2831,9 +2870,9 @@ Unser ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
 \end{bemerkung-nn}
 
 \begin{definition}
-    Eine Folge  $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \rightharpoonup x$ für $n → ∞$), wenn
+    Eine Folge  $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn
     \[
-        \lim_{n → ∞} x'[x_n] = x'[x]
+        \lim_{n → \infty } x'[x_n] = x'[x]
     \]
     für alle $x' ∈ X'$ gilt.
 \end{definition}
@@ -2845,12 +2884,12 @@ Unser ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
 \begin{beispiel-nn}
     Für $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ Hilbertraumbasis in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt
     \[
-        \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X (i → ∞)
+        \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X (i → \infty )
     \]
 \end{beispiel-nn}
 
 \begin{bemerkung-nn}
-    $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0} \not \to 0 (i → ∞)$.
+    $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0} \not\rightarrow 0 (i → \infty )$.
 \end{bemerkung-nn}
 
 \begin{proof}
@@ -2858,12 +2897,13 @@ Unser ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
     \[
         X' = \{ x' : x' ∈ X'\} = \{ J_X(y) : y ∈ X\}.
     \]
-    Zu zeigen ist $\lim\limits_{i → ∞}x'[\hat e_i] = x'[0]$ für alle $x' ∈ X'$, also äquivalent
-    $\lim\limits_{i → ∞} J_x(y)[\hat e_i] = J_x(y)[0]$ für alle $y ∈ X$ bzw. $\lim\limits_{i → ∞} \langle y, \hat e_i \rangle = \langle y, 0 \rangle$ für alle $y ∈ X$.
+    Zu zeigen ist $\lim\limits_{i → \infty }x'[\hat e_i] = x'[0]$ für alle $x' ∈ X'$, also äquivalent
+    $\lim\limits_{i → \infty } J_x(y)[\hat e_i] = J_x(y)[0]$ für alle $y ∈ X$ bzw. $\lim\limits_{i → \infty } \langle y, \hat e_i \rangle = \langle y, 0 \rangle$ für alle $y ∈ X$.
 
-    Sei also $y ∈ X$ fest gewählt. Dann ist $y = \sum_{i=1}^∞α_i \hat e_i$ mit $α_i = \langle  \hat e_i, y \rangle$.
-    Es gilt $\sum_{i=1}^∞ |α_i|^2 < ∞$ (vgl Def 4.2.12).
-    Damit folgt $α_i = \langle  \hat e_i, y \rangle → 0 (i → ∞)$, weil $α ∈ \ell^2$. Damit folgt die Schache Konvergenz von $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$.
+    Sei also $y ∈ X$ fest gewählt. Dann ist $y = \sum_{i=1}^\infty \alpha _i \hat e_i$ mit $\alpha _i = \langle  \hat e_i, y \rangle$.
+    Es gilt $\sum_{i=1}^\infty  |\alpha _i|^2 < \infty $ (vgl Def 4.2.12).
+    Damit folgt $\alpha _i = \langle  \hat e_i, y \rangle → 0 (i → \infty )$, weil $\alpha  ∈ \ell^2$.
+    Damit folgt die Schwache Konvergenz von $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$.
 \end{proof}
 
 
@@ -2879,11 +2919,7 @@ Unser ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
 \end{satz}
 
 
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-\end{document}
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