From 831015e75eaed72d44fcb2a68d55150185d5c24f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Fri, 10 Nov 2017 13:47:33 +0100
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@@ -580,7 +580,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow{n → ∞} 0$.
+    Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow[n → ∞]{} 0$.
     Hierdurch ist eine Äquivalenzrelation definiiert. Sei $[(x_n)_{n ∈ ℕ}]$ die vom Repräsententaten $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ erzeugte Klasse. Man setzt
     \[
         \tilde X := \{ [ (x_n)_{n ∈ ℕ}] : (x_n)_{n ∈ ℕ} \text{ ist Cauchy-Folge in }(X,d)\}
@@ -625,7 +625,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     \]
     Also
     \[
-        d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow{n → ∞} 0.
+        d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0.
     \]
     Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$.
     Außerdem gilt
@@ -640,7 +640,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     Für die Eindeutigkeit sei $\tilde x_0$ ebenfalls in $\bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$.
     Dann folgt
     \[
-        d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow{n → ∞} 0.
+        d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0.
     \]
     Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$.
 \end{proof}
@@ -672,7 +672,7 @@ Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B
         B_{r_2}(x_2) ⊂ B_{r_1/2} (x_1)
     \]
     und $B_{r_2}(x_2) ∩ M_2 = \emptyset$.
-    Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞)$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow{n → ∞} 0$.
+    Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞)$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow[n → ∞]{} 0$.
     Damit sind alle Voraussetzungen von \cref{schachtelsatz} erfüllt. Folglich existiert genau ein
     \[
         \tilde x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} B_{r_n} (x_n) ⊂ B_r(x_0) ⊂ M.
@@ -903,7 +903,7 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
 \begin{korollar}
     Im topologischen Raum $(X,\T)$ gilt für $x ∈ X$ beliebig und $(β_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$
     \[
-       β_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \implies β_nx \xrightarrow{n → ∞} 0.
+       β_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0 \implies β_nx \xrightarrow[n → ∞]{} 0.
     \]
 \end{korollar}
 
@@ -964,7 +964,7 @@ k    \]
     Es genügt, da in metrischen Räumen Folgenstetigkeit und Stetigkeit äquivalent sind, zu zeigen, dass $\lim d(x_n + y_n, x + y ) = 0$, sofern $\lim d(x_n,x) = 0$  und $\lim d(y_n,y) = 0$.
     Dazu ist
     \[
-        d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow{n → ∞} 0.
+        d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow[n → ∞]{} 0.
     \]
 \end{proof}
 
@@ -991,9 +991,9 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha
     Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit linearer Struktur und mit einer translationinvarianten Metrik.
     Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $α ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ) ⊂ \K}$ gilt
     \begin{gather*}
-        αx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \\
-        αx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \\
-        α_nx_n \xrightarrow{n → ∞} 0
+        αx_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0 \\
+        αx_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0 \\
+        α_nx_n \xrightarrow[n → ∞]{} 0
     \end{gather*}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
@@ -1002,10 +1002,10 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha
     „$⇐$“: Wegen der Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit ist zu zeigen
     \[
         \begin{rcases}
-            α_n \xrightarrow{n → ∞} α ∈ \K \\
-            x_n \xrightarrow{n → ∞} x ∈ X
+            α_n \xrightarrow[n → ∞]{} α ∈ \K \\
+            x_n \xrightarrow[n → ∞]{} x ∈ X
         \end{rcases}
-    \implies α_n x_n \xrightarrow{n → ∞} αx.
+    \implies α_n x_n \xrightarrow[n → ∞]{} αx.
     \]
 
     Sei dazu $z_n := x_n - x ∈ X$, $γ_n := α_n - α ∈ \K$. Dann ist
@@ -1033,11 +1033,11 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha
     \item
         $|x+y| \le |x| + |y|$ für alle $x,y ∈ X$
     \item
-        $|αx_n| \xrightarrow{n → ∞} 0$ für $α ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$
+        $|αx_n| \xrightarrow[n → ∞]{} 0$ für $α ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$
     \item
-        $|α_nx| \xrightarrow{n → ∞} 0$ für $x ∈ X$, falls $|α_n| → 0$
+        $|α_nx| \xrightarrow[n → ∞]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|α_n| → 0$
     \item
-        $|α_nx_n| \xrightarrow{n → ∞} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|α_nx_n| → 0$
+        $|α_nx_n| \xrightarrow[n → ∞]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|α_nx_n| → 0$
     \end{enumerate}
     $(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum.
 \end{definition}
@@ -1579,7 +1579,15 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
         Es stellt sich heraus, dass diese Topologie tatsächlich unabhängig von der gewählten Ausschöpfung ist.
         Außerdem ist $(\D(\Omega),\T_\D)$ ein topologischer linearer Raum, das heißt, die Vektorraumoperationen sind stetig.
         \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in $\D(\Omega)$]
-            joa, hab keine lust, das abzuschreiben.
+            Es gilt
+            \[
+                O ∈ \T_\D \iff ∀ ξ ∈ O ∃ ε=(e_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, e_j > 0: e+U_ε ⊂ O.
+            \]
+            Das heißt, die Topologie $\T_\D$ und die Topologie
+            \[
+                \tilde T_\D = \{ O ⊂ C_0^∞(\Omega): ∀ ξ ∈ O ∃ ε = (ε_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^∞, ε_j > 0: ε+ U_ε ⊂ O \}
+            \]
+            sind gleich.
         \end{lemma}
         \begin{proof}
             Übung.
@@ -1589,10 +1597,18 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
             Nach Definition sind sie aber auch Konvex, das heißt $(\D(\Omega),\T_\D)$ ist ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum.
         \end{korollar}
         \begin{satz}
-            mach ich später.
+            $ξ_m \xrightarrow[m → ∞]{} \iff$
+            \[
+                \begin{cases}
+                    (i), & \text{Es existiert $D$ offen mit $D ⊂⊂ \Omega$ und
+                        $ξ_= ∈ C_0^∞(D)$ für alle $m ∈ ℕ$} \\
+                    (ii), & \text{Für jedes $k ∈ ℕ$ gilt:
+                        $\norm{ξ_m}_{C^k(\cl{\Omega})} \xrightarrow[m → ∞]{}$}
+                \end{cases}
+            \]
         \end{satz}
         \begin{proof}
-            Zeige nur „$\Longleftarrow$“. Sei dazu $(ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge mit (i) und (ii). 
+            Zeige nur „$\Longleftarrow$“. Sei dazu $(ξ_m)_{m ∈ ℕ}$ eine Folge mit (i) und (ii). 
             Wähle nun $D_j$ von oben mit $D ⊂ D_j$ ($j$ ist fest).
             Sei nun $ε=(ε_i)_{i ∈ ℕ}, ε_i > 0$ gegeben. Dann müssen wir zeigen, dass für alle $m > m_0$ schon $ξ_m ∈ U_ε$  gilt.
             Zunächst sind nach (i) $ξ_m ∈ C^∞_0(D_j)$ .
@@ -1625,10 +1641,217 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)
         \[
             L^∞(\Omega) := \left( \L^∞(\Omega)/N, \norm\cdot_{L^∞(\Omega)} \right)
         \]
-        zu einem normiertem raum.
+        zu einem normiertem Raum.
     \end{enumerate}
 \end{beispiel-nn}
 
+
+{ \LARGE Vorlesung vom Donnerstag, 9. November fehlt (genauso wie vermutlich alle weiteren Donnerstagsvorlesungen ab jetzt)}
+
+Seien $f_n → f ∈ L^p(\Omega), h ∈ C_0^∞(\Omega)$.
+Dann
+\[
+    \lim_{n → ∞} ∫_Ω f_n(t) h(t) dt = ∫_Ω f(t) h(t) dt,
+\]
+denn
+\begin{align*}
+  ∫_Ω (f_n(t) - f(t)) h(t) dt &\le ∫_{\supp h} M |f_n(t) - f(t)| dt \\
+                              & \stackrel{\mathclap{\text{Hölder}}}{\le} \; M [ \supp(h)]^{1/q} \norm{f_n-f}_{L^p(\Omega)} → 0.
+\end{align*}
+
+\section{Beschränkte und kompakte Mengen in metrischen linearen Räumen}
+
+Wir wissen bereits nach dem Satz von Heine-Borel, dass eine Teilmenge $K ⊂ ℝ^n$  genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
+Beschränktheit bedeutet hier in einer (beliebigen, da alle äquivalent) Norm.
+
+Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrischen (topologischen) linearen Räumen finden.
+
+\begin{problem-nn}
+    Die natürliche Übertragung $d(x,0) \le M$, $x ∈ B$ definiert \emph{keine} Beschränktheit.
+    Gründe dafür sind:
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        In einigen metrischen Räumen gilt ohnehin $d(x,0) \le 1$ für alle $x ∈ X$.
+    \item
+        Ist $d$ eine Metrik auf $X$. Dann ist $\tilde d := \frac d {1+d} \le 1$ eine zu $d$ äquivalente Metrik auf $X$, wie wir in Topologie gesehen haben.
+    \end{enumerate}
+\end{problem-nn}
+
+\begin{definition}
+    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum, $B ⊂ X$ heißt \emph{beschränkt}, falls zu jeder offenen Umgebung $U$ von $0 ∈ X$ ein $α > 0$ existiert, so dass $B ⊂ αU = \{αu: u ∈ U\}$, das heißt jede Nullumgebung lässt sich so weit „aufblasen“, dass sie $B$ überdeckt.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Der Begriff „Beschränktheit“ hängt also von der Topologie ab.
+\end{bemerkung-nn}
+
+
+\begin{satz}
+    Sei $(X,d)$ ein metrischer linearer Raum, dessen Metrik gemäß \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} von abzählbar vielen Seminormen $(p_n)_{n ∈ ℕ}$ induziert ist.
+    Dann ist eine Teilmenge $B ⊂ X$ genau dann beschränkt, wenn für jedes $k ∈ ℕ$ ein $M_k > 0$ existiert mit $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    „⇒“: Sei $k ∈ ℕ$ gegeben.
+    Setze $r_k := \frac 1 {2^{k+1}}$ und $U := B_{r_k}(0)$.
+    Da $B$ beschränkt ist, gibt es $α = α_k > 0$, dass
+    \begin{align*}
+    & B ⊂ αU = α B_{r_k}(0) \\
+      \iff & α^{-1} B ⊂ B_{r_k} (0) \\
+      \iff d(α^{-1} x, 0) < r_k ∀ x ∈ B
+    \end{align*}
+    Dann gilt schon $p_k(x) \le M_k := α_k$ für alle $x ∈ B$, denn
+    \[
+        \frac 1 {2^{k+1}} = r_k > d(α_k^{-1} x, 0
+        \ge 2^k \frac {p_k(α_k^{-1}x)}{1+p_k(α_k^{-1} x)}
+        = 2^{-k} \frac{α_k^{-1} p_k(x)}{1+α_k^{-1} p_k(x)}.
+    \]
+    Also mit $\eta := α_k^{-1} p_k(x)$ gilt $\frac 1 2 > \frac \eta {1+\eta}$, also $\eta < 1$ oder $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$.
+
+    „⇐“:
+    Sei also $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$ und $k ∈ ℕ$.
+    Wir müssen nun zeigen, dass es für jedes $r > 0$ ein $α > 0$ gibt mit $B ⊂ αB_r(0)$, also $α^{-1} B ⊂ B_r(0)$.
+    Sei also $r > 0$ gegeben.
+    Wähle nun $m_0 ∈ ℕ$ mit $\sum_{n=m_0+1}^∞ 2^{-n} < r/2$.
+    Wähle $α > 0$ mit $\sum_{n=1}^{m_0} 2^{-n} \frac{α^{-1} M_k}{1+α^{-1} M_k} < r/2$.
+    Dann gilt für alle $x ∈ B$
+    \[
+        d(α^{-1} x, 0) =
+        \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{α^{-1} p_n(x)}{1+α^{-1} p_n(x)}
+        \le \sum_{n=1}^{m_0} 2^{-n} \frac{α^{-1} p_n(x)}{1+α^{-1} p_n(x)} + \sum_{n=m_0+1}^∞ 2^{-n}  < r/2 + r/2 = r.
+    \]
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter linearer Raum, 
+    Dann ist eine Teilmenge $B ⊂ X$ genau dann beschränkt, wenn $M > 0$ existiert mit $\norm{x} \le M$ für alle $x ∈ B$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Wähle $p_1(x) = \norm x$ und $p_k \equiv 0$ für $k \ge 2$ und verwende den vorherigen Satz.
+\end{proof}
+
+
+\begin{bemerkung}
+    Kugeln $B_r(0)$ in $(X,d)$, wobei $d$ wie in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume}, sinid also immer unbeschränkt,
+    weil nichttriviale Unterräume $M_{n_0} ⊂ B_r(x)$ existieren.
+    Insbesondere ist dies gültig in den Räumen $\K^∞, C(Ω), C^\ell(Ω)$ und $C^∞(Ω)$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition}
+    Ein topologischer linearer Raum $(X,\T)$ heißt \emph{lokalbeschränkt}, falls $0 ∈ X$ eine beschränkte Umgebung besitzt.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    Normierte Räume sind lokalbeschränkt und lokalkonvex. Es gilt aber auch die Umkehrung:
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}[Kolmogorov]
+    Ein topologischer linearer Raum $(X, \T)$ ist genau dann normierbar, das heißt, die Topologie wird von einer Norm induziert,
+    wenn $(X,\T)$ lokalkonvex und lokalbeschränkt ist.
+\end{satz}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    Die Räume $\K^∞, C(Ω), C^\ell(Ω)$ und $C^∞(Ω)$ sind nicht lokalbeschränkt, aber lokalkonvex. Somit sind sie auch nicht normierbar.
+    Auch $L^p(0,1)$ mit $0 < p < 1$ ist nicht lokalkonvex, aber lokalbeschränkt, also nicht normierbar.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{definition}
+    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum.
+    Eine Umgebung $U$ der Null heißt \emph{kreisförmig} oder \emph{balanced}, falls
+    \[
+        t U ⊂ U, \quad |t| < 1
+    \]
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum.
+    Dann besitzt die Null eine Umgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Übung.
+\end{proof}
+
+\begin{warnung-nn}
+    Metrikkugeln müssen im Allgemeinen nicht kreisförmig sein (obwohl die uns bekannten Kugeln dies sind).
+    Gegenbeispiel: $X = ℝ$, $d(x,y) := \left| ∫_x^y 1+\ind{ℝ_-}(s)\; ds \right|$.
+\end{warnung-nn}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum und $V ∈ \T$ eine Umgebung der 0.
+    Dann gilt
+    \[
+        X = \bigcup_{n ∈ ℕ} n V.
+    \]
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    „$\supset$“: klar.
+
+    „⊂“: Sei $x ∈ X$. Setze $β_n = 1/n, n ∈ ℕ$. Dann gilt
+    \[
+        β_n x \xrightarrow[n → ∞]{} 0,
+    \]
+    also $β_n ∈ V$ für $n \ge n_0$. Damit haben wir aber $x ∈ n_0 V$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer $T_2$-Raum und $K ⊂ X$ kompakt.
+    Dann ist $K$ abgeschlossen und beschränkt.
+\end{satz}
+\begin{definition-nn}
+    Falls auch die Umkehrung gilt, dann besitzt $X$ die \emph{Heine"=Borel"=Eigenschaft}.
+\end{definition-nn}
+\begin{warnung-nn}
+    Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
+\end{warnung-nn}
+\begin{proof}
+    Nach einer Übungsaufgabe ist $K$ bereits abgeschlossen.
+    Also müssen wir nur zeigen, dass $K$ auch beschränkt ist.
+    Sei $V ∈ \T$ eine Nullumgebung.
+    Sei $W ⊂ \T$ eine kreisförmige Umgebung der $0$, die ganz in $V$ enthalten ist.
+    Da
+    \[
+        K ⊂ X = \bigcup_{n ∈ ℕ} n W
+    \]
+    eine offene Überdeckung von $K$ ist, besitzt diese wegen $K$ kompakt eine endliche Teilüberdeckung
+    \[
+        K ⊂ \bigcup_{i=1}^s n_i W \stackrel{(*)}= n_s W, \quad n_1 < n_2 < … < n_s,
+    \]
+    also folgt die Behauptung mit $α = n_s$. $(*)$ gilt wegen der Kreisförmigkeit und $\left|\frac {n_i}{n_s}\right| \le 1$.
+\end{proof}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Ohne die Hausdorff-Eigenschaft gilt dies nicht. Gegenbeispiel: $X = ℝ$ mit der Klumpentopologie.
+    Dann ist jede Teilmenge von $ℝ$ kompakt, aber nur $\emptyset$ und $ℝ$ sind abgeschlossen.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{definition}
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        In einem topologischen Raum $(X,\T)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{relativ kompakt}, falls $\cl A$ kompakt ist.
+    \item
+        In einem metrischen Raum $(X,d)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{präkompakt}, falls für jedes $ε > 0$ die Menge $A$ von endlich vielen Bällen mit Radius $ε$ überdeckt werden kann.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $\emptyset \ne A ⊂ X$. Dann sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $A$ ist kompakt.
+    \item
+        $A$ ist folgenkompakt.
+    \item
+        $(A,d|_{A×A})$ ist vollständig und $A$ präkompakt.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    $(a) \iff (b)$ wurde bereits gezeigt. Wir zeigen nur $(b) ⇒ (c)$:
+    Sei $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ A$ eine Cauchy-Folge. Nach (b) besitzt $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ einen Häufungspunkt $x^*$.
+    Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ Cauchy-Folge ist, konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ schon gegen $x^*$. Damit ist $A$ vollständig,
+    Da $A$ nach 
+    Angenommen, $A$ wäre nicht präkompakt. Dann gibt es $ε > 0$, so dass $A$ keine endliche Überdeckung mit $ε$-Kugeln besitzt.
+    Dadurch kann man eine Folge $(x_k)_{k ∈ K}$ definieren, mit $d(x_k,x_j) > ε$ für $k \ne j$.
+    Dann besitzt $(x_k)_{k ∈ K}$ offensichtlich keine Cauchy-Teilfolge, also auch keinen Häufungspunkt.
+\end{proof}
+
 \end{document}
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
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cgit v1.2.3-24-g4f1b

