From f6a0e3f1bbebce4dc9a72808096869a8e5f35055 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Fri, 1 Dec 2017 13:50:40 +0100
Subject: VL Freitag, 1.12.2017 hinzugefügt.
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 inhalt.tex | 231 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 231 insertions(+)

(limited to 'inhalt.tex')

diff --git a/inhalt.tex b/inhalt.tex
index a3b2c33..9591915 100644
--- a/inhalt.tex
+++ b/inhalt.tex
@@ -2216,6 +2216,237 @@ Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$.
 \end{definition}
 
 
+Hier fehlt eine VL.
+
+\begin{korollar}
+    $\hat y$ erfüllt die Gleichung aus dem vorherigen Satz genau dann, wenn $(x- \hat y) \perp Y$ gilt.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    „⇐“:
+    Sei also $\hat y ∈ Y$ mit $x-\hat y \perp Y$, also $x-\hat y \perp (\hat y - y)$ für $y ∈ Y$ beliebig.
+    Dann gilt mit Pythagoras
+    \[
+        \norm{x-y}^2 = \norm{x-\hat y + \hat y - y}^2 = \norm{x-\hat y}^2 + \norm{\hat y - y}^2 ≥ \norm{x-\hat y}^2,
+    \]
+    was die Behauptung impliziert.
+\end{proof}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Damit gilt im Hilbertraum das Riesz'sche Lemma (3.7.6) mit $Θ = 1$.
+    Setze dazu
+       $ x_{Θ=1} := \frac{x-\hat y }{\norm{x-\hat y}} $
+    für ein $x \notin Y$. Dann ist $\norm{x_Θ} = 1$ und für alle $z ∈ Y$ gilt $\norm {z-x_Θ}^2 + 2 \Re \langle  z,x_Θ \rangle + \norm{x_Θ}^2 ≥ 1 = Θ$.
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{satz}
+    Es sei $Y$ ein vollständiger Unterraum eines unitären Raums $X$.
+    Dann existiert zu  jedem $x ∈ X$ eine eindeutige Zerlegung der Form
+    \[
+        x= y + v 
+    \]
+    mit $y ∈ Y$ und $v ∈ Y^\perp$, das heißt $X = Y \oplus Y^\perp$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Jedes $x ∈ X$ lässt sich als $x = \hat y + (x- \hat y)$ schreiben, wobei $\hat y$ wie im Vorherigen Satz ist.
+    Dann ist $\hat y ∈ Y$ und $(x-\hat y) ∈ Y^\perp$.
+    Für die Eindeutigkeit seien $x = y_1 + v_1 = y_2 + v_2$ zwei Darstellungen von $x$ mit $y_i ∈ Y, v_i ∈ Y^\perp, i=1,2$.
+    Dann $y_1 - y_2 = v_2 - v_1$, wobei die linke Seite in $Y$ ist und die rechte in $Y^\perp$, aber $Y ∩ Y^\perp = \{ 0\}$ nach einem vorherigen Resultat, also $y_1 = y_2$ und $v_1 = v_2$.
+\end{proof}
+\begin{bemerkung-nn}
+Weil für jedes $x ∈ X$ das Element $y = \hat y(x) ∈ Y$ in dieser Darstellung eindeutig ist, lässt sich dadurch eine Abbildung $P: X → X, x ↦ y$ definieren.
+Diese Abbildung ist eine Projektion, das heißt $P \circ P = P$.
+Wir schreiben für $P$ auch $\Proj_Y : X → X$ mit Wertebereich $\im P = Y$ und $P|_Y = \id|_Y$.
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{korollar}
+    Falls $M ⊂ X$ ein Unterraum des Hilbertraums $X$ ist, dann gilt
+    \[
+        \cl M = (M^\perp)^\perp.
+    \]
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    „⊂“ wurde bereits in Definition 2.1 gezeigt.
+
+    „$\supset$“: Falls $(M^\perp)\perp \ne \cl M$, dann existiert $x_0 ∈ (M^\perp)^\perp \setminus \cl M$.
+    Da $X$ ein Hilbertraum ist, ist  $\cl M$ vollständig.
+    Nach dem Satz vom orthogonalen Komplement gibt es eine eindeutige orthogonale Zerlegung von $x_0 = \hat x_0 + h_0^\perp$ mit $\hat x_0 = \Proj_M(x_0) ∈ \cl M$ und $x_0^\perp ∈ (\cl M)^\perp$.
+    Da $x_0^\perp ∈ (\cl M)^\perp$, ist auch $x_0^\perp ∈ (M)^\perp$ und $x_0 ∈ (M^\perp)^\perp$, also insbesondere $\langle  x_0, x_0^\perp \rangle = 0$.
+    Das bedeute mit Hilfe der Zerlegung
+    \[
+        0 = \langle  x_0, x_0^\perp \rangle
+        = \langle  \hat x_0 + x_0^\perp, x_0^\perp \rangle
+        = \langle  \hat x_0, x_0 ^\perp \rangle + \langle x_0^\perp, x_0^\perp \rangle
+        = \langle  x_0^\perp, x_0^\perp \rangle
+        = \norm{x_0^\perp}^2.
+    \]
+    somit ist bereits $x_0^\perp = 0$, also $x_0 = \hat x_0 ∈ \cl M$.
+    Damit ist $\cl M = (M^\perp)^\perp$.
+\end{proof}
+\begin{bemerkung-nn}
+Die Abbildung $P$ ist beschränkt mit Operatornorm $\norm P = \sup\limits_{x \ne 0} \frac{\norm{P(x)}}{\norm x} \le 1$,
+denn für jedes $x = y + v$ mit $y ∈ Y, v ∈ Y^\perp$ gilt
+\[
+    \norm{P(x)}^2 = \norm{y^2} \le \norm y^2 + 2 \Re \langle  y, v \rangle + \norm{v}^2 = \norm{y +v}^2 = \norm{x}^2.
+\]
+Desweiteren ist $P$ symmetrisch, das heißt für alle $x_1, x_2 ∈ X $ ist
+\[
+    \langle P(x_1), x_2 \rangle = \langle x_1, P(x_2) \rangle.
+\]
+Ist $x_1 = y_1 + v_2$, $x_2 = y_2 + v_2$ mit $y_i ∈ Y, v_i ∈ Y^\perp, i=1,2$, dann ist
+\[
+    \langle  P(x_1), x_2 \rangle = \langle  y_1,x_2 \rangle = \langle  y_1,y_2 + v_2 \rangle
+    = \langle  y_1,y_2 \rangle = \langle  y_1+v_1, y_2 \rangle = \langle x_1, P(x_2) \rangle.
+\]
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{korollar}
+    Es Sei $Y \ne \{0\}$ ein vollständiger Unterraum des unitären Raums $X$ mit der Projektion $P = \Proj_Y: X → Y ⊂ X$. Dann gilt
+    \begin{enumerate}
+    \item $x-P(x) \perp Y $ für alle $x ∈ X$.
+    \item
+        $P$ ist symmetrisch.
+    \item
+        $P$ ist beschränkt mit Operatornorm $\norm P = 1$.
+    \end{enumerate}
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    (1) und (2) wurden bereits gezeigt. Bei (3) fehlt nur noch „$\ge$“.
+    Da $P_Y = \id|_Y$ und $Y \ne \{0\}$ ist das aber ebenfalls klar.
+\end{proof}
+Zentral in der Hilbertraumtheorie ist der Begriff der Hilbertraumbasis.
+\begin{definition}
+    Ein Orthonormalsystem $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ}$ eines unitären Raums $X$ heißt eine Orthonormalbasis oder eine \emph{Hilbertraumbasis}, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
+    \begin{enumerate}
+    \item Für alle $x ∈ X$ gilt die Vollständigkeitsrelation
+        \[
+            \lim_{n → ∞} \norm{x - \sum_{k=1}^n \langle  \hat e_k, x \rangle \hat e_k} = 0 
+        \]
+    \item
+        Für alle $x, y ∈ X$ ist
+        \[
+            \langle  x,y \rangle = \sum_{k=1}^∞ \cl{\langle \hat e_k. x \rangle} \langle \hat e_k, y \rangle.
+        \]
+    \item
+        Für alle $x ∈ X$ gilt die Parseval-Gleichung
+        \[
+            \norm{x}^2 = \sum_{k=1}^∞ \left| \langle  \hat e_k, x \rangle \right|^2.
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{proof}
+    Übung.
+\end{proof}
+\begin{bemerkung-nn}
+    \begin{enumerate}
+    \item Statt (a) kann man auch
+        \[
+            x = \lim_{n → ∞} \sum_{k=1}^n \langle  \hat e_k, x \rangle \hat e_k
+            = \sum_{k=1}^∞ \langle  \hat e_k,x \rangle \hat e_k
+        \]
+        schreiben. Dies nennt man die Fourier-Reihe von $x$.
+    \item
+        Die approximierenden Elemente
+        \[
+            \sum_{k=1}^n \langle \hat e_k, x \rangle \hat e_k
+        \]
+        liegen offenbar in $\lspan S$ wenn $S = \{ \hat e_k : k ∈ ℕ \}$ ist,
+        was sich nicht notwendigerweise auf den Grenzwert überträgt.
+        Falls $X$ aber vollständig ist (also ein Hilbertraum), so sind diese Aussagen äquivalent zu $\cl{\lspan S}^{\norm\cdot} = X$.
+    \end{enumerate}
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{satz}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Für einen unitärer Raum $X$ gilt: Jede Hilbertraumbasis ist auch ein vollständiges Orthonormalensystem.
+
+    \item
+        Ist zusätzlich $X$ ein Hilbertraum und $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ}$ ein vollständiges Orthonormalensystem, dann ist $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ}$ auch eine Hilbertraumbasis.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Sei $S$ wie oben. Sei $x ∈ X$ mit $x \perp S$. Nach (c) gilt dann
+        \[
+            \sum_{k=1}^∞ \big| \underbrace{\langle  \hat e_k^∞, x \rangle}_{=0} \big|^2 = \norm x ^2,
+        \]
+        also $\norm x = 0$ und $x = 0$.
+    \item
+        Sei nun $S$ ein abzählbares vollständiges Orthonormalensystem und $X$ ein Hilbertraum.
+        Führe den Beweis indirekt.
+        Angenommen, $S$ wäre keine Hilbertraumbasis.
+        Dann gelten die Eigenschaften (a)-(c) aus der Definition nicht und wegen der obigen Bemerkung ist dann $Y := \cl{\lspan S} \subsetneq X$.
+        $Y$ ist also ein abgeschlossener Unterraum von $X$, und da $X$ Hilbertraum ist, damit vollständig.
+        Nach Satz 2.9 ist $X = Y \oplus Y^\perp$.
+        Insbesondere ist also $Y^\perp \ne \{ 0\}$.
+        Damit gibt es ein $x ∈ X \setminus \{ 0\}$ mit $x ∈ Y^\perp$, also
+        \[
+            \langle  \hat e_k, x \rangle = 0
+        \]
+        für alle $k ∈  ℕ$ im Widerspruch zur Vollständigkeit von $S$.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{frage-nn}
+    Hat jeder Hilbertraum $H$ mit $\dim H = ∞$ ein abzählbares vollständiges ONS (also eine Hilbertbasis)?
+\end{frage-nn}
+Die Antwort darauf ist nein, aber falls $H$ zusätzlich separabel ist, dann ist sie ja.
+Dagegen ist die Existenz eines vollständigen Orthonormalensystems (also eventuell überabzählbar, also keine ONB) kein Problem:
+\begin{satz}
+    In jedem Hilbertraum $X \ne \{ 0\}$ gibt es ein vollständiges Orthonormalensystem.
+    Es lässt sich sogar jedes ONS $S_0$ zu einem vollständigen Orthonormalensystem $\tilde S_0$ mit $S_0 ⊂ \tilde S_0$ ergänzen.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Simple Anwendung von Zorns Lemma.
+\end{proof}
+\begin{beispiel}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Sei $X = L^2(0,2\pi), \K = ℝ$.
+        Dann ist ein VONS in $X$ gegeben durch
+        \[
+            S = \left\{ \frac 1 {\sqrt{2π}}\right\}
+            ∪ \left\{ \frac 1 {\sqrt{π}} \cos(nx) : n ∈ ℕ\right\}
+            ∪ \left\{ \frac 1 {\sqrt{π}} \sin(nx) : n ∈ ℕ\right\}.
+        \]
+        In der klassischen Fourieranalysis werden Entwicklungen nach diesem VONS $S$ untersucht.
+        Man zeigt dort, dass $\lspan S$ bezüglich $\norm\cdot_∞$ dicht liegt in $C_\text{per}([0,2\pi]) = \{ f: ℝ → ℝ: f$ ist stetig und $2π$-periodisch $\}$.
+        Die Aussage von 2.13(2) und (2.10) liefert nur die Begründung für die Dichtheit von $\lspan S$ in $\norm-_{L^2}$.
+    \item
+        Durch $(f,g)_μ := ∫_a^b μ(t) f(t) g(t)\; dt $, wobei $μ > 0$ und stetig auf $(a,b)$, ist auf $L^2(a,b)$ ein reelles Skalarprodukt definiert.
+        Für verschiedene Gewichtsfunktionen $μ$ und verschiedene Wahlen von $(a,b)$ erhält man $μ$-orthogonale Polynomsysteme durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die Monome $\{t^i: i ∈ ℕ_0\}$.
+        \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+        \item
+            $a=-1, b=1$, $μ(t) = 1$ liefert die Legendre-Polynome.
+        \item
+            $a=-1, b=1$, $μ(t) = 1$ liefert die Tschebyscheff-Polynome.
+            Das stimmt nicht, danke, dass du die Folie so lange gezeigt hast.
+        \item
+            $a=0, b=∞$, $μ(t) = 1$ liefert die Laguerre-Polynome.
+            Das stimmt nicht, danke, dass du die Folie so lange gezeigt hast.
+        \item
+            $a=-∞, b=∞$, $μ(t) = \exp(-t^2)$ liefert die Hermite-Polynome.
+        \end{enumerate}
+    \item
+        Ist $X$ ein unitärer Raum mit ONB, kann er formal vervollständigt werden:
+        Sei also $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ diese ONB, dann ist
+        \[
+            H := \left\{ \sum_{k=1}^∞ c_k \hat e_k: (c_k)_{k ∈ ℕ} ∈ \ell^2 \right\}
+        \]
+        ist ein Hilbertraum, den man die Vervollständigung von $X$ nennt.
+        Das Skalarprodukt zwischen $x = \sum_{k ∈ ℕ} c_k \hat e_k$  und $y = \sum_{k ∈ ℕ} d_k \hat e_k$
+        wird definiert als
+        \[
+            \langle  x,y \rangle := \sum_{k=1}^∞ \cl{c_k} d_k.
+        \]
+        Tatsächlich kann $H$ mit dem Koordinatenraum $\ell^2 = \ell^2(ℕ)$ identifiert werden.
+        Die Abbildung
+        \[
+            \Phi: \ell^2(ℕ) → H, (c_k)_{k ∈ℕ} ↦ \sum_{k=1}^∞ c_k \hat e_k
+        \]
+        ist linear, bijektiv und normerhaltend wegen der Parsevalgleichung
+        \[
+            \norm{x}^2 = \sum_{k=1}^∞ \left| \langle  \hat e_k, x \rangle \right|^2.
+        \]
+        Also $\ell^2(ℕ)$ und $H$ isometrisch und insbesondere $H$ vollständig.
+    \end{enumerate}
+\end{beispiel}
+
 \end{document}
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
-- 
cgit v1.2.3-24-g4f1b

