From ff23bb6e54cd6471dc3b5239470dee3d9df1887a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ulli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>
Date: Thu, 26 Oct 2017 15:49:33 +0200
Subject: vorlesung donnerstag, 26. 10 hinzugefügt
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@@ -774,6 +774,255 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
     Tatsächlich ist es im Allgemeinen gar nicht erfüllt. Erst im normierten Raum bekommt man diese Stetigkeit geschenkt.
 \end{bemerkung-nn}
 
+\section{Normierte Räume}
+\begin{definition}
+    Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,∞)$
+    heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, α ∈ K$ gilt:
+    \begin{enumerate}
+    \item $\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$
+    \item
+        $\norm{αx} = |α| \norm x$
+    \item
+        $\norm{x+y} \le \norm x + \norm y$
+    \end{enumerate}
+    $(X,\norm\cdot)$ heißt dann \emph{normierter Raum}.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    Durch $d(x,y) := \norm{x-y}$ wird ein normierter Raum auch ein metrischer, also insbesondere auch ein topologischer Raum.
+    Diese induzierte Topologie auf $(X, \norm\cdot)$ heißt \emph{Normtopologie}.
+
+    Ohne die lineare Struktur macht der normierte Raum gar keinen Sinn, da für die Definition einiger der Normaxiome die Vektorraumoperationen verwendet werden.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beispiele}
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        Betrachte den $ℝ^n$ mit $\norm x _{p} := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$ mit $1 \le p < ∞$ ist ein normierter Raum,
+        genauso wie mit $\norm{x}_{∞} := \max_{1 \le i \le n} |x_i|$.
+        Insbesondere gibt es im $ℝ^n$ überabzählbar viele verschiedene Normen.
+        Wir werden jedoch später sehen, dass diese Normen alle die gleiche Topologie erzeugen.
+    \item
+        Der Raum aller stetigen Funktionen auf einem kompaktem Intervall $C[a,b]$ mit $\norm{x}_{∞} := \max_{t ∈ [a,b]} |x(t)|$ ist ein normierter Raum.
+        Außerdem wird durch
+        \[
+            \norm x := ∫_a^b |x(t)| dt
+        \]
+        ebenfalls eine Norm definiert.
+    \item
+        Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und beschränkt. Dann wird $C(\cl{\Omega})$ mit
+        \[
+            \norm{x}_{∞} := \max_{t ∈ \cl \Omega} |x(t)|
+        \]
+        auch zu einem normierten Raum.
+    \item
+        $L^p(\Omega) = \L^p(\Omega)/\mathcal N$, wobei $\mathcal N = \{ f: \Omega → \R, f(t) = 0 \text{ fast überall}\}$ ist mit 
+        \[
+            \norm x := \left(∫_{\Omega} |x(t)|^p dt \right)^{1/p}
+        \]
+        ein normierter Raum, wobei $1 \le p < ∞$.
+    \item
+        $\ell^p$ mit
+        \[
+            \norm x _{p} := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}
+        \]
+        ist ebenfalls ein normierter Raum, wobei $1 \le p < ∞$.
+    \end{enumerate}
+\end{beispiele}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $(X, \norm\cdot)$ ein normierter Raum. Dann sind die Abbildungen $+$, $\cdot$ und $\norm\cdot$ stetig.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Für beliebige Folgen $(x_n)_{n ∈ ℕ},(y_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $\lim x_n = x$, $\lim y_n = y$, $\lim α_n = α$ gelten
+    \[
+        \norm{(x_n + y_n) - (x+y)} \le \norm{x-x_n} + \norm{y -y_n}
+    \]
+    sowie
+    \[
+        \norm{α_nx_n - αx} \le |α_n| \norm{x_n-x} + \norm{x} |α_n - α|
+    \]
+    und
+    \[
+        |\norm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x}
+    \]
+    nach der umgekehrten Dreiecksungleichung.
+    Folglich sind die zu betrachtenden Abbildungen alle folgenstetig, und, da metrische Räume stets dem ersten Abzähhlbarkeitsaxiom genügen, auch stetig.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    Jeder normierte Raum versehen mit der Normtopologie ist ein topologischer linearer Raum.
+    Deshalb ist auch keine Unterscheidung zwischen normierten Räumen und normierten linearen Räumen nötig.
+\end{korollar}
+
+\section{Topologische lineare Räume}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Hierbei sei stetis die Topologie von $X×X$ die Produktopologie, bei den Körpern $\K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases}$ die übliche Topologie.
+    Wir schreiben im Folgenden für Mengen $M, M_1, M_2 ⊂ X$ und $α ⊂ \K$ nun
+    \[
+        M_1 + M_2 := s(M_1,M_2) := \{x+y : x ∈ M_1, y ∈ M_2\},
+    \]
+    \[
+        A \cdot M := m(A,M) := \{ αx: α ∈ A, x ∈ M\}.
+    \]
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{lemma}
+    Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+    \item Die Addition $s$ ist stetig.
+    \item
+        Für beliebiges $x, y ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{x+y} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_y ∈ \T$ von $y$ mit $O_x + O_y ⊂ O_{x+y}$
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    $s$ ist stetig in $(x,y)$ genau dann, wenn zu jeder Umgebung $O_{x,y} ∈ \T_X$
+    von $(x,y)$ existiert eine Umgebung $U ⊂ \T_{X×X}$ von $(x,y)$ mit $s(U) ⊂ O_{x+y}$.
+    Nach Definition der Produkttopologie existieren dann Umgebungen $O_x ∈ \U_x$ und $O_y ∈ \U_y$ mit $O_x × O_y ⊂ U$.
+    Damit ist
+    \[
+        O_x + O_y = s(O_x, O_y) = s(O_x × O_y) ⊂ s(U) ⊂ O_{x+y}.
+    \]
+    Analog zeigt man die entsprechende Aussage für die skalare Multiplikation:
+\end{proof}
+\begin{lemma}
+    Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+    \item Die Addition $m$ ist stetig.
+    \item
+        Für beliebiges $α ∈ \K, x ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{αx} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_α ∈ \T$ von $y$ mit $O_α × O_x ⊂ O_{αx}$.
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+Betrachtet man insbesondere die Stetigkeit am Punke $α=0$ und $x ∈ X$ beliebig, dann gilt also:
+Für jede Umgebung $O_0 ∈ \U_0 ⊂ X$ existiert eine Umgebung $O_x ∈ \U_x$ und ein $r > 0$, so dass
+\[
+    ∀β: |β| <r: βO_x ⊂ O_0.
+\]
+Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
+\begin{korollar}
+    Im topologischen Raum $(X,\T)$ gilt für $x ∈ X$ beliebig und $(β_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$
+    \[
+       β_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \implies β_nx \xrightarrow{n → ∞} 0.
+    \]
+\end{korollar}
+
+\begin{definition-nn}
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        Zu $x_0 ∈ X$ fest definieren wir den Translationsoperator
+        \[
+            T_{x_0} := X → X, x ↦ x + x_0.
+        \]
+    \item
+        Zu $α_0 ∈ \K^*$ fest definieren wir den Multiplikationsoperator
+        \[
+            M_{α_0} := X → X, x ↦ α_0\cdot x.
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{definition-nn}
+
+\begin{lemma}
+    Die Translationsoperatoren und Multiplikationsoperatoren sind Homöomorphismen.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Das ist klar.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[Invarianzprinzip]
+    Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ ist die Topologie bereits durch die offenen Umgebungen von $0 ∈ X$ bestimmt. Alle anderen offenen Mengen entstehen durch Translation.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Das ist klar.
+\end{proof}
+
+\section{Metrische lineare Räume und Quasi-normierte Räume}
+\begin{definition}
+    Eine Metrik $d: X × X → ℝ$ auf einem linearen Raum $X$ heißt \emph{translationsinvariant}, falls gilt:
+    \[
+        ∀x,y,z ∈ X: d(x,y) = d(x+z, y+z),
+    \]
+    oder äquivalent dazu:
+    \[
+        ∀x,y ∈ X: d(x,y) = d(x-y, 0).
+k    \]
+\end{definition}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Ohne lineare Struktur macht das gar keinen Sinn!
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{definition}
+    Ein metrischer Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter Mertik $d$ heißt \emph{metrischer linearer Raum}, falls
+    die Vektorraumoperationen stetig sind (in der von der Metrik induzierten Topologie).
+\end{definition}
+
+
+\begin{lemma}
+    Im metrischen Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter metrik, dann ist die Addition immer stetig.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Es genügt, da in metrischen Räumen Folgenstetigkeit und Stetigkeit äquivalent sind, zu zeigen, dass $\lim d(x_n + y_n, x + y ) = 0$, sofern $\lim d(x_n,x) = 0$  und $\lim d(y_n,y) = 0$.
+    Dazu ist
+    \[
+        d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow{n → ∞} 0.
+    \]
+\end{proof}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    Sei $X = C(a,b)$ mit der Metrik
+    \[
+        d(x,y) := \min\{ 1, \sum_{t ∈ (a,b)} |x(t)-y(t)|\}.
+    \]
+    Dann ist $d$ eine translationsinvariante Metrik, aber $X$ ist kein linearer Raum, da die Skalarmultiplikation nicht stetig ist.
+\end{beispiel-nn}
+Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ hat man (nach dem $ε-δ-Kriterium$)
+\[
+    ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∃ r> 0 ∀β ∈ \K ∀y ∈ X: 
+    \begin{rcases}
+        |β - α| < r \\
+        d(x,y) < δ
+    \end{rcases}
+    \implies d(βy,αx) < ε
+\]
+
+
+\begin{lemma}
+    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit linearer Struktur und mit einer translationinvarianten Metrik.
+    Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $α ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ) ⊂ \K}$ gilt
+    \begin{gather*}
+        αx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \\
+        αx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \\
+        α_nx_n \xrightarrow{n → ∞} 0
+    \end{gather*}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    „$⇒$”: Skalare Multiplikation ist im metrischen linearen Raum stetig, also folgen die Aussagen sofort.
+
+    „$⇐$“: Wegen der Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit ist zu zeigen
+    \[
+        \begin{rcases}
+            α_n \xrightarrow{n → ∞} α ∈ \K \\
+            x_n \xrightarrow{n → ∞} x ∈ X
+        \end{rcases}
+    \implies α_n x_n \xrightarrow{n → ∞} αx.
+    \]
+
+    Sei dazu $z_n := x_n - x ∈ X$, $γ_n := α_n - α ∈ \K$. Dann ist
+    \[
+        γ_n z_n + γ_n x + α z_n = (α_n - α)(x_n-x) + (α_n-α) x + α(x_n-x)
+        = α_n x_n - α×.
+    \]
+    Somit ist
+    \begin{align*}
+        d(α_nx_n,αx) &= d(αnx_n - αx,0) = d(γ_nz_n + γnx + αz_n, 0) \\
+        &\le \underbrace{d(γ_nz_n,0)}_{→ 0} + \underbrace{d(γ_nx, 0)}_{→ 0} + \underbrace{d(αz_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow{n → 0} 0.
+    \end{align*}
+    Da die Addition ohnehin immer stetig ist, sind wir  fertig.
+\end{proof}
+
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+
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 %%% mode: latex
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