\chapter{Topologie}
\label{cha:topologie}
\section{Topologische Räume}
\label{sec:topologische-raume}
\begin{definition}[Topologischer Raum, offene Mengen]
    \index{Raum!topologischer}
    \index{Struktur!topologische}
    \index{offen}
    \index{Menge!offen}
    \index{Topologie}
    \label{defi:top-raum-2.1.1}
    Sei $X$ eine Menge und $\T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$.
    $\T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.
    Insbesondere muss $\T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten.
    $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen}
\end{definition}
\begin{beispiele-nn}
    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item
            \index{Topologie!indiskrete}
            \index{Topologie!Klumpen-}
            Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}.
        \item
            \index{Topologie!diskrete}
            Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$.
        \item
            \index{Topologie!natürliche}
            In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $\epsilon  > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < \epsilon $ auch $y ∈ U$ gilt.
            Aus der Analysis ist bekannt, dass die so definierten offenen Mengen den Axiomen genügen.
            Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt.
        \item
            \index{Topologie!cofinite}
            Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf
            $X$ wird definiert als
            \[
                \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\}
            \]
        \item
            \index{Raum!Sierpinski-}
            Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$.
    \end{enumerate}
\end{beispiele-nn}
\begin{definition}
    \label{defi:top-grundbegriffe-2.1.2}
    Sei $M ⊂ X$.
    \begin{enumerate}
    \item
        \index{abgeschlossen}
        \index{Menge!abgeschlossen}
        $M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $X \setminus  M$ offen ist.
    \item
        \index{Umgebung}
        $U ⊂ X$ heißt \emph{Umgebung von $A$}, wenn es eine offene Menge $V$ gibt mit $A ⊂ V ⊂ U$. Wir setzen
        \[
            \U_A \coloneq \U_A (\T) \coloneq \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}.
        \]
        \index{Umgebungssystem}
        \index{Umgebungsfilter}
        $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$.
        Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x \coloneq \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$.
    \item
        \index{Häufungspunkt}
        $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$.
    \item
        \index{Inneres}
        Das \emph{Innere von M} ist
        \[
            \operatorname{int} M \coloneq M^\circ \coloneq \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\}
        \]
        die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist.
    \item
        \index{Abschluss}
        Der \emph{Abschluss von} M ist
        \[
            \operatorname{cl} M \coloneq \cl M \coloneq \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\}
        \]
        die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält.
    \item
        \index{kompakt}
        $M$ heißt \emph{kompakt}, falls jede offene Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
    \item
        \index{dicht}
        $M$ heißt \emph{dicht}, falls $\cl M = X$.
    \item
        \index{dicht!nirgends}
        $M$ heißt \emph{nirgends dicht}, falls $(\cl M)^\circ = \emptyset$.
    \end{enumerate}
\end{definition}
\begin{bemerkung}
    \begin{enumerate}
    \item $M^\circ ⊂ M ⊂ \cl  M$.
    \item
        $M^\circ$ ist die Menge der inneren Punkte von $M$.
    \item
        $M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M = \cl M$.
    \end{enumerate}
\end{bemerkung}
\begin{definition}[Hausdorff-Raum]
    \index{Raum!Hausdorff-}
    \label{defi:hausdorff-raum-2.1.4}
	Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum.
	Für alle $x,y \in X$ mit $x \neq y$ 
	existieren $U \in \U_x, V \in \U_x$ mit $U \cap V = \emptyset$.
	Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem $T_2$-Axiom.
\end{definition}
\begin{beispiele-nn}
    \begin{enumerate}
    \item
        Ein Pseudometrischer Raum $(X,d)$ ist Hausdorff"=Raum genau dann, wenn
        $d$ eine Metrik ist.
    \item
        \index{Raum!Sierpinski-}
        Der Sierpinski"=Raum $(\{0,1\}),\{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}\})$ ist kein Hausdorff"=Raum.
    \item
        Sei $X = \prod_{i ∈ I} X_i$ ausgestattet mit dem Produkt $\T$ der Topologien
        $(T_i)_{i ∈ I}$. $(X,\T)$ ist hausdorffsch genau dann, wenn alle $(X_i,
        \T_i)$ hausdorffsch sind.
    \item
        Ist $(X,\T)$ ein Hausdorff Raum und $Y ⊂ X$, dann ist auch $(Y,\T|Y)$ hausdorffsch.
    \end{enumerate}
\end{beispiele-nn}

\begin{definition}[Konvergenz]
    \index{Folge!konvergent}
    \label{defi:konvergenz-2.1.5}
	Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$,
	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ ein $n_{0} \in \N$ existiert, 
	sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$.
\end{definition}
\begin{bemerkung-nn}
	Man überlegt sich leicht, dass der Grenzwert $x_{0}$ in der Regel nicht eindeutig ist.
	Bsp: In $\T=\{X,\emptyset\}$ konvergiert jede Folge gegen jeden Punkt.
	Ist $(X,\T)$ jedoch ein Hausdorff-Raum, so ist jeder Grenzwert eindeutig.
\end{bemerkung-nn}
\begin{beweis}
	Seien $x_{0} \neq x'_{0}$ Grenzwerte von $(x_{n})_{n \in \N} \subset X$.
	Dann existieren disjunkte Umgebungen $U,U' ∈ \U_{x_0}$.
	Weiterhin gibt es ein $n_{0} \in \N$, so dass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$
	und $n_0' \in \N$, so dass $x_{n} \in U'$ für alle $n \geq n_0'$.
	Also gilt $x_{\max\{n_0,n'_0\}} \in U \cap U'$
	Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen.
\end{beweis}
\begin{definition}[Häufungspunkt]
    \index{Häufungspunkt}
    \label{defi:haeufungspunkt-2.1.6}
	$x_{0} \in X$ heißt Häufungspunkt von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$,
	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ und für alle $k \in \N$ 
	ein $n \geq k \in \N$ existiert, so dass $x_{n} \in U$.
\end{definition}
\begin{beispiel-nn}
	Wir betrachten $\R$ mit der natürlichen Topologie.
	$(x_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $x_n=(-1)^n$ hat zwei Häufungspunkte $\pm 1$.
	Die Menge aller Folgenglieder $M=\{x_{n}:n \in \N\}=\{-1,1\}$ hat als Menge jedoch keine Häufungspunkte.
\end{beispiel-nn}
\begin{bemerkung-nn}
	Für die indiskrete Topologie ist jeder Punkt in $X$ Häufungspunkt jeder Folge.
\end{bemerkung-nn}
\begin{definition}[Stetigkeit]
    \index{stetig}
    \index{Abbildung!stetige}
    \label{defi:stetigkeit-2.1.7}
    Seien $(X, \T_X)$ und $(Y, \T_Y)$ topologische Räume, $f: X → Y$.
    \begin{enumerate}
    \item
        Sei $x_0 ∈ X$.
        $f$ heißt \emph{stetig in $x_0$}, falls für jede Umgebung $V$ von $f(x_0)$ das Urbild $f^{-1}(V)$ eine Umgebung von $x_0$ ist.
    \item
        $f$ heißt \emph{stetig}, falls für alle $V \in \T_{Y}$ gilt, dass $f^{-1}(V) \in \T_{X}$.
    \end{enumerate}
\end{definition}
\begin{bemerkung-nn}
	$f$ ist genau dann stetig, wenn $f$ in jedem Punkt stetig ist.
\end{bemerkung-nn}
\begin{definition}[Homöomorphismus]
    \index{Homöomorphismus}
    \index{isomorph!topologisch}
    \label{defi:homoeomorphismus-2.1.8}
	Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv, stetig,
	und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig,
	dann heißt $f$ (und $f^{-1}$) \emph{Homöomorphismus}.
	$X$ und $Y$ heißen \emph{homöomorph} oder \emph{topologisch isomorph}, falls so ein Homöomorphismus
existiert.
\end{definition}
\begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen]
    \index{Basis!der Topologie}
    \index{Basis!Umgebungs-}
    \label{defi:basis-top-umgebung-2.1.9}
	\begin{enumerate}
	\item
	Eine Familie $B \subset \T$ heißt Basis der Topologie in $(X,\T)$, falls $T= \{\bigcup M: M \subset B\}$.
	\item
	Eine Familie $B \subset \U_{x}$ von $x \in X$ heißt Umgebungsbasis des Punktes $x$, falls für alle $U \in \T, x \in U$ existiert ein $V \in B$ mit $x \in V \in U$. 
	\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{beispiel-nn}
	Für die natürliche Topologie auf $\R^n$ ist eine Basis der Topologie gegeben durch
	${B_{\eps}(x): x \in X, \eps > 0}$ 
	mit den offenen Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \norm{x-y}<\eps}$.
	Sei $x \in \R^n$ fest. 
	Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x
\end{beispiel-nn}
\begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie]
    \index{Topologie!Relativ-}
    \index{Topologie!Spur-}
    \label{defi:relativtop-2.1.10}
	$M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise
	zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' \coloneq \{M \cap V : V \in \T\}$.
\end{definition}
\begin{bemerkung-nn}
	$M = M \cap X \in \T'$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie.
	Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein.
\end{bemerkung-nn}
\begin{definition}
    \index{Topologie!feiner}
    \index{Topologie!gröber}
    \label{defi:top-feiner-groeber-2.1.11}
	Seien zwei Topologien $\T_{1},\T_{2}$ auf X gegeben. 
	Wir sagen $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \supset \T_{2}$.
	Wir sagen $\T_{1}$ ist gröber als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \subset \T_{2}$.
	Wir sagen die Topologien sind gleich, falls $\T_{1}=\T_{2}$.
\end{definition}
\begin{bemerkung-nn}
	Sei $\T_{1}$ feiner als $\T_{2}$.
	Die feinere Topologie $\T_{1}$ enthält mehr offene Mengen, 
	und damit zu jedem Grenzwert $x_{0}$ weniger konvergte Folgen.
	
	Man zeigt leicht: 
	$\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$ $\Longleftrightarrow$ 
	Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \subset T_{1},B_{2} \subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, 
	dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$.
\end{bemerkung-nn}
\begin{beispiel-nn}
	Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich.
	$\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln 
	$B_{\eps}(x)=\{y \in R^n : \norm{x-y}<\eps\}$ erzeugt wird.
	$\T_{2}$ sei die Topologie, die durch die Quader 
	$B_{\eps}(x)=\{y \in R^n : \max_{1 \leq i \leq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps\}$ erzeugt wird.
\end{beispiel-nn}
\begin{definition}[Produkttopologie]
    \index{Topologie!Produkt-}
    Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume.
    Dann ist die Familie von Mengen
    \[
        \{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset \Pot{X \times Y}
    \]
    eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$.
    Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden.
\end{definition}
\section{Metrische Räume}
\index{Raum!metrischer}
\label{sec:metrische-raume}
\begin{definition}[Pseudometrik, Metrik]
    \index{Metrik}
    \index{Pseudometrik}
    \label{defi:metrik-2.2.1}
    Sei $X$ eine Menge. $d: X × X → \R$ heißt \emph{Pseudometrik}, wenn $d$ den
    folgenden Axiomen genügt:
    \begin{enumerate}[series=metrik,label=(M\arabic*)]
        \item
              Für alle $x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) \ge 0$ und $d(x,x) = 0$.
        \item
              \emph{Symmetrie:} Für alle $ x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) = d(y,x)$.
        \item
              \index{Dreiecksungleichung}
              \emph{Dreiecksungleichung:} Für alle $x, y, z ∈ X$ gilt $d(x,y)
              \le d(x,y) + d(z,y)$.
    \end{enumerate}
    $d$ heißt \emph{Metrik}, falls es zusätzlich
    \begin{enumerate}[resume=metrik,label=(M\arabic*)]
        \item
              $d(x,y) = 0 \implies x = y$
    \end{enumerate}
    \index{Kugel!offene}
    erfüllt. $(X,d)$ heißt dann (pseudo-)metrischer Raum. Zu $x ∈ X$ und $r > 0$
    definieren wir die \emph{offene Kugel um $x$ mit Radius $r$} als
    \[
        B_r(x) \coloneq B^d_r(x) \coloneq \{ y ∈ X: d(x,y) < r\}.
    \]
    Die Menge
    \[
        \cl{B_r}(x) \coloneq \{y ∈ X: d(x,y) \le r\}
    \]
    \index{Kugel!abgeschlossene}
    heißt \emph{abgeschlossene Kugel}.
\end{definition}
\begin{satz}
    \label{satz:metrik-induziert-top-2.2.2}
    \index{Topologie!induzierte}
    Sei $(X,d)$ pseudometrischer Raum. Dann wird durch
    \[
        U ∈ \T_d :\Longleftrightarrow ∀ x ∈ U ∃ ε > 0: B_ε(x) ⊂ U
    \]
    eine Topologie $\T_d$ definiert, die \emph{von $d$ induzierte Topologie} auf
    $X$. Die Kugeln $B_r(x)$ für $x ∈ X$ und $r > 0$ sind offen bezüglich dieser
    Topologie. Ein topologischer Raum $(X,\T)$ heißt
    \emph{(pseudometrisierbar}, wenn es eine (Pseudo-)Metrik $d$ mit $\T =
    \T_d$ gibt.
\end{satz}
\begin{proof}
    Sei zunächst $\mathfrak M ⊂ \T_d$ und $x ∈ \bigcup \mathfrak M$. Dann gibt es
    $x ∈ M ∈ \mathfrak M$, da $M$ offen ist, enthält $M$ einen Ball $B_ε(x)$. Somit auch
    $B_ε(x) ⊂ M ⊂ \bigcup \mathfrak M$. Da dies für alle $x ∈ \bigcup \mathfrak M$ gilt, ist $\bigcup \mathfrak M$ offen.

    Sei nun $\mathfrak M ⊂ \T_d$ endlich und $x ∈ \bigcap \mathfrak M$. Dann
    gibt es zu jedem $M_i ∈ \mathfrak M$ ein $ε_i > 0$ mit $B_{ε_i}(x) ⊂ M_i$. Somit ist
    für $ε \coloneq \min\limits_{i} ε_i $ auch $B_ε(x) ⊂ \bigcup \mathfrak M$.
    Also ist $\T_d$ eine Topologie.

    Jetzt zu $B_r(x) ∈ \T_d$. Sei dazu $y ∈ B_r(x)$, also $δ \coloneq r - d(x,y) > 0$
    Sei $z ∈ B_δ(y)$, also $d(z,y) < δ$. Mit der Dreiecksungleichung ist dann
    $d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) = d(x,y) + r - d(x,y) = r$. Also $y ∈ B_δ(y) ⊂ B_r(x)$.
\end{proof}
\begin{bemerkung-nn}
    Die abgeschlossene Kugel $\cl B_r (x)$ ist im Allgemeinen nicht der Abschluss der offenen Kugel $B_r(x)$, aber es gilt immer
    \[
        \cl{B_r(x)} ⊂ \cl{B_r}(x).
    \]
\end{bemerkung-nn}
\begin{satz}
    \label{satz:metr-raum-ist-t2-2.2.3}
    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
    Dann genügt $(X,\T_d)$ dem $T_2$-Axiom.
\end{satz}
\begin{proof}
    Seien $x \ne y ∈ X$. Dann ist $δ \coloneq d(x,y) > 0$.
    Dann sind $B_{δ/2}(x)$ und $B_{δ/2}(y)$ disjunkte Umgebungen von $x$ bzw $y$:
    Sei $z ∈ B_{δ/2}(x)$. Dann ist
    \[
        d(z,y) \ge d(y,x) - d(x,z) > δ - \frac {δ} 2 = \frac {δ} 2.
    \]
\end{proof}
\begin{lemma-nn}[Eigenschaften metrischer Räume]
    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
    \begin{enumerate}
    \item Jeder Punkt $x ∈ X$ besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis
        \[
            \{ B_{1/n} (x), n ∈ ℕ\}.
        \]
    \item
        Es gilt
        \[
            \lim_{n \to \infty } x_n = x \; \Longleftrightarrow \; \lim_{n→\infty } d(x,x_n) = 0.
        \]
    \item
        Es ist $x_0 ∈ M$ genau dann ein innerer Punkt von $M ⊂ X$, wenn ein $\epsilon  > 0$ existiert mit $B_\epsilon (x_0) ⊂ M$.
    \item
        $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder Kugel $B_\epsilon (x_0)$ mit $x_0 ∈ X, \epsilon > 0$ eine Kugel $B_\delta (x_1) ⊂ B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
    \item
        Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume.
        Dann ist auch $(X×Y,d_{X×Y})$ ein metrischer Raum vermöge der Metrik
        \[
            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \coloneq \max\{d_x(x_1,x_2),d_y(y_1,y_2)\}
        \]
        oder auch mit 
        \[
            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \coloneq \sqrt{d_x^2(x_1,x_2)+d_y^2(y_1,y_2)}.
        \]
        Tatsächlich induzieren diese beiden Metriken die gleiche Topologie (nämlich die Produkttopologie)
    \item
        Homöomorphismen $f: X → Y$ (für metrische Räume $X, Y$), die die Metrik respektieren, das heißt
        \[
            d_X(x_1,x_2) = d_Y(f(x_1),f(x_2)) \quad ∀x_1, x_2 ∈ X
        \]
        heißen \emph{Isometrien}.
        \index{Isometrie}
    \item
        Ein metrischer Raum muss im allgemeinen keine lineare Struktur haben.
        Man betrachte hierzu die Menge $X \coloneq \{1,2,3,4,5,6\}$ mit der diskreten Metrik.
        Diese kann keine Vektorraumstruktur haben, da $|X| = 6$ keine Primzahlpotenz ist.
    \end{enumerate}
\end{lemma-nn}
\begin{noproof}
Der Beweis wird aufgrund seiner Trivialität den Lesern zur Übung überlassen, da er wirklich nur Einsetzen der Definitionen ist.
\end{noproof}
Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
\begin{satz}
    \index{kompakt}
    \label{satz:metr-raum-kompaktheit-aequ-charakt-2.2.4}
    Im metrischen Raum $(X,d)$ sind äquivalent:
    \begin{enumerate}
    \item
        \index{kompakt!überdeckungs!}
        $K ⊂ X$ ist kompakt (überdeckungskompakt)
    \item
        Jede Folge in $K$ besitzt mindestens einen  Häufungspunkt in $K$ (abzählbar kompakt)
    \item
        \index{kompakt!folgen-}
        Jede Folge in $K$ besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $K$ (folgenkompakt)
    \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{bemerkung}
    Der Satz gilt so im allgemeinen Hausdorff-Raum \emph{nicht}.
    \index{Abzählbarkeitsaxiom!erstes}
    Für „$(b) \Rightarrow (a)$“ benötigt man zusätzlich das zweite Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz einer abzählbaren Basis der Topologie.
    \index{Abzählbarkeitsaxiom!zweites}
    Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt  man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt.
\end{bemerkung}
\section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire}
\label{sec:vollst-metr-raum}
\begin{definition}[Cauchy-Folge]
    \index{Folge!Cauchy-}
    \label{defi-cauchy-folge-2.3.1}
    Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $\epsilon  > 0$ ein $N = N(\epsilon )$ existiert mit $d(x_m,x_n) < \epsilon $ für alle $n,m \ge N$.
\end{definition}
\begin{lemma}
    \label{lemma:konv-folge-ist-cauchy-2.3.2}
    Jede konvergente Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge.
\end{lemma}
\begin{proof}
    Sei etwa $\lim_{n→∞} x_n = x$. Sei $ε > 0$.
    Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen $x$ konvergiert, gibt es $N ∈ ℕ$ mit $d(x_n,x)< ε/2$ für alle $n ≥ N$, also mit der Dreiecksungleichung
    \[
        ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < \frac {ε} 2 + \frac {ε} 2 = ε.
    \]
\end{proof}
\begin{definition}[vollständiger metrischer Raum]
    \label{defi:vollst-metrisch-raum-2.3.3}
    \index{Raum!vollständiger metrischer}
    \index{vollständig}
    Der metrische Raum $(X,d)$ heißt \emph{vollständig}, falls jede Cauchy-Folge in $(X,d)$ konvergiert.
\end{definition}
Nicht jeder metrische Raum braucht vollständig zu sein (man betrachte hierfür z.B. $ℚ$ und die Folge der Partialsummen der Dezimalbruchentwicklung von $\sqrt 2$),
jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
\begin{satz}
    \label{satz:metr-raum-vervollstd-2.3.4}
    \index{Vervollständigung}
    Jeder metrische Raum $(X,d)$ lässt sich in einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten kleinsten vollständigen metrischen Raum $(\tilde X, \tilde d)$ einbetten.
    Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$.
\end{satz}
\begin{proof}
    Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$.
    Hierdurch ist eine Äquivalenzrelation definiiert. Sei $[(x_n)_{n ∈ ℕ}]$ die vom Repräsententaten $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ erzeugte Klasse. Man setzt
    \[
        \tilde X \coloneq \{ [ (x_n)_{n ∈ ℕ}] : (x_n)_{n ∈ ℕ} \text{ ist Cauchy-Folge in }(X,d)\}
    \]
    und
    \[
        \tilde d([(x_n)_{n ∈ ℕ}],[(y_n)_{n ∈ ℕ}]) \coloneq \lim_{n → \infty } d(x_n,y_n).
    \]
    Dann ist $(d(x_n,y_n))_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $ℝ$, da
    \[
        |d(x_n,x_m) - d(y_m,y_m) | \le \underbrace{d(x_n,x_m)}_{→ 0} + \underbrace{d(y_n,y_m)}_{→ 0}.
    \]
    Da $ℝ$ bekanntlich vollständig ist, existiert somit der Grenzwert.
    Ferner ist $\tilde d$ Repräsentatenunabhängig, also wohldefiniert:
    Seien $(\tilde x_n)$ und $(\tilde y_n)$ andere Repräsentaten. Dann ist
    \[
        d(x_n,y_n) \le \underbrace{d(x_n,\tilde x_n)}_{→ 0} + d(\tilde x_n,\tilde y_n) + \underbrace{d(\tilde y_n, y_n)}_{→ 0}.
    \]
    Die umgekehrte Ungleichung ergibt sich aus Vertauschung der Rollen. Man rechnet leicht nach, dass $(\tilde X, \tilde d)$ ein vollständiger Raum ist.
    Wir können $(X,d)$ durch die entsprechenden konstanten Folgen isometrisch in $\tilde X$ einbetten.
    \todo{Hier fehlt noch was.}
\end{proof}
\begin{bemerkung-nn}
    Wendet man diese Technik auf $ℚ$ mit der natürlichen Metrik an, dann erhält man $(ℝ,d)$ als vollständige Hülle.
    Man beachte jedoch, dass dies nicht für die Konstruktion von $ℝ$ ausreicht, da hier schon die Existenz von $ℝ$ verwenden wird -- Aber das funktioniert größtenteils analog.
\end{bemerkung-nn}
\begin{satz}[Schachtelsatz]
    \label{satz:schachtelsatz-2.3.5}
    \index{Satz!Schachtel-}
    Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und seien
    $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty ) $ Folgen mit der Eigenschaft
    \begin{enumerate}
    \item $\cl B_{r_{n+1}}(x_{n+1}) ⊂ B_{r_n} (x_n)$
    \item $\lim_{n \to \infty } r_n = 0$.
    \end{enumerate}
    Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n} (x_n)$.
\end{satz}
\begin{proof}
    Für $p ∈ ℕ$ beliebig gilt
    \[
        \cl B_{r_{n+p}} (x_{n+p}) ⊂ \cl B_{r_n} (x_n).
    \]
    Also
    \[
        d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
    \]
    Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$, da $X$ vollständig ist.
    Außerdem gilt
    \[
        d(x_p,x_n) \le \underbrace{d(x_0, x_{n+p})}_{→ 0 (p → \infty )} + \underbrace{d(x_{n+p},x_n)}_{ \le r_n}.
    \]
    Damit folgt für $p → \infty $
    \[
        d(x_0, x_n) \le r_n \quad ∀ n ∈ ℕ
    \]
    also $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$.
    Für die Eindeutigkeit sei $\tilde x_0$ ebenfalls in $\bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$.
    Dann folgt
    \[
        d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
    \]
    Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$.
\end{proof}
\begin{definition}[mager, Menge von erster Kategorie, Menge von zweiter Kategorie]
    \label{defi:mager-2.3.6}
    \index{mager}
    \index{Menge!mager}
    \index{Kategorie!erste}
    \index{Kategorie!zweite}
    Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ heißt \emph{von erster Kategorie} oder  \emph{mager}, falls sie
     die Vereinigung abzählbar vieler in $X$ nirgends dichter Mengen ist. Andernfalls heißt $M$ \emph{von zweiter Kategorie}.
\end{definition}
Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B beim Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder dem Open-Mapping-Theorem.
\begin{satz}[Baire]
    \label{satz:bct-2.3.7}
    \index{Satz!von Baire}
    \index{BCT}
    Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst).
\end{satz}
\begin{proof}
    Sei  $ \emptyset \ne M ⊂ X$ offen. Wir nehmen umgekehrt an, $M$ wäre von erster Kategorie, das heißt
    \[
        M ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} M_n
    \]
    mit $M_n ⊂ X$ nirgends dicht. Wähle $x_0 ∈ M$. Da $M$ offen ist, gibt es ein $r = r_0 > 0$ mit $B_{r_0}(x_0) ⊂ M$.
    Da $M_1$ nirgends dicht ist, gibt es $r_1 > 0$ und $x_1 ∈ X$ mit
    \[
        B_{r_1}(x_1) ⊂ B_{r_0/2} (x_0)
    \]
    und $B_{r_1}(x_1) ∩ M_1 = \emptyset$.
    Analog finden wir, da $M_2$ nirgends dicht ist, $r_2 > 0$ und $x_2 ∈ X$ mit
    \[
        B_{r_2}(x_2) ⊂ B_{r_1/2} (x_1)
    \]
    und $B_{r_2}(x_2) ∩ M_2 = \emptyset$.
    Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty )$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$.
    Damit sind alle Voraussetzungen von~\cref{satz:schachtelsatz-2.3.5} erfüllt. Folglich existiert genau ein
    \[
        \tilde x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} B_{r_n} (x_n) ⊂ B_r(x_0) ⊂ M.
    \]
    Aber $\tilde x \not\in M_n$ für alle $n ∈ ℕ$ Folglich ist auch $\tilde x$ nicht in $\bigcup_{n ∈ ℕ} M_n = M$. Das ist ein Widerspruch. Also ist $M$ von zweiter Kategorie.
\end{proof}
Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung:
\begin{satz}[Baire]
    \label{satz:bct-2.3.8}
    Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff"=Raum
    \begin{enumerate}
    \item
        Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$.
        Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht.
    \item
        Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen.
        Dann ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$.
    \item
        Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$.
        Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ \ne \emptyset$.
    \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item
        Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer.
        Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne \emptyset$.
        Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik $d$.
        Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$ und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$.
        Wir wählen nun induktiv Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden
        Eigenschaften:
        \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
        \item
            $0 < r_n < \frac 1 n$
        \item
            $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$
        \end{enumerate}
        Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon  > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon  2$ ist wie gewünscht.
        Für $m \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt, dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist.
        Damit konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$.
        Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m > N$.
        Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass
        \begin{align*}
            x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
            & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W,
        \end{align*}
        also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$.

        Sei Nun $X$ lokalkompakt.
        Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$.
        Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$.
        Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften:
        \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
        \item
            $B_k ⊂ B_{k-1}$
        \item
            $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$.
        \end{enumerate}
        Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und nichtleer.
        Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$.
        Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft.
        Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$ abgeschlossen, somit folgt 
        \[
            \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k
        \]
        sowie
        \[
            \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W.
        \]
        Insgesamt also
        \[
            \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W.
        \]
    \item
        Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$.
        Dann ist $U_n$ offen und dicht.
        Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und somit insbesondere nicht leer, ist.
        Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$.
    \item
        Das ist eine direkte Konsequenz aus (b).
    \end{enumerate}
\end{proof}


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